Função teta

Na matemática, as funções teta são funções especiais de várias variáveis complexas. Fundamentalmente, elas são uma família de funções contínuas que codificam o comportamento de sistemas periódicos multidimensionais discretos, como redes cristalinas ou pontos em um toro. Por serem suaves, elas permitem o estudo e a manipulação de sistemas combinatórios discretos usando as ferramentas da análise complexa.

Por essa razão, as funções teta têm aplicações úteis em tópicos como:

Teoria dos números ("De quantas maneiras um número pode ser escrito como uma soma de quadrados?")
Física ("Como o calor flui em um anel toroidal?", "Como partículas quânticas se comportam quando arranjadas em uma rede?")
Geometria ("Quais são as propriedades de forma das curvas elípticas?")

e outros, incluindo variedades abelianas, espaços de moduli, formas quadráticas e sólitons.

Funções teta em duas dimensões são funções de dois argumentos complexos. Em uma escolha de parâmetro, por exemplo, z codifica a posição em uma rede bidimensional, e τ ou q codifica a forma da rede. Em dimensões superiores, a forma da rede é ditada por uma matriz; em geral, as funções teta são parametrizadas por pontos em um domínio tubular dentro de um Grassmanniano lagrangiano complexo,^[1] ou seja, o semi-espaço superior de Siegel.

Exemplo básico

Um exemplo de uma função teta é:

$\theta (z,q)\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\exp {(2\pi inz)}$

onde z e q são números complexos e |q| < 1 para que a soma convirja.

Esta função analítica pode ser usada para resolver um problema de combinatória: de quantas maneiras diferentes cada número inteiro n pode ser escrito como a soma de dois quadrados?

Quando z=0, esta função se torna $\theta (0,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+\ldots +2q^{n^{2}}+\ldots$

Esta é uma função geradora onde o coeficiente em $q^{k}$ representa quantas maneiras existem de escrever k como um quadrado perfeito — quando k=0, há apenas uma maneira. Quando k é qualquer outro quadrado perfeito, há duas maneiras: $n^{2}=(-n)^{2}$ . Quando k não é um quadrado perfeito, há zero maneiras.

Se você elevar ao quadrado essa função geradora, obterá $\theta (0,q)^{2}={\Bigl (}\sum _{m}q^{m^{2}}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{n}q^{n^{2}}{\Bigr )}=\sum _{m,n}q^{m^{2}+n^{2}}$ . Se você agrupar os termos pelo expoente, descobrirá que $\theta (0,q)^{2}$ é uma função geradora onde o coeficiente em $q^{k}$ conta quantas maneiras existem de escrever k como a soma de quaisquer dois quadrados. Essa contagem inclui inteiros negativos e ordem, de modo que (3,4), (4,3) e (-3,4) contam cada um como maneiras separadas de fazer 3² + 4² = 25.

Aplicação em funções elípticas

A forma mais comum da função teta é aquela que ocorre na teoria das funções elípticas. Com relação a uma das variáveis complexas (convencionalmente chamada de $z$ ), uma função teta tem uma propriedade que expressa seu comportamento com relação à adição de um período das funções elípticas associadas, tornando-a uma função quase-periódica. Na teoria abstrata, essa quase-periodicidade vem da classe de cohomologia de um fibrado de linhas num toro complexo, uma condição de descida.

Uma interpretação das funções teta ao lidar com a equação do calor é que "uma função teta é uma função especial que descreve a evolução da temperatura em um domínio de segmento sujeito a certas condições de contorno".^[2]

Ao longo deste artigo, $(e^{\pi i\tau })^{\alpha }$ deve ser interpretado como $e^{\alpha \pi i\tau }$ (a fim de resolver questões de escolha de ramo).^{[note 1]}

Função teta de Jacobi

Existem várias funções intimamente relacionadas chamadas funções teta de Jacobi, e muitos sistemas de notação diferentes e incompatíveis para elas. Uma função teta de Jacobi (em homenagem a Carl Gustav Jakob Jacobi) é uma função definida para duas variáveis complexas $z$ e $τ$ , onde $z$ pode ser qualquer número complexo e $τ$ é a razão de semiperíodo, confinada ao semiplano superior, o que significa que tem uma parte imaginária positiva. É dada pela fórmula

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2\pi inz\right)\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}\cos(2\pi nz)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n}\end{aligned}}

onde $q = exp(πiτ)$ é o nomo e $η = exp(2 πiz)$ . É uma forma de Jacobi. A restrição garante que seja uma série absolutamente convergente. Em $τ$ fixo, esta é uma série de Fourier para uma função inteira 1-periódica de $z$ . Da mesma forma, a função teta é 1-periódica em $z$ :

\vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).

Ao completar o quadrado, ela também é $τ$ -quase-periódica em $z$ , com

{\displaystyle \vartheta (z+\tau

Assim, em geral,

{\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau

para quaisquer inteiros $a$ e $b$ .

Para qualquer $\tau$ fixo, a função é uma função inteira no plano complexo, então pelo teorema de Liouville, ela não pode ser duplamente periódica em $1,\tau$ a menos que seja constante, e então o melhor que podemos fazer é torná-la periódica em $1$ e quase-periódica em $\tau$ . De fato, como ${\displaystyle \left|{\frac {\vartheta (z+a+b\tau$ e $\Im (\tau )>0$ , a função $\vartheta (z,\tau )$ é ilimitada, como exigido pelo teorema de Liouville.

Ela é de fato a função inteira mais geral com 2 quase-períodos, no seguinte sentido:^[3]

Teorema: Se $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ é inteira e não constante, e satisfaz as equações funcionais ${\begin{cases}f(z+1)=f(z)\\f(z+\tau )=e^{az+2\pi ib}f(z)\end{cases}}$ para algumas constantes $a,b\in \mathbb {C}$ .

Se $a=0$ , então $b=\tau$ e $f(z)=e^{2\pi iz}$ . Se $a=-2\pi i$ , então $f(z)=C\vartheta (z+{\frac {1}{2}}\tau +b,\tau )$ para algum $C\in \mathbb {C}$ não nulo.

Função teta $θ 1$ com nomos $q = e iπτ$ diferentes. O ponto preto na imagem à direita indica como $q$ muda com $τ$

Funções auxiliares

A função teta de Jacobi definida acima é por vezes considerada juntamente com três funções teta auxiliares, caso em que é escrita com um subscrito duplo 0:

\vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )

As funções auxiliares (ou de semiperíodo) são definidas por

{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau

Esta notação segue Riemann e Mumford; a formulação original de Jacobi foi em termos do nomo $q = e iπτ$ ao invés de $τ$ . Na notação de Jacobi as funções $θ$ são escritas:

\theta _{1}(z;q)=\theta _{1}(\pi z,q)=-\vartheta _{11}(z;\tau )

\theta _{2}(z;q)=\theta _{2}(\pi z,q)=\vartheta _{10}(z;\tau )

\theta _{3}(z;q)=\theta _{3}(\pi z,q)=\vartheta _{00}(z;\tau )

\theta _{4}(z;q)=\theta _{4}(\pi z,q)=\vartheta _{01}(z;\tau )

As definições acima das funções teta de Jacobi não são de forma alguma únicas. Veja Funções teta de Jacobi (variações notacionais) para uma discussão mais aprofundada.

Se definirmos $z = 0$ nas funções teta acima, obteremos quatro funções apenas de $τ$ , definidas no semiplano superior. Estas funções são chamadas de funções Theta Nullwert, com base no termo alemão para valor zero devido à anulação da entrada à esquerda na expressão da função teta. Alternativamente, obtemos quatro funções apenas de $q$ , definidas no disco unitário $|q|<1$ . Elas são algumas vezes chamadas de constantes teta:^{[note 2]}

{\begin{aligned}\vartheta _{11}(0;\tau )&=-\theta _{1}(q)=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-1/2}q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}\\\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\end{aligned}}

com o nomo $q = e iπτ$ . Observe que $\theta _{1}(q)=0$ . Estas podem ser usadas para definir uma variedade de formas modulares e para parametrizar certas curvas; em particular, a identidade de Jacobi é

\theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4}

ou equivalentemente,

\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{00}(0;\tau )^{4}

que é a curva de Fermat de grau quatro.

Identidades de Jacobi

As identidades de Jacobi descrevem como as funções teta se transformam sob o grupo modular, que é gerado por $τ \mapsto τ + 1$ e $τ ↦ − /* start https://pt.wikipedia.org/ */ .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} /* end https://pt.wikipedia.org/ */ ⁠1/τ⁠$ . Equações para a primeira transformação são facilmente encontradas, uma vez que adicionar um a $τ$ no expoente tem o mesmo efeito que adicionar ⁠1/2⁠ a $z$ ( $n \equiv n 2 mod 2$ ). Para a segunda, seja

\alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).

Então

{\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}

Funções teta em termos do nomo

Em vez de expressar as funções Teta em termos de $z$ e $τ$ , podemos expressá-las em termos dos argumentos $w$ e o nomo $q$ , onde $w = e πiz$ e $q = e πiτ$ . Nesta forma, as funções tornam-se

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(w^{2}\right)^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}

Vemos que as funções teta também podem ser definidas em termos de $w$ e $q$ , sem uma referência direta à função exponencial. Essas fórmulas podem, portanto, ser usadas para definir as funções Teta sobre outros corpos onde a função exponencial pode não ser definida em toda parte, como corpos de números $p$ -ádicos.

Representações de produtos

O produto triplo de Jacobi (um caso especial das identidades de Macdonald) nos diz que para os números complexos $w$ e $q$ com $| q | < 1$ e $w \neq 0$ nós temos

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.

Pode ser provado por meios elementares, como por exemplo no livro An Introduction to the Theory of Numbers de Hardy e Wright.

Se expressarmos a função teta em termos do nomo $q = e πiτ$ (notando que alguns autores em vez disso definem $q = e 2 πiτ$ ) e tomarmos $w = e πiz$ , então

\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.

Nós, portanto, obtemos uma fórmula de produto para a função teta na forma

\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.

Em termos de $w$ e $q$ :

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}

onde $(;) \infty$ é o símbolo $q$ -Pochhammer e $θ (;)$ é a função q-teta. Expandindo os termos, o produto triplo de Jacobi também pode ser escrito como

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},

que também podemos escrever como

\vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).

Esta forma é válida em geral, mas é claramente de particular interesse quando $z$ é real. Fórmulas de produtos semelhantes para as funções teta auxiliares são

{\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}

Em particular, $\lim _{q\to 0}{\frac {\vartheta _{10}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\cos(\pi z),\quad \lim _{q\to 0}{\frac {-\vartheta _{11}(z\mid q)}{2q^{\frac {1}{4}}}}=\sin(\pi z)$ assim, podemos interpretá-las como deformações de um parâmetro das funções periódicas $\sin ,\cos$ , validando novamente a interpretação da função teta como a função mais geral de 2 quase-períodos.

Representações integrais

As funções teta de Jacobi têm as seguintes representações integrais:

{\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{i\pi z+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2\pi uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}

A função Theta Nullwert $\theta _{3}(q)$ tem a seguinte identidade integral:

\theta _{3}(q)=1+{\frac {4q{\sqrt {\ln(1/q)}}}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(1/q)\,x^{2}]\{1-q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]\}}{1-2q^{2}\cos[2\ln(1/q)\,x]+q^{4}}}\,\mathrm {d} x

Esta fórmula foi discutida no ensaio Square series generating function transformations pelo matemático Maxie Schmidt da Geórgia, em Atlanta.

Com base nesta fórmula, os seguintes três exemplos eminentes são dados:

{\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-\pi ){\bigr ]}=1+4\exp(-\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-\pi x^{2})[1-\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)]}{1-2\exp(-2\pi )\cos(2\pi x)+\exp(-4\pi )}}\,\mathrm {d} x

{\biggl [}{\frac {2}{\pi }}K({\sqrt {2}}-1){\biggr ]}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{2}}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {2}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {2}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {2}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x

{\biggl \{}{\frac {2}{\pi }}K{\bigl [}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{12}}{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/2}=\theta _{3}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi ){\bigr ]}=1+4\,{\sqrt[{4}]{3}}\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi x^{2})[1-\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)]}{1-2\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\cos(2{\sqrt {3}}\,\pi x)+\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )}}\,\mathrm {d} x

Além disso, os exemplos da função teta $\theta _{3}({\tfrac {1}{2}})$ e $\theta _{3}({\tfrac {1}{3}})$ devem ser exibidos:

\theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}=1+2\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(2)\,x^{2}]\{16-4\cos[2\ln(2)\,x]\}}{17-8\cos[2\ln(2)\,x]}}\,\mathrm {d} x

\theta _{3}\left({\frac {1}{2}}\right)=2.128936827211877158669\ldots

\theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n^{2}}}}=1+{\frac {4}{3}}\pi ^{-1/2}{\sqrt {\ln(3)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp[-\ln(3)\,x^{2}]\{81-9\cos[2\ln(3)\,x]\}}{82-18\cos[2\ln(3)\,x]}}\,\mathrm {d} x

\theta _{3}\left({\frac {1}{3}}\right)=1.691459681681715341348\ldots

Valores explícitos

Valores lemniscáticos

O devido crédito pela maioria desses resultados pertence a Ramanujan. Veja Caderno perdido de Ramanujan e uma referência relevante em Função de Euler. Os resultados de Ramanujan citados em Função de Euler somados a algumas operações elementares geram os resultados abaixo, de modo que eles estão no caderno perdido de Ramanujan ou decorrem imediatamente dele. Veja também Yi (2004).^[4] Defina,

\quad \varphi (q)=\vartheta _{00}(0;\tau )=\theta _{3}(0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}

com o nomo $q=e^{\pi i\tau },$ $\tau =n{\sqrt {-1}},$ e a função eta de Dedekind $\eta (\tau ).$ Então, para $n=1,2,3,\dots$

{\begin{aligned}\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}={\sqrt {2}}\,\eta \left({\sqrt {-1}}\right)\\\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\\\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}{\sqrt[{8}]{108}}}\\\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {2+{\sqrt[{4}]{8}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {2+{\sqrt {5}}}{5}}}\\\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{12^{3}}}}\\\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}}{{\sqrt[{8}]{14^{3}}}\cdot {\sqrt[{16}]{7}}}}\\\varphi \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{8}]{128}}}{4}}\\\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {1+{\sqrt[{3}]{2+2{\sqrt {3}}}}}{3}}\\\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{64}}+{\sqrt[{4}]{80}}+{\sqrt[{4}]{81}}+{\sqrt[{4}]{100}}}}{\sqrt[{4}]{200}}}\\\varphi \left(e^{-11\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {11+{\sqrt {11}}+(5+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{-44+33{\sqrt {3}}}}+(-5+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}+{\sqrt {33}}){\sqrt[{3}]{44+33{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{8}]{52180524}}}\\\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\\varphi \left(e^{-13\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {13+8{\sqrt {13}}+(11-6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143+78{\sqrt {3}}}}+(11+6{\sqrt {3}}+{\sqrt {13}}){\sqrt[{3}]{143-78{\sqrt {3}}}}}}{\sqrt[{4}]{19773}}}\\\varphi \left(e^{-14\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {7}}}}+{\sqrt[{8}]{28}}{\sqrt {4+{\sqrt {7}}}}}}{\sqrt[{16}]{28^{7}}}}\\\varphi \left(e^{-15\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt[{4}]{60}}+{\sqrt[{4}]{1500}}}}{{\sqrt[{8}]{12^{3}}}\cdot {\sqrt {5}}}}\\2\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-4\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{1+{\sqrt {2}}}}{\sqrt[{16}]{128}}}\\\varphi \left(e^{-17\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt {2}}(1+{\sqrt[{4}]{17}})+{\sqrt[{8}]{17}}{\sqrt {5+{\sqrt {17}}}}}{\sqrt {17+17{\sqrt {17}}}}}\\2\varphi \left(e^{-20\pi }\right)&=\varphi \left(e^{-5\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{5{\sqrt {2}}}}}\\6\varphi \left(e^{-36\pi }\right)&=3\varphi \left(e^{-9\pi }\right)+2\varphi \left(e^{-4\pi }\right)-\varphi \left(e^{-\pi }\right)+{\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{216}}}}\end{aligned}}

Se o recíproco da constante de Gelfond for elevado à potência do recíproco de um número ímpar, então os valores correspondentes de $\vartheta _{00}$ ou de $\phi$ podem ser representados de forma simplificada usando o seno lemniscático hiperbólico:

\varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}

\varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{7}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{7}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}

\varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{9}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{9}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}

\varphi {\bigl [}\exp(-{\tfrac {1}{11}}\pi ){\bigr ]}={\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)}^{-1}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {2}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {3}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {4}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}\operatorname {slh} {\bigl (}{\tfrac {5}{11}}{\sqrt {2}}\,\varpi {\bigr )}

A letra $\varpi$ representa a constante da lemniscata.

Note que as seguintes identidades modulares são válidas:

{\begin{aligned}2\varphi \left(q^{4}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt {2\varphi ^{2}\left(q^{2}\right)-\varphi ^{2}(q)}}\\3\varphi \left(q^{9}\right)&=\varphi (q)+{\sqrt[{3}]{9{\frac {\varphi ^{4}\left(q^{3}\right)}{\varphi (q)}}-\varphi ^{3}(q)}}\\{\sqrt {5}}\varphi \left(q^{25}\right)&=\varphi \left(q^{5}\right)\cot \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {2}{\sqrt {5}}}{\frac {\varphi (q)\varphi \left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)-\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}}{\frac {1+s(q)-s^{2}(q)}{s(q)}}\right)\right)\end{aligned}}

onde $s(q)=s\left(e^{\pi i\tau }\right)=-R\left(-e^{-\pi i/(5\tau )}\right)$ é a fração contínua de Rogers-Ramanujan:

{\begin{aligned}s(q)&={\sqrt[{5}]{\tan \left({\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)\cot ^{2}\left({\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} \left({\frac {5}{2}}{\frac {\varphi ^{2}\left(q^{5}\right)}{\varphi ^{2}(q)}}-{\frac {1}{2}}\right)\right)}}\\&={\cfrac {e^{-\pi i/(25\tau )}}{1-{\cfrac {e^{-\pi i/(5\tau )}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi i/(5\tau )}}{1-\ddots }}}}}}\end{aligned}}

Valores equianarmônicos

O matemático Bruce Berndt encontrou valores adicionais^[5] da função teta:

{\begin{array}{lll}\varphi \left(\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\\\varphi \left(\exp(-2{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{13/8}\cos({\tfrac {1}{24}}\pi )\\\varphi \left(\exp(-3{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{7/8}({\sqrt[{3}]{2}}+1)\\\varphi \left(\exp(-4{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-5/3}3^{13/8}{\Bigl (}1+{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )}}{\Bigr )}\\\varphi \left(\exp(-5{\sqrt {3}}\,\pi )\right)&=&\pi ^{-1}{\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}^{3/2}2^{-2/3}3^{5/8}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )({\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{100}}+{\tfrac {2}{5}}{\sqrt[{3}]{10}}+{\tfrac {3}{5}}{\sqrt {5}}+1)\end{array}}

Teoremas de potência do nomo

Teoremas diretos de potência

Para a transformação do nomo^[6] nas funções teta, estas fórmulas podem ser usadas:

\theta _{2}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]}}

\theta _{3}(q^{2})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2[\theta _{3}(q)^{2}+\theta _{4}(q)^{2}]}}

\theta _{4}(q^{2})={\sqrt {\theta _{4}(q)\theta _{3}(q)}}

Os quadrados das três funções teta com valor nulo, com a função quadrática como função interna, também são formados no padrão das trincas pitagóricas de acordo com a identidade de Jacobi. Além disso, as seguintes transformações são válidas:

\theta _{3}(q^{4})={\tfrac {1}{2}}\theta _{3}(q)+{\tfrac {1}{2}}\theta _{4}(q)

Estas fórmulas podem ser usadas para computar os valores teta do cubo do nomo:

27\,\theta _{3}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{3}(q^{3})^{4}\theta _{3}(q)^{4}-\,\theta _{3}(q)^{8}=8\,\theta _{3}(q^{3})^{2}\theta _{3}(q)^{2}[2\,\theta _{4}(q)^{4}-\theta _{3}(q)^{4}]

27\,\theta _{4}(q^{3})^{8}-18\,\theta _{4}(q^{3})^{4}\theta _{4}(q)^{4}-\,\theta _{4}(q)^{8}=8\,\theta _{4}(q^{3})^{2}\theta _{4}(q)^{2}[2\,\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]

E as seguintes fórmulas podem ser usadas para computar os valores teta da quinta potência do nomo:

[\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}][5\,\theta _{3}(q^{5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{3}(q^{5})^{2}\theta _{3}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]

[\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}][5\,\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}]^{5}=256\,\theta _{4}(q^{5})^{2}\theta _{4}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{4}[\theta _{3}(q)^{4}-\theta _{4}(q)^{4}]

Transformação na raiz cúbica do nomo

As fórmulas para os valores da função teta *Nullwert* a partir da raiz cúbica do nomo elíptico são obtidas contrapondo as duas soluções reais das equações quárticas correspondentes:

{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}-{\frac {3\,\theta _{3}(q^{3})^{2}}{\theta _{3}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4-4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{4}(q)^{2}}{\theta _{3}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}

{\biggl [}{\frac {3\,\theta _{4}(q^{3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}-{\frac {\theta _{4}(q^{1/3})^{2}}{\theta _{4}(q)^{2}}}{\biggr ]}^{2}=4+4{\biggl [}{\frac {2\,\theta _{2}(q)^{2}\theta _{3}(q)^{2}}{\theta _{4}(q)^{4}}}{\biggr ]}^{2/3}

Transformação na raiz quinta do nomo

A fração contínua de Rogers-Ramanujan pode ser definida em termos da função teta de Jacobi da seguinte maneira:

R(q)=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}

R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {1}{2}}-{\frac {\theta _{4}(q)^{2}}{2\,\theta _{4}(q^{5})^{2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}

R(q^{2})=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}

A função de fração contínua alternada de Rogers-Ramanujan S(q) tem as seguintes duas identidades:

S(q)={\frac {R(q^{4})}{R(q^{2})R(q)}}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{1/5}\cot {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\theta _{3}(q)^{2}}{2\,\theta _{3}(q^{5})^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}^{2/5}

Os valores da função teta da quinta raiz do nomo podem ser representados como uma combinação racional das frações contínuas R e S e dos valores da função teta da quinta potência do nomo e do próprio nomo. As quatro equações a seguir são válidas para todos os valores de q entre 0 e 1:

{\frac {\theta _{3}(q^{1/5})}{\theta _{3}(q^{5})}}-1={\frac {1}{S(q)}}{\bigl [}S(q)^{2}+R(q^{2}){\bigr ]}{\bigl [}1+R(q^{2})S(q){\bigr ]}

1-{\frac {\theta _{4}(q^{1/5})}{\theta _{4}(q^{5})}}={\frac {1}{R(q)}}{\bigl [}R(q^{2})+R(q)^{2}{\bigr ]}{\bigl [}1-R(q^{2})R(q){\bigr ]}

\theta _{3}(q^{1/5})^{2}-\theta _{3}(q)^{2}={\bigl [}\theta _{3}(q)^{2}-\theta _{3}(q^{5})^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1+{\frac {1}{R(q^{2})S(q)}}+R(q^{2})S(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}+{\frac {1}{S(q)}}-S(q){\biggr ]}

\theta _{4}(q)^{2}-\theta _{4}(q^{1/5})^{2}={\bigl [}\theta _{4}(q^{5})^{2}-\theta _{4}(q)^{2}{\bigr ]}{\biggl [}1-{\frac {1}{R(q^{2})R(q)}}-R(q^{2})R(q)+{\frac {1}{R(q^{2})^{2}}}+R(q^{2})^{2}-{\frac {1}{R(q)}}+R(q){\biggr ]}

Teoremas dependentes de módulo

Em combinação com o módulo elíptico, as seguintes fórmulas podem ser exibidas:

Estas são as fórmulas para o quadrado do nomo elíptico:

\theta _{4}[q(k)]=\theta _{4}[q(k)^{2}]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}

\theta _{4}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]{\sqrt[{8}]{1-k^{2}}}

\theta _{3}[q(k)^{2}]=\theta _{3}[q(k)]\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(k)]

E esta é uma fórmula eficiente para o cubo do nomo:

\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(t^{3}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {t^{4}-t^{2}+1}}-t^{2}+2}}+{\sqrt {t^{2}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}

Para todos os valores reais $t\in \mathbb {R}$ a fórmula agora mencionada é válida.

E para esta fórmula, dois exemplos serão dados:

Primeiro exemplo de cálculo com o valor $t=1$ inserido:

$\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(1){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{1/2}$
$\theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi ){\bigr ]}\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\,{\bigr )}^{1/2}$

Segundo exemplo de cálculo com o valor $t=\Phi ^{-2}$ inserido:

$\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}^{3}{\biggr \rangle }=\theta _{4}{\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\arctan(\Phi ^{-6}){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}$
$\theta _{4}{\bigl [}\exp(-3{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}=\theta _{4}{\bigl [}\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi ){\bigr ]}\,3^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {\Phi ^{-8}-\Phi ^{-4}+1}}-\Phi ^{-4}+2}}+{\sqrt {\Phi ^{-4}+1}}\,{\bigr )}^{1/2}$

A constante $\Phi$ representa o número da proporção áurea $\Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)$ exatamente.

Algumas identidades de séries

Somas com função teta no resultado

A soma infinita^[7]^[8] dos recíprocos dos números de Fibonacci com índices ímpares tem a identidade:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{n-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\sum _{a=-\infty }^{\infty }{\frac {2(\Phi ^{-2})^{a-1/2}}{1+(\Phi ^{-2})^{2a-1}}}=

={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{2}={\frac {\sqrt {5}}{8}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-1})^{2}-\theta _{4}(\Phi ^{-1})^{2}{\bigr ]}

Ao não usar a expressão da função teta, a seguinte identidade entre duas somas pode ser formulada:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\,{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }2\,\Phi ^{-(2n-1)^{2}/2}{\biggr ]}^{2}

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n-1}}}=1.82451515740692456814215840626732817332\ldots

Também neste caso, $\Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)$ é novamente o número da proporção áurea.

Soma infinita dos recíprocos dos quadrados dos números de Fibonacci:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}^{2}}}={\frac {5}{24}}{\bigl [}2\,\theta _{2}(\Phi ^{-2})^{4}-\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}={\frac {5}{24}}{\bigl [}\theta _{3}(\Phi ^{-2})^{4}-2\,\theta _{4}(\Phi ^{-2})^{4}+1{\bigr ]}

Soma infinita dos recíprocos dos números de Pell com índices ímpares:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n-1}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\theta _{2}{\bigl [}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}^{2}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigl [}\theta _{3}({\sqrt {2}}-1)^{2}-\theta _{4}({\sqrt {2}}-1)^{2}{\bigr ]}

Somas com a função teta no somando

As duas próximas identidades de séries foram provadas por István Mező:^[9]

{\begin{aligned}\theta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\theta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\theta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\theta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}

Estas relações são válidas para todo $0 < q < 1$ . Especificando os valores de $q$ , temos as próximas somas livres de parâmetros:

{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\theta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right)

{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}

Zeros das funções teta de Jacobi

Todos os zeros das funções teta de Jacobi são zeros simples e são dados pelo seguinte:

{\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )=\vartheta _{00}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}

onde $m$ , $n$ são inteiros arbitrários.

Relação com a função zeta de Riemann

A relação

\vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=\left(-i\tau \right)^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )

foi usada por Riemann para provar a equação funcional para a função zeta de Riemann, por meio da transformada de Mellin

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\vartheta (0;it)-1{\bigr )}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}

que pode ser mostrada como invariante sob a substituição de $s$ por $1 - s$ . A integral correspondente para $z \neq 0$ é dada no artigo sobre a função zeta de Hurwitz.

Relação com a função elíptica de Weierstrass

A função teta foi usada por Jacobi para construir (em uma forma adaptada para facilitar o cálculo) suas funções elípticas como os quocientes das quatro funções teta acima, e poderia ter sido usada por ele para construir também as funções elípticas de Weierstrass, uma vez que

\wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c

onde a segunda derivada é em relação a $z$ e a constante $c$ é definida de modo que a expansão de Laurent de $℘(z)$ em $z = 0$ tenha um termo constante nulo.

Relação com a função q-gama

A quarta função teta – e, portanto, as outras também – está intimamente conectada à função q-gama de Jackson através da relação^[10]

\left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\theta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).

Relações com a função eta de Dedekind

Seja $η (τ)$ a função eta de Dedekind, e o argumento da função teta seja o nomo $q = e πiτ$ . Então,

{\begin{aligned}\theta _{2}(q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}

e,

\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)=2\eta ^{3}(\tau ).

Veja também as funções modulares de Weber.

Módulo elíptico

O módulo elíptico é

k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}

e o módulo elíptico complementar é

k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0;\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0;\tau )^{2}}}

Derivadas das funções teta

Estas são duas definições idênticas da integral elíptica completa do segundo tipo:

E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin(\varphi )^{2}}}d\varphi

E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{a=0}^{\infty }{\frac {[(2a)!]^{2}}{(1-2a)16^{a}(a!)^{4}}}k^{2a}

As derivadas das funções Theta Nullwert têm estas séries de MacLaurin:

\theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{-3/4}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}(2n+1)^{2}x^{(2n-1)(2n+3)/4}

\theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}x^{n(n+2)}

\theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=-2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}(-1)^{n+1}x^{n(n+2)}

As derivadas das funções teta de valor nulo^[11] são as seguintes:

\theta _{2}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{2}(x)={\frac {1}{2\pi x}}\theta _{2}(x)\theta _{3}(x)^{2}E{\biggl [}{\frac {\theta _{2}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}}}{\biggr ]}

\theta _{3}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{3}(x)=\theta _{3}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{4}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}

\theta _{4}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x)=\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{2}-\theta _{4}(x)^{2}}{\theta _{3}(x)^{2}+\theta _{4}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\theta _{3}(x)^{2}}{4\,x}}{\biggr \}}

As duas últimas fórmulas mencionadas são válidas para todos os números reais do intervalo real de definição: $-1<x<1\,\cap \,x\in \mathbb {R}$

E estas duas últimas funções derivadas teta nomeadas estão relacionadas entre si desta forma:

\vartheta _{4}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{3}(x){\biggr ]}-\vartheta _{3}(x){\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\theta _{4}(x){\biggr ]}={\frac {1}{4\,x}}\,\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x){\bigl [}\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}{\bigr ]}

As derivadas dos quocientes de duas das três funções teta aqui mencionadas sempre têm uma relação racional com essas três funções:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{3}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{3}(x)}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{2}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{2}(x)\,\theta _{3}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {\theta _{3}(x)}{\theta _{4}(x)}}={\frac {\theta _{3}(x)^{5}-\theta _{3}(x)\,\theta _{4}(x)^{4}}{4\,x\,\theta _{4}(x)}}

Para a derivação destas fórmulas de derivação, veja os artigos Nomo (matemática) e Função modular lambda!

Integrais de funções teta

Para as funções teta, estas integrais^[12] são válidas:

\int _{0}^{1}\theta _{2}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {4}{(2k+1)^{2}+4}}=\pi \tanh(\pi )\approx 3.129881

\int _{0}^{1}\theta _{3}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k^{2}+1}}=\pi \coth(\pi )\approx 3.153348

\int _{0}^{1}\theta _{4}(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{2}+1}}=\pi \,\operatorname {csch} (\pi )\approx 0.272029

Os resultados finais agora mostrados são baseados nas fórmulas de soma gerais de Cauchy.

Uma solução para a equação do calor

A função teta de Jacobi é a solução fundamental da equação do calor unidimensional com condições de contorno espacialmente periódicas.^[13] Tomando $z = x$ como real e $τ = it$ com $t$ real e positivo, podemos escrever

\vartheta (x;it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)

que resolve a equação do calor

{\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x;it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x;it).

Esta solução da função teta é 1-periódica em $x$ , e quando $t \to 0$ ela se aproxima da função delta periódica, ou pente de Dirac, no sentido de distribuições

\lim _{t\to 0}\vartheta (x;it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)

.

Soluções gerais do problema de valor inicial espacialmente periódico para a equação do calor podem ser obtidas pela convolução dos dados iniciais em $t = 0$ com a função teta.

Relação com o grupo de Heisenberg

A função teta de Jacobi é invariante sob a ação de um subgrupo discreto do grupo de Heisenberg. Esta invariância é apresentada no artigo sobre a representação teta do grupo de Heisenberg.

Generalizações

Se $F$ é uma forma quadrática definida positiva em $n$ variáveis, então a função teta associada a $F$ é

\theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{-\pi zF(m)}

com a soma se estendendo sobre a rede de inteiros $\mathbb {Z} ^{n}$ . Esta função teta é uma forma modular de peso $⁠ n / 2 ⁠$ (em um subgrupo apropriadamente definido) do grupo modular. Na expansão de Fourier,

{\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},

os números $R F (k)$ são chamados de números de representação da forma.

Série teta de um caractere de Dirichlet

Para $χ$ um caráter de Dirichlet primitivo módulo $q$ e $ν = ⁠ 1 - χ (-1) / 2 ⁠$ então

\theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}

é uma forma modular de peso $⁠ 1 / 2 ⁠ + ν$ de nível $4 q 2$ e caractere

\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu },

o que significa^[14]

\theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)

sempre que

a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.

Função teta de Ramanujan

Função teta de Riemann

Seja

\mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}

o conjunto de matrizes quadradas simétricas cuja parte imaginária é definida positiva. $\mathbb {H} _{n}$ é chamado de semi-espaço superior de Siegel e é o análogo multidimensional do semiplano superior. O análogo $n$ -dimensional do grupo modular é o grupo simplético $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )$ ; para $n = 1$ , $\operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$ . O análogo $n$ -dimensional dos subgrupos de congruência é desempenhado por

\ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.

Então, dado $\tau \in \mathbb {H} _{n}$ , a função teta de Riemann é definida como

\theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).

Aqui, $z\in \mathbb {C} ^{n}$ é um vetor complexo $n$ -dimensional, e o sobrescrito T denota a transposta. A função teta de Jacobi é então um caso especial, com $n = 1$ e $\tau \in \mathbb {H}$ onde $\mathbb {H}$ é o semiplano superior. Uma grande aplicação da função teta de Riemann é que ela permite dar fórmulas explícitas para funções meromorfas em superfícies de Riemann compactas, bem como outros objetos auxiliares que figuram de forma proeminente em sua teoria de funções, tomando $τ$ para ser a matriz de período em relação a uma base canônica para seu primeiro grupo de homologia.

A teta de Riemann converge absoluta e uniformemente em subconjuntos compactos de $\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}$ .

A equação funcional é

\theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp \left(2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\right)\theta (z,\tau )

que vale para todos os vetores $a,b\in \mathbb {Z} ^{n}$ , e para todos os $z\in \mathbb {C} ^{n}$ e $\tau \in \mathbb {H} _{n}$ .

Série de Poincaré

A série de Poincaré generaliza a série teta para formas automórficas com relação a grupos fuchsianos arbitrários.

Derivação dos valores teta

Identidade da função beta de Euler

A seguir, três valores importantes da função teta serão derivados como exemplos:

É assim que a função beta de Euler é definida em sua forma reduzida:

\beta (x)={\frac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}

Em geral, para todos os números naturais $n\in \mathbb {N}$ esta fórmula da função beta de Euler é válida:

{\frac {4^{-1/(n+2)}}{n+2}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{n+2}}{\bigr )}\beta {\biggl [}{\frac {n}{2(n+2)}}{\biggr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{n+2}+1}}}\,\mathrm {d} x

Integrais elípticas exemplares

A seguir, alguns Valores singulares de integrais elípticas^[15] são derivados:

A função a seguir tem a seguinte antiderivada elíptica lemniscática: ${\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{2}}F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\biggr ]}$ Para o valor $n=2$ , esta identidade aparece: ${\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{4}}{\bigr )}\beta {\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}{\color {blue}{\frac {1}{2}}F{\biggl [}2\arctan(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\biggr ]}}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }=$ ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}F{\bigl (}\pi$ Este resultado segue daquela cadeia de equações: ${\color {ForestGreen}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}={\frac {1}{4}}\beta {\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}}$

A função a seguir tem a seguinte antiderivada elíptica equianarmônica: ${\frac {1}{\sqrt {x^{6}+1}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{6}}{\sqrt[{4}]{27}}F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {{\sqrt[{4}]{3}}\,x}{\sqrt {x^{2}+1}}}{\biggr )};{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\biggr ]}$ Para o valor $n=4$ , aquela identidade aparece: ${\frac {1}{6{\sqrt[{3}]{2}}}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{6}}{\bigr )}\beta {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{6}+1}}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}{\color {blue}{\frac {1}{6}}{\sqrt[{4}]{27}}F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {{\sqrt[{4}]{3}}\,x}{\sqrt {x^{2}+1}}}{\biggr )};{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\biggr ]}}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }=$ $={\frac {1}{6}}{\sqrt[{4}]{27}}F{\bigl [}2\arctan({\sqrt[{4}]{3}});{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\frac {2}{9}}{\sqrt[{4}]{27}}K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\frac {2}{3}}{\sqrt[{4}]{3}}K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}$ Este resultado segue daquela cadeia de equações: ${\color {ForestGreen}K{\bigl [}{\frac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}}}\beta {\bigl (}{\frac {1}{3}}{\bigr )}}$

E a função a seguir tem a seguinte antiderivada elíptica: ${\frac {1}{\sqrt {x^{8}+1}}}=$ $={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}2\arctan {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}\,x^{2}+1}}-x^{2}+1}}{\biggr ]};2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}+{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr ]};\tan {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}$ Para o valor $n=6$ , a seguinte identidade aparece: ${\frac {1}{8{\sqrt[{4}]{2}}}}\csc {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}\beta {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{8}+1}}}\,\mathrm {d} x=$ $={\biggl \langle }{\color {blue}{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}2\arctan {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{{\sqrt {x^{4}+{\sqrt {2}}\,x^{2}+1}}-x^{2}+1}}{\biggr ]};2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}+{\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\biggl \{}\arcsin {\biggl [}{\frac {2\cos(\pi /8)\,x}{x^{2}+1}}{\biggr ]};\tan {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\biggr \}}}{\biggr \rangle }_{x=0}^{x=\infty }=$ $={\frac {1}{4}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}F{\bigl [}\pi ;2{\sqrt[{4}]{2}}\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}{\bigr ]}={\frac {1}{2}}\sec {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}K({\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{\bigr )}=2\sin {\bigl (}{\frac {\pi }{8}}{\bigr )}K({\sqrt {2}}-1)$ Este resultado segue daquela cadeia de equações: ${\color {ForestGreen}K({\sqrt {2}}-1)={\frac {1}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}\,({\sqrt {2}}+1)\,\beta {\bigl (}{\frac {3}{8}}{\bigr )}}$

Combinação das identidades integrais com o nomo

A função do nomo elíptico tem estes valores importantes:

q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=\exp(-\pi )

q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )

q({\sqrt {2}}-1)=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )

Para a prova da exatidão destes valores do nomo, veja o artigo Nomo (matemática)!

Com base nestas identidades integrais e na Definição e identidades das funções teta mencionadas acima na mesma seção deste artigo, valores zero exemplares de teta serão determinados agora:

$\theta _{3}[q(k)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}$

\theta _{3}[\exp(-\pi )]=\theta _{3}[q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}}=2^{-1/2}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{4}})^{1/2}=2^{-1/4}{\sqrt[{4}]{\pi }}\,{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}}^{-1}

\theta _{3}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\theta _{3}{\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}={\sqrt {2\pi ^{-1}K{\bigl [}{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}}}=2^{-1/6}3^{-1/8}\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {1}{3}})^{1/2}

\theta _{3}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{3}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/8}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}

$\theta _{4}[q(k)]={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(k)}}$

\theta _{4}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=\theta _{4}[q({\sqrt {2}}-1)]={\sqrt[{4}]{2{\sqrt {2}}-2}}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K({\sqrt {2}}-1)}}=2^{-1/4}\cos({\tfrac {1}{8}}\pi )^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\beta ({\tfrac {3}{8}})^{1/2}

Sequências de partições e produtos de Pochhammer

Sequência de números de partições regulares

A sequência de partições regulares $P(n)$ em si indica o número de maneiras pelas quais um número inteiro positivo $n$ pode ser dividido em parcelas inteiras positivas. Para os números $n=1$ a $n=5$ , os números de partição $P$ associados com todas as partições de números associadas estão listados na tabela a seguir:

Valores de exemplo de P(n) e partições de números associadas
n	P(n)	partições
0	1	() partição vazia/soma vazia
1	1	(1)
2	2	(1+1), (2)
3	3	(1+1+1), (1+2), (3)
4	5	(1+1+1+1), (1+1+2), (2+2), (1+3), (4)
5	7	(1+1+1+1+1), (1+1+1+2), (1+2+2), (1+1+3), (2+3), (1+4), (5)

A função geradora da sequência de números de partições regulares pode ser representada através do produto de Pochhammer da seguinte maneira:

\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x)_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{-1/6}\theta _{4}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}

A transformação em soma do referido produto de Pochhammer é descrita pelo Teorema dos números pentagonais desta maneira:

(x;x)_{\infty }=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl [}-x^{{\text{Fn}}(2n-1)}-x^{{\text{Kr}}(2n-1)}+x^{{\text{Fn}}(2n)}+x^{{\text{Kr}}(2n)}{\bigr ]}

As seguintes definições básicas se aplicam aos números pentagonais e aos números de castelo de cartas:

{\text{Fn}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z-1)

{\text{Kr}}(z)={\tfrac {1}{2}}z(3z+1)

Como uma aplicação adicional^[16] obtém-se uma fórmula para a terceira potência do produto de Euler:

(x;x)^{3}=\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})^{3}=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(2m+1)x^{m(m+1)/2}

Sequência de números de partições estritas

E a sequência de partições estritas $Q(n)$ indica o número de maneiras pelas quais tal número inteiro positivo $n$ pode ser dividido em parcelas inteiras positivas, de tal modo que cada parcela apareça no máximo uma vez^[17] e nenhum valor de parcela ocorra repetidamente. Exatamente a mesma sequência^[18] também é gerada se na partição forem incluídas apenas parcelas ímpares, mas essas parcelas ímpares podem ocorrer mais de uma vez. Ambas as representações para a sequência de números de partições estritas são comparadas na tabela a seguir:

Valores de exemplo de Q(n) e partições de números associadas
n	Q(n)	Partições de números sem parcelas repetidas	Partições de números apenas com parcelas ímpares
0	1	() partição vazia/soma vazia	() partição vazia/soma vazia
1	1	(1)	(1)
2	1	(2)	(1+1)
3	2	(1+2), (3)	(1+1+1), (3)
4	2	(1+3), (4)	(1+1+1+1), (1+3)
5	3	(2+3), (1+4), (5)	(1+1+1+1+1), (1+1+3), (5)
6	4	(1+2+3), (2+4), (1+5), (6)	(1+1+1+1+1+1), (1+1+1+3), (3+3), (1+5)
7	5	(1+2+4), (3+4), (2+5), (1+6), (7)	(1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+3), (1+3+3), (1+1+5), (7)
8	6	(1+3+4), (1+2+5), (3+5), (2+6), (1+7), (8)	(1+1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1+3), (1+1+3+3), (1+1+1+ 5), (3+5), (1+7)

A função geradora da sequência de números de partições estritas pode ser representada usando o produto de Pochhammer:

\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}={\frac {1}{(x;x^{2})_{\infty }}}=\theta _{3}(x)^{1/6}\theta _{4}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\theta _{3}(x)^{4}-\theta _{4}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}

Sequência de números de sobrepartições

A série de Maclaurin para o recíproco da função $Predefinição:Not a typo 01$ tem os números da sequência de sobrepartições como coeficientes com sinal positivo:^[19]

{\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\overline {P}}(k)x^{k}

{\frac {1}{\theta _{4}(x)}}=1+2x+4x^{2}+8x^{3}+14x^{4}+24x^{5}+40x^{6}+64x^{7}+100x^{8}+154x^{9}+232x^{10}+\dots

Se, para um dado número $k$ , todas as partições são configuradas de tal forma que o tamanho da parcela nunca aumente, e todas aquelas parcelas que não têm uma parcela do mesmo tamanho à sua esquerda podem ser marcadas para cada partição deste tipo, então será o número resultante^[20] das partições marcadas dependendo de $k$ pela função de sobrepartição ${\overline {P}}(k)$ .

Primeiro exemplo:

{\overline {P}}(4)=14

Estas 14 possibilidades de marcações de partição existem para a soma 4:

(4), (4), (3+1), (3+1), (3+1), (3+1), (2+2), (2+2), (2+1+1), (2+1+1), (2+1+1), (2+1+1), (1+1+1+1), (1+1+1+1)

Segundo exemplo:

{\overline {P}}(5)=24

Estas 24 possibilidades de marcações de partição existem para a soma 5:

(5), (5), (4+1), (4+1), (4+1), (4+1), (3+2), (3+2), (3+2), (3+2), (3+1+1), (3+1+1), (3+1+1), (3+1+1), (2+2+1), (2+2+1), (2+2+1), (2+2+1), (2+1+1+1), (2+1+1+1), (2+1+1+1), (2+1+1+1), (1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1)

Relações das sequências de números de partição entre si

Na Enciclopédia On-Line de Sequências Inteiras (OEIS), a sequência de números de partições regulares $P(n)$ está sob o código A000041, a sequência de partições estritas é $Q(n)$ sob o código A000009 e a sequência de sobrepartições ${\overline {P}}(n)$ sob o código A015128. Todas as partições originais a partir do índice $n=1$ são pares.

A sequência de sobrepartições ${\overline {P}}(n)$ pode ser escrita com a sequência de partições regulares P^[21] e a sequência de partições estritas Q^[22] pode ser gerada assim:

{\overline {P}}(n)=\sum _{k=0}^{n}P(n-k)Q(k)

Na tabela a seguir de sequências de números, esta fórmula deve ser usada como exemplo:

n	P(n)	Q(n)	${\overline {P}}(n)$
0	1	1	1 = 1*1
1	1	1	2 = 1 * 1 + 1 * 1
2	2	1	4 = 2 * 1 + 1 * 1 + 1 * 1
3	3	2	8 = 3 * 1 + 2 * 1 + 1 * 1 + 1 * 2
4	5	2	14 = 5 * 1 + 3 * 1 + 2 * 1 + 1 * 2 + 1 * 2
5	7	3	24 = 7 * 1 + 5 * 1 + 3 * 1 + 2 * 2 + 1 * 2 + 1 * 3

Relacionada a esta propriedade, a seguinte combinação de duas séries de somas também pode ser estabelecida através da função $Predefinição:Not a typo 01$ :

\theta _{4}(x)={\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }P(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{-1}

Notas

↑ Veja p. ex. https://dlmf.nist.gov/20.1. Note que isto, em geral, não é equivalente à interpretação usual $(e^{z})^{\alpha }=e^{\alpha \operatorname {Log} e^{z}}$ quando $z$ está fora da faixa $-\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi$ . Aqui, $\operatorname {Log}$ denota o ramo principal do logaritmo complexo.
↑ $\theta _{1}(q)=0$ para todo $q\in \mathbb {C}$ com $|q|<1$ .

Referências

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Bibliografia

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Ligações externas

Abramowitz and Stegun hosted by Simon Fraser University

[3] Veja p. ex. https://dlmf.nist.gov/20.1. Note que isto, em geral, não é equivalente à interpretação usual $(e^{z})^{\alpha }=e^{\alpha \operatorname {Log} e^{z}}$ quando $z$ está fora da faixa $-\pi <\operatorname {Im} z\leq \pi$ . Aqui, $\operatorname {Log}$ denota o ramo principal do logaritmo complexo.

[5] $\theta _{1}(q)=0$ para todo $q\in \mathbb {C}$ com $|q|<1$ .

[Tyurin2002-1] Tyurin, Andrey N. (30 outubro 2002). «Quantization, Classical and Quantum Field Theory and Theta-Functions». arXiv:math/0210466v1

[2] Chang, Der-Chen (2011). Heat Kernels for Elliptic and Sub-elliptic Operators. [S.l.]: Birkhäuser. 7 páginas

[4] Tata Lectures on Theta I. Col: Modern Birkhäuser Classics (em inglês). Boston, MA: Birkhäuser Boston. 2007. 4 páginas. ISBN 978-0-8176-4572-4. doi:10.1007/978-0-8176-4577-9

[Yi-6] Yi, Jinhee (2004). «Theta-function identities and the explicit formulas for theta-function and their applications». Journal of Mathematical Analysis and Applications. 292 (2): 381–400. doi:10.1016/j.jmaa.2003.12.009

[7] Berndt, Bruce C; Rebák, Örs (9 de janeiro de 2022). «Explicit Values for Ramanujan's Theta Function Predefinição:Not a typo(q)». Hardy-Ramanujan Journal. 44. arXiv:2112.11882. doi:10.46298/hrj.2022.8923

[8] Andreas Dieckmann: Table of Infinite Products Infinite Sums Infinite Series, Elliptic Theta. Physikalisches Institut Universität Bonn, Acessado em 1º de outubro de 2021.

[9] Landau (1899)citado por Borwein, Página 94, Exercício 3.

[10] «Number-theoretical, combinatorial and integer functions – mpmath 1.1.0 documentation». Consultado em 18 de julho de 2021

[Mezo2-11] Mező, István (2013), «Duplication formulae involving Jacobi theta functions and Gosper's $q$ -trigonometric functions», Proceedings of the American Mathematical Society, 141 (7), pp. 2401–2410, doi:10.1090/s0002-9939-2013-11576-5

[Mezo-12] Mező, István (2012). «A $q$ -Raabe formula and an integral of the fourth Jacobi theta function». Journal of Number Theory. 133 (2): 692–704. doi:10.1016/j.jnt.2012.08.025. hdl:2437/166217

[13] Weisstein, Eric W. «Elliptic Alpha Function». MathWorld (em inglês)

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[15] Ohyama, Yousuke (1995). «Differential relations of theta functions». Osaka Journal of Mathematics (em inglês). 32 (2): 431–450. ISSN 0030-6126

[16] Shimura, On modular forms of half integral weight

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