Teorema fundamental da álgebra

Ver artigo principal: Decomposição em frações parciais

Por vezes, afigura-se necessário calcular uma primitiva de uma função racional, ou seja, de uma função quociente de duas funções polinomiais. Pode-se considerar a função ${\displaystyle f}$ definida por^[3]:

${\displaystyle f(x)={\frac {5x^{2}-3x-11}{x^{3}-2x^{2}-5x+6}}.}$

Um corolário do teorema fundamental indica que o denominador se fatora em elementos do primeiro grau^{[Nota 1]}; aqui encontra-se:

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3).}$

Uma decomposição em frações parciais da função mostra a existência de três valores ${\displaystyle a,b}$ e ${\displaystyle c}$ tais que:

${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x-1}}+{\frac {b}{x+2}}+{\frac {c}{x-3}}.}$

Um cálculo rápido mostra que ${\displaystyle a={\dfrac {3}{2}},b=1}$ e ${\displaystyle c={\dfrac {5}{2}}}$; o cálculo da primitiva torna-se então facilmente realizável.

A redução de endomorfismos recorre aos polinômios. Pode-se escolher como caso particular um endomorfismo autoadjunto ${\displaystyle a}$ de um espaço euclidiano ${\displaystyle E}$ para ilustrar o uso do teorema. A sua matriz numa base ortonormada é, portanto, simétrica e todos os seus valores próprios (autovalores) são reais. O polinômio característico de ${\displaystyle a}$ admite, segundo o teorema fundamental da álgebra, uma raiz ${\displaystyle \lambda }$. Trata-se de um valor próprio de ${\displaystyle a}$. Notando que o espaço ortogonal ${\displaystyle F}$ ao subespaço próprio associado ao valor próprio ${\displaystyle \lambda }$ é estável por ${\displaystyle a}$, compreende-se que o endomorfismo é diagonalizável. De fato, basta aplicar agora a mesma redução à restrição de ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle F}$, que também é autoadjunta. Passo a passo, o endomorfismo ${\displaystyle a}$ é assim diagonalizado.

Este exemplo foi escolhido entre muitos outros. A diagonalização de um endomorfismo surge frequentemente como consequência da existência de uma raiz do polinômio característico ou mínimo.

Um dos objetos da teoria algébrica dos números tradicional é o estudo dos corpos de números, ou seja, das extensões finitas do corpo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dos racionais. Todos estes corpos são algébricos sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, logo mergulham no seu fecho algébrico, o corpo ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ dos números algébricos. Segundo o teorema fundamental da álgebra, ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$ mergulha ele próprio em ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

A demonstração aqui apresentada detalha a de Cauchy^[4].

Consideremos um polinômio de grau ${\displaystyle n>0}$ com coeficientes complexos, ${\displaystyle P(X)=a_{0}+a_{1}X+\ldots +a_{n}X^{n}}$.

Num primeiro momento, estabelece-se a existência de um mínimo global para a função que a ${\displaystyle z}$ associa o módulo de ${\displaystyle P(z)}$. Para isso, nota-se que^[5] se o módulo de ${\displaystyle z}$ for suficientemente grande, o módulo de ${\displaystyle P(z)}$ também o é, e portanto o conjunto dos ${\displaystyle z}$ para os quais ${\displaystyle |P(z)|}$ não é demasiado grande é necessariamente limitado. De seguida, utiliza-se o fato de que todo fechado limitado de ℂ é compacto e que uma função contínua de um compacto em ℝ tem uma imagem ela própria compacta, logo fechada e limitada, o que implica que a função atinge o seu ínfimo, num certo ponto ${\displaystyle z_{0}}$.

Por fim, raciocina-se por absurdo: supõe-se que a imagem de ${\displaystyle z_{0}}$ por ${\displaystyle P}$ é não nula. Encontra-se, pelo desenvolvimento de Taylor do polinômio em torno de ${\displaystyle z_{0}}$, uma "direção" ${\displaystyle c}$ (um número complexo não nulo) tal que a função de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ que a ${\displaystyle t}$ associa o módulo de ${\displaystyle P(z_{0}+tc)}$ seja, para todo o ${\displaystyle t>0}$ suficientemente pequeno, estritamente inferior ao seu valor em ${\displaystyle 0}$. Esta contradição permite concluir.

Esta prova baseia-se, portanto, essencialmente no fato de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ possuir a propriedade do supremo.

Demonstração detalhada:

Mostremos primeiro um lema, que corresponde a um caso muito particular de equação polinomial.

• Para todo o inteiro ${\displaystyle n>0}$, todo o número complexo tem pelo menos uma raiz n-ésima em ${\displaystyle \mathbb {C} }$^[6] :

Escrevendo um número complexo ${\displaystyle a}$ sob forma polar^[7]

${\displaystyle a=\rho \;\left(\cos \theta +\mathrm {i} \sin \theta \right)\quad {\text{com}}\quad \rho \in \mathbb {R} _{+}\quad {\text{e}}\quad \theta \in \mathbb {R} }$

e depois colocando

${\displaystyle c={\sqrt[{n}]{\rho }}\;\left(\cos {\frac {\theta }{n}}+\mathrm {i} \sin {\frac {\theta }{n}}\right)}$,

obtém-se, segundo a fórmula de De Moivre:

${\displaystyle \quad c^{n}=a}$.

Estudemos agora o caso geral.

• Existe um ponto ${\displaystyle z_{0}}$ no qual o mínimo do módulo de ${\displaystyle P(z)}$ é atingido:

A função que a ${\displaystyle z}$ associa o módulo de ${\displaystyle P(z)}$ assume valores nos reais positivos. A imagem desta função é uma parte não vazia e minorada de ${\displaystyle \mathbb {R} }$; admite, portanto, um ínfimo, notado aqui ${\displaystyle m}$. Quando ${\displaystyle |z|}$ tende para o infinito, o módulo de ${\displaystyle P(z)}$, equivalente a ${\displaystyle a_{n}z^{n}}$, tende para o infinito. É, portanto, superior a ${\displaystyle m+1}$ assim que ${\displaystyle |z|}$ é suficientemente grande, digamos maior do que um certo valor^[8] ${\displaystyle M}$. Isto mostra que ${\displaystyle m}$ é também o ínfimo de ${\displaystyle |P(z)|}$ sobre os complexos de módulo inferior a ${\displaystyle M}$. Estes formam um compacto; sendo a função ${\displaystyle |P(z)|}$ sobre este compacto contínua, ela atinge o seu ínfimo ${\displaystyle m}$, o que demonstra a proposição.

Existe, portanto, um complexo ${\displaystyle z_{0}}$ tal que ${\displaystyle |P(z_{0})|=m}$. Notemos ${\displaystyle Q(x)}$ o polinômio ${\displaystyle P(z_{0}+X)}$. É um polinômio do mesmo grau que ${\displaystyle P}$, e cujo módulo toma no ponto ${\displaystyle 0}$ o seu valor mínimo ${\displaystyle m}$. Introduzem-se notações para os seus coeficientes:

${\displaystyle Q(X)=P(z_{0}+X)=b_{0}+b_{k}X^{k}+b_{k+1}X^{k+1}+\cdots +b_{n}X^{n}\quad {\text{com}}\quad |b_{0}|=m,\;b_{k}\neq 0}$.

Aqui, ${\displaystyle k}$ designa o menor índice estritamente positivo tal que o coeficiente ${\displaystyle b_{k}}$ seja não nulo. Este índice existe, pois o polinômio não é constante.

O lema permite estabelecer a proposição seguinte, que conclui a demonstração.

• O mínimo ${\displaystyle m=|P(z_{0})|}$ é nulo:

Notemos ${\displaystyle c}$ uma raiz ${\displaystyle k}$-ésima (existem, segundo o lema) do complexo ${\displaystyle -{\overline {b_{k}}}b_{0}}$. Assim, ${\displaystyle b_{k}c^{k}=-|b_{k}|^{2}b_{0}}$. Seja ${\displaystyle f}$ a função que a todo o real ${\displaystyle t}$ associa o real ${\displaystyle |Q(tc)|}$. Escreve-se:

${\displaystyle f(t)=\left|b_{0}-b_{0}|b_{k}|^{2}t^{k}+c_{k+1}t^{k+1}+\cdots +c_{n}t^{n}\right|\quad {\text{com}}\quad c_{i}=b_{i}c^{i}}$

o que mostra que

${\displaystyle \forall t\in \left]0,\min \left({\dfrac {1}{|b_{k}|^{2}}},1\right)\right]\qquad f(t)\leq m\left(1-|b_{k}|^{2}t^{k}\right)+t^{k+1}\left|c_{k+1}+\cdots +c_{n}t^{n-k-1}\right|\leq m\left(1-|b_{k}|^{2}t^{k}\right)+t^{k+1}C=m-t^{k}\left(m|b_{k}|^{2}-Ct\right)}$,

onde ${\displaystyle C}$ designa a soma dos módulos dos ${\displaystyle c_{i}}$.

Se ${\displaystyle m}$ não fosse nulo, escolhendo, no intervalo precedente, um real ${\displaystyle t<{\dfrac {m|b_{k}|^{2}}{C}}}$, ter-se-ia então ${\displaystyle |P(z_{0}+tc)|=f(t)<m}$, o que contradiria a definição de ${\displaystyle m}$ (mínimo de ${\displaystyle |P(z)|}$). Logo ${\displaystyle m=0}$ e ${\displaystyle z_{0}}$ é uma raiz de ${\displaystyle P}$, o que termina a demonstração.

Uma prova muito concisa baseia-se no teorema de Liouville em análise complexa. Para esse efeito, considera-se um polinômio ${\displaystyle P}$ com coeficientes complexos, de grau pelo menos igual a ${\displaystyle 1}$. Supõe-se que não tem nenhuma raiz: desde logo, a função racional ${\displaystyle {\dfrac {1}{P}}}$ é inteira e limitada (pois tende para ${\displaystyle 0}$ no infinito, segundo a demonstração anterior); do teorema de Liouville, deduz-se que é constante, o que contradiz a hipótese sobre o grau, e prova assim por absurdo a existência de pelo menos uma raiz de ${\displaystyle P}$^[9][10].

Outra demonstração concisa apoia-se no teorema de Rouché em análise complexa. Considera-se o polinômio ${\displaystyle p}$ com valores em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definido por:

${\displaystyle p(z)=a_{0}+\cdots +a_{n}z^{n}}$

supondo que o coeficiente ${\displaystyle a_{n}}$ é não nulo. Basta em seguida comparar este polinômio a ${\displaystyle a_{n}z^{n}}$ num círculo suficientemente grande para deduzir, aplicando o teorema de Rouché, que ${\displaystyle p}$ possui tantos zeros (com multiplicidades) quanto ${\displaystyle a_{n}z^{n}}$, ou seja, ${\displaystyle n}$.

Uma terceira prova concisa baseia-se no teorema integral de Cauchy em análise complexa. Por absurdo, supõe-se que para todo o ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle P(z)\neq 0}$ e considera-se a seguinte função ${\textstyle z\mapsto {\frac {P'(z)}{P(z)}}}$ que é holomorfa sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Pelo teorema integral de Cauchy, tem-se

${\displaystyle \forall \rho \in \mathbb {R} _{+}^{*}}$, ${\displaystyle \int _{|z|=\rho }{\frac {P'(z)}{P(z)}}\mathrm {d} z=0.}$

Ora, efetuando a divisão polinomial de ${\displaystyle {\frac {P'(z)}{P(z)}}}$, obtém-se após inversão da soma e da integral sobre a série absolutamente convergente que

${\displaystyle \lim \limits _{\rho \rightarrow +\infty }\int _{|z|=\rho }{\frac {P'(z)}{P(z)}}\mathrm {d} z=2\pi i\operatorname {deg} P\neq 0.}$

Há, portanto, uma contradição e o polinômio ${\displaystyle P}$ tem pelo menos uma raiz.

Dado que ${\displaystyle P}$ é contínua e que ${\displaystyle \lim \limits _{|z|\rightarrow +\infty }|P(z)|=+\infty }$, a aplicação ${\displaystyle P}$ é própria, logo a sua imagem ${\displaystyle \mathrm {Im} (P)}$ é fechada, logo ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathrm {Im} (P)}$ é aberto. Por outro lado, segundo o teorema da função inversa,

${\displaystyle P(\{z\in \mathbb {C} \mid P'(z)\neq 0\})}$ é aberto; a sua interseção com o conjunto ${\displaystyle R:=\mathbb {C} \setminus P(\{z\in \mathbb {C} \mid P'(z)=0\})}$ dos valores que são ou não atingidos por ${\displaystyle P}$, ou atingidos mas não críticos, é portanto um aberto de ${\displaystyle R}$, complementar em ${\displaystyle R}$ do aberto anterior.

Ora (visto que ${\displaystyle P'}$ só tem um número finito de raízes) ${\displaystyle R}$ é cofinito logo conexo. Um dos seus dois abertos é, portanto, vazio. Não pode ser o segundo, pois ele é igual a ${\displaystyle \mathrm {Im} (P)\setminus P(\{z\in \mathbb {C} \mid P'(z)=0\})}$.

Por conseguinte, ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \mathrm {Im} (P)\neq \emptyset }$, o que implica ${\displaystyle \mathrm {Im} (P)=\mathbb {C} }$. Tem-se, portanto, ${\displaystyle 0\in \mathrm {Im} (P)}$ e logo existe um número ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ tal que ${\displaystyle P(z)=0}$.

Ver artigo principal: Homotopia

Uma homotopia entre dois laços é uma deformação contínua que permite passar do primeiro laço para o segundo. O artigo principal mostra que se ${\displaystyle P}$ for um polinômio de grau ${\displaystyle n}$ e se ${\displaystyle \rho }$ for um número real suficientemente grande, o laço ${\displaystyle \alpha }$ definido sobre o círculo unitário por:

${\displaystyle \forall t\in [0,1]\quad \alpha (t)={\frac {P(\rho \exp(2\pi \mathrm {i} t))}{|P(\rho \exp(2\pi \mathrm {i} t))|}}}$

dá ${\displaystyle n}$ voltas ao círculo. Se o polinômio ${\displaystyle P}$ não tivesse raiz, este laço seria homotópico a um ponto. Esta contradição é a base da demonstração proposta no artigo principal^[11].

Não existe demonstração puramente algébrica do "teorema fundamental da álgebra" pois, num ponto ou noutro, intervêm necessariamente considerações de continuidade. Este ponto só foi completamente clarificado em 1927, por Emil Artin e Otto Schreier, com a teoria dos corpos ordenáveis^[12][13][14] e dos corpos reais fechados^[15]. Estes autores chegaram ao seguinte teorema de álgebra, "atribuído" por Nicolas Bourbaki^[16] a Euler e Lagrange:

Teorema: Para todo o corpo comutativo ${\displaystyle K}$, as duas propriedades seguintes são equivalentes:

1. ${\displaystyle K}$ verifica as duas condições seguintes: (1.a) ${\displaystyle K}$ é um corpo euclidiano, ou seja, os seus quadrados formam os elementos positivos de uma ordem total compatível com a sua estrutura de corpo; (1.b) todo o polinômio de grau ímpar em ${\displaystyle K[X]}$ admite uma raiz em ${\displaystyle K}$.
2. ${\displaystyle -1}$ não é um quadrado em ${\displaystyle K}$ e K(${\displaystyle i}$), onde ${\displaystyle i}$ é uma raiz quadrada de –1, é algebricamente fechado.

Diz-se então que ${\displaystyle K}$ é um "corpo ordenado maximal", ou ainda um "corpo real fechado".

Demonstração de ${\displaystyle 1\Rightarrow 2}$^[17]: Notemos primeiro que para todo o corpo ${\displaystyle K}$ totalmente ordenável, ${\displaystyle -1}$ não é uma soma de quadrados em ${\displaystyle K}$ (em particular, ${\displaystyle K}$ tem característica 0 e é, portanto, infinito). Resta mostrar que se ${\displaystyle K}$ verifica mesmo (1.a) e (1.b), então ${\displaystyle K(i)}$ é algebricamente fechado.

• Etapa 1: toda a equação do segundo grau com coeficientes em ${\displaystyle K(i)}$ tem as suas duas soluções em ${\displaystyle K(i)}$: basta mostrar que o seu discriminante ${\displaystyle a+bi}$ (${\displaystyle a,b\in K}$) é um quadrado em ${\displaystyle K(i)}$. Ora, ele é o quadrado de ${\displaystyle c+di}$ dado por

${\displaystyle c^{2}={\dfrac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}},\qquad d^{2}={\dfrac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}$

com ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ ∈ ${\displaystyle K}$ — por (1.a) — e escolhidos de forma coerente para que ${\displaystyle 2cd}$ tenha não só o mesmo quadrado que ${\displaystyle b}$, mas o mesmo sinal.

• Etapa 2: todo o polinômio ${\displaystyle F}$ não constante com coeficientes em ${\displaystyle K}$ possui uma raiz em ${\displaystyle K(i)}$: nota-se ${\displaystyle n}$ o seu grau, depois coloca-se ${\displaystyle n=2^{p}q}$, onde ${\displaystyle q}$ é ímpar. A prova é uma indução sobre ${\displaystyle p}$. Para ${\displaystyle p=0}$, ${\displaystyle F}$ admite uma raiz em ${\displaystyle K}$ segundo (1.b). Suponhamos ${\displaystyle p>0}$ e o resultado conhecido para todos os polinômios em ${\displaystyle K[X]}$ de grau não divisível por ${\displaystyle 2^{p}}$. Seja ${\displaystyle E}$ um corpo de decomposição de ${\displaystyle F}$; notam-se então ${\displaystyle x_{i}}$ (${\displaystyle 1\leq i\leq n}$) as raízes de ${\displaystyle F}$ em ${\displaystyle E}$ (repetidas tantas vezes quantas as múltiplas). Para cada elemento ${\displaystyle c}$ de ${\displaystyle K}$, introduz-se o polinômio

${\displaystyle G_{c}=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(X-x_{i}-x_{j}-cx_{i}x_{j}\right).}$

Este polinômio é de grau ${\displaystyle {\dfrac {n(n-1)}{2}}=2^{p-1}q(n-1)}$ que não é divisível por ${\displaystyle 2^{p}}$. Os coeficientes de ${\displaystyle G_{c}}$ são, por outro lado, elementos de ${\displaystyle K}$: com efeito, são polinômios simétricos com coeficientes em ${\displaystyle K}$ nos ${\displaystyle x_{i}}$, logo — de acordo com as relações entre coeficientes e raízes^[18] — são polinômios com coeficientes em ${\displaystyle K}$ nos coeficientes de ${\displaystyle F}$, que pertencem também a ${\displaystyle K}$. Pode-se desde logo aplicar a hipótese de indução a ${\displaystyle G_{c}}$ e concluir que possui pelo menos uma raiz em ${\displaystyle K(i)}$. Podem-se então isolar dois índices ${\displaystyle i(c)}$ e ${\displaystyle j(c)}$ tais que

${\displaystyle x_{i(c)}+x_{j(c)}+cx_{i(c)}x_{j(c)}\in K(\mathrm {i} ).}$

O corpo ${\displaystyle K}$ é infinito, enquanto o conjunto de pares de índices é finito; existem, portanto, dois elementos ${\displaystyle c}$ e ${\displaystyle d}$ de ${\displaystyle K}$ tais que ${\displaystyle i(c)=i(d)}$ e ${\displaystyle j(c)=j(d)}$; nota-se ${\displaystyle i=i(c)=i(d)}$ e ${\displaystyle j=j(c)=j(d)}$. Como ${\displaystyle x_{i}+x_{j}+cx_{i}x_{j}}$ e ${\displaystyle x_{i}+x_{j}+dx_{i}x_{j}}$ pertencem a ${\displaystyle K(i)}$ com ${\displaystyle c\neq d}$, deduz-se que ${\displaystyle x_{i}+x_{j}}$ e ${\displaystyle x_{i}x_{j}}$ pertencem igualmente a ${\displaystyle K(i)}$, e de seguida que ${\displaystyle x_{i}}$ e ${\displaystyle x_{j}}$ são, por sua vez, raízes de um polinômio do segundo grau com coeficientes em ${\displaystyle K(i)}$. Como consequência da etapa 1, ${\displaystyle x_{i}}$ e ${\displaystyle x_{j}}$ pertencem a ${\displaystyle K(i)}$. Encontrou-se assim uma raiz em ${\displaystyle K(i)}$ para ${\displaystyle F}$ (e até mesmo duas).

• Conclusão: ${\displaystyle K(i)}$ é algebricamente fechado: deduz-se da etapa 2.

Para o corpo ${\displaystyle \mathbb {R} }$, as condições (1.a) e (1.b) são satisfeitas, segundo dois teoremas de análise que se deduzem do teorema dos valores intermédios^[19][20]. Por conseguinte, o corpo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dos complexos, obtido ao adjuntar-lhe ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$, é algebricamente fechado.

Observações

• A demonstração acima é uma reescrita moderna daquela concebida por Lagrange^[21]. Trata-se de uma combinatória engenhosa, que Laplace foi o primeiro a utilizar para aperfeiçoar a estratégia de Euler. Uma demonstração mais curta recorre à teoria de Galois.
• Todo o corpo real fechado ${\displaystyle K}$ verifica as mesmas propriedades de primeira ordem que ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Em particular, os únicos polinômios irredutíveis de ${\displaystyle K[X]}$ são os polinômios do primeiro grau e os polinômios do segundo grau com discriminante estritamente inferior a ${\displaystyle 0}$, e ${\displaystyle K}$ verifica a propriedade dos valores intermédios para os polinômios de ${\displaystyle K[X]}$. Por outro lado, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é o único corpo totalmente ordenado que possui a propriedade (de segunda ordem) do supremo, que fundamenta a prova direta.

Na época de François Viète (1540 - 1603), o cálculo literal acaba de ser descoberto^{[Nota 2]} por este matemático, bem como as relações entre coeficientes e raízes^[22]. Ele repara também que é sempre possível construir uma equação tendo exatamente ${\displaystyle n}$ raízes dadas. Em 1608, Peter Roth afirma que o número de raízes de uma equação polinomial é limitado pelo seu grau^[23]. Por "raiz", ele não entendia forçosamente raízes da forma ${\displaystyle a+ib}$. Um primeiro enunciado correto é dado por Albert Girard (1595 - 1632), que, em 1629, no seu tratado intitulado Inventions nouvelles en l'algèbre^[24], anuncia que:

Esta ideia é retomada em A Geometria de René Descartes (1596-1650), que utiliza pela primeira vez o termo imaginário, para qualificar raízes:

... por vezes apenas imaginárias, ou seja, pode-se sempre imaginar tantas quantas eu disse em cada equação, mas por vezes não há qualquer quantidade que corresponda à que se imagina...

^[25]. Albert Girard chamava-lhes, por sua vez, inexplicáveis. A sua compreensão é ainda insuficiente para dar um sentido à ideia de uma demonstração. Um número imaginário é aqui um número fictício, que, para os polinômios de graus superiores, desempenharia o mesmo papel que o símbolo ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ formalizado por Bombelli para as equações de pequeno grau.

Nesta época e durante mais de um século, este tipo de afirmação não é sujeito a demonstração, e provar uma definição, ou ainda pior uma imaginação, não faz o menor sentido^[26].

É preciso mais de um século para passar dos números imaginários, fictícios ou impossíveis de Girard e Descartes, para os números complexos que conhecemos, ou seja, da forma ${\displaystyle a+ib}$, onde ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são números reais . A pouco e pouco, os números complexos são domesticados pelos matemáticos. Com o auxílio de um desenvolvimento em série, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) dá um sentido unívoco à igualdade de Bombelli^[27]:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {-121}}}}+{\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {-121}}}}=4.}$

O uso da unidade imaginária ${\displaystyle i}$ torna-se cada vez mais frequente, e isso em contextos bem diferentes do da teoria das equações. O matemático Abraham de Moivre demonstra a fórmula que tem o seu nome e ilumina a relação entre a trigonometria e os números complexos. Por fim, a célebre fórmula de Euler ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$, publicada em 1748, acaba por convencer os mais céticos.

Em 1746, Jean Le Rond d'Alembert exprime a necessidade de demonstrar o teorema fundamental da álgebra^[28]. A sua motivação não é em nada algébrica; ele deseja demonstrar a existência de uma decomposição em frações parciais de qualquer função racional, a fim de obter primitivas. Se o mundo matemático admite imediatamente a pertinência da necessidade de uma demonstração, a abordagem de D'Alembert não seduz. O seu procedimento baseia-se em convergências de sucessões e de famílias de curvas, uma abordagem puramente analítica. Ela é, além disso, incompleta, e supõe sem prova que uma função contínua sobre um compacto e com valores reais atinge o seu mínimo. Supõe também demonstrado um resultado sobre a convergência de séries, agora conhecido sob o nome de teorema de Puiseux. Os grandes nomes da sua época desejam uma demonstração algébrica, da mesma natureza que o teorema^[29].

A prova de D'Alembert foi revista por Argand em 1814^[30]. Este último substituiu o teorema de Puiseux por uma simples desigualdade, conhecida hoje sob o nome de desigualdade de Argand^[31]. Mas a prova permanece incompleta até meados do século XIX^[32].

Duas tentativas de prova são obra de Leonhard Euler (1707 - 1783) e de Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813). Elas seguem-se e a mais tardia, de Lagrange, visa preencher certas lacunas deixadas por Euler.

As demonstrações utilizam o fato de que se o grau n de um polinômio com coeficientes reais é ímpar, é "evidente" que o polinômio admite uma raiz real, pois se uma grandeza é suficientemente grande, a imagem por esse polinômio dessa grandeza e do seu oposto são de sinais opostos. Será preciso esperar pelos trabalhos de Bernard Bolzano de 1816 para obter uma demonstração rigorosa do teorema dos valores intermédios e para que este resultado deixe de ser uma "evidência"^[33].

Se ${\displaystyle n}$ já não é ímpar mas da forma ${\displaystyle 2^{p}q}$ com ${\displaystyle q}$ ímpar, o objetivo de Euler e Lagrange é mostrar, por indução sobre ${\displaystyle p}$ (cf. acima, § Corpo real fechado), que todas as raízes imaginárias, no sentido de Girard ou Descartes, são complexas no sentido em que são combinações lineares com coeficientes reais de ${\displaystyle 1}$ e de ${\displaystyle i}$. A demonstração de Euler é rigorosa para o grau 4, mas apenas esboçada no caso geral; a de Lagrange baseia-se em funções racionais invariantes por aquilo a que se chama agora um grupo de permutações das raízes^[34]. Outras tentativas da mesma natureza são obra de Foncenex e de Laplace.

Carl Friedrich Gauss escreve a sua tese de doutoramento sobre o assunto em 1799^[35]. Ele critica uma abordagem pouco rigorosa por parte dos seus antecessores, com exceção de d'Alembert, que utiliza um raciocínio analítico de natureza diferente (mas tendo também lacunas). Todos eles supõem a existência de ${\displaystyle n}$ raízes e mostram que estas raízes são números complexos. O sentido a dar a estas ${\displaystyle n}$ raízes deixa Gauss perplexo; exprime-se assim:

A hipótese de base da demonstração, o axioma, é que toda a equação possui efetivamente ${\displaystyle n}$ raízes possíveis ou impossíveis. Se se entende por possíveis reais e por impossíveis, complexos, este axioma é inadmissível, uma vez que é justamente isso que se trata de demonstrar. Mas se se entende por possíveis as quantidades reais e complexas e por impossíveis tudo o que falta para que se tenham exatamente ${\displaystyle n}$ raízes, este axioma é aceitável. Impossível significa então quantidade que não existe em todo o domínio das grandezas^[36].

A fraqueza é que, se elas não existem, e isso em todo o domínio das grandezas, será razoável calcular sobre elas como fazem Euler e Lagrange?

A primeira prova de Gauss, apresentada em 1799 e baseada no esboço de d'Alembert, permanece ainda incompleta. Na época, a existência de um mínimo alcançado por uma função contínua definida num compacto não está demonstrada. Em 1814, um amador suíço chamado Jean-Robert Argand apresenta uma prova ao mesmo tempo sólida e simples^[30][37], baseada no esboço de d'Alembert. A prova de Cauchy no seu Cours d'analyse é inspirada, indiretamente pelo menos, na de Argand^[38].

Segundo Remmert^[23], esta primeira prova de Gauss é uma bela prova geométrica, mas permanece ainda incompleta. Os zeros são interpretados como as interseções das duas curvas algébricas reais ${\displaystyle \mathrm {Re} (P)=0}$ e ${\displaystyle \mathrm {Im} (P)=0}$. No infinito, estas curvas têm ${\displaystyle 2n}$ ramos que se alternam (parte fácil da prova). Infelizmente, deduzir daí a existência de ${\displaystyle n}$ pontos de interseção contados com multiplicidade não é uma aplicação direta do teorema dos valores intermédios. Ela só será dada em 1920, por Ostrowski.

A segunda prova de Gauss, em 1815, recorre à abordagem de Euler e de Lagrange. Desta vez, ele substitui as raízes por indeterminadas, o que resulta numa prova rigorosa^[39], mas mais tardia que a de Argand. As duas únicas hipóteses que Gauss faz são: (i) toda a equação algébrica de grau ímpar tem uma raiz real; (ii) toda a equação quadrática com coeficientes complexos tem duas raízes complexas.

A terceira prova de Gauss data de 1816. Trata-se, na realidade, de um resultado sobre a localização dos zeros das funções polinomiais, cuja generalização (em 1862) às funções holomorfas é o teorema de Rouché.

A quarta prova de Gauss data de 1849. Trata-se de uma variante da primeira prova, onde Gauss encara desta vez polinômios com coeficientes complexos^[40].

Ver artigo principal: Teoria de Galois

A história acaba por preencher a lacuna da demonstração de Lagrange. Évariste Galois (1811 - 1832) reutiliza as ideias de Lagrange sob um ângulo mais inovador e que prefigura a álgebra moderna^[41]. Estas ideias, retomadas por Ernst Kummer e Leopold Kronecker, desembocam na existência de um corpo contendo todas as raízes do polinômio, e isso independentemente de qualquer construção sobre os números complexos. Este corpo é chamado corpo de decomposição; o seu uso permite a retoma das ideias de Lagrange, de maneira totalmente rigorosa^[42].

Remmert^[43] atribui esta reatualização da prova de Lagrange a Adolf Kneser^[44]. Uma versão moderna^[45] devida a Artin^[46][47][48], utilizando a teoria de Galois e o primeiro teorema de Sylow, redemonstra^{[Nota 3]} que as únicas extensões finitas de ℝ são ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Mesmo completada e corrigida, a demonstração de D'Alembert e de Argand não é construtiva : utiliza o fato de que o módulo de um polinômio atinge o seu mínimo, sem precisar em que ponto. Seria, no entanto, desejável poder aproximar as raízes dos polinômios, por exemplo, dispondo de uma demonstração que explicite uma forma de exibir uma raiz, ou uma sucessão de números complexos que convirja para uma raiz. Teoremas de localização sobre os zeros das funções holomorfas podem ser deduzidos do teorema dos resíduos devido a Cauchy, mas não são realmente efetivos: é difícil implementar um algoritmo de aproximação baseado neles (e são inutilizáveis na prática sem computadores potentes); encontrar-se-á uma análise mais precisa destes métodos na seção de testes numéricos do artigo Hipótese de Riemann, pois são os únicos utilizáveis para localizar os zeros da função ${\displaystyle \zeta }$.

Segundo Remmert, a primeira tentativa significativa foi proposta por Weierstrass em 1859^[49]. Embora o método proposto não funcione bem, a ideia é interessante: trata-se de iterar a função

${\displaystyle x\mapsto x-P(x)}$.

Isto dá origem a uma sucessão que, se convergir, converge para um zero de ${\displaystyle P}$. Esta ideia é explorada para mostrar o teorema do ponto fixo para as funções contrativas, por exemplo. No entanto, a convergência não é, aqui, automática: o conjunto dos valores de ${\displaystyle x}$ para os quais a sucessão iterada é limitada não é ${\displaystyle \mathbb {C} }$ em geral; mesmo limitando-se a um domínio limitado, acontece frequentemente que a sucessão diverge para quase todo o ponto de partida; aqueles para os quais se mantém limitada formam, aliás, um dos fractais mais conhecidos: o conjunto de Julia (preenchido) associado a ${\displaystyle P}$, e que é frequentemente uma poeira de Cantor, de dimensão de Hausdorff nula; é por exemplo o caso do polinômio ${\displaystyle P(X)=-X^{2}+X-1}$.

De um ponto de vista prático, outra sucessão que converge mais frequentemente é dada pelo método de Muller; exige a cada etapa o cálculo de uma raiz quadrada (complexa).

Se as raízes do polinômio ${\displaystyle P}$ estudado forem simples (o que é uma condição genérica), o método de Newton pode ser aplicado. Consiste em iterar a função

${\displaystyle x\mapsto x-{\dfrac {P(x)}{P'(x)}},}$

que a ${\displaystyle x}$ associa o ponto onde se anula a função afim tangente a ${\displaystyle P}$ em ${\displaystyle x}$. Mais uma vez, se esta sucessão convergir, o seu limite é um zero de ${\displaystyle P}$ e, desta vez, a convergência está assegurada se o valor inicial for escolhido suficientemente perto de uma raiz de ${\displaystyle P}$.

Uma importante correção foi introduzida por Morris Hirsch e Stephen Smale em 1979^[50]. Consiste em iterar a função

${\displaystyle x\mapsto x-\min(1,H(x)){\frac {P(x)}{P'(x)}},}$

onde a função ${\displaystyle H}$ é definida em função do polinômio ${\displaystyle P}$ pela fórmula

${\displaystyle H(x)=C(|x|){\frac {|P'(x)|^{2}}{|P(x)|\max |a_{i}|}}.}$

Os ${\displaystyle a_{i}}$ são os coeficientes de ${\displaystyle P}$, e ${\displaystyle C}$ é uma função racional de uma variável real. Hirsch e Smale demonstraram que a sucessão obtida ${\displaystyle z_{k}}$ converge sempre para um zero do polinômio ${\displaystyle P}$, qualquer que seja o valor inicial ${\displaystyle z_{0}}$.

Weierstrass propõe igualmente em 1891^[51] um método iterativo, conhecido atualmente sob o nome de método de Durand-Kerner, mais potente, que converge (em boas condições) não para uma única raiz mas para o conjunto das ${\displaystyle n}$ raízes simples ${\displaystyle (\zeta _{j})}$: ${\displaystyle z_{k}^{(i+1)}=z_{k}^{(i)}-{\frac {P(z_{k}^{(i)})}{a_{n}\,\prod _{j\not =k}(z_{k}^{(i)}-z_{j}^{(i)})}}}$ que está próximo da iteração de ${\displaystyle z_{k}^{(i+1)}=z_{k}^{(i)}-{\frac {P(z_{k}^{(i)})}{a_{n}\,\prod _{j\not =k}(z_{k}^{(i)}-\zeta _{j})}}}$ que tem por ponto fixo as raízes.