Topologia de Zariski

Na geometria algébrica e na álgebra comutativa, a topologia de Zariski é uma topologia definida sobre objetos geométricos chamados variedades. Ela é muito diferente das topologias que são comumente usadas na análise real ou complexa; em particular, ela não é de Hausdorff.^[1] Esta topologia foi introduzida primeiramente por Oscar Zariski e posteriormente generalizada para fazer do conjunto de ideais primos de um anel comutativo (chamado de espectro do anel) um espaço topológico.

A topologia de Zariski permite que ferramentas da topologia sejam usadas para estudar variedades algébricas, mesmo quando o corpo subjacente não é um corpo topológico. Esta é uma das ideias básicas da teoria dos esquemas, que permite construir variedades algébricas gerais colando variedades afins de uma maneira semelhante à da teoria das variedades, onde as variedades são construídas colando cartas, que são subconjuntos abertos de espaços afins reais.

A topologia de Zariski de uma variedade algébrica é a topologia cujos conjuntos fechados são os subconjuntos algébricos da variedade.^[1] No caso de uma variedade algébrica sobre os números complexos, a topologia de Zariski é, portanto, mais grossa que a topologia usual, uma vez que todo conjunto algébrico é fechado para a topologia usual.

A generalização da topologia de Zariski para o conjunto de ideais primos de um anel comutativo segue do Teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz), que estabelece uma correspondência bijetiva entre os pontos de uma variedade afim definida sobre um corpo algebricamente fechado e os ideais maximais do anel de suas funções regulares. Isso sugere definir a topologia de Zariski no conjunto dos ideais maximais de um anel comutativo como a topologia tal que um conjunto de ideais maximais é fechado se, e somente se, for o conjunto de todos os ideais maximais que contêm um dado ideal. Outra ideia básica da teoria dos esquemas de Grothendieck é considerar como pontos não apenas os pontos usuais correspondentes a ideais maximais, mas também todas as variedades algébricas (irredutíveis), que correspondem a ideais primos. Assim, a topologia de Zariski no conjunto de ideais primos (espectro) de um anel comutativo é a topologia tal que um conjunto de ideais primos é fechado se, e somente se, for o conjunto de todos os ideais primos que contêm um ideal fixo.

Na geometria algébrica clássica (isto é, a parte da geometria algébrica na qual não se usam esquemas, que foram introduzidos por Grothendieck por volta de 1960), a topologia de Zariski é definida em variedades algébricas.^[2] A topologia de Zariski, definida nos pontos da variedade, é a topologia na qual os conjuntos fechados são os subconjuntos algébricos da variedade. Como as variedades algébricas mais elementares são as afins e as projetivas, é útil tornar esta definição mais explícita em ambos os casos. Assumimos que estamos trabalhando sobre um corpo algebricamente fechado fixo ${\displaystyle k}$ (na geometria algébrica clássica, ${\displaystyle k}$ é geralmente o corpo dos números complexos).

Na geometria algébrica moderna, uma variedade algébrica é frequentemente representada por seu esquema associado, que é um espaço topológico (equipado com estruturas adicionais) que é localmente homeomorfo ao espectro de um anel.^[3] O espectro de um anel comutativo ${\displaystyle A}$, denotado ${\displaystyle \mathrm {Spec} \ A}$, é o conjunto dos ideais primos de ${\displaystyle A}$, equipado com a topologia de Zariski, para a qual os conjuntos fechados são os conjuntos

${\displaystyle V(I)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid {\mathfrak {p}}\supseteq I\}}$

onde ${\displaystyle I}$ é um ideal. Novamente escrevendo ${\displaystyle V(f)=V((f))}$, os conjuntos abertos distinguidos (ou abertos principais ou abertos básicos) de ${\displaystyle \mathrm {Spec} \ A}$ são os conjuntos ${\displaystyle D(f)=(\mathrm {Spec} \ A)\setminus V(f)}$ para os elementos ${\displaystyle f\in A}$. Estes conjuntos formam uma base para a topologia de Zariski.

Para ver a conexão com o quadro clássico, note que para qualquer conjunto ${\displaystyle S}$ de polinômios (sobre um corpo algebricamente fechado), segue-se do Teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz) que os pontos de ${\displaystyle V(S)}$ (no sentido antigo) são exatamente as uplas ${\displaystyle (a_{1},...,a_{n})\in k^{n}}$ tais que o ideal gerado pelos polinômios ${\displaystyle x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n}}$ contém ${\displaystyle S}$; além disso, estes são ideais maximais e, pelo Nullstellensatz "fraco", um ideal de qualquer anel de coordenadas afim é maximal se, e somente se, for desta forma. Assim, ${\displaystyle V(S)}$ é "o mesmo que" os ideais maximais que contêm ${\displaystyle S}$. Para ser um pouco mais explícito, seja ${\displaystyle \mathrm {Spm} \ A}$ o espectro maximal de um anel comutativo ${\displaystyle A}$, o conjunto de seus ideais maximais, e seja ${\displaystyle k}$ um corpo algebricamente fechado. Se ${\displaystyle I}$ for um ideal, então sob a definição clássica de ${\displaystyle V(\cdot )}$, existem correspondências biunívocas

${\displaystyle V(I)\leftrightarrow \{{\mathfrak {m}}\in \mathrm {Spm} \ k[x_{1},\dots ,x_{n}]\mid {\mathfrak {m}}\supseteq I\}\leftrightarrow \mathrm {Spm} \ k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I}$

dadas por

${\displaystyle a\leftrightarrow (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})\leftrightarrow ({\overline {x_{1}}}-a_{1},\dots ,{\overline {x_{n}}}-a_{n})}$

para ${\displaystyle a=(a_{1},...,a_{n})\in V(I)}$, onde ${\displaystyle {\overline {x_{i}}}}$ são as imagens de ${\displaystyle x_{i}}$ sob a projeção natural ${\displaystyle k[x_{1},...,x_{n}]\to k[x_{1},...,x_{n}]/I}$. Se ${\displaystyle I}$ for um ideal radical, então ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I}$ é o anel de coordenadas ${\displaystyle k[V]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I(V)}$ de ${\displaystyle V=V(I)}$, que pode ser considerado como o anel de funções polinomiais ${\displaystyle f:V\to k}$, as funções regulares globais em ${\displaystyle V}$.

A inovação de Grothendieck na definição de Spec para anéis comutativos gerais foi substituir os ideais maximais por todos os ideais primos; nesta formulação, é natural simplesmente generalizar a correspondência entre o conjunto fechado ${\displaystyle V(I)}$ no espaço afim e o subconjunto do espectro maximal do anel de polinômios que contém ${\displaystyle I}$ para a definição de um conjunto fechado no espectro (primo) de um anel no caso comutativo geral.

Em outra abordagem, primeiro observamos que podemos reinterpretar um polinômio ${\displaystyle f\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ (${\displaystyle k}$ novamente algebricamente fechado) como uma função

${\textstyle \mathrm {ev} _{f}:\mathrm {Spm} \ k[x_{1},\dots ,x_{n}]\to k[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathfrak {m}}\cong k}$

mapeando

${\displaystyle {\mathfrak {m}}\mapsto f\;{\bmod {\mathfrak {m}}}=f(a),}$

onde ${\displaystyle a\in k^{n}}$ é o ponto ao qual ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ corresponde por meio do Nullstellensatz fraco. Em outras palavras, mapeamos o ideal ${\displaystyle (x_{1}-a_{1},\dots ,x_{n}-a_{n})}$ para ${\displaystyle f}$ avaliado em ${\displaystyle a=(a_{1},...,a_{n})\in k^{n}}$. Podemos então considerar um elemento do anel de polinômios como uma função sobre os ideais maximais do anel de polinômios. Além disso, observamos que

${\displaystyle \mathrm {ev} _{f}({\mathfrak {m}})=0\iff f\in {\mathfrak {m}},}$

ou, generalizando para um ideal ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle \mathrm {ev} _{f}({\mathfrak {m}})=0,\ \forall f\in I\iff {\mathfrak {m}}\supseteq I}$. Podemos, portanto, visualizar ${\displaystyle \{{\mathfrak {m}}\in \mathrm {Spm} \ k[x_{1},\dots ,x_{n}]\mid {\mathfrak {m}}\supseteq I\}}$ como o conjunto comum de "pontos" no qual todas as "funções" ${\displaystyle f\in I}$ (mais precisamente, ${\displaystyle \{\mathrm {ev} _{f}\}_{f\in I}}$) se anulam.

Generalizando essa abordagem para anéis comutativos arbitrários, outra forma de interpretar a definição moderna (talvez mais semelhante à original) é perceber que os elementos de ${\displaystyle A}$ podem ser pensados como funções sobre seus ideais primos, ${\displaystyle \mathrm {Spec} \ A}$. De forma simples, qualquer ideal primo ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ tem um corpo residual correspondente, que é o corpo de frações do quociente ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}}$, e qualquer elemento de ${\displaystyle A}$ tem uma imagem neste corpo residual. Além disso, os elementos que estão efetivamente em ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ são precisamente aqueles cuja imagem se anula em ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Então, se pensarmos no mapa associado a qualquer elemento ${\displaystyle \alpha }$ de ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \mathrm {ev} _{\alpha }\colon {\bigl (}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A{\bigr )}\mapsto \left({\frac {\alpha \;{\bmod {\mathfrak {p}}}}{1}}\in \operatorname {Frac} (A/{\mathfrak {p}})\right)}$

("avaliação de ${\displaystyle \alpha }$"), que atribui a cada ideal primo ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ a imagem de ${\displaystyle \alpha }$ no corpo residual de ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, como uma função sobre ${\displaystyle \mathrm {Spec} \ A}$ (cujos valores, é verdade, podem residir em corpos diferentes em pontos diferentes), então temos

${\displaystyle \mathrm {ev} _{\alpha }({\mathfrak {p}})=0\iff \alpha \in {\mathfrak {p}}.}$

De modo mais geral, para qualquer ideal ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle \mathrm {ev} _{\alpha }({\mathfrak {p}})=0,\ \forall \alpha \in I\iff {\mathfrak {p}}\supseteq I}$, de modo que ${\displaystyle V(I)=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} A\mid {\mathfrak {p}}\supseteq I\}}$ é o conjunto comum de "pontos" nos quais todas as "funções" ${\displaystyle \alpha \in I}$ se anulam, o que é formalmente análogo à definição clássica. De fato, como observado acima, eles concordam no sentido de que, quando ${\displaystyle A}$ é o anel de polinômios sobre algum corpo algebricamente fechado ${\displaystyle k}$, os ideais maximais de ${\displaystyle A}$ são (conforme discutido no parágrafo anterior) identificados com ${\displaystyle n}$-uplas de elementos de ${\displaystyle k}$, seus corpos residuais são simplesmente ${\displaystyle k}$, e os mapas de "avaliação" são, na verdade, a avaliação de polinômios nas ${\displaystyle n}$-uplas correspondentes. Para este caso especial, a definição clássica é essencialmente a definição moderna considerando apenas ideais maximais, e a interpretação da definição moderna como "conjuntos de zeros de funções" concorda com a definição clássica naquilo em que ambas fazem sentido.

Assim como o Spec substitui as variedades afins, a Construção Proj substitui as variedades projetivas na geometria algébrica moderna. Da mesma forma que no caso clássico, para passar da definição afim para a projetiva, precisamos apenas substituir "ideal" por "ideal homogêneo", embora haja uma complicação envolvendo o "ideal maximal irrelevante", que é discutida no artigo citado.

Exemplos

• Spec ${\displaystyle k}$, o espectro de um corpo ${\displaystyle k}$, é o espaço topológico com um elemento.
• Spec ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, o espectro dos inteiros, possui um ponto fechado para cada número primo ${\displaystyle p}$ correspondente ao ideal maximal ${\displaystyle (p)\subseteq \mathbb {Z} }$, e um ponto genérico não fechado (ou seja, cujo fecho é o espaço inteiro) correspondente ao ideal nulo (0). Assim, os subconjuntos fechados de Spec ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ são precisamente o espaço inteiro e as uniões finitas de pontos fechados.
• Spec ${\displaystyle k[t]}$, o espectro do anel de polinômios sobre um corpo ${\displaystyle k}$: sabe-se que tal anel de polinômios é um domínio de ideais principais e os polinômios irredutíveis são os elementos primos de ${\displaystyle k[t]}$. Se ${\displaystyle k}$ for algebricamente fechado, por exemplo, o corpo dos números complexos, um polinômio não constante será irredutível se, e somente se, for linear, da forma ${\displaystyle t-a}$, para algum elemento ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle k}$. Portanto, o espectro consiste em um ponto fechado para cada elemento ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle k}$ e um ponto genérico, correspondente ao ideal nulo, e o conjunto dos pontos fechados é homeomorfo à reta afim ${\displaystyle k}$ equipada com sua topologia de Zariski. Por causa desse homeomorfismo, alguns autores usam o termo reta afim para o espectro de ${\displaystyle k[t]}$. Se ${\displaystyle k}$ não for algebricamente fechado, como por exemplo o corpo dos números reais, o cenário torna-se mais complicado devido à existência de polinômios irredutíveis não lineares. Neste caso, o espectro consiste em um ponto fechado para cada polinômio irredutível mônico, e um ponto genérico correspondente ao ideal nulo. Por exemplo, o espectro de ${\displaystyle \mathbb {R} [t]}$ consiste nos pontos fechados ${\displaystyle (x-a)}$, para ${\displaystyle a}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$, os pontos fechados ${\displaystyle (x^{2}+px+q)}$ onde ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ estão em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e possuem discriminante negativo ${\displaystyle p^{2}-4q<0}$, e finalmente um ponto genérico (0). Para qualquer corpo, os subconjuntos fechados de Spec ${\displaystyle k[t]}$ são uniões finitas de pontos fechados, além do espaço inteiro. (Isso resulta do fato de que ${\displaystyle k[t]}$ é um domínio de ideais principais e, em um domínio de ideais principais, os ideais primos que contêm um ideal são os fatores primos da fatoração prima de um gerador do ideal).

• Espectro de um anel