Grupo (matemática)

Um dos grupos mais familiares é o conjunto dos inteiros $${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$ junto com a adição.^[1] Para quaisquer dois inteiros ${\displaystyle a}$ e ⁠${\displaystyle b}$⁠, a soma ${\displaystyle a+b}$ também é um inteiro; esta propriedade de fechamento diz que a ${\displaystyle +}$ é uma operação binária em ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$⁠. As seguintes propriedades da adição de inteiros servem como um modelo para os axiomas de grupo na definição abaixo.^[2]

• Para todos os inteiros ⁠${\displaystyle a}$⁠, ${\displaystyle b}$ e ⁠${\displaystyle c}$⁠, tem-se ⁠${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$⁠. Expresso em palavras, adicionar ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ primeiro, e depois adicionar o resultado a ${\displaystyle c}$ dá o mesmo resultado final que adicionar ${\displaystyle a}$ à soma de ${\displaystyle b}$ e ⁠${\displaystyle c}$⁠. Esta propriedade é conhecida como associatividade.^[2]
• Se ${\displaystyle a}$ é um inteiro qualquer, então ${\displaystyle 0+a=a}$ e ⁠${\displaystyle a+0=a}$⁠. O zero é chamado de elemento neutro da adição porque adicioná-lo a qualquer inteiro retorna o mesmo inteiro.^[2]
• Para todo inteiro ⁠${\displaystyle a}$⁠, existe um inteiro ${\displaystyle b}$ tal que ${\displaystyle a+b=0}$ e ⁠${\displaystyle b+a=0}$⁠. O inteiro ${\displaystyle b}$ é chamado de elemento inverso (ou oposto) do inteiro ${\displaystyle a}$ e é denotado por ⁠${\displaystyle -a}$⁠.^[2]

Os inteiros, junto com a operação ⁠${\displaystyle +}$⁠, formam um objeto matemático pertencente a uma ampla classe que compartilha aspectos estruturais semelhantes. Para entender adequadamente essas estruturas como um coletivo, a seguinte definição é desenvolvida.

Um grupo é um conjunto ${\displaystyle G}$ junto com uma operação binária em ⁠${\displaystyle G}$⁠, aqui denotada por "⁠${\displaystyle \cdot }$⁠", que combina quaisquer dois elementos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle G}$ para formar um elemento de ⁠${\displaystyle G}$⁠, denotado por ⁠${\displaystyle a\cdot b}$⁠, tal que os três seguintes requisitos, conhecidos como axiomas de grupo, sejam satisfeitos:^[3][4][5][a]

Associatividade

Para todos ⁠${\displaystyle a}$⁠, ⁠${\displaystyle b}$⁠, ⁠${\displaystyle c}$⁠ em ⁠${\displaystyle G}$⁠, tem-se ⁠${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$⁠.

Elemento neutro

Existe um elemento ${\displaystyle e}$ em ${\displaystyle G}$ tal que, para todo ${\displaystyle a}$ em ⁠${\displaystyle G}$⁠, tem-se ⁠${\displaystyle e\cdot a=a}$⁠ e ⁠${\displaystyle a\cdot e=a}$⁠.

Tal elemento ${\displaystyle e}$ é único. Ele é chamado de elemento neutro (ou às vezes elemento identidade) do grupo.

Elemento inverso

Para cada ${\displaystyle a}$ em ⁠${\displaystyle G}$⁠, existe um elemento ${\displaystyle b}$ em ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle a\cdot b=e}$ e ⁠${\displaystyle b\cdot a=e}$⁠, onde ${\displaystyle e}$ é o elemento neutro.

Para cada ⁠${\displaystyle a}$⁠, o elemento ${\displaystyle b}$ é único; ele é chamado de o inverso de ${\displaystyle a}$ e é comumente denotado por ⁠${\displaystyle a^{-1}}$⁠.

Nota: A unicidade do elemento neutro e a unicidade dos elementos inversos não fazem parte dos axiomas; elas são consequências dos três axiomas.

Formalmente, um grupo é um par ordenado de um conjunto e uma operação binária neste conjunto que satisfaz os axiomas de grupo. O conjunto é chamado de conjunto subjacente do grupo, e a operação é chamada de operação de grupo ou lei de grupo.

Um grupo e seu conjunto subjacente são, portanto, dois objetos matemáticos diferentes. Para evitar uma notação pesada, é comum cometer um abuso de notação usando o mesmo símbolo para denotar ambos. Isso também reflete uma forma informal de pensar: de que o grupo é o mesmo que o conjunto, exceto por ter sido enriquecido por uma estrutura adicional fornecida pela operação.

Por exemplo, considere o conjunto dos números reais ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠, que possui as operações de adição ${\displaystyle a+b}$ e multiplicação ⁠${\displaystyle ab}$⁠. Formalmente, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é um conjunto, ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ é um grupo, e ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$ é um corpo. Mas é comum escrever ${\displaystyle \mathbb {R} }$ para denotar qualquer um desses três objetos.

O grupo aditivo do corpo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é o grupo cujo conjunto subjacente é ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e cuja operação é a adição. O grupo multiplicativo do corpo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é o grupo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ cujo conjunto subjacente é o conjunto dos números reais não nulos ${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$ e cuja operação é a multiplicação.

De modo mais geral, fala-se de um grupo aditivo sempre que a operação do grupo é notada como adição; neste caso, a identidade é tipicamente denotada por ⁠${\displaystyle 0}$⁠, e o inverso de um elemento ${\displaystyle x}$ é denotado por ⁠${\displaystyle -x}$⁠. Semelhantemente, fala-se de um grupo multiplicativo sempre que a operação do grupo é notada como multiplicação; neste caso, a identidade é tipicamente denotada por ⁠${\displaystyle 1}$⁠, e o inverso de um elemento ${\displaystyle x}$ é denotado por ⁠${\displaystyle x^{-1}}$⁠. Em um grupo multiplicativo, o símbolo da operação é frequentemente omitido por completo, de modo que a operação é denotada por justaposição, ${\displaystyle ab}$ em vez de ⁠${\displaystyle a\cdot b}$⁠.

A definição de um grupo não exige que ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ para todos os elementos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ em ⁠${\displaystyle G}$⁠. Se essa condição adicional for válida, então a operação é dita ser comutativa, e o grupo é chamado de grupo abeliano. É uma convenção comum que, para um grupo abeliano, pode-se usar tanto a notação aditiva quanto a multiplicativa, mas para um grupo não abeliano utiliza-se apenas a notação multiplicativa.

Várias outras notações são comumente usadas para grupos cujos elementos não são números. Para um grupo cujos elementos são funções, a operação é frequentemente a composição de funções ⁠${\displaystyle f\circ g}$⁠; então o elemento neutro pode ser denotado por id. Nos casos mais específicos de grupos de transformações geométricas, grupos de simetria, grupos de permutações e grupos de automorfismos, o símbolo ${\displaystyle \circ }$ é frequentemente omitido, assim como para grupos multiplicativos. Muitas outras variantes de notação podem ser encontradas.

Os elementos do grupo de simetria do quadrado, ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$⁠. Os vértices são identificados por cor ou número.

${\displaystyle \mathrm {id} }$ (mantê-lo como está)

${\displaystyle r_{1}}$ (rotação de 90° no sentido horário)

${\displaystyle r_{2}}$ (rotação de 180°)

${\displaystyle r_{3}}$ (rotação de 270° no sentido horário)

${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ (reflexão vertical)

${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ (reflexão horizontal)

${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ (reflexão diagonal)

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ (reflexão contra-diagonal)

Duas figuras no plano são congruentes se uma pode ser transformada na outra usando uma combinação de rotações, reflexões e translações. Qualquer figura é congruente a si mesma. No entanto, algumas figuras são congruentes a si mesmas de mais de uma maneira, e essas congruências extras são chamadas de simetrias. Um quadrado tem oito simetrias. Elas são:^[6]

• a operação identidade que deixa tudo inalterado, denotada por ${\displaystyle \operatorname {id} }$;
• rotações do quadrado em torno de seu centro em 90°, 180° e 270° no sentido horário, denotadas por ⁠${\displaystyle r_{1}}$⁠, ${\displaystyle r_{2}}$ e ⁠${\displaystyle r_{3}}$⁠, respectivamente;
• reflexões em torno da linha média horizontal e vertical (⁠${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$⁠ e ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$⁠), ou através das duas diagonais (⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$⁠ e ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$⁠).

Essas simetrias são funções. Cada uma envia um ponto no quadrado para o ponto correspondente sob a simetria. Por exemplo, ${\displaystyle r_{1}}$ envia um ponto para sua rotação de 90° no sentido horário em torno do centro do quadrado, e ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ envia um ponto para sua reflexão através da linha média vertical do quadrado. Compor duas dessas simetrias dá outra simetria. Essas simetrias determinam um grupo chamado de grupo diedral de grau quatro, denotado por ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$⁠. O conjunto subjacente do grupo é o conjunto de simetrias acima, e a operação do grupo é a composição de funções. Duas simetrias são combinadas compondo-as como funções, isto é, aplicando a primeira ao quadrado e a segunda ao resultado da primeira aplicação. O resultado de realizar primeiro ${\displaystyle a}$ e depois ${\displaystyle b}$ é escrito simbolicamente da direita para a esquerda como ${\displaystyle b\circ a}$ ("aplicar a simetria ${\displaystyle b}$ depois de realizar a simetria ⁠${\displaystyle a}$⁠"). Esta é a notação usual para a composição de funções.^[7]

Uma tabela de Cayley lista os resultados de todas essas composições possíveis. Por exemplo, rotacionar 270° no sentido horário (⁠${\displaystyle r_{3}}$⁠) e depois refletir horizontalmente (⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$⁠) é o mesmo que realizar uma reflexão ao longo da diagonal (⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$⁠). Usando os símbolos acima, destacados em azul na tabela de Cayley: $${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

Tabela de Cayley de ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

${\displaystyle \circ }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$
${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$
${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$
${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$
${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$
${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$	${\displaystyle r_{2}}$
${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle r_{1}}$	${\displaystyle r_{3}}$	${\displaystyle r_{2}}$	${\displaystyle \mathrm {id} }$
Os elementos ⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$⁠, ⁠${\displaystyle r_{1}}$⁠, ⁠${\displaystyle r_{2}}$⁠ e ⁠${\displaystyle r_{3}}$⁠ formam um subgrupo cuja tabela de Cayley é destacada em      vermelho (região superior esquerda). Uma classe lateral à esquerda e à direita deste subgrupo são destacadas em      verde (na última linha) e      amarelo (última coluna), respectivamente. O resultado da composição ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}}$⁠, a simetria ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$⁠, é destacado em      azul (abaixo do centro da tabela).

Dado este conjunto de simetrias e a operação descrita, os axiomas de grupo podem ser entendidos da seguinte forma:

• Operação binária: A composição é uma operação binária. Isto é, ${\displaystyle a\circ b}$ é uma simetria para quaisquer duas simetrias ${\displaystyle a}$ e ⁠${\displaystyle b}$⁠. Por exemplo, $${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} }.}$$ Ou seja, rotacionar 270° no sentido horário após refletir horizontalmente é igual a refletir ao longo da contra-diagonal (⁠${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$⁠). De fato, todas as outras combinações de duas simetrias ainda dão uma simetria, como pode ser verificado usando a tabela de Cayley.
• Associatividade: O axioma de associatividade lida com a composição de mais de duas simetrias: Começando com três elementos ⁠${\displaystyle a}$⁠, ⁠${\displaystyle b}$⁠ e ⁠${\displaystyle c}$⁠ de ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$⁠, existem duas maneiras possíveis de usar essas três simetrias nesta ordem para determinar uma simetria do quadrado. Uma dessas maneiras é primeiro compor ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ em uma única simetria, e depois compor essa simetria com ⁠${\displaystyle c}$⁠. A outra maneira é primeiro compor ${\displaystyle b}$ e ⁠${\displaystyle c}$⁠, e depois compor a simetria resultante com ⁠${\displaystyle a}$⁠. Essas duas maneiras devem sempre dar o mesmo resultado, isto é, $${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c).}$$ Por exemplo, ${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$ pode ser verificado usando a tabela de Cayley: $${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$$
• Elemento neutro: O elemento neutro é ⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$⁠, pois ele não altera nenhuma simetria ${\displaystyle a}$ quando composto com ela, seja à esquerda ou à direita.
• Elemento inverso: Cada simetria tem um inverso: ⁠${\displaystyle \mathrm {id} }$⁠, as reflexões ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$⁠, ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$⁠, ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$⁠, ⁠${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$⁠ e a rotação de 180° ${\displaystyle r_{2}}$ são seus próprios inversos, porque realizá-los duas vezes traz o quadrado de volta à sua orientação original. As rotações ${\displaystyle r_{3}}$ e ${\displaystyle r_{1}}$ são inversos uma da outra, porque rotacionar 90° e depois rotacionar 270° (ou vice-versa) resulta em uma rotação de 360° que deixa o quadrado inalterado. Isso é facilmente verificado na tabela.

Em contraste com o grupo de inteiros acima, onde a ordem da operação é imaterial, ela importa em ⁠${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$⁠, pois, por exemplo, ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$, mas ⁠${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$⁠. Em outras palavras, ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ não é abeliano.

Os axiomas de grupo implicam que o elemento neutro é único; isto é, existe apenas um elemento neutro: quaisquer dois elementos neutros ${\displaystyle e}$ e ${\displaystyle f}$ de um grupo são iguais, porque os axiomas de grupo implicam ⁠${\displaystyle e=e\cdot f=f}$⁠. É, portanto, costume falar de o elemento neutro do grupo.^[10]

Os axiomas de grupo também implicam que o inverso de cada elemento é único. Suponha que um elemento do grupo ${\displaystyle a}$ tenha tanto ${\displaystyle b}$ quanto ${\displaystyle c}$ como inversos. Então

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ é o elemento neutro)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ e }}a{\text{ são inversos um do outro)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associatividade)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ é um inverso de }}a{\text{)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ é o elemento neutro e }}b=c{\text{)}}\end{aligned}}}$

Portanto, é costume falar de o inverso de um elemento.^[10]

Dados os elementos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ de um grupo ${\displaystyle G}$, existe uma solução única ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle G}$ para a equação ${\displaystyle a\cdot x=b}$, a saber, ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$.^[b][11] Segue-se que, para cada ${\displaystyle a}$ em ${\displaystyle G}$, a função ${\displaystyle G\to G}$ que mapeia cada ${\displaystyle x}$ para ${\displaystyle a\cdot x}$ é uma bijeção; ela é chamada de multiplicação à esquerda por ${\displaystyle a}$ ou translação à esquerda por ${\displaystyle a}$.

Semelhantemente, dados ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ em ${\displaystyle G}$, a única solução ${\displaystyle x}$ para ${\displaystyle x\cdot a=b}$ é ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$. Para cada ${\displaystyle a}$, a função ${\displaystyle G\to G}$ que mapeia cada ${\displaystyle x}$ para ${\displaystyle x\cdot a}$ é uma bijeção chamada de multiplicação à direita por ${\displaystyle a}$ ou translação à direita por ${\displaystyle a}$.

Os axiomas de grupo para o elemento neutro e os inversos podem ser "enfraquecidos" para afirmar apenas a existência de um elemento neutro à esquerda e de inversos à esquerda. A partir desses axiomas unilaterais, pode-se provar que o elemento neutro à esquerda também é um elemento neutro à direita e que um inverso à esquerda também é um inverso à direita para o mesmo elemento. Como eles definem exatamente as mesmas estruturas que os grupos, coletivamente os axiomas não são mais fracos.^[12]

Em particular, assumindo a associatividade e a existência de um elemento neutro à esquerda ${\displaystyle e}$ (isto é, ⁠${\displaystyle e\cdot f=f}$⁠) e um inverso à esquerda ${\displaystyle f^{-1}}$ para cada elemento ${\displaystyle f}$ (isto é, ⁠${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$⁠), segue-se que todo inverso à esquerda também é um inverso à direita do mesmo elemento da seguinte forma.^[12] De fato, tem-se

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(elemento neutro à esquerda)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(inverso à esquerda)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associatividade)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(inverso à esquerda)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(elemento neutro à esquerda)}}\\&=e&&{\text{(inverso à esquerda)}}\end{aligned}}}$

Semelhantemente, o elemento neutro à esquerda também é um elemento neutro à direita:^[12]

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(inverso à esquerda)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associatividade)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(inverso à direita)}}\\&=f&&{\text{(elemento neutro à esquerda)}}\end{aligned}}}$

Esses resultados não se mantêm se qualquer um desses axiomas (associatividade, existência de elemento neutro à esquerda e existência de inverso à esquerda) for removido. Para uma estrutura com uma definição mais solta (como um semigrupo), pode-se ter, por exemplo, que um elemento neutro à esquerda não é necessariamente um elemento neutro à direita.

O mesmo resultado pode ser obtido assumindo-se apenas a existência de um elemento neutro à direita e um inverso à direita.

No entanto, assumir apenas a existência de um elemento neutro à esquerda e de um inverso à direita (ou vice-versa) não é suficiente para definir um grupo. Por exemplo, considere o conjunto ${\displaystyle G=\{e,f\}}$ com o operador ${\displaystyle \,\!\cdot }$satisfazendo ${\displaystyle e\cdot e=f\cdot e=e}$ e ⁠${\displaystyle e\cdot f=f\cdot f=f}$⁠. Esta estrutura possui um elemento neutro à esquerda (a saber, ⁠${\displaystyle e}$⁠), e cada elemento possui um inverso à direita (que é ${\displaystyle e}$ para ambos os elementos). Além disso, esta operação é associativa (já que o produto de qualquer número de elementos é sempre igual ao elemento mais à direita nesse produto, independentemente da ordem em que essas operações são aplicadas). No entanto, ${\displaystyle (G,\cdot )}$ não é um grupo, pois carece de um elemento neutro à direita.

Muitos sistemas numéricos, como os inteiros e os racionais, desfrutam de uma estrutura de grupo dada naturalmente. Em alguns casos, como com os racionais, tanto as operações de adição quanto de multiplicação dão origem a estruturas de grupo. Tais sistemas numéricos são predecessores de estruturas algébricas mais gerais conhecidas como anéis e corpos. Outros conceitos algébricos abstratos, como módulos, espaços vetoriais e álgebras também formam grupos.

Ver artigo principal: Aritmética modular

A aritmética modular para um módulo ${\displaystyle n}$ define quaisquer dois elementos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ que diferem por um múltiplo de ${\displaystyle n}$ como sendo equivalentes, denotado por ⁠${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$⁠. Todo inteiro é equivalente a um dos inteiros de ${\displaystyle 0}$ a ⁠${\displaystyle n-1}$⁠, e as operações da aritmética modular modificam a aritmética normal substituindo o resultado de qualquer operação por seu representante equivalente. A adição modular, definida dessa maneira para os inteiros de ${\displaystyle 0}$ a ⁠${\displaystyle n-1}$⁠, forma um grupo, denotado como ${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$ ou ⁠${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$⁠, com ${\displaystyle 0}$ como o elemento neutro e ${\displaystyle n-a}$ como o elemento inverso de ⁠${\displaystyle a}$⁠.

Um exemplo familiar é a adição de horas no mostrador de um relógio de 12 horas, onde o 12, em vez do 0, é escolhido como o representante da identidade. Se o ponteiro das horas estiver no ${\displaystyle 9}$ e for avançado em ${\displaystyle 4}$ horas, ele terminará no ⁠${\displaystyle 1}$⁠, conforme mostrado na ilustração. Isso é expresso dizendo que ${\displaystyle 9+4}$ é congruente a ${\displaystyle 1}$ "módulo ⁠${\displaystyle 12}$⁠" ou, em símbolos, $${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

Para qualquer número primo ⁠${\displaystyle p}$⁠, existe também o grupo multiplicativo de inteiros módulo ⁠${\displaystyle p}$⁠.^[17] Seus elementos podem ser representados de ${\displaystyle 1}$ a ⁠${\displaystyle p-1}$⁠. A operação do grupo, a multiplicação módulo ⁠${\displaystyle p}$⁠, substitui o produto usual por seu representante, o resto da divisão por ⁠${\displaystyle p}$⁠. Por exemplo, para ⁠${\displaystyle p=5}$⁠, os quatro elementos do grupo podem ser representados por ⁠${\displaystyle 1,2,3,4}$⁠. Neste grupo, ⁠${\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\pmod {5}}}$⁠, porque o produto usual ${\displaystyle 16}$ é equivalente a ⁠${\displaystyle 1}$⁠: quando dividido por ${\displaystyle 5}$, resulta em um resto igual a ⁠${\displaystyle 1}$⁠. A primalidade de ${\displaystyle p}$ garante que o produto usual de dois representantes não é divisível por ⁠${\displaystyle p}$⁠, e, portanto, que o produto modular é não nulo.^[i] O elemento neutro é representado por ⁠${\displaystyle 1}$⁠, e a associatividade segue da propriedade correspondente dos inteiros. Por fim, o axioma do elemento inverso exige que, dado um inteiro ${\displaystyle a}$ não divisível por ⁠${\displaystyle p}$⁠, exista um inteiro ${\displaystyle b}$ tal que $${\displaystyle a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},}$$ ou seja, tal que ${\displaystyle p}$ divida ⁠${\displaystyle a\cdot b-1}$⁠ de forma exata. O inverso ${\displaystyle b}$ pode ser encontrado usando a Identidade de Bézout e o fato de que o máximo divisor comum ${\displaystyle \gcd(a,p)}$ é igual a ⁠${\displaystyle 1}$⁠.^[18] No caso de ${\displaystyle p=5}$ acima, o inverso do elemento representado por ${\displaystyle 4}$ é aquele representado por ⁠${\displaystyle 4}$⁠, e o inverso do elemento representado por ${\displaystyle 3}$ é representado por ⁠${\displaystyle 2}$⁠, pois ⁠${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\pmod {5}}}$⁠. Portanto, todos os axiomas de grupo são cumpridos. Este exemplo é semelhante a ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$ acima: ele consiste exatamente naqueles elementos do anel ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ que possuem um inverso multiplicativo.^[19] Estes grupos, denotados por ⁠${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$⁠, são cruciais para a criptografia de chave pública.^[j]

Ver artigo principal: Grupo cíclico

Um grupo cíclico é um grupo no qual todos os seus elementos são potências de um elemento específico ⁠${\displaystyle a}$⁠.^[20] Na notação multiplicativa, os elementos do grupo são $${\displaystyle \dots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots ,}$$ onde ${\displaystyle a^{2}}$ significa ⁠${\displaystyle a\cdot a}$⁠, ${\displaystyle a^{-3}}$ representa ⁠${\displaystyle a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}}$⁠, etc.^[k] Tal elemento ${\displaystyle a}$ é chamado de gerador ou elemento primitivo do grupo. Na notação aditiva, a exigência para que um elemento seja primitivo é que cada elemento do grupo possa ser escrito como $${\displaystyle \dots ,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots .}$$

Nos grupos ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ introduzidos acima, o elemento ${\displaystyle 1}$ é primitivo, de modo que esses grupos são cíclicos. De fato, cada elemento é expressível como uma soma onde todos os termos são ⁠${\displaystyle 1}$⁠. Qualquer grupo cíclico com ${\displaystyle n}$ elementos é isomorfo a este grupo. Um segundo exemplo de grupos cíclicos é o grupo das ${\displaystyle n}$-ésimas raízes complexas da unidade, dado por números complexos ${\displaystyle z}$ que satisfazem ⁠${\displaystyle z^{n}=1}$⁠. Esses números podem ser visualizados como os vértices de um polígono regular de ${\displaystyle n}$ lados, como mostrado em azul na imagem para ⁠${\displaystyle n=6}$⁠. A operação do grupo é a multiplicação de números complexos. Na imagem, multiplicar por ${\displaystyle z}$ corresponde a uma rotação no sentido anti-horário de 60°.^[21] Da teoria dos corpos, o grupo ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ é cíclico para o primo ${\displaystyle p}$: por exemplo, se ⁠${\displaystyle p=5}$⁠, o ${\displaystyle 3}$ é um gerador pois ⁠${\displaystyle 3^{1}=3}$⁠, ⁠${\displaystyle 3^{2}=9\equiv 4}$⁠, ⁠${\displaystyle 3^{3}\equiv 2}$⁠ e ⁠${\displaystyle 3^{4}\equiv 1}$⁠.

Alguns grupos cíclicos possuem um número infinito de elementos. Nesses grupos, para cada elemento não nulo ⁠${\displaystyle a}$⁠, todas as potências de ${\displaystyle a}$ são distintas; apesar do nome "grupo cíclico", as potências dos elementos não entram em ciclo. Um grupo cíclico infinito é isomorfo a ⁠${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$⁠, o grupo dos inteiros sob a adição introduzido acima.^[22] Como esses dois protótipos são ambos abelianos, o mesmo ocorre com todos os grupos cíclicos.

O estudo de grupos abelianos finitamente gerados é bastante maduro, incluindo o teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados; e refletindo este estado de coisas, muitas noções relacionadas a grupos, como o centro e o comutador, descrevem até que ponto um determinado grupo não é abeliano.^[23]

Ver artigo principal: Grupo de simetria

Grupos de simetria são grupos consistindo em simetrias de objetos matemáticos dados, principalmente entidades geométricas, como o grupo de simetria do quadrado fornecido como exemplo introdutório acima, embora eles também surjam na álgebra, como as simetrias entre as raízes de equações polinomiais tratadas na teoria de Galois (veja abaixo).^[25] Conceitualmente, a teoria dos grupos pode ser pensada como o estudo da simetria.^[l] As simetrias na matemática simplificam muito o estudo de objetos geométricos ou analíticos. Diz-se que um grupo atua em outro objeto matemático ⁠${\displaystyle X}$⁠ se cada elemento do grupo puder ser associado a alguma operação em ⁠${\displaystyle X}$⁠ e a composição dessas operações seguir a lei do grupo. Por exemplo, um elemento do grupo de triângulo (2,3,7) atua sobre um ladrilhamento triangular do plano hiperbólico permutando os triângulos.^[24] Por meio de uma ação de grupo, o padrão do grupo é conectado à estrutura do objeto no qual atua.

Na química, os grupos pontuais descrevem as simetrias moleculares, enquanto os grupos espaciais descrevem as simetrias de cristais na cristalografia. Essas simetrias estão na base do comportamento químico e físico desses sistemas, e a teoria dos grupos permite a simplificação da análise mecânica quântica dessas propriedades.^[26] Por exemplo, a teoria dos grupos é usada para mostrar que as transições ópticas entre certos níveis quânticos não podem ocorrer simplesmente por causa da simetria dos estados envolvidos.^[27]

A teoria dos grupos ajuda a prever as mudanças nas propriedades físicas que ocorrem quando um material passa por uma transição de fase, por exemplo, de uma forma cristalina cúbica para uma tetraédrica. Um exemplo são os materiais ferroelétricos, onde a mudança de um estado paraelétrico para um estado ferroelétrico ocorre na temperatura de Curie e está relacionada a uma mudança do estado paraelétrico de alta simetria para o estado ferroelétrico de menor simetria, acompanhada por um chamado modo de fônon mole, um modo vibracional de rede que vai a frequência zero na transição.^[28]

Tal quebra espontânea de simetria encontrou aplicação adicional na física de partículas elementares, onde sua ocorrência está relacionada ao surgimento de bósons de Goldstone.^[29]

O Buckminsterfulereno exibePredefinição:Brsimetria icosaédrica[30]	Amônia, NH3. Seu grupo de simetria é de ordem 6, gerado por uma rotação de 120° e uma reflexão.[31]	O cubano C8H8 apresentaPredefinição:Br simetria octaédrica.[32]	O íon tetracloroplatinato(II), [PtCl4]2−, exibe geometria plano-quadrada

Grupos de simetria finitos, como os grupos de Mathieu, são usados na teoria da codificação, que por sua vez é aplicada na correção de erros (forward error correction) de dados transmitidos e em reprodutores de CD.^[33] Outra aplicação é a teoria de Galois diferencial, que caracteriza funções que possuem antiderivadas de uma forma prescrita, dando critérios da teoria dos grupos para quando as soluções de certas equações diferenciais são bem comportadas.^[m] Propriedades geométricas que permanecem estáveis sob ações de grupo são investigadas na teoria dos invariantes (geométrica).^[34]

Ver artigos principais: Grupo linear geral, Teoria da representação, e Teoria dos caracteres

Grupos de matrizes consistem em matrizes juntamente com a multiplicação de matrizes. O grupo linear geral ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ consiste em todas as matrizes ⁠${\displaystyle n}$⁠-por-⁠${\displaystyle n}$⁠ invertíveis com entradas reais.^[35] Seus subgrupos são chamados de grupos de matrizes ou grupos lineares. O exemplo do grupo diedral mencionado acima pode ser visto como um (muito pequeno) grupo de matrizes. Outro importante grupo de matrizes é o grupo ortogonal especial ⁠${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$⁠. Ele descreve todas as rotações possíveis em ${\displaystyle n}$ dimensões. As matrizes de rotação neste grupo são usadas na computação gráfica.^[36]

A teoria da representação é tanto uma aplicação do conceito de grupo quanto importante para uma compreensão mais profunda dos grupos.^[37][38] Ela estuda o grupo por suas ações de grupo em outros espaços. Uma ampla classe de representações de grupos são as representações lineares nas quais o grupo atua em um espaço vetorial, como o espaço euclidiano tridimensional ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$⁠. Uma representação de um grupo ${\displaystyle G}$ em um espaço vetorial real de ${\displaystyle n}$ dimensões é simplesmente um homomorfismo de grupos ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ do grupo para o grupo linear geral. Desta forma, a operação do grupo, que pode ser dada de forma abstrata, se traduz na multiplicação de matrizes tornando-a acessível a cálculos explícitos.^[n]

Uma ação de grupo fornece meios adicionais para estudar o objeto no qual se atua.^[o] Por outro lado, isso também produz informações sobre o grupo. As representações de grupos são um princípio organizador na teoria dos grupos finitos, grupos de Lie, grupos algébricos e grupos topológicos, especialmente os grupos compactos (localmente).^[37][39]

Ver artigo principal: Grupo de Galois

Os grupos de Galois foram desenvolvidos para ajudar a resolver equações polinomiais, capturando suas características de simetria.^[40][41] Por exemplo, as soluções da equação quadrática ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ são dadas por $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$ Cada solução pode ser obtida substituindo o sinal ${\displaystyle \pm }$ por ${\displaystyle +}$ ou ⁠${\displaystyle -}$⁠; fórmulas análogas são conhecidas para equações cúbicas e quárticas, mas não existem em geral para o grau 5 e superiores.^[42] Na fórmula quadrática, a mudança de sinal (permutando as duas soluções resultantes) pode ser vista como uma operação de grupo (muito simples). Grupos de Galois análogos atuam sobre as soluções de equações polinomiais de grau superior e estão intimamente relacionados à existência de fórmulas para sua resolução. Propriedades abstratas desses grupos (em particular sua solubilidade) fornecem um critério para a capacidade de expressar as soluções desses polinômios usando apenas adição, multiplicação e raízes, semelhante à fórmula acima.^[43]

A teoria de Galois moderna generaliza o tipo de grupos de Galois acima, mudando para a teoria de corpos e considerando as extensões de corpos formadas como o corpo de decomposição de um polinômio. Esta teoria estabelece — por meio do teorema fundamental da teoria de Galois — uma relação precisa entre corpos e grupos, sublinhando mais uma vez a onipresença dos grupos na matemática.^[44]

Ver artigo principal: Homomorfismo de grupos

Homomorfismos de grupos^[q] são funções que preservam a estrutura do grupo; eles podem ser usados para relacionar dois grupos. Um homomorfismo de um grupo ${\displaystyle (G,\cdot )}$ para um grupo ${\displaystyle (H,*)}$ é uma função ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ tal que

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$ para todos os elementos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ em ⁠${\displaystyle G}$⁠.

Seria natural exigir também que ${\displaystyle \varphi }$ preserve os elementos neutros, ⁠${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$⁠, e os inversos, ${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$ para todo ${\displaystyle a}$ em ⁠${\displaystyle G}$⁠. No entanto, esses requisitos adicionais não precisam ser incluídos na definição de homomorfismos, porque já estão implícitos na exigência de preservar a operação do grupo.^[45]

O homomorfismo identidade de um grupo ${\displaystyle G}$ é o homomorfismo ${\displaystyle \iota _{G}:G\to G}$ que mapeia cada elemento de ${\displaystyle G}$ em si mesmo. Um homomorfismo inverso de um homomorfismo ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ é um homomorfismo ${\displaystyle \psi :H\to G}$ tal que ${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$ e ⁠${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$⁠, isto é, tal que ${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$ para todo ${\displaystyle g}$ em ${\displaystyle G}$ e tal que ${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$ para todo ${\displaystyle h}$ em ⁠${\displaystyle H}$⁠. Um isomorfismo é um homomorfismo que possui um homomorfismo inverso; equivalentemente, é um homomorfismo bijetivo. Grupos ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$ são chamados de isomorfos se existe um isomorfismo ⁠${\displaystyle \varphi :G\to H}$⁠. Neste caso, ${\displaystyle H}$ pode ser obtido de ${\displaystyle G}$ simplesmente renomeando seus elementos de acordo com a função ⁠${\displaystyle \varphi }$⁠; então, qualquer afirmação verdadeira para ${\displaystyle G}$ é verdadeira para ⁠${\displaystyle H}$⁠, desde que quaisquer elementos específicos mencionados na afirmação também sejam renomeados.

A coleção de todos os grupos, juntamente com os homomorfismos entre eles, forma uma categoria, a categoria de grupos.^[46]

Um homomorfismo injetivo ${\displaystyle \phi :G'\to G}$ fatora-se canonicamente como um isomorfismo seguido de uma inclusão, ${\displaystyle G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G}$ para algum subgrupo ⁠${\displaystyle H}$⁠ de ⁠${\displaystyle G}$⁠. Homomorfismos injetivos são os monomorfismos na categoria de grupos.

Ver artigo principal: Subgrupo

Informalmente, um subgrupo é um grupo ${\displaystyle H}$ contido em um grupo maior, ⁠${\displaystyle G}$⁠: ele possui um subconjunto dos elementos de ⁠${\displaystyle G}$⁠, com a mesma operação.^[47] Concretamente, isso significa que o elemento neutro de ${\displaystyle G}$ deve estar contido em ⁠${\displaystyle H}$⁠, e sempre que ${\displaystyle h_{1}}$ e ${\displaystyle h_{2}}$ estiverem ambos em ⁠${\displaystyle H}$⁠, então ${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$ e ⁠${\displaystyle h_{1}^{-1}}$⁠ também estarão, de modo que os elementos de ⁠${\displaystyle H}$⁠, equipados com a operação de grupo de ${\displaystyle G}$ restrita a ⁠${\displaystyle H}$⁠, de fato formam um grupo. Neste caso, o mapa de inclusão ${\displaystyle H\to G}$ é um homomorfismo.