Teorema de Lagrange (teoria dos grupos)

O Teorema de Lagrange, aplicado na teoria dos grupos, é um teorema que diz que se ${\displaystyle G}$ é um grupo finito e ${\displaystyle H}$ é subgrupo de ${\displaystyle G}$ então a ordem (quantidade de elementos) de ${\displaystyle H}$ divide a ordem de ${\displaystyle G.}$ Provemos um resultado antes de partir para a demonstração do Teorema de Lagrange.

Teorema 0.1

Se ${\displaystyle \star }$ é uma relação de equivalência em ${\displaystyle S}$ então ${\displaystyle S=\bigcup [a],}$ onde tal união é sobre um elemento de cada classe e onde ${\displaystyle [a]\neq [b]}$ implica ${\displaystyle [a]\cap [b]=\emptyset .}$ Ou seja, ${\displaystyle \star }$ particiona ${\displaystyle S}$ em classes de equivalência.

Demonstração Seja ${\displaystyle a\in S.}$ Note que ${\displaystyle a\in [a].}$ Portanto, é claro que ${\displaystyle S={\underset {a\in S}{\bigcup }}[a].}$

Suponhamos que ${\displaystyle [a]\cap [b]\neq \emptyset }$ e provemos que ${\displaystyle [a]=[b].}$

Seja ${\displaystyle c\in [a]\cap [b].}$

Então ${\displaystyle c\star a}$ e ${\displaystyle c\star b.}$

Por um lado ${\displaystyle {\begin{cases}c\star a\Leftrightarrow a\star c\\c\star b\end{cases}}\Rightarrow a\star b\Rightarrow a\in [b]}$

Por outro ${\displaystyle {\begin{cases}c\star a\\c\star b\Leftrightarrow b\star c\end{cases}}\Rightarrow b\star a\Rightarrow b\in [a].}$

Seja ${\displaystyle x\in [a].}$

Então ${\displaystyle x\star a.}$

Mas ${\displaystyle a\star b,}$ logo ${\displaystyle x\star b}$ e assim ${\displaystyle x\in [b].}$

Portanto ${\displaystyle [a]\subset [b].}$ Seja ${\displaystyle y\in [b].}$

Então ${\displaystyle y\star b.}$ Mas ${\displaystyle b\star a,}$ logo ${\displaystyle y\star a}$ e assim ${\displaystyle y\in [a].}$

Portanto ${\displaystyle [b]\subset [a].}$

E, dessa forma, ${\displaystyle [a]=[b].}$ ${\displaystyle \Box }$

Seja ${\displaystyle \star }$ a relação de equivalência definida por ${\displaystyle a\star b}$ se ${\displaystyle ab^{-1}\in H.}$

Temos que ${\displaystyle [a]=Ha=\{ha~|~h\in H\}.}$

Seja ${\displaystyle k}$ o número de classes de distintas de ${\displaystyle G}$ - chamemo-as de ${\displaystyle Ha_{1},\ldots ,Ha_{k}.}$

Pelo Teorema 0.1, ${\displaystyle G=Ha_{1}\cup \ldots \cup Ha_{k}}$ e sabemos que ${\displaystyle Ha_{i}\cap Ha_{j}=\emptyset ,}$ se ${\displaystyle i\neq j.}$

Provemos que qualquer ${\displaystyle Ha_{i}}$ possui ${\displaystyle |H|}$ elementos.

Seja ${\displaystyle \varphi :H\to Ha_{i}}$ uma função tal que ${\displaystyle \varphi (h)=ha_{i},~\forall h\in H}$

Provemos que ${\displaystyle \varphi }$ é bijetora.

Note que ${\displaystyle \varphi }$ é injetora pois ${\displaystyle \varphi (h)=ha_{i}=h'a_{i}=\varphi (h')}$ implica ${\displaystyle h=h'}$ e é sobrejetora pela definição de ${\displaystyle Ha_{i}.}$

Potanto, ${\displaystyle \varphi }$ é bijetora e, assim, ${\displaystyle |Ha_{i}|=|H|.}$

Como ${\displaystyle G=Ha_{1}\cup \ldots \cup Ha_{k}}$ e tais ${\displaystyle Ha_{i}}$ são disjuntos com ${\displaystyle |H|}$ elementos, teremos que ${\displaystyle |G|=k|H|.}$

Portanto, ${\displaystyle |H|}$ divide ${\displaystyle |G|.}$ ${\displaystyle \Box }$