Teorema dos zeros de Hilbert

Em matemática, o Nullstellensatz de Hilbert (do alemão "teorema dos zeros" ou, mais literalmente, "teorema do lugar geométrico dos zeros") é um teorema que estabelece uma relação fundamental entre a geometria e a álgebra. Foi provado por David Hilbert em seu segundo artigo principal sobre teoria dos invariantes em 1893 (após o seu artigo seminal de 1890, no qual ele provou o Teorema da base de Hilbert) e tornou-se um resultado fundamental da geometria algébrica.

Existem várias formulações do Nullstellensatz, a mais elementar das quais lida com condições para a existência de soluções de sistemas de equações polinomiais multivariadas sobre um corpo algebricamente fechado (como os números complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$). O Nullstellensatz fraco é um corolário (ou um lema, dependendo de qual é provado primeiro) do Nullstellensatz que pode ser enunciado da seguinte forma.^[1] Considere um sistema de equações polinomiais

$${\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\end{cases}}}$$

nas variáveis ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, onde ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ são polinômios multivariáveis sobre um corpo algebricamente fechado ${\displaystyle K}$. Se o sistema não tiver uma solução ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}}$, então existe uma "razão algébrica" para esta situação: nomeadamente, isto ocorre precisamente quando existem polinômios ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m}\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ tais que

$${\displaystyle g_{1}f_{1}+\cdots +g_{m}f_{m}=1.}$$

Uma vez que a expressão do lado esquerdo tem que ser avaliada como 0 para qualquer ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ que resolva o sistema de equações, é óbvio a partir da inconsistência que não pode existir nenhuma solução se esta condição se verificar. Informalmente, o Nullstellensatz (fraco) afirma que, na ausência de tal inconsistência, uma solução para o sistema de equações deve existir.

O Nullstellensatz completo é o seguinte refinamento: Se ${\displaystyle f\in K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ é um polinômio tal que toda a solução do sistema de equações é também uma solução de

$${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=0,}$$

então existe um tipo semelhante de "razão algébrica" para esta ocorrência: isto ocorre precisamente quando existem um número natural ${\displaystyle r}$ e polinômios ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m}}$ tais que

$${\displaystyle f^{r}=g_{1}f_{1}+\cdots +g_{m}f_{m}.}$$

Seja ${\displaystyle k}$ um corpo (como os números racionais) e ${\displaystyle K}$ seja uma extensão de corpo algebricamente fechada de ${\displaystyle k}$ (como os números complexos). Considere o anel de polinômios ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ e seja ${\displaystyle J}$ um ideal neste anel. O conjunto algébrico ${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$ definido por este ideal consiste em todas as ${\displaystyle n}$-uplas ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ em ${\displaystyle K^{n}}$ tais que ${\displaystyle f(a)=0}$ para todo o ${\displaystyle f\in J}$. O Nullstellensatz de Hilbert afirma que se ${\displaystyle p}$ é um polinômio em ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ que se anula no conjunto algébrico ${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$, isto é, ${\displaystyle p(a)=0}$ para todo o ${\displaystyle a\in \mathrm {V} (J)}$, então existe um número natural ${\displaystyle r}$ tal que ${\displaystyle p^{r}\in J}$.^[2]

Com a notação comum em geometria algébrica, o Nullstellensatz pode ser formulado como

$${\displaystyle \mathrm {I} (\mathrm {V} (J))={\sqrt {J}}}$$

para cada ideal ${\displaystyle J}$ em ${\displaystyle K[X_{1},...,X_{n}]}$ com ${\displaystyle K}$ algebricamente fechado. Aqui, ${\displaystyle {\sqrt {J}}}$ denota o radical de ${\displaystyle J}$ (${\displaystyle p\in {\sqrt {J}}}$ se e só se ${\displaystyle \exists r\in \mathbb {N} ,\ p^{r}\in J}$), ${\displaystyle \mathrm {I} (U)}$ é o ideal anulador de ${\displaystyle U}$ (o conjunto de polinômios que se anulam nos pontos em ${\displaystyle U}$), e ${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$ é o lugar geométrico dos zeros (zero locus) de ${\displaystyle J}$ (o conjunto de pontos nos quais os polinômios em ${\displaystyle J}$ se anulam). A afirmação de que ${\displaystyle \mathrm {I} (\mathrm {V} (J))\subseteq {\sqrt {J}}}$ é equivalente à primeira formulação acima com ${\displaystyle k=K}$ algebricamente fechado, enquanto a inclusão oposta é uma consequência direta das definições.

Um corolário imediato é o Nullstellensatz fraco: Se ${\displaystyle J}$ é um ideal próprio em ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$, então ${\displaystyle \mathrm {V} (J)}$ é não vazio, ou seja, para toda a extensão algebricamente fechada ${\displaystyle K\supseteq k}$, existe um zero comum em ${\displaystyle K^{n}}$ para todos os polinômios no ideal ${\displaystyle J}$.^[3] Esta é a razão para o nome do teorema, cuja versão completa pode ser facilmente provada a partir da forma 'fraca' usando o Truque de Rabinowitsch. A suposição de considerar os zeros comuns num corpo algebricamente fechado é essencial aqui; por exemplo, os elementos do ideal próprio ${\displaystyle (X^{2}+1)}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$ não têm um zero comum em ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Especializando-se para o caso de um único polinômio quando ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ e ${\displaystyle n=1}$, recupera-se imediatamente uma reformulação do Teorema fundamental da álgebra: Um polinômio ${\displaystyle P}$ em ${\displaystyle \mathbb {C} [X]}$ tem uma raiz em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ se e só se ${\displaystyle \deg P\neq 0}$. Por este motivo, o Nullstellensatz (fraco) aplicado a ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ pode ser pensado como uma generalização do teorema fundamental da álgebra para sistemas de equações polinomiais multivariáveis.^[4]

Assumindo ${\displaystyle K}$ como algebricamente fechado, o Nullstellensatz estabelece uma correspondência bijetiva que inverte a ordem entre os conjuntos algébricos em ${\displaystyle K^{n}}$ e os ideais radicais de ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$ De fato, mais geralmente, tem-se uma Conexão de Galois entre os subconjuntos do espaço e os subconjuntos da álgebra, onde "fecho de Zariski" e "radical do ideal gerado" são os operadores de fecho.

Como um exemplo particular, considere um conjunto algébrico que consiste num único ponto ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in K^{n}}$. Então ${\displaystyle \mathrm {I} (\{a\})=(X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$ é um ideal maximal. Reciprocamente, todo o ideal maximal do anel de polinômios ${\displaystyle K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ (note que ${\displaystyle K}$ é algebricamente fechado) é da forma ${\displaystyle (X_{1}-a_{1},\ldots ,X_{n}-a_{n})}$ para alguns ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in K}$. Esta caracterização de ideais maximais de anéis de polinômios sobre corpos algebricamente fechados é outra formulação comum do Nullstellensatz fraco. Como outro exemplo desta correspondência e uma consequência do Nullstellensatz, pode-se mostrar que um subconjunto algébrico ${\displaystyle W}$ em ${\displaystyle K^{n}}$ é irredutível (na topologia de Zariski) se e só se ${\displaystyle \mathrm {I} (W)}$ for um ideal primo.

De forma mais abrangente, para qualquer ideal ${\displaystyle J}$ em ${\displaystyle K[X_{1},...,X_{n}]}$,

$${\displaystyle {\sqrt {J}}=\bigcap _{{\mathfrak {m}}\supseteq J}{\mathfrak {m}}=\bigcap _{(a_{1},\dots ,a_{n})\in \mathrm {V} (J)}(X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}),}$$

onde a primeira interseção é tomada sobre ideais maximais ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subsetneq K[X_{1},...,X_{n}]}$. Esta relação é mais uma formulação comum do Nullstellensatz. (A primeira igualdade verifica-se de fato para ideais em qualquer Anel de Jacobson, incluindo qualquer álgebra finitamente gerada sobre um corpo, enquanto a segunda igualdade verifica-se para um ${\displaystyle K}$ algebricamente fechado.)

Há muitas provas conhecidas do teorema. Algumas são não construtivas, como a primeira. Outras são construtivas, baseadas em algoritmos para expressar ${\displaystyle 1}$ ou ${\displaystyle p^{r}}$ como uma combinação linear dos geradores do ideal.

O Nullstellensatz é subsumido por um desenvolvimento sistemático da teoria dos anéis de Jacobson, que são aqueles anéis nos quais cada ideal radical é uma interseção de ideais maximais. Dado o lema de Zariski, provar o Nullstellensatz resume-se a mostrar que, se ${\displaystyle k}$ é um corpo, então cada ${\displaystyle k}$-álgebra ${\displaystyle R}$ finitamente gerada (necessariamente da forma ${\displaystyle R=k[t_{1},\cdots ,t_{n}]/I}$) é um anel de Jacobson. Mais genericamente, tem-se o seguinte teorema:

Seja ${\displaystyle R}$ um anel de Jacobson. Se ${\displaystyle S}$ é uma ${\displaystyle R}$-álgebra finitamente gerada, então ${\displaystyle S}$ é um anel de Jacobson. Além disso, se ${\displaystyle {\mathfrak {n}}\subseteq S}$ é um ideal maximal, então ${\displaystyle {\mathfrak {m}}:={\mathfrak {n}}\cap R}$ é um ideal maximal de ${\displaystyle R}$, e ${\displaystyle S/{\mathfrak {n}}}$ é uma extensão finita de ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$.^[8]

Outras generalizações partem de ver o Nullstellensatz em termos da teoria de esquemas como a dizer que, para qualquer corpo ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle k}$-álgebra não-nula finitamente gerada ${\displaystyle R}$, o morfismo ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,R\to \mathrm {Spec} \,k}$ admite uma seção étale-localmente (equivalentemente, após uma mudança de base ao longo de ${\displaystyle \mathrm {Spec} \,L\to \mathrm {Spec} \,k}$ para alguma extensão de corpo finita ${\displaystyle L/k}$). Nessa mesma linha, tem-se o seguinte teorema:

Qualquer morfismo de esquemas ${\displaystyle f:Y\to X}$ fielmente plano e localmente de apresentação finita admite uma quase-seção, no sentido de que existe um morfismo ${\displaystyle g:X'\to X}$ fielmente plano e localmente quase-finito, localmente de apresentação finita, tal que a mudança de base ${\displaystyle f':Y\times _{X}X'\to X'}$ de ${\displaystyle f}$ ao longo de ${\displaystyle g}$ admite uma seção.^[9] Além disso, se ${\displaystyle X}$ for quase-compacto (resp. quase-compacto e quase-separado), então é possível tomar ${\displaystyle X'}$ como afim (resp. ${\displaystyle X'}$ afim e ${\displaystyle g}$ quase-finito), e se ${\displaystyle f}$ for um morfismo suave sobrejetor, pode-se tomar ${\displaystyle g}$ como étale.^[10]

Serge Lang deu uma extensão do Nullstellensatz para o caso de infinitos geradores:

Seja ${\displaystyle \kappa }$ um cardinal infinito e seja ${\displaystyle K}$ um corpo algebricamente fechado cujo grau de transcendência sobre o seu subcorpo primo é estritamente maior que ${\displaystyle \kappa }$. Então, para qualquer conjunto ${\displaystyle S}$ de cardinalidade ${\displaystyle \kappa }$, o anel de polinômios ${\displaystyle A=K[x_{i}]_{i\in S}}$ satisfaz o Nullstellensatz, ou seja, para qualquer ideal ${\displaystyle J\subset A}$ temos que ${\displaystyle {\sqrt {J}}=\mathrm {I} (\mathrm {V} (J))}$.^[11]

Em todas as suas variantes, o Nullstellensatz de Hilbert assevera se algum polinômio ${\displaystyle g}$ pertence ou não a um ideal gerado, digamos, por ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$; nós temos ${\displaystyle g=f^{r}}$ na versão forte, ${\displaystyle g=1}$ na forma fraca. Isto significa a existência ou a não-existência de polinômios ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{k}}$ tais que ${\displaystyle g=f_{1}g_{1}+\cdots +f_{k}g_{k}}$. As provas usuais do Nullstellensatz não são construtivas, nem efetivas, no sentido de que não oferecem nenhuma maneira de computar os ${\displaystyle g_{i}}$.

É então uma questão bastante natural inquirir se há uma forma efetiva de calcular os ${\displaystyle g_{i}}$ (e o expoente ${\displaystyle r}$ na forma forte) ou de provar que não existem. Para resolver este problema, basta fornecer um limite superior para o grau total dos ${\displaystyle g_{i}}$: tal limite reduz o problema a um sistema finito de equações lineares que pode ser resolvido por técnicas usuais da álgebra linear. Qualquer limite superior desse tipo é designado de Nullstellensatz efetivo.

Um problema conexo é o problema da pertinência a um ideal, que consiste em testar se um polinômio pertence a um ideal. Também para este problema, uma solução é fornecida por um limite superior no grau dos ${\displaystyle g_{i}}$. Uma solução geral para o problema da pertinência a um ideal faculta um Nullstellensatz efetivo, pelo menos para a forma fraca.

Em 1925, Grete Hermann propôs um limite superior para o problema da pertinência a um ideal que é duplamente exponencial no número de variáveis. Em 1982, Mayr e Meyer deram um exemplo onde os ${\displaystyle g_{i}}$ têm um grau que é pelo menos duplamente exponencial, demonstrando que todos os limites superiores gerais para o problema da pertinência a um ideal são duplamente exponenciais no número de variáveis.

Dado que a maioria dos matemáticos na altura presumia que o Nullstellensatz efetivo era pelo menos tão difícil como a pertinência a um ideal, poucos procuraram um limite melhor que o duplamente exponencial. Em 1987, no entanto, W. Dale Brownawell encontrou um limite superior para o Nullstellensatz efetivo que é meramente exponencial no número de variáveis.^[12] A prova de Brownawell baseava-se em técnicas analíticas válidas apenas na característica 0, mas, um ano mais tarde, János Kollár forneceu uma prova puramente algébrica, válida para qualquer característica, para um limite ligeiramente melhor.

No caso do Nullstellensatz fraco, o limite de Kollár é o seguinte:^[13]

Sejam ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{s}}$ polinômios em ${\displaystyle n\geq 2}$ variáveis, de grau total ${\displaystyle d_{1}\geq \dots \geq d_{s}}$. Se existirem polinômios ${\displaystyle g_{i}}$ tais que ${\displaystyle f_{1}g_{1}+\dots +f_{s}g_{s}=1}$, então eles podem ser escolhidos de forma a que $${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq \max(d_{s},3)\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}\max(d_{j},3).}$$ Este limite é ótimo se todos os graus forem superiores a 2.

Se ${\displaystyle d}$ é o máximo dos graus dos ${\displaystyle f_{i}}$, este limite pode ser simplificado para $${\displaystyle \max(3,d)^{\min(n,s)}.}$$

Um aperfeiçoamento devido a M. Sombra é^[14]

$${\displaystyle \deg(f_{i}g_{i})\leq 2d_{s}\prod _{j=1}^{\min(n,s)-1}d_{j}.}$$

O seu limite melhora o de Kollár desde que pelo menos dois dos graus envolvidos sejam inferiores a 3.

Podemos formular uma correspondência entre ideais homogêneos de polinômios e subconjuntos algébricos de um espaço projetivo, chamada de Nullstellensatz projetivo, análoga à do caso afim. Para tal, introduzimos algumas notações. Seja ${\displaystyle R=k[t_{0},\ldots ,t_{n}].}$ O ideal homogêneo,

$${\displaystyle R_{+}=\bigoplus _{d\geqslant 1}R_{d}}$$

é denominado de ideal homogêneo maximal (ver também ideal irrelevante). Tal como no caso afim, define-se: para um subconjunto ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$ e um ideal homogêneo ${\displaystyle I}$ de ${\displaystyle R}$,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)&=\{f\in R_{+}\mid f=0{\text{ em }}S\},\\\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)&=\{x\in \mathbb {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ para todo o }}f\in I\}.\end{aligned}}}$$

Por ${\displaystyle f=0{\text{ em }}S}$ queremos dizer: para todas as coordenadas homogêneas ${\displaystyle (a_{0}:\cdots :a_{n})}$ de um ponto de ${\displaystyle S}$, tem-se ${\displaystyle f(a_{0},\ldots ,a_{n})=0}$. Isto implica que as componentes homogêneas de ${\displaystyle f}$ também são zero em ${\displaystyle S}$ e assim ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$ é um ideal homogêneo. Equivalentemente, ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(S)}$ é o ideal homogêneo gerado pelos polinômios homogêneos ${\displaystyle f}$ que se anulam em ${\displaystyle S}$. Agora, para qualquer ideal homogêneo ${\displaystyle I\subseteq R_{+}}$, através do Nullstellensatz usual, temos:

$${\displaystyle {\sqrt {I}}=\operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}(\operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I)),}$$

e portanto, como no caso afim, temos:^[15]

Existe uma correspondência biunívoca que inverte a ordem entre ideais radicais homogêneos próprios de ${\displaystyle R}$ e subconjuntos de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ da forma ${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}(I).}$ A correspondência é dada por ${\displaystyle \operatorname {I} _{\mathbb {P} ^{n}}}$ e ${\displaystyle \operatorname {V} _{\mathbb {P} ^{n}}.}$

O Nullstellensatz também se aplica aos germes de funções holomorfas num ponto de um espaço complexo ${\displaystyle n}$-dimensional ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Precisamente, para cada subconjunto aberto ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} ^{n},}$ seja ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}(U)}$ o anel de funções holomorfas em ${\displaystyle U}$; então ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}}$ é um feixe sobre ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ Pode ser provado que o talo ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$ em, digamos, a origem é um anel local noetheriano que constitui um domínio de fatoração única.

Se ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$ for um germe representado por uma função holomorfa ${\displaystyle {\widetilde {f}}:U\to \mathbb {C} }$, denote-se por ${\displaystyle V_{0}(f)}$ a classe de equivalência do conjunto

$${\displaystyle \left\{z\in U\mid {\widetilde {f}}(z)=0\right\},}$$

onde dois subconjuntos ${\displaystyle X,Y\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$ são considerados equivalentes se ${\displaystyle X\cap U=Y\cap U}$ para alguma vizinhança ${\displaystyle U}$ de 0. Note-se que ${\displaystyle V_{0}(f)}$ é independente de uma escolha da representante ${\displaystyle {\widetilde {f}}.}$ Para cada ideal ${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0},}$ ${\displaystyle V_{0}(I)}$ designa ${\displaystyle V_{0}(f_{1})\cap \dots \cap V_{0}(f_{r})}$ para alguns geradores ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$ de ${\displaystyle I}$. Isto está bem definido; ou seja, é independente de uma escolha dos geradores.

Para cada subconjunto ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{n}}$, seja

$${\displaystyle I_{0}(X)=\left\{f\in {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}\mid V_{0}(f)\supset X\right\}.}$$

É fácil constatar que ${\displaystyle I_{0}(X)}$ é um ideal de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$ e que ${\displaystyle I_{0}(X)=I_{0}(Y)}$ se ${\displaystyle X\sim Y}$ no sentido antes exposto.

O Nullstellensatz analítico afirma então:^[16] para cada ideal ${\displaystyle I\subseteq {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n},0}}$,

$${\displaystyle {\sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))}$$

onde o lado esquerdo é o radical de ${\displaystyle I}$.== Nullstellensatz formal == Na geometria algébrica clássica, a operação de lugar geométrico de zeros ('variedade') (V) é aplicada a subconjuntos do anel de polinômios sobre um corpo algebricamente fechado, ao passo que a operação do ideal anulador (I) é aplicada a subconjuntos do espaço afim ${\displaystyle n}$-dimensional, cujos pontos estão numa correspondência biunívoca com os ideais maximais do anel de polinômios através do Nullstellensatz fraco (ver acima). Na teoria dos esquemas, V e I são generalizadas e redefinidas de forma a poderem ser aplicadas a subconjuntos de anéis comutativos (com unidade) arbitrários e aos seus espectros primos, respetivamente. Em particular, para qualquer anel comutativo ${\displaystyle A}$, o seu conjunto de ideais primos (espectro primo) ${\displaystyle \mathrm {Spec} \ A}$, e os subconjuntos ${\displaystyle S\subset A}$ e ${\displaystyle X\subset \mathrm {Spec} \ A}$, tem-se $${\displaystyle \mathbb {V} (S)=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \ A\mid {\mathfrak {p}}\supset S\}{\text{ e }}\mathbb {I} (X)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in X}{\mathfrak {p}}.}$$

Para qualquer ideal ${\displaystyle J\triangleleft A}$, é válido então um análogo formal do Nullstellensatz de Hilbert: $${\displaystyle \mathbb {I} (\mathbb {V} (J))=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathbb {V} (J)}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} \ A,\ {\mathfrak {p}}\supset J}{\mathfrak {p}}={\sqrt {J}},}$$

onde a última igualdade decorre de uma propriedade normal dos ideais primos na álgebra comutativa.^[17] Em analogia com os lugares geométricos de zeros da teoria clássica, o ${\displaystyle \mathbb {V} (S)}$ serve para definir os fechados na topologia de Zariski de ${\displaystyle \mathrm {Spec} \ A}$.^[6]

• Lema de Artin-Tate
• Nullstellensatz combinatório
• Nullstellensatz diferencial
• Radical real
• Positivstellensatz de Stengle
• Nullstellensatz de Weierstrass

• Almira, Jose María (2007). «Nullstellensatz revisited» (PDF). Rend. Semin. Mat. Univ. Politec. Torino. 65 (3): 365–369 
• Atiyah, M.F.; Macdonald, I.G. (1994). Introduction to Commutative Algebra. [S.l.]: Addison-Wesley. ISBN 0-201-40751-5  Parâmetro desconhecido |titulo-link= ignorado (ajuda)
• Eisenbud, David (1999). Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry. Col: Graduate Texts in Mathematics. 150. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94268-1 
• Hilbert, David (1893). «Ueber die vollen Invariantensysteme». Mathematische Annalen. 42 (3): 313–373. doi:10.1007/BF01444162 
• Huybrechts, Daniel (2005). Complex Geometry: An Introduction. [S.l.]: Springer. ISBN 3-540-21290-6 
• Mukai, Shigeru (2003). An Introduction to Invariants and Moduli. Col: Cambridge studies in advanced mathematics. 81. William Oxbury (trans.). [S.l.: s.n.] p. 82. ISBN 0-521-80906-1 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1960). Commutative algebra. Volume II. Berlin: [s.n.] ISBN 978-3-662-27753-9