Álgebra sobre um corpo

Seja K um corpo, e seja A um espaço vetorial sobre K equipado com uma operação binária adicional de A × A para A, denotada aqui por · (isto é, se x e y são quaisquer dois elementos de A, então x · y é um elemento de A que é chamado de produto de x e y). Então A é uma álgebra sobre K se as seguintes identidades forem válidas para todos os elementos x, y, z em A, e todos os elementos (frequentemente chamados de escalares) a e b em K:

• Distributividade à direita: (x + y) · z = x · z + y · z
• Distributividade à esquerda: z · (x + y) = z · x + z · y
• Compatibilidade com escalares: (ax) · (by) = (ab) (x · y).

Estas três condições são outra maneira de dizer que a operação binária é bilinear. Uma álgebra sobre K às vezes também é chamada de K-álgebra, e K é chamado de corpo base de A. A operação binária é frequentemente referida como multiplicação em A. A convenção adotada neste artigo é que a multiplicação de elementos de uma álgebra não é necessariamente associativa, embora alguns autores usem o termo álgebra para se referir a uma álgebra associativa.

Quando uma operação binária num espaço vetorial é comutativa, a distributividade à esquerda e a distributividade à direita são equivalentes e, neste caso, apenas uma distributividade exige uma demonstração. Em geral, para operações não comutativas, a distributividade à esquerda e a distributividade à direita não são equivalentes e requerem demonstrações separadas.

Dadas as ${\displaystyle K}$-álgebras ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, um homomorfismo de ${\displaystyle K}$-álgebras ou homomorfismo de ${\displaystyle K}$-álgebra é uma transformação ${\displaystyle K}$-linear ${\displaystyle f:A\to B}$ tal que ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$ para todos os ${\displaystyle x,y}$ em ${\displaystyle A}$. Se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ são unitárias, então um homomorfismo que satisfaz ${\displaystyle f(1_{A})=1_{B}}$ é dito ser um homomorfismo unitário. O espaço de todos os homomorfismos de ${\displaystyle K}$-álgebra entre ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ é frequentemente escrito como:

${\displaystyle \mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).}$

Um isomorfismo de ${\displaystyle K}$-álgebra é um homomorfismo de ${\displaystyle K}$-álgebra bijetivo.

Uma subálgebra de uma álgebra sobre um corpo ${\displaystyle K}$ é um subespaço vetorial que tem a propriedade de que o produto de quaisquer dois de seus elementos está novamente no subespaço. Em outras palavras, uma subálgebra de uma álgebra é um subconjunto não vazio de elementos que é fechado sob adição, multiplicação e multiplicação por escalar. Em símbolos, dizemos que um subconjunto ${\displaystyle L}$ de uma ${\displaystyle K}$-álgebra ${\displaystyle A}$ é uma subálgebra se para todo ${\displaystyle x,y}$ em ${\displaystyle L}$ e ${\displaystyle c}$ em ${\displaystyle K}$, temos que ${\displaystyle x\cdot y}$, ${\displaystyle x+y}$ e ${\displaystyle cx}$ estão todos em ${\displaystyle L}$.

No exemplo acima dos números complexos vistos como uma álgebra bidimensional sobre os números reais, a reta real unidimensional é uma subálgebra.

Um ideal à esquerda de uma ${\displaystyle K}$-álgebra é um subespaço vetorial que tem a propriedade de que qualquer elemento do subespaço multiplicado à esquerda por qualquer elemento da álgebra produz um elemento do subespaço. Em símbolos, dizemos que um subconjunto ${\displaystyle L}$ de uma ${\displaystyle K}$-álgebra ${\displaystyle A}$ é um ideal à esquerda se para todo ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle z}$ em ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle c}$ em ${\displaystyle K}$, temos as três afirmações a seguir:

1. ${\displaystyle x+y}$ está em ${\displaystyle L}$ (${\displaystyle L}$ é fechado sob adição),
2. ${\displaystyle cx}$ está em ${\displaystyle L}$ (${\displaystyle L}$ é fechado sob multiplicação por escalar),
3. ${\displaystyle z\cdot x}$ está em ${\displaystyle L}$ (${\displaystyle L}$ é fechado sob multiplicação à esquerda por elementos arbitrários).

Se a afirmação (3) fosse substituída por "${\displaystyle x\cdot z}$ está em ${\displaystyle L}$", então isso definiria um ideal à direita. Um ideal bilateral é um subconjunto que é tanto um ideal à esquerda quanto um ideal à direita. O termo ideal por si só geralmente significa um ideal bilateral. Naturalmente, quando a álgebra é comutativa, todas essas noções de ideal são equivalentes. As condições (1) e (2) juntas são equivalentes a ${\displaystyle L}$ ser um subespaço linear de ${\displaystyle A}$. Segue da condição (3) que todo ideal à esquerda ou à direita é uma subálgebra.

Esta definição é diferente da definição de um ideal de um anel, pois aqui exigimos a condição (2). Obviamente, se a álgebra for unitária, a condição (3) implicará a condição (2).

Se tivermos uma extensão de corpos ${\displaystyle F/K}$, ou seja, um corpo maior ${\displaystyle F}$ que contém ${\displaystyle K}$, então há uma maneira natural de construir uma álgebra sobre ${\displaystyle F}$ a partir de qualquer álgebra sobre ${\displaystyle K}$. É a mesma construção que se usa para criar um espaço vetorial sobre um corpo maior, a saber, o produto tensorial ${\displaystyle V_{F}:=V\otimes _{K}F}$. Portanto, se ${\displaystyle A}$ é uma álgebra sobre ${\displaystyle K}$, então ${\displaystyle A_{F}}$ é uma álgebra sobre ${\displaystyle F}$.

Uma álgebra é unitária se possui uma unidade ou elemento identidade ${\displaystyle I}$ com ${\displaystyle Ix=x=xI}$ para todo ${\displaystyle x}$ na álgebra.

Uma álgebra é chamada de álgebra zero se ${\displaystyle uv=0}$ para todos ${\displaystyle u,v}$ na álgebra,^[1] não devendo ser confundida com a álgebra de um único elemento. É inerentemente não unitária (exceto no caso de ter apenas um elemento), associativa e comutativa.

Uma álgebra zero unitária é a soma direta ${\displaystyle K\oplus V}$ de um corpo ${\displaystyle K}$ e um espaço vetorial ${\displaystyle V}$ sobre ${\displaystyle K}$, que é equipada com a única multiplicação que é nula no espaço vetorial (ou módulo), tornando-a uma álgebra unitária.

Mais precisamente, cada elemento da álgebra pode ser escrito de forma única como ${\displaystyle k+v}$ com ${\displaystyle k\in K}$ e ${\displaystyle v\in V}$, e o produto é a única operação bilinear tal que ${\displaystyle vw=0}$ para todos ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle w}$ em ${\displaystyle V}$. Assim, se ${\displaystyle k_{1},k_{2}\in K}$ e ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$, tem-se $${\displaystyle (k_{1}+v_{1})(k_{2}+v_{2})=k_{1}k_{2}+(k_{1}v_{2}+k_{2}v_{1}).}$$

Um exemplo clássico de álgebra zero unitária é a álgebra dos números duais, a álgebra zero unitária sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ construída a partir de um espaço vetorial real unidimensional.

Esta definição estende-se literalmente à definição de uma álgebra zero unitária sobre um anel comutativo, com a substituição de "corpo" e "espaço vetorial" por "anel comutativo" e "módulo".

As álgebras zero unitárias permitem a unificação da teoria dos submódulos de um dado módulo e da teoria dos ideais de uma álgebra unitária. De fato, os submódulos de um módulo ${\displaystyle V}$ correspondem exatamente aos ideais de ${\displaystyle K\oplus V}$ que estão contidos em ${\displaystyle V}$.

Por exemplo, a teoria das bases de Gröbner foi introduzida por Bruno Buchberger para ideais num anel de polinômios ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ sobre um corpo. A construção da álgebra zero unitária sobre um módulo livre sobre ${\displaystyle R}$ permite estender esta teoria como uma teoria de bases de Gröbner para submódulos de um módulo livre. Esta extensão permite, para calcular a base de Gröbner de um submódulo, utilizar, sem qualquer modificação, qualquer algoritmo e qualquer software destinado ao cálculo de bases de Gröbner de ideais.

De forma semelhante, as álgebras zero unitárias permitem deduzir diretamente o Teorema de Lasker-Noether para módulos (sobre um anel comutativo) a partir do teorema original de Lasker-Noether para ideais.

Ver artigo principal: Álgebra associativa

Exemplos de álgebras associativas incluem:

• a álgebra de todas as matrizes ${\displaystyle n\times n}$ sobre um corpo (ou anel comutativo) ${\displaystyle K}$. Aqui, a multiplicação é a multiplicação de matrizes ordinária.
• álgebras de grupo, onde um grupo serve como base do espaço vetorial e a multiplicação da álgebra estende a multiplicação do grupo.
• a álgebra comutativa ${\displaystyle K[x]}$ de todos os polinômios sobre ${\displaystyle K}$ (ver anel de polinômios).
• álgebras de funções, como a álgebra sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de todas as funções de valor real contínuas definidas no intervalo ${\displaystyle [0,1]}$, ou a álgebra sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ de todas as funções holomorfas definidas num dado conjunto aberto fixo no plano complexo. Estas também são comutativas.
• álgebras de incidência, que são construídas sobre certos conjuntos parcialmente ordenados.
• álgebras de operadores lineares, por exemplo, sobre um espaço de Hilbert. Aqui a multiplicação da álgebra é dada pela composição de operadores. Estas álgebras também carregam uma topologia; muitas delas são definidas num espaço de Banach subjacente, o que as transforma em álgebras de Banach. Se for dada também uma involução, obtemos as B*-álgebras e as C*-álgebras. Estas são estudadas em análise funcional.

Uma álgebra não associativa^[2] (ou álgebra distributiva) sobre um corpo ${\displaystyle K}$ é um espaço vetorial ${\displaystyle A}$ sobre ${\displaystyle K}$ equipado com uma aplicação bilinear sobre ${\displaystyle K}$ dada por ${\displaystyle A\times A\to A}$. O uso de "não associativa" aqui destina-se a transmitir que a associatividade não é presumida, mas não significa que seja proibida — ou seja, significa "não necessariamente associativa".

Exemplos detalhados no artigo principal incluem:

• O espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ com a multiplicação dada pelo produto vetorial
• Octoniões
• Álgebras de Lie
• Álgebras de Jordan
• Álgebras alternativas
• Álgebras flexíveis
• Álgebras associativas nas potências

Ver artigo principal: Álgebra associativa

Um anel A é sempre uma álgebra associativa sobre seu centro e sobre os inteiros. Um exemplo clássico de uma álgebra sobre seu centro é a álgebra de biquatérnios cindidos, que é isomorfa a H × H, o produto direto de duas álgebras de quatérnios. O centro desse anel é R × R, e portanto ele tem a estrutura de uma álgebra sobre seu centro, que não é um corpo. Note que a álgebra de biquatérnios cindidos também é naturalmente uma R-álgebra de dimensão 8.

Na álgebra comutativa, se A é um anel comutativo, então qualquer homomorfismo de anéis unitários R → A define uma estrutura de R-módulo sobre A, e isso é o que é conhecido como a estrutura de R-álgebra.^[7] Assim, um anel vem com uma estrutura natural de Z-módulo, já que se pode tomar o homomorfismo único Z → A.^[8] Por outro lado, nem todos os anéis podem receber a estrutura de uma álgebra sobre um corpo (por exemplo, os inteiros). Veja Corpo com um elemento para uma descrição de uma tentativa de dar a cada anel uma estrutura que se comporte como uma álgebra sobre um corpo.