Variedade abeliana

Um toro complexo de dimensão ${\displaystyle g}$ é um toro de dimensão real ${\displaystyle 2g}$ que possui a estrutura de uma variedade complexa. Ele pode ser sempre obtido como o quociente de um espaço vetorial complexo de dimensão ${\displaystyle g}$ por um reticulado de posto ${\displaystyle 2g}$. Uma variedade abeliana complexa de dimensão ${\displaystyle g}$ é um toro complexo de dimensão ${\displaystyle g}$ que é também uma variedade algébrica projetiva sobre o corpo dos números complexos. Ao invocar o teorema de mergulho de Kodaira e o teorema de Chow, pode-se definir de forma equivalente uma variedade abeliana complexa de dimensão ${\displaystyle g}$ como um toro complexo de dimensão ${\displaystyle g}$ que admite um fibrado em retas positivo. Como são toros complexos, as variedades abelianas possuem a estrutura de um grupo. Um morfismo de variedades abelianas é um morfismo das variedades algébricas subjacentes que preserva o elemento neutro para a estrutura de grupo. Uma isogenia é um morfismo finito-para-um.

Quando um toro complexo possui a estrutura de uma variedade algébrica, esta estrutura é necessariamente única. No caso em que ${\displaystyle g=1}$, a noção de variedade abeliana é a mesma que a de curva elíptica, e todo o toro complexo dá origem a uma tal curva; para ${\displaystyle g>1}$, sabe-se desde Riemann que a condição de variedade algébrica impõe restrições adicionais sobre um toro complexo.

O seguinte critério de Riemann decide se um dado toro complexo é ou não uma variedade abeliana, ou seja, se pode ou não ser mergulhado de forma holomorfa num espaço projetivo. Seja ${\displaystyle X}$ um toro de dimensão ${\displaystyle g}$ dado por ${\displaystyle X=V/L}$, onde ${\displaystyle V}$ é um espaço vetorial complexo de dimensão ${\displaystyle g}$ e ${\displaystyle L}$ é um reticulado em ${\displaystyle V}$. Então ${\displaystyle X}$ é uma variedade abeliana se e somente se existe uma forma hermitiana definida positiva em ${\displaystyle V}$ cuja parte imaginária assume valores inteiros em ${\displaystyle L\times L}$. Tal forma em ${\displaystyle X}$ é usualmente chamada de forma de Riemann (não degenerada). Escolhendo uma base para ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle L}$, pode-se tornar esta condição mais explícita. Existem várias formulações equivalentes para isto; todas elas são conhecidas como as condições de Riemann.

Toda a curva algébrica ${\displaystyle C}$ de gênero ${\displaystyle g\geq 1}$ está associada a uma variedade abeliana ${\displaystyle J}$ de dimensão ${\displaystyle g}$, por meio de um mapa analítico de ${\displaystyle C}$ em ${\displaystyle J}$. Como um toro, ${\displaystyle J}$ possui uma estrutura de grupo comutativo, e a imagem de ${\displaystyle C}$ gera ${\displaystyle J}$ como um grupo. Mais precisamente, ${\displaystyle J}$ é coberta por ${\displaystyle C^{g}}$:^[1] qualquer ponto em ${\displaystyle J}$ provém de uma ${\displaystyle g}$-upla de pontos em ${\displaystyle C}$. O estudo das formas diferenciais em ${\displaystyle C}$, que dão origem às integrais abelianas com as quais a teoria começou, pode ser derivado da teoria mais simples, invariante por translação, de diferenciais em ${\displaystyle J}$. A variedade abeliana ${\displaystyle J}$ é chamada de variedade jacobiana de ${\displaystyle C}$, para qualquer curva não singular ${\displaystyle C}$ sobre os números complexos. Do ponto de vista da geometria birracional, o seu corpo de funções é o corpo fixo do grupo simétrico em ${\displaystyle g}$ letras atuando no corpo de funções de ${\displaystyle C^{g}}$.

Uma função abeliana é uma função meromorfa numa variedade abeliana, a qual pode ser considerada, portanto, como uma função periódica de ${\displaystyle n}$ variáveis complexas, tendo ${\displaystyle 2n}$ períodos independentes; equivalentemente, é uma função no corpo de funções de uma variedade abeliana. Por exemplo, no século XIX houve muito interesse em integrais hiperelípticas que pudessem ser expressas em termos de integrais elípticas. Isto resume-se em exigir que ${\displaystyle J}$ seja um produto de curvas elípticas, a menos de uma isogenia.

Um teorema de estrutura importante das variedades abelianas é o teorema de Matsusaka. Ele afirma que, sobre um corpo algebricamente fechado, toda variedade abeliana ${\displaystyle A}$ é o quociente da jacobiana de alguma curva; isto é, existe alguma sobrejeção de variedades abelianas ${\displaystyle J\to A}$ onde ${\displaystyle J}$ é uma jacobiana. Este teorema permanece verdadeiro se o corpo base for infinito.^[2]

A uma variedade abeliana ${\displaystyle A}$ sobre um corpo ${\displaystyle k}$, associa-se uma variedade abeliana dual ${\displaystyle A^{\vee }}$ (sobre o mesmo corpo), que é a solução para o seguinte problema de moduli. Uma família de fibrados em retas de grau 0 parametrizada por uma ${\displaystyle k}$-variedade ${\displaystyle T}$ é definida como um fibrado em retas ${\displaystyle L}$ em ${\displaystyle A\times T}$ tal que

1. para todo o ${\displaystyle t}$ em ${\displaystyle T}$, a restrição de ${\displaystyle L}$ a ${\displaystyle A\times \{t\}}$ seja um fibrado em retas de grau 0,
2. a restrição de ${\displaystyle L}$ a ${\displaystyle \{0\}\times T}$ seja um fibrado em retas trivial (aqui 0 é a identidade de ${\displaystyle A}$).

Então, existe uma variedade ${\displaystyle A^{\vee }}$ e uma família de fibrados em retas de grau 0 ${\displaystyle P}$, o fibrado de Poincaré, parametrizada por ${\displaystyle A^{\vee }}$ de tal modo que a uma família ${\displaystyle L}$ em ${\displaystyle T}$ está associado um único morfismo ${\displaystyle f\colon T\to A^{\vee }}$ de forma que ${\displaystyle L}$ seja isomorfo ao pullback de ${\displaystyle P}$ ao longo do morfismo ${\displaystyle 1_{A}\times f\colon A\times T\to A\times A^{\vee }}$. Aplicando isto ao caso em que ${\displaystyle T}$ é um ponto, vemos que os pontos de ${\displaystyle A^{\vee }}$ correspondem aos fibrados em retas de grau 0 em ${\displaystyle A}$, de modo que existe uma operação de grupo natural em ${\displaystyle A^{\vee }}$ dada pelo produto tensorial de fibrados em retas, o que a converte numa variedade abeliana.

Esta associação é uma dualidade no sentido em que é contravariantemente funtorial, ou seja, associa a todos os morfismos ${\displaystyle f\colon A\to B}$ morfismos duais ${\displaystyle f^{\vee }\colon B^{\vee }\to A^{\vee }}$ de forma compatível, e existe um isomorfismo natural entre a dupla dual ${\displaystyle (A^{\vee })^{\vee }}$ e ${\displaystyle A}$ (definido por meio do fibrado de Poincaré).

A ${\displaystyle n}$-torção de uma variedade abeliana e a ${\displaystyle n}$-torção da sua dual são duais uma da outra quando ${\displaystyle n}$ é coprimo em relação à característica da base. Em geral — para todo o ${\displaystyle n}$ — os esquemas de grupo de ${\displaystyle n}$-torção de variedades abelianas duais são duais de Cartier uns dos outros. Isto generaliza o emparelhamento de Weil para curvas elípticas.

Uma polarização de uma variedade abeliana é uma isogenia de uma variedade abeliana para a sua dual que é simétrica em relação à dupla-dualidade para variedades abelianas e para a qual o pullback do fibrado de Poincaré ao longo do morfismo de grafo associado é amplo (portanto, é análogo a uma forma quadrática definida positiva). Variedades abelianas polarizadas possuem grupos de automorfismos finitos. Uma polarização principal é uma polarização que é um isomorfismo. As jacobianas de curvas são naturalmente equipadas com uma polarização principal assim que se escolhe um ponto base racional arbitrário na curva, e a curva pode ser reconstruída a partir da sua jacobiana polarizada quando o género for ${\displaystyle >1}$. Nem todas as variedades abelianas principalmente polarizadas são jacobianas de curvas; veja o problema de Schottky. Uma polarização induz uma involução de Rosati no anel de endomorfismos ${\displaystyle \mathrm {End} (A)\otimes \mathbb {Q} }$ de ${\displaystyle A}$.

Sobre os números complexos, uma variedade abeliana polarizada pode ser definida como uma variedade abeliana ${\displaystyle A}$ juntamente com uma escolha de uma forma de Riemann ${\displaystyle H}$. Duas formas de Riemann ${\displaystyle H_{1}}$ e ${\displaystyle H_{2}}$ são chamadas de equivalentes se existirem inteiros positivos ${\displaystyle n}$ e ${\displaystyle m}$ tais que ${\displaystyle nH_{1}=mH_{2}}$. A escolha de uma classe de equivalência de formas de Riemann em ${\displaystyle A}$ é chamada de polarização de ${\displaystyle A}$; sobre os números complexos isto é equivalente à definição de polarização dada acima. Um morfismo de variedades abelianas polarizadas é um morfismo ${\displaystyle A\to B}$ de variedades abelianas tal que o pullback da forma de Riemann em ${\displaystyle B}$ para ${\displaystyle A}$ é equivalente à forma dada em ${\displaystyle A}$.

Sejam ${\displaystyle A,B\in \mathbb {Z} }$ tais que ${\displaystyle x^{3}+Ax+B}$ não tem raízes complexas repetidas. Então o discriminante ${\displaystyle \Delta =-16(4A^{3}+27B^{2})}$ é não nulo. Seja ${\displaystyle R=\mathbb {Z} [1/\Delta ]}$, logo ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ é um subesquema aberto de ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$. Então ${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x,y,z]/(y^{2}z-x^{3}-Axz^{2}-Bz^{3})}$ é um esquema abeliano sobre ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$. Ele pode ser estendido para um modelo de Néron sobre ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$, que é um esquema de grupo suave sobre ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$, mas o modelo de Néron não é próprio e, consequentemente, não é um esquema abeliano sobre ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$.

ru^[3] e Jean-Marc Fontaine^[4] provaram independentemente que não existem variedades abelianas não nulas sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ com boa redução em todos os primos. Equivalentemente, não existem esquemas abelianos não nulos sobre ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$. A prova envolve mostrar que as coordenadas dos pontos de ${\displaystyle p^{n}}$-torção geram corpos de números com muito pouca ramificação e, portanto, de pequeno discriminante, enquanto que, por outro lado, existem limites inferiores para os discriminantes de corpos de números.^[5]