Equação do quinto grau

Existem várias representações paramétricas de quínticas solúveis da forma x⁵ + ax + b = 0, chamada de forma de Bring-Jerrard.

Durante a segunda metade do século XIX, John Stuart Glashan, George Paxton Young e Carl Runge forneceram a seguinte parametrização: uma quíntica irredutível com coeficientes racionais na forma de Bring-Jerrard é solúvel se e somente se a = 0 ou puder ser escrita como

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0}$

onde μ e ν são racionais.

Em 1994, Blair Spearman e Kenneth S. Williams forneceram uma alternativa,

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.}$

A relação entre as parametrizações de 1885 e 1994 pode ser vista definindo a expressão

${\displaystyle b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)}$

onde ⁠${\displaystyle a=5{\tfrac {4\nu +3}{\nu ^{2}+1}}}$⁠. O uso do caso negativo da raiz quadrada produz, após o escalonamento das variáveis, a primeira parametrização, enquanto o caso positivo fornece a segunda.

A substituição ⁠${\displaystyle c=-{\tfrac {m}{\ell ^{5}}},}$⁠ ⁠${\displaystyle e={\tfrac {1}{\ell }}}$⁠ na parametrização de Spearman-Williams permite não excluir o caso especial a = 0, produzindo o seguinte resultado:

Se a e b são números racionais, a equação x⁵ + ax + b = 0 é solúvel por radicais se o seu lado esquerdo for um produto de polinômios de grau inferior a 5 com coeficientes racionais ou existirem dois números racionais ℓ e m tais que

${\displaystyle a={\frac {5\ell (3\ell ^{5}-4m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}\qquad b={\frac {4(11\ell ^{5}+2m)}{m^{2}+\ell ^{10}}}.}$

Uma equação polinomial é solúvel por radicais se o seu grupo de Galois for um grupo solúvel. No caso de quínticas irredutíveis, o grupo de Galois é um subgrupo do grupo simétrico S₅ de todas as permutações de um conjunto de cinco elementos, que é solúvel se e somente se for um subgrupo do grupo F₅, de ordem 20, gerado pelas permutações cíclicas (1 2 3 4 5) e (1 2 4 3).

Se a quíntica é solúvel, uma das soluções pode ser representada por uma expressão algébrica envolvendo uma raiz quinta e, no máximo, duas raízes quadradas, geralmente aninhadas. As outras soluções podem então ser obtidas seja alterando a raiz quinta ou multiplicando todas as ocorrências da raiz quinta pela mesma potência de uma raiz quinta primitiva da unidade, tal como

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.}$

De fato, todas as quatro raízes quintas primitivas da unidade podem ser obtidas alterando apropriadamente os sinais das raízes quadradas; a saber, a expressão

${\displaystyle {\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},}$

onde ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \{-1,1\}}$, produz as quatro distintas raízes quintas primitivas da unidade.

Segue que pode-se precisar de quatro raízes quadradas diferentes para escrever todas as raízes de uma quíntica solúvel. Mesmo para a primeira raiz que envolve no máximo duas raízes quadradas, a expressão das soluções em termos de radicais é geralmente muito complicada. No entanto, quando não é necessária nenhuma raiz quadrada, a forma da primeira solução pode ser bastante simples, como na equação x⁵ − 5x⁴ + 30x³ − 50x² + 55x − 21 = 0, para a qual a única solução real é

${\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.}$

Um exemplo de uma solução mais complicada (embora pequena o suficiente para ser escrita aqui) é a única raiz real de x⁵ − 5x + 12 = 0. Seja a = √2φ⁻¹, b = √2φ e c = ⁴√5, onde φ = ⁠1+√5/2⁠ é a proporção áurea. Então a única solução real x = −1,84208... é dada por

${\displaystyle -cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,}$

ou, de forma equivalente, por

${\displaystyle x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,}$

onde os y_i são as quatro raízes da equação quártica

${\displaystyle y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.}$

De modo mais geral, se uma equação P(x) = 0 de grau primo p com coeficientes racionais for solúvel em radicais, então pode-se definir uma equação auxiliar Q(y) = 0 de grau p − 1, também com coeficientes racionais, de tal forma que cada raiz de P seja a soma das raízes de índice p das raízes de Q. Estas raízes de índice p foram introduzidas por Joseph-Louis Lagrange, e seus produtos por p são comumente chamados de resolventes de Lagrange. O cálculo de Q e de suas raízes pode ser usado para resolver P(x) = 0. Contudo, estas raízes de índice p não podem ser calculadas de forma independente (isto forneceria p^p−1 raízes em vez de p). Assim, uma solução correta necessita expressar todas estas raízes-p em termos de uma delas. A teoria de Galois mostra que isto é sempre teoricamente possível, ainda que a fórmula resultante possa ser extensa demais para ter qualquer uso prático.

É possível que algumas das raízes de Q sejam racionais (como no primeiro exemplo desta seção) ou que algumas sejam zero. Nestes casos, a fórmula para as raízes é muito mais simples, como na quíntica solúvel de de Moivre

${\displaystyle x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,}$

onde a equação auxiliar tem duas raízes nulas e reduz-se, fatorando-as, à equação quadrática

${\displaystyle y^{2}+by-a^{5}=0\,,}$

de tal modo que as cinco raízes da quíntica de de Moivre são dadas por

${\displaystyle x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},}$

onde y_i é qualquer raiz da equação quadrática auxiliar e ω é qualquer uma das quatro raízes quintas primitivas da unidade. Isso pode ser facilmente generalizado para construir uma séptica solúvel e outros graus ímpares, não necessariamente primos.

Existem infinitas quínticas solúveis na forma de Bring-Jerrard que foram parametrizadas numa seção anterior.

A menos de um escalonamento da variável, existem exatamente cinco quínticas solúveis da forma ${\displaystyle x^{5}+ax^{2}+b}$, que são^[6] (onde s é um fator de escala):

${\displaystyle x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}}$

${\displaystyle x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}}$

Paxton Young (1888) forneceu uma série de exemplos de quínticas solúveis:

${\displaystyle x^{5}-10x^{3}-20x^{2}-1505x-7412}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {625}{4}}x+3750}$
${\displaystyle x^{5}-{\frac {22}{5}}x^{3}-{\frac {11}{25}}x^{2}+{\frac {462}{125}}x+{\frac {979}{3125}}}$
${\displaystyle x^{5}+20x^{3}+20x^{2}+30x+10}$	${\displaystyle ~\qquad ~}$ Raiz: ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{2}}-{\sqrt[{5}]{2}}^{2}+{\sqrt[{5}]{2}}^{3}-{\sqrt[{5}]{2}}^{4}}$
${\displaystyle x^{5}-20x^{3}+250x-400}$
${\displaystyle x^{5}-5x^{3}+{\frac {85}{8}}x-{\frac {13}{2}}}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {20}{17}}x+{\frac {21}{17}}}$
${\displaystyle x^{5}-{\frac {4}{13}}x+{\frac {29}{65}}}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {10}{13}}x+{\frac {3}{13}}}$
${\displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+60x^{2}+800x+8320)}$
${\displaystyle x^{5}-20x^{3}-80x^{2}-150x-656}$
${\displaystyle x^{5}-40x^{3}+160x^{2}+1000x-5888}$
${\displaystyle x^{5}-50x^{3}-600x^{2}-2000x-11200}$
${\displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+20x^{2}-360x+800)}$
${\displaystyle x^{5}-20x^{3}+170x+208}$

Uma sequência infinita de quínticas solúveis pode ser construída, cujas raízes são somas de raízes n-ésimas da unidade, sendo n = 10k + 1 um número primo:

${\displaystyle x^{5}+x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+3x+1}$		Raízes: ${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2k\pi }{11}}\right)}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-12x^{3}-21x^{2}+x+5}$		Raiz: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{5}e^{\frac {2i\pi 6^{k}}{31}}}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-16x^{3}+5x^{2}+21x-9}$		Raiz: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{7}e^{\frac {2i\pi 3^{k}}{41}}}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-24x^{3}-17x^{2}+41x-13}$	${\displaystyle ~\qquad ~}$	Raiz: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{11}e^{\frac {2i\pi (21)^{k}}{61}}}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-28x^{3}+37x^{2}+25x+1}$		Raiz: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{13}e^{\frac {2i\pi (23)^{k}}{71}}}$

Há também duas famílias parametrizadas de quínticas solúveis: A quíntica de Kondo-Brumer,

${\displaystyle x^{5}+(a-3)\,x^{4}+(-a+b+3)\,x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)\,x^{2}+b\,x+a=0}$

e a família que depende dos parâmetros ${\displaystyle a,\ell ,m}$

${\displaystyle x^{5}-5\,p\left(2\,x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\right)-p\,c=0}$

onde

${\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,}$

${\displaystyle b=\ell \,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,}$

${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.}$

De forma análoga às equações cúbicas, existem quínticas solúveis que possuem cinco raízes reais em que todas as soluções em radicais envolvem raízes de números complexos. Este é o casus irreducibilis para a quíntica, que é discutido em Dummit.^[7]:p.17 De fato, se uma quíntica irredutível tiver todas as raízes reais, nenhuma raiz poderá ser expressa puramente em termos de radicais reais (como é o caso de todos os graus de polinômios que não são potências de 2).

Uma Transformação de Tschirnhaus, que pode ser calculada resolvendo-se uma equação quártica, reduz a equação quíntica geral da forma

${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,}$

à forma normal de Bring-Jerrard x⁵ − x + t = 0.

As raízes desta equação não podem ser expressas por radicais. Contudo, em 1858, Charles Hermite publicou a primeira solução conhecida desta equação em termos de funções elípticas.^[9] Aproximadamente na mesma época, Francesco Brioschi^[10] e Leopold Kronecker^[11] chegaram a soluções equivalentes.

Veja Radical de Bring para detalhes sobre estas soluções e algumas relacionadas.