Esquema (matemática)

Na matemática, especificamente na geometria algébrica, um esquema é uma estrutura que amplia a noção de uma variedade algébrica de várias maneiras, como ao levar em conta as multiplicidades (as equações $x=0$ e $x^{2}=0$ definem a mesma variedade algébrica, mas esquemas diferentes) e ao permitir "variedades" definidas sobre qualquer anel comutativo (por exemplo, as curvas de Fermat são definidas sobre os inteiros).

A teoria dos esquemas foi introduzida por Alexander Grothendieck em 1960 em seu tratado Éléments de géométrie algébrique (EGA); um de seus objetivos era desenvolver o formalismo necessário para resolver problemas profundos da geometria algébrica, como as Conjecturas de Weil (a última das quais foi provada por Pierre Deligne).^[1] Fortemente baseada na álgebra comutativa, a teoria dos esquemas permite o uso sistemático de métodos da topologia e da álgebra homológica. A teoria dos esquemas também unifica a geometria algébrica com grande parte da teoria dos números, o que acabou levando à prova de Wiles do Último Teorema de Fermat.Os esquemas elaboram a ideia fundamental de que uma variedade algébrica é melhor analisada através do anel de coordenadas das funções algébricas regulares definidas nela (ou em seus subconjuntos), e que cada subvariedade corresponde ao ideal de funções que se anulam na subvariedade. Intuitivamente, um esquema é um espaço topológico consistindo em pontos fechados que correspondem a pontos geométricos, juntamente com pontos não fechados que são pontos genéricos de subvariedades irredutíveis. O espaço é coberto por um atlas de conjuntos abertos, cada um dotado de um anel de coordenadas de funções regulares, com mudanças de coordenadas especificadas entre as funções sobre conjuntos abertos que se interceptam. Tal estrutura é chamada de espaço anelado ou um feixe de anéis. Os casos de maior interesse são os esquemas noetherianos, nos quais os anéis de coordenadas são anéis noetherianos.

Formalmente, um esquema é um espaço anelado coberto por esquemas afins. Um esquema afim é o espectro de um anel comutativo; seus pontos são os ideais primos do anel, e seus pontos fechados são os ideais maximais. O anel de coordenadas de um esquema afim é o próprio anel, e os anéis de coordenadas de subconjuntos abertos são os anéis de frações.

O ponto de vista relativo postula que grande parte da geometria algébrica deve ser desenvolvida para um morfismo $X\to Y$ de esquemas (chamado de esquema $X$ sobre a base $Y$ ), em vez de para um esquema individual. Por exemplo, ao estudar superfícies algébricas, pode ser útil considerar famílias de superfícies algébricas sobre qualquer esquema $Y$ . Em muitos casos, a família de todas as variedades de um dado tipo pode, ela própria, ser vista como uma variedade ou esquema, conhecido como um espaço de moduli.

Para algumas das definições detalhadas na teoria de esquemas, consulte o glossário de geometria algébrica.

Desenvolvimento

As origens da geometria algébrica baseiam-se majoritariamente no estudo de equações polinomiais sobre os números reais. No século XIX, ficou claro (notavelmente no trabalho de Jean-Victor Poncelet e Bernhard Riemann) que a geometria algébrica sobre os números reais é simplificada quando se trabalha sobre o corpo dos números complexos, o qual tem a vantagem de ser algebricamente fechado.^[2] O início do século XX viu analogias entre a geometria algébrica e a teoria dos números, sugerindo a questão: a geometria algébrica pode ser desenvolvida sobre outros corpos, como aqueles com característica positiva, e mais genericamente sobre anéis de números como os inteiros, onde as ferramentas da topologia e da análise complexa usadas para estudar variedades complexas não parecem se aplicar?

O Teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz) sugere uma abordagem para a geometria algébrica sobre qualquer corpo algebricamente fechado $k$ : os ideais maximais no anel de polinômios $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ estão em correspondência biunívoca com o conjunto $k^{n}$ de $n$ -uplas de elementos de $k$ , e os ideais primos correspondem aos conjuntos algébricos irredutíveis em $k^{n}$ , conhecidos como variedades afins. Motivados por essas ideias, Emmy Noether e Wolfgang Krull desenvolveram a álgebra comutativa nas décadas de 1920 e 1930.^[3] O trabalho deles generalizou a geometria algébrica em uma direção puramente algébrica, generalizando o estudo de pontos (ideais maximais em um anel de polinômios) para o estudo de ideais primos em qualquer anel comutativo. Por exemplo, Krull definiu a dimensão de um anel comutativo em termos de ideais primos e, pelo menos quando o anel é noetheriano, ele provou que essa definição satisfaz muitas das propriedades intuitivas da dimensão geométrica.

A álgebra comutativa de Noether e Krull pode ser vista como uma abordagem algébrica às variedades algébricas afins. No entanto, muitos argumentos na geometria algébrica funcionam melhor para variedades projetivas, essencialmente porque são compactas. Das décadas de 1920 a 1940, B. L. van der Waerden, André Weil e Oscar Zariski aplicaram a álgebra comutativa como um novo alicerce para a geometria algébrica no cenário mais rico das variedades projetivas (ou quase-projetivas).^[4] Em particular, a topologia de Zariski é uma topologia útil em uma variedade sobre qualquer corpo algebricamente fechado, substituindo até certo ponto a topologia clássica em uma variedade complexa (baseada na topologia métrica dos números complexos).

Para aplicações à teoria dos números, van der Waerden e Weil formularam a geometria algébrica sobre qualquer corpo, não necessariamente algebricamente fechado. Weil foi o primeiro a definir uma variedade abstrata (não imersa num espaço projetivo), colando variedades afins ao longo de subconjuntos abertos, no modelo das variedades abstratas na topologia. Ele precisava dessa generalidade para a sua construção da variedade jacobiana de uma curva sobre qualquer corpo. (Mais tarde, Weil, Chow e Matsusaka mostraram que as jacobianas são variedades projetivas).

Os geômetras algébricos da escola italiana muitas vezes usaram o conceito um tanto nebuloso de ponto genérico de uma variedade algébrica. O que é verdadeiro para o ponto genérico é verdadeiro para a "maioria" dos pontos da variedade. Em Foundations of Algebraic Geometry (1946) de Weil, pontos genéricos são construídos tomando pontos num corpo algebricamente fechado muito grande, chamado de domínio universal.^[4] Isso funcionava de forma desajeitada: havia muitos pontos genéricos diferentes para a mesma variedade. (Na teoria posterior de esquemas, cada variedade algébrica tem um único ponto genérico).

Na década de 1950, Claude Chevalley, Masayoshi Nagata e Jean-Pierre Serre, motivados em parte pelas Conjecturas de Weil relacionando a teoria dos números e a geometria algébrica, estenderam ainda mais os objetos da geometria algébrica, por exemplo, generalizando os anéis base permitidos. A palavra esquema (schéma) foi usada pela primeira vez no Seminário Chevalley de 1956, no qual Chevalley desenvolveu as ideias de Zariski.^[5] De acordo com Pierre Cartier, foi André Martineau quem sugeriu a Serre a possibilidade de usar o espectro de um anel comutativo arbitrário como base para a geometria algébrica.^[6]

Origem dos esquemas

A teoria assumiu sua forma definitiva no Éléments de géométrie algébrique (EGA) de Grothendieck e no posterior Séminaire de géométrie algébrique (SGA), levando a uma conclusão uma geração de sugestões experimentais e desenvolvimentos parciais.^[7] Grothendieck definiu o espectro $X$ de um anel comutativo $R$ como o espaço dos ideais primos de $R$ com uma topologia natural (conhecida como topologia de Zariski), mas o incrementou com um feixe de anéis: a cada subconjunto aberto $U$ ele atribuiu um anel comutativo ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ , que pode ser pensado como o anel de coordenadas das funções regulares em $U$ . Estes objetos $\operatorname {Spec} (R)$ são os esquemas afins; um esquema geral é então obtido "colando" esquemas afins.

Grande parte da geometria algébrica se concentra em variedades projetivas ou quase-projetivas sobre um corpo $k$ , na maioria das vezes sobre os números complexos. Grothendieck desenvolveu um vasto corpo teórico para esquemas arbitrários, estendendo grande parte da intuição geométrica para variedades. Por exemplo, é comum construir um espaço de moduli primeiro como um esquema e só depois estudar se ele é um objeto mais concreto, como uma variedade projetiva. Aplicar a teoria de Grothendieck aos esquemas sobre os inteiros e outros corpos de números levou a novas e poderosas perspectivas na teoria dos números.

Definição

Um esquema afim é um espaço localmente anelado isomorfo ao espectro $\operatorname {Spec} (R)$ de um anel comutativo $R$ . Um esquema é um espaço localmente anelado $X$ que admite uma cobertura por conjuntos abertos $U_{i}$ , de tal forma que cada $U_{i}$ (como um espaço localmente anelado) é um esquema afim.^[8] Em particular, $X$ vem com um feixe ${\mathcal {O}}_{X}$ , que atribui a cada subconjunto aberto $U$ um anel comutativo ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ chamado de anel das funções regulares sobre $U$ . Pode-se pensar em um esquema como sendo coberto por "cartas de coordenadas" que são esquemas afins. A definição significa exatamente que os esquemas são obtidos pela colagem de esquemas afins usando a topologia de Zariski.

Nos primeiros dias, isso era chamado de um pré-esquema, e um esquema era definido como sendo um pré-esquema separado. O termo pré-esquema caiu em desuso, mas ainda pode ser encontrado em livros mais antigos, como o "Éléments de géométrie algébrique" de Grothendieck e o "Red Book" de Mumford.^[9] As propriedades de feixe de ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ significam que seus elementos, os quais não são necessariamente funções, podem, no entanto, ser montados a partir de suas restrições da mesma maneira que as funções.

Um exemplo básico de um esquema afim é o espaço afim de dimensão $n$ sobre um corpo $k$ , para um número natural $n$ . Por definição, $\mathbb {A} _{k}^{n}$ é o espectro do anel de polinômios $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ . No espírito da teoria dos esquemas, o espaço afim de dimensão $n$ pode de fato ser definido sobre qualquer anel comutativo $R$ , significando $\operatorname {Spec} (R[x_{1},\dots ,x_{n}])$ .

A categoria dos esquemas

Os esquemas formam uma categoria, com morfismos definidos como morfismos de espaços localmente anelados. (Veja também: Morfismo de esquemas). Para um esquema $Y$ , um esquema $X$ sobre $Y$ (ou um esquema- $Y$ ) significa um morfismo $X\to Y$ de esquemas. Um esquema $X$ sobre um anel comutativo $R$ significa um morfismo $X\to \operatorname {Spec} (R)$ .

Uma variedade algébrica sobre um corpo $k$ pode ser definida como um esquema sobre $k$ com certas propriedades. Existem diferentes convenções sobre exatamente quais esquemas devem ser chamados de variedades. Uma escolha padrão é que uma variedade sobre $k$ significa um esquema separado e íntegro de tipo finito sobre $k$ .^[10]

Um morfismo $f:X\to Y$ de esquemas determina um homomorfismo de recuo (pullback) nos anéis de funções regulares, $f^{\sharp }:{\mathcal {O}}(Y)\to {\mathcal {O}}(X)$ . No caso de esquemas afins, essa construção fornece uma correspondência biunívoca entre os morfismos $\operatorname {Spec} (A)\to \operatorname {Spec} (B)$ de esquemas e os homomorfismos de anéis $B\to A$ .^[11] Nesse sentido, a teoria dos esquemas subsume completamente a teoria dos anéis comutativos.

Visto que $\mathbb {Z}$ é um objeto inicial na categoria dos anéis comutativos, a categoria de esquemas tem $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ como um objeto terminal.

Para um esquema $X$ sobre um anel comutativo $R$ , um $R$ -ponto de $X$ significa uma seção do morfismo $X\to \operatorname {Spec} (R)$ . Escreve-se $X(R)$ para o conjunto de $R$ -pontos de $X$ . Em exemplos, esta definição reconstrói a antiga noção do conjunto de soluções das equações definidoras de $X$ com valores em $R$ . Quando $R$ é um corpo $k$ , $X(k)$ também é chamado de conjunto de pontos $k$ -racionais de $X$ .

Mais genericamente, para um esquema $X$ sobre um anel comutativo $R$ e qualquer $R$ -álgebra comutativa $S$ , um $S$ -ponto de $X$ significa um morfismo $\operatorname {Spec} (S)\to X$ sobre $R$ . Escreve-se $X(S)$ para o conjunto de $S$ -pontos de $X$ . (Isso generaliza a antiga observação de que dadas algumas equações sobre um corpo $k$ , pode-se considerar o conjunto de soluções das equações em qualquer extensão de corpo $E$ de $k$ ). Para um esquema $X$ sobre $R$ , a atribuição $S\mapsto X(S)$ é um functor de $R$ -álgebras comutativas para conjuntos. É uma observação importante o fato de que um esquema $X$ sobre $R$ é determinado por este functor de pontos.^[12]

O produto fibrado de esquemas sempre existe. Ou seja, para quaisquer esquemas $X$ e $Z$ com morfismos para um esquema $Y$ , o produto fibrado categórico $X\times _{Y}Z$ existe na categoria de esquemas. Se $X$ e $Z$ são esquemas sobre um corpo $k$ , o seu produto fibrado sobre $\operatorname {Spec} (k)$ pode ser chamado de produto $X\times Z$ na categoria de $k$ -esquemas. Por exemplo, o produto de espaços afins $\mathbb {A} ^{m}$ e $\mathbb {A} ^{n}$ sobre $k$ é o espaço afim $\mathbb {A} ^{m+n}$ sobre $k$ .

Visto que a categoria de esquemas tem produtos fibrados e também um objeto terminal $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ , ela tem todos os limites finitos.

Exemplos

Aqui e abaixo, todos os anéis considerados são comutativos.

Espaço afim

Seja $k$ um corpo algebricamente fechado. O espaço afim ${\bar {X}}=\mathbb {A} _{k}^{n}$ é a variedade algébrica de todos os pontos $a=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ com coordenadas em $k$ ; seu anel de coordenadas é o anel de polinômios $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ . O esquema correspondente $X=\mathrm {Spec} (R)$ é um espaço topológico com a topologia de Zariski, cujos pontos fechados são os ideais maximais ${\mathfrak {m}}_{a}=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n})$ , o conjunto de polinômios que se anulam em $a$ . O esquema também contém um ponto não fechado para cada ideal primo não maximal ${\mathfrak {p}}\subset R$ , cujo anulamento define uma subvariedade irredutível ${\bar {V}}={\bar {V}}({\mathfrak {p}})\subset {\bar {X}}$ ; o fecho topológico do ponto ${\mathfrak {p}}$ do esquema é o subesquema $V({\mathfrak {p}})=\{{\mathfrak {q}}\in X\ \ {\text{com}}\ \ {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}\}$ , que inclui em particular todos os pontos fechados da subvariedade, isto é, ${\mathfrak {m}}_{a}$ com $a\in {\bar {V}}$ , ou equivalentemente ${\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}_{a}$ .

O esquema $X$ tem uma base de subconjuntos abertos dada pelos complementos de hipersuperfícies, $U_{f}=X\setminus V(f)=\{{\mathfrak {p}}\in X\ \ {\text{com}}\ \ f\notin {\mathfrak {p}}\}$ para polinômios irredutíveis $f\in R$ . Este conjunto é dotado de seu anel de coordenadas de funções regulares ${\mathcal {O}}_{X}(U_{f})=R[f^{-1}]=\left\{{\tfrac {r}{f^{m}}}\ \ {\text{para}}\ \ r\in R,\ m\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\right\}.$ Isso induz um feixe único ${\mathcal {O}}_{X}$ que dá o anel usual de funções racionais regulares em um dado conjunto aberto $U$ .

Cada elemento do anel $r=r(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R$ , uma função polinomial em ${\bar {X}}$ , também define uma função nos pontos do esquema $X$ cujo valor em ${\mathfrak {p}}$ reside no anel quociente $R/{\mathfrak {p}}$ , o anel residual. Definimos $r({\mathfrak {p}})$ como a imagem de $r$ sob a aplicação natural $R\to R/{\mathfrak {p}}$ . Um ideal maximal ${\mathfrak {m}}_{a}$ fornece o corpo residual $k({\mathfrak {m}}_{a})=R/{\mathfrak {m}}_{a}\cong k$ , com o isomorfismo natural $x_{i}\mapsto a_{i}$ , de modo que $r({\mathfrak {m}}_{a})$ corresponda ao valor original $r(a)$ .

O lugar de zeros de um polinômio $f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ é uma subvariedade do tipo hipersuperfície ${\bar {V}}(f)\subset \mathbb {A} _{k}^{n}$ , correspondendo ao ideal principal $(f)\subset R$ . O esquema correspondente é ${\textstyle V(f)=\operatorname {Spec} (R/(f))}$ , um subesquema fechado do espaço afim. Por exemplo, tomando $k$ como os números complexos ou reais, a equação $x^{2}=y^{2}(y+1)$ define uma curva cúbica nodal no plano afim $\mathbb {A} _{k}^{2}$ , correspondendo ao esquema $V=\operatorname {Spec} k[x,y]/(x^{2}-y^{2}(y+1))$ .

Spec dos inteiros

O anel de inteiros $\mathbb {Z}$ pode ser considerado como o anel de coordenadas do esquema $Z=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ . A topologia de Zariski possui os pontos fechados ${\mathfrak {m}}_{p}=(p)$ , os ideais principais dos números primos $p\in \mathbb {Z}$ ; bem como o ponto genérico ${\mathfrak {p}}_{0}=(0)$ , o ideal nulo, cujo fecho é o esquema inteiro. Conjuntos fechados são conjuntos finitos, e os abertos são seus complementos, os conjuntos cofinitos; qualquer conjunto infinito de pontos é denso.^[13]^[14]^[15]

A base de conjunto aberto correspondente ao elemento irredutível $p\in \mathbb {Z}$ é $U_{p}=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p}\}$ , com o anel de coordenadas ${\mathcal {O}}_{Z}(U_{p})=\mathbb {Z} [p^{-1}]=\{{\tfrac {n}{p^{m}}}\ {\text{para}}\ n\in \mathbb {Z} ,\ m\geq 0\}$ . Para o conjunto aberto $U=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p_{1}},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{p_{\ell }}\}$ , isso induz ${\mathcal {O}}_{Z}(U)=\mathbb {Z} [p_{1}^{-1},\ldots ,p_{\ell }^{-1}]$ .

Um número $n\in \mathbb {Z}$ corresponde a uma função no esquema $Z$ , uma função cujo valor em ${\mathfrak {m}}_{p}$ está no corpo residual $k({\mathfrak {m}}_{p})=\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {F} _{p}$ , o corpo finito dos inteiros módulo $p$ : a função é definida por $n({\mathfrak {m}}_{p})=n\ {\text{mod}}\ p$ , e também $n({\mathfrak {p}}_{0})=n$ no anel residual genérico $\mathbb {Z} /(0)=\mathbb {Z}$ . A função $n$ é determinada apenas pelos seus valores nos pontos ${\mathfrak {m}}_{p}$ , de modo que podemos pensar em $n$ como uma espécie de "função regular" nos pontos fechados, um tipo muito especial dentre as funções arbitrárias $f$ com $f({\mathfrak {m}}_{p})\in \mathbb {F} _{p}$ .

Note que o ponto ${\mathfrak {m}}_{p}$ é o lugar de zeros da função $n=p$ , o ponto onde o valor de $p$ é igual a zero no corpo residual. O corpo de "funções racionais" em $Z$ é o corpo de frações do anel residual genérico, $k({\mathfrak {p}}_{0})=\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )=\mathbb {Q}$ . Uma fração $a/b$ tem "polos" nos pontos ${\mathfrak {m}}_{p}$ correspondentes aos divisores primos do denominador.

Isso também fornece uma interpretação geométrica do Lema de Bézout que afirma que, se os inteiros $n_{1},\ldots ,n_{r}$ não tiverem nenhum fator primo em comum, então existem inteiros $a_{1},\ldots ,a_{r}$ tais que $a_{1}n_{1}+\cdots +a_{r}n_{r}=1$ . Geometricamente, trata-se de uma versão do fraco Nullstellensatz de Hilbert para o esquema $Z$ : se as funções $n_{1},\ldots ,n_{r}$ não têm nenhum ponto de fuga em comum ${\mathfrak {m}}_{p}$ em $Z$ , então elas geram o ideal unitário $(n_{1},\ldots ,n_{r})=(1)$ no anel de coordenadas $\mathbb {Z}$ . De fato, podemos considerar os termos $\rho _{i}=a_{i}n_{i}$ como formando uma espécie de partição da unidade subordinada à cobertura de $Z$ pelos conjuntos abertos $U_{i}=Z\smallsetminus V(n_{i})$ .

Reta afim sobre os inteiros

O espaço afim $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{1}=\{a\ {\text{para}}\ a\in \mathbb {Z} \}$ é uma variedade com o anel de coordenadas $\mathbb {Z} [x]$ , os polinômios com coeficientes inteiros. O esquema correspondente é $Y=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])$ , cujos pontos são todos os ideais primos ${\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [x]$ . Os pontos fechados são ideais maximais da forma ${\mathfrak {m}}=(p,f(x))$ , onde $p$ é um número primo e $f(x)$ é um polinômio não constante sem fator inteiro e que é irredutível módulo $p$ . Assim, podemos visualizar $Y$ como sendo bidimensional, com uma "direção característica" medida pela coordenada $p$ , e uma "direção espacial" com coordenada $x$ .^[16]^[17]^[18]

Um dado número primo $p$ define uma "linha vertical", o subesquema $V(p)$ do ideal primo ${\mathfrak {p}}=(p)$ : isso contém ${\mathfrak {m}}=(p,f(x))$ para todos $f(x)$ , os "pontos característicos $p$ " do esquema. Fixando a coordenada $x$ , temos a "linha horizontal" $x=a$ , o subesquema $V(x-a)$ do ideal primo ${\mathfrak {p}}=(x-a)$ . Temos também a reta $V(bx-a)$ correspondendo à coordenada racional $x=a/b$ , que não intercepta $V(p)$ para os $p$ que dividem $b$ .

Um subesquema "horizontal" de grau mais alto, como $V(x^{2}+1)$ , corresponde a valores de $x$ que são raízes de $x^{2}+1$ , nomeadamente $x=\pm {\sqrt {-1}}$ . Isso se comporta de forma diferente sob diferentes coordenadas $p$ . Em $p=5$ , obtemos dois pontos $x=\pm 2\ {\text{mod}}\ 5$ , uma vez que $(5,x^{2}+1)=(5,x-2)\cap (5,x+2)$ . Em $p=2$ , obtemos um ponto duplo ramificado $x=1\ {\text{mod}}\ 2$ , pois $(2,x^{2}+1)=(2,(x-1)^{2})$ . E em $p=3$ , obtemos que ${\mathfrak {m}}=(3,x^{2}+1)$ é um ideal primo correspondente a $x=\pm {\sqrt {-1}}$ numa extensão de corpo de $\mathbb {F} _{3}$ ; como não podemos distinguir entre esses valores (eles são simétricos sob o grupo de Galois), devemos imaginar $V(3,x^{2}+1)$ como dois pontos fundidos. No geral, $V(x^{2}+1)$ é uma espécie de fusão de duas linhas horizontais Galois-simétricas, uma curva de grau 2.

O corpo residual em ${\mathfrak {m}}=(p,f(x))$ é $k({\mathfrak {m}})=\mathbb {Z} [x]/{\mathfrak {m}}=\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))\cong \mathbb {F} _{p}(\alpha )$ , uma extensão de corpo de $\mathbb {F} _{p}$ adjuntando uma raiz $x=\alpha$ de $f(x)$ ; este é um corpo finito com $p^{d}$ elementos, $d=\operatorname {deg} (f)$ . Um polinômio $r(x)\in \mathbb {Z} [x]$ corresponde a uma função no esquema $Y$ com valores $r({\mathfrak {m}})=r\ \mathrm {mod} \ {\mathfrak {m}}$ , o que é $r({\mathfrak {m}})=r(\alpha )\in \mathbb {F} _{p}(\alpha )$ . Novamente cada $r(x)\in \mathbb {Z} [x]$ é determinado pelos seus valores $r({\mathfrak {m}})$ em pontos fechados; $V(p)$ é o lugar de zeros do polinômio constante $r(x)=p$ ; e $V(f(x))$ contém os pontos em cada característica $p$ correspondendo às órbitas de Galois de raízes de $f(x)$ no fecho algébrico ${\overline {\mathbb {F} }}_{p}$ .

O esquema $Y$ não é próprio, de forma que pares de curvas podem falhar em se cruzar com a multiplicidade esperada. Esse é um grande obstáculo para a análise das equações diofantinas utilizando ferramentas geométricas. A Teoria de Arakelov supera esse obstáculo compactificando os esquemas aritméticos afins, adicionando pontos no infinito correspondentes a valorizações.

Superfícies aritméticas

Se considerarmos um polinômio $f\in \mathbb {Z} [x,y]$ , então o esquema afim $X=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x,y]/(f))$ possui um morfismo canônico para $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ e é chamado de superfície aritmética. As fibras $X_{p}=X\times _{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})$ são então curvas algébricas sobre os corpos finitos $\mathbb {F} _{p}$ . Se $f(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c$ é uma curva elíptica, então as fibras sobre o seu lugar de discriminante, onde $\Delta _{f}=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}=0\ {\text{mod}}\ p,$ são todas esquemas singulares.^[19] Por exemplo, se $p$ for um número primo e $X=\operatorname {Spec} {\frac {\mathbb {Z} [x,y]}{(y^{2}-x^{3}-p)}}$ então seu discriminante é $-27p^{2}$ . Esta curva é singular sobre os números primos $3,p$ .

Esquemas não afins

Para qualquer anel comutativo $R$ e número natural $n$ , o espaço projetivo $\mathbb {P} _{R}^{n}$ pode ser construído como um esquema colando $n+1$ cópias do espaço afim de dimensão $n$ sobre $R$ ao longo de subconjuntos abertos. Este é o exemplo fundamental que motiva a ir além dos esquemas afins. A principal vantagem do espaço projetivo sobre o espaço afim é que $\mathbb {P} _{R}^{n}$ é próprio sobre $R$ ; esta é uma versão algebro-geométrica da compacidade. Na verdade, o espaço projetivo complexo $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}$ é um espaço compacto na topologia clássica, enquanto que $\mathbb {C} ^{n}$ não é.
Um polinômio homogêneo $f$ de grau positivo no anel de polinômios $R[x_{0},\dots ,x_{n}]$ determina um subesquema fechado $f=0$ no espaço projetivo $\mathbb {P} _{R}^{n}$ , chamado de hipersuperfície projetiva. Nos termos da Construção Proj, esse subesquema pode ser escrito como $\operatorname {Proj} R[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f).$ Por exemplo, o subesquema fechado $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ de $\mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{2}$ é uma curva elíptica sobre os números racionais.
A reta com duas origens (sobre um corpo $k$ ) é o esquema definido ao se iniciar com duas cópias da reta afim sobre $k$ , e colando os dois subconjuntos abertos $\mathbb {A} ^{1}\setminus \{0\}$ pela aplicação identidade. Este é um exemplo simples de um esquema não separado. Em particular, ele não é afim.^[20]
Uma razão simples para ir além de esquemas afins é que um subconjunto aberto de um esquema afim não precisa ser afim. Por exemplo, seja $X=\mathbb {A} ^{n}\smallsetminus \{0\}$ , digamos sobre os números complexos $\mathbb {C}$ ; então $X$ não é afim para $n\geq 2$ . (Porém, a reta afim menos a origem é isomorfa ao esquema afim $\mathrm {Spec} \,\mathbb {C} [x,x^{-1}]$ ). Para mostrar que $X$ não é afim, calcula-se que toda função regular em $X$ se estende a uma função regular em $\mathbb {A} ^{n}$ quando $n\geq 2$ : isto é análogo ao Lema de Hartogs na análise complexa, embora seja mais fácil de provar. Ou seja, a inclusão $f:X\to \mathbb {A} ^{n}$ induz um isomorfismo de ${\mathcal {O}}(\mathbb {A} ^{n})=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ a ${\mathcal {O}}(X)$ . Se $X$ fosse afim, seguir-se-ia que $f$ é um isomorfismo, mas $f$ não é sobrejetivo e, portanto, não é um isomorfismo. Logo, o esquema $X$ não é afim.^[21]
Seja $k$ um corpo. Então o esquema ${\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$ é um esquema afim cujo espaço topológico subjacente é a Compactificação de Stone-Čech dos números inteiros positivos (com a topologia discreta). De fato, os ideais primos deste anel estão em correspondência biunívoca com os ultrafiltros sobre os inteiros positivos, com o ideal ${\textstyle \prod _{m\neq n}k}$ correspondendo ao ultrafiltro principal associado ao inteiro positivo $n$ .^[22] Este espaço topológico tem dimensão zero, e em particular, cada ponto é uma componente irredutível. Como esquemas afins são quase-compactos, este é um exemplo de um esquema quase-compacto não noetheriano com infinitas componentes irredutíveis. (Em contraste, um esquema noetheriano tem apenas um número finito de componentes irredutíveis).

Exemplos de morfismos

Também é frutífero considerar exemplos de morfismos como exemplos de esquemas, uma vez que demonstram a sua eficácia técnica para encapsular muitos objetos de estudo na geometria algébrica e aritmética.

Motivação para os esquemas

Abaixo seguem algumas das maneiras pelas quais os esquemas vão além de noções mais antigas de variedades algébricas, bem como a sua importância.

Extensões de corpo. Dadas algumas equações polinomiais em $n$ variáveis sobre um corpo $k$ , pode-se estudar o conjunto $X(k)$ de soluções das equações no conjunto de produtos $k^{n}$ . Se o corpo $k$ for algebricamente fechado (por exemplo, os números complexos), pode-se embasar a geometria algébrica em conjuntos como $X(k)$ : definir a topologia de Zariski em $X(k)$ , considerar as aplicações polinomiais entre diferentes conjuntos desse tipo, e assim por diante. Mas se $k$ não for algebricamente fechado, o conjunto $X(k)$ não será rico o suficiente. De fato, pode-se estudar as soluções $X(E)$ das equações dadas em qualquer extensão de corpo $E$ de $k$ , mas esses conjuntos não são determinados por $X(k)$ em nenhum sentido razoável. Por exemplo, a curva plana $X$ sobre os números reais definida por $x^{2}+y^{2}=-1$ possui $X(\mathbb {R} )$ vazio, mas $X(\mathbb {C} )$ não é vazio. (Na verdade, $X(\mathbb {C} )$ pode ser identificado com $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ ). Por outro lado, um esquema $X$ sobre um corpo $k$ tem informações suficientes para determinar o conjunto $X(E)$ de pontos racionais de $E$ para qualquer extensão de corpo $E$ de $k$ . (Em particular, o subesquema fechado de $\mathbb {A} _{\mathbb {R} }^{2}$ definido por $x^{2}+y^{2}=-1$ é um espaço topológico não vazio).
Ponto genérico. Os pontos da reta afim $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$ , como um esquema, são seus pontos complexos (um para cada número complexo) juntamente com um ponto genérico (cujo fecho é o esquema inteiro). O ponto genérico é a imagem de um morfismo natural $\operatorname {Spec} (\mathbb {C} (x))\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$ , onde $\mathbb {C} (x)$ é o corpo de funções racionais em uma variável. Para perceber o motivo da utilidade de ter um verdadeiro "ponto genérico" no esquema, considere o seguinte exemplo.
Seja $X$ a curva plana $y^{2}=x(x-1)(x-5)$ sobre os números complexos. Ela é um subesquema fechado de $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}$ . Ela pode ser vista como um revestimento duplo ramificado da reta afim $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$ pela projeção na coordenada $x$ . A fibra do morfismo $X\to \mathbb {A} ^{1}$ sobre o ponto genérico de $\mathbb {A} ^{1}$ é exatamente o ponto genérico de $X$ , resultando no morfismo $\operatorname {Spec} \mathbb {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right)\to \operatorname {Spec} \mathbb {C} (x).$ Isto, por sua vez, é equivalente à extensão de corpos de grau 2 $\mathbb {C} (x)\subset \mathbb {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right).$ Deste modo, ter um verdadeiro ponto genérico de uma variedade rende uma relação geométrica entre um morfismo de grau 2 de variedades algébricas e a extensão de grau 2 correspondente de corpos de funções. Isso se generaliza para uma relação entre o grupo fundamental (o qual classifica os espaços de recobrimento em topologia) e o grupo de Galois (que classifica certas extensões de corpos). Na verdade, a teoria de Grothendieck do grupo fundamental étale trata o grupo fundamental e o grupo de Galois em pé de igualdade.

Elementos nilpotentes. Seja $X$ o subesquema fechado da reta afim $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$ definida por $x^{2}=0$ , às vezes chamado de ponto gordo (fat point). O anel de funções regulares em $X$ é $\mathbb {C} [x]/(x^{2})$ ; de modo notável, a função regular $x$ em $X$ é nilpotente, porém não é nula. Para indicar o significado desse esquema: duas funções regulares na reta afim têm a mesma restrição a $X$ se, e somente se, elas tiverem o mesmo valor e a mesma primeira derivada na origem. Permitir tais esquemas não reduzidos traz as noções do cálculo e de infinitesimais à geometria algébrica.
Elementos nilpotentes surgem naturalmente na teoria da interseção. Por exemplo, no plano $\mathbb {A} _{k}^{2}$ sobre um corpo $k$ , com o anel de coordenadas $k[x,y]$ , considere o eixo $x$ , que é a variedade $V(y)$ , e a parábola $y=x^{2}$ , que é $V(x^{2}-y)$ . Sua interseção do ponto de vista de esquema é definida pelo ideal $(y)+(x^{2}-y)=(x^{2},y)$ . Uma vez que a interseção não é transversal, este não é meramente o ponto $(x,y)=(0,0)$ definido pelo ideal $(x,y)\subset k[x,y]$ , mas sim um ponto gordo contendo a direção tangente do eixo $x$ (a tangente comum das duas curvas) e tendo anel de coordenadas: ${\frac {k[x,y]}{(x^{2},\,y)}}\cong {\frac {k[x]}{(x^{2})}}.$ A multiplicidade de interseção igual a 2 é definida como o comprimento deste $k[x,y]$ -módulo, ou seja, sua dimensão como um $k$ -espaço vetorial.
Como um exemplo mais elaborado, pode-se descrever todos os subesquemas fechados de dimensão zero e grau 2 numa variedade complexa lisa $Y$ . Um subesquema de tal forma consiste seja em dois pontos complexos distintos de $Y$ , ou num subesquema isomorfo a $X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x]/(x^{2}))$ , como no parágrafo anterior. Os subesquemas deste último tipo são determinados por um ponto complexo $y$ em $Y$ em conjunto com uma reta no espaço tangente $T_{y}Y$ .^[23] Isso indica novamente que subesquemas não reduzidos contêm um significado geométrico atrelado a derivadas e vetores tangentes.

Feixes coerentes

Uma parte central da teoria dos esquemas é a noção de feixes coerentes, que generaliza a noção de fibrados vetoriais (algébricos). Para um esquema $X$ , começa-se considerando a categoria abeliana de ${\mathcal {O}}_{X}$ -módulos, que são feixes de grupos abelianos em $X$ os quais formam um módulo sobre o feixe de funções regulares ${\mathcal {O}}_{X}$ . Em particular, um módulo $M$ sobre um anel comutativo $R$ determina um ${\mathcal {O}}_{X}$ -módulo associado ${\widetilde {M}}$ em $X=\operatorname {Spec} (R)$ . Um feixe quase-coerente num esquema $X$ significa um ${\mathcal {O}}_{X}$ -módulo que é o feixe associado a um módulo em cada subconjunto aberto afim de $X$ . Finalmente, um feixe coerente (em um esquema noetheriano $X$ , por exemplo) é um ${\mathcal {O}}_{X}$ -módulo que é o feixe associado a um módulo finitamente gerado em cada subconjunto aberto afim de $X$ .

Os feixes coerentes incluem a importante classe dos fibrados vetoriais, que são os feixes que localmente vêm de módulos livres finitamente gerados. Um exemplo é o fibrado tangente de uma variedade lisa sobre um corpo. No entanto, os feixes coerentes são mais ricos; por exemplo, um fibrado vetorial sobre um subesquema fechado $Y$ de $X$ pode ser visualizado como um feixe coerente em $X$ que é nulo fora de $Y$ (através da construção por imagem direta). Dessa forma, os feixes coerentes em um esquema $X$ englobam informações sobre todos os subesquemas fechados de $X$ . Por conseguinte, a coomologia de feixes desfruta de boas propriedades para feixes coerentes (e quase-coerentes). A teoria resultante da coomologia de feixes coerentes talvez seja a principal ferramenta técnica na geometria algébrica.^[24]^[25]

Generalizações

Considerado como o seu functor de pontos, um esquema é um functor que atua como um feixe de conjuntos para a topologia de Zariski na categoria dos anéis comutativos, e que, localmente na topologia de Zariski, é um esquema afim. Isso pode ser generalizado de diversas formas. Uma delas é usar a topologia étale. Michael Artin definiu um espaço algébrico como um functor que é um feixe na topologia étale e que, localmente na topologia étale, consiste de um esquema afim. Equivalentemente, um espaço algébrico é o quociente de um esquema por uma relação de equivalência étale. Um resultado poderoso, o Teorema de representabilidade de Artin, fornece as condições simples para que um functor seja representado por um espaço algébrico.^[26]

Uma generalização adicional é a concepção de um stack (também conhecido como pilha). Grosso modo, os stacks algébricos generalizam os espaços algébricos ao terem um grupo algébrico fixado a cada ponto, o qual é enxergado como o grupo de automorfismos daquele ponto. Por exemplo, qualquer ação de grupo de um grupo algébrico $G$ numa variedade algébrica $X$ determina um stack quociente $[X/G]$ , que armazena os subgrupos estabilizadores para a ação de $G$ . De maneira mais ampla, os espaços de moduli na geometria algébrica frequentemente são mais bem concebidos como stacks, permitindo o acompanhamento de todos os grupos de automorfismos dos objetos sob classificação.

Originalmente, Grothendieck introduziu os stacks como uma ferramenta aplicável à teoria da descida (descent). Nessa formulação, os stacks são (falando informalmente) feixes de categorias.^[27] A partir dessa noção geral, Artin cunhou a restrita classe dos stacks algébricos (ou "stacks de Artin"), os quais podem ser tomados como objetos geométricos. Eles abarcam os stacks de Deligne-Mumford (análogos às orbivariedades (orbifolds) em topologia), cujos grupos estabilizadores são finitos, assim como os espaços algébricos, com grupos estabilizadores triviais. O Teorema de Keel-Mori indica que um stack algébrico com grupos estabilizadores finitos detém um espaço de moduli grosseiro (coarse) que toma a forma de um espaço algébrico.

Uma outra classe de generalização visa enriquecer o feixe estrutural, atraindo a geometria algébrica para mais perto da teoria da homotopia. Sob esse paradigma, denotado como geometria algébrica derivada ou "geometria algébrica espectral", o feixe estrutural substitui-se por um análogo homotópico do feixe de anéis comutativos (a exemplo de um feixe de espectros de anel E-infinito). Estes feixes consentem as operações algébricas tanto de natureza associativa quanto comutativa apenas salvo uma relação de equivalência. Se abstraído o quociente por essa correlação de equivalência, o feixe de estrutura de um esquema comum é rendido. Contudo, em não tirando o quociente, atinge-se uma teoria dotada da faculdade de guardar informações em graus mais elevados, analogamente aos functores derivados no ramo da álgebra homológica abrirem as portas para compreensões superiores sobre operações como o produto tensorial e o functor Hom nos módulos.

Ver também

Morfismo plano, Morfismo suave, Morfismo próprio, Morfismo finito, Morfismo étale
Curva estável
Geometria birracional
Coomologia étale, Grupo de Chow, Teoria de Hodge
Esquema de grupos, Variedade abeliana, Grupo algébrico linear, Grupo redutivo
Moduli de curvas algébricas
Colagem de esquemas

Referências

↑ Introdução da primeira edição de "Éléments de géométrie algébrique".
↑ Dieudonné 1985, Capítulos IV e V.
↑ Dieudonné 1985, seções VII.2 e VII.5.
1 2 Dieudonné 1985, seção VII.4.
↑ Chevalley, C. (1955–1956). «Les schémas». Séminaire Henri Cartan. 8 (5): 1–6
↑ Cartier 2001, nota 29.
↑ Dieudonné 1985, seções VII.4, VIII.2, VIII.3.
↑ Hartshorne 1997, seção II.2.
↑ Mumford 1999, Capítulo II.
↑ «Stacks Project, Tag 020D» .
↑ Hartshorne 1997, Proposição II.2.3.
↑ Eisenbud & Harris 1998, Proposição VI-2.
↑ Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer.
↑ Eisenbud, David; Harris, Joe (2000). The Geometry of Schemes. Springer.
↑ Grothendieck, Alexander; Dieudonné, Jean (1960–1967). Éléments de géométrie algébrique. Publications Mathématiques de l'IHÉS.
↑ Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer.
↑ Eisenbud, David; Harris, Joe (2000). The Geometry of Schemes. Springer.
↑ Liu, Qing (2002). Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press.
↑ «Elliptic curves» (PDF). p. 20
↑ Hartshorne 1997, Exemplo II.4.0.1.
↑ Hartshorne 1997, Exercícios I.3.6 e III.4.3.
↑ Arapura 2011, seção 1.
↑ Eisenbud & Harris 1998, Exemplo II-10.
↑ Dieudonné 1985, seções VIII.2 e VIII.3.
↑ Hartshorne 1997, Capítulo III.
↑ «Stacks Project, Tag 07Y1» .
↑ Vistoli 2005, Definição 4.6.

Bibliografias

Arapura, Donu (2011). «Frobenius amplitude, ultraproducts, and vanishing on singular spaces». Illinois Journal of Mathematics. 55 (4): 1367–1384. MR 3082873. arXiv:0806.1033. doi:10.1215/ijm/1373636688
Cartier, Pierre (2001). «A mad day's work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry». Bulletin of the American Mathematical Society. 38 (4): 389–408. MR 1848254. doi:10.1090/S0273-0979-01-00913-2
Dieudonné, Jean (1985). History of Algebraic Geometry. [S.l.]: Wadsworth. ISBN 978-0-534-03723-9. MR 0780183
Eisenbud, David; Harris, Joe (1998). The Geometry of Schemes. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98637-1. MR 1730819
Predefinição:EGA
Hartshorne, Robin (1997) [1977]. Algebraic Geometry. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157
Igor R. Shafarevich (2013). Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 978-3642380099. MR 0456457
Qing Liu (2002). Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. [S.l.]: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850284-5. MR 1917232
Mumford, David (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians. Col: Lecture Notes in Mathematics. 1358 2ª ed. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-63293-1. MR 1748380. doi:10.1007/b62130
Vistoli, Angelo (2005). «Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory». Fundamental Algebraic Geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 1–104. Bibcode:2004math.....12512V. MR 2223406. arXiv:math/0412512

Ligações externas

David Mumford, Can one explain schemes to biologists?
The Stacks Project Authors. «The Stacks Project»
https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/ – a seção de comentários contém algumas discussões interessantes sobre a teoria dos esquemas (incluindo postagens de Terence Tao).

[1] Introdução da primeira edição de "Éléments de géométrie algébrique".

[FOOTNOTEDieudonné1985Capítulos_IV_e_V-2] Dieudonné 1985, Capítulos IV e V.

[FOOTNOTEDieudonné1985seções_VII.2_e_VII.5-3] Dieudonné 1985, seções VII.2 e VII.5.

[FOOTNOTEDieudonné1985seção_VII.4-4] 1 2 Dieudonné 1985, seção VII.4.

[5] Chevalley, C. (1955–1956). «Les schémas». Séminaire Henri Cartan. 8 (5): 1–6

[FOOTNOTECartier2001nota_29-6] Cartier 2001, nota 29.

[FOOTNOTEDieudonné1985seções_VII.4,_VIII.2,_VIII.3-7] Dieudonné 1985, seções VII.4, VIII.2, VIII.3.

[FOOTNOTEHartshorne1997seção_II.2-8] Hartshorne 1997, seção II.2.

[FOOTNOTEMumford1999Capítulo_II-9] Mumford 1999, Capítulo II.

[St020D-10] «Stacks Project, Tag 020D» .

[FOOTNOTEHartshorne1997Proposição_II.2.3-11] Hartshorne 1997, Proposição II.2.3.

[FOOTNOTEEisenbudHarris1998Proposição_VI-2-12] Eisenbud & Harris 1998, Proposição VI-2.

[13] Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer.

[14] Eisenbud, David; Harris, Joe (2000). The Geometry of Schemes. Springer.

[15] Grothendieck, Alexander; Dieudonné, Jean (1960–1967). Éléments de géométrie algébrique. Publications Mathématiques de l'IHÉS.

[16] Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer.

[17] Eisenbud, David; Harris, Joe (2000). The Geometry of Schemes. Springer.

[18] Liu, Qing (2002). Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press.

[19] «Elliptic curves» (PDF). p. 20

[FOOTNOTEHartshorne1997Exemplo_II.4.0.1-20] Hartshorne 1997, Exemplo II.4.0.1.

[FOOTNOTEHartshorne1997Exercícios_I.3.6_e_III.4.3-21] Hartshorne 1997, Exercícios I.3.6 e III.4.3.

[FOOTNOTEArapura2011seção_1-22] Arapura 2011, seção 1.

[FOOTNOTEEisenbudHarris1998Exemplo_II-10-23] Eisenbud & Harris 1998, Exemplo II-10.

[FOOTNOTEDieudonné1985seções_VIII.2_e_VIII.3-24] Dieudonné 1985, seções VIII.2 e VIII.3.

[FOOTNOTEHartshorne1997Capítulo_III-25] Hartshorne 1997, Capítulo III.

[St07Y1-26] «Stacks Project, Tag 07Y1» .

[FOOTNOTEVistoli2005Definição_4.6-27] Vistoli 2005, Definição 4.6.

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