Função (matemática)

A definição de função acima é essencialmente a dos fundadores do cálculo, Leibniz, Newton e Euler. No entanto, ela não pode ser formalizada, pois não há uma definição matemática para uma "atribuição". Foi apenas no final do século XIX que a primeira definição formal de uma função pôde ser fornecida, em termos da teoria dos conjuntos. Essa definição teórica de conjuntos é baseada no fato de que uma função estabelece uma relação entre os elementos do domínio e alguns (possivelmente todos) elementos do contradomínio. Matematicamente, uma relação binária entre dois conjuntos X e Y é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados ${\displaystyle (x,y)}$ tais que ${\displaystyle x\in X}$ e ${\displaystyle y\in Y.}$ O conjunto de todos esses pares é chamado de produto cartesiano de X e Y e denotado por ${\displaystyle X\times Y.}$ Assim, a definição acima pode ser formalizada da seguinte maneira.^{[10][11][12][13]}

Uma função com domínio X e contradomínio Y é uma relação binária R entre X e Y que satisfaz as duas seguintes condições:^[14]

• Para todo ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle X}$ existe ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle Y}$ tal que ${\displaystyle (x,y)\in R.}$
• Se ${\displaystyle (x,y)\in R}$ e ${\displaystyle (x,z)\in R,}$ então ${\displaystyle y=z.}$

Essa definição pode ser reescrita de forma mais formal, sem se referir explicitamente ao conceito de uma relação, mas usando mais notações (incluindo a notação de construtor de conjuntos):

Uma função é formada por três conjuntos (muitas vezes como um trio ordenado), o domínio ${\displaystyle X,}$ o contradomínio ${\displaystyle Y,}$ e o gráfico ${\displaystyle R}$ que satisfazem as três seguintes condições.

• ${\displaystyle R\subseteq \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in R\qquad }$
• ${\displaystyle (x,y)\in R\land (x,z)\in R\implies y=z\qquad }$

Uma relação que satisfaz essas condições é chamada de relação funcional.

A terminologia e notação mais usuais podem ser derivadas desta definição formal da seguinte maneira. Seja f uma função definida por uma relação funcional R. Para cada x no domínio de f, o elemento único do contradomínio que está relacionado a x é denotado por f(x). Se y é este elemento, escreve-se comumente y=f(x) em vez de ${\displaystyle (x,y)\in R\,}$ ou xRy, e diz-se que "f mapeia x em y", "y é a imagem por f de x", ou "a aplicação de f em x resulta em y", etc.

Ver artigo principal: Função parcial

As funções parciais são definidas de forma semelhante às funções comuns, com a condição "total" removida. Ou seja, uma função parcial de X para Y é uma relação binária R entre X e Y tal que, para cada ${\displaystyle x\in X,}$ há no máximo um y em Y tal que ${\displaystyle (x,y)\in R.}$^[15][16][17]

Usando a notação funcional, isso significa que, dado ${\displaystyle x\in X,}$ ou ${\displaystyle f(x)}$ está em Y, ou é indefinido.

O conjunto dos elementos de X tais que ${\displaystyle f(x)}$ é definido e pertence a Y é chamado de domínio de definição da função. Uma função parcial de X para Y é, portanto, uma função comum que tem como seu domínio um subconjunto de X chamado de domínio de definição da função. Se o domínio de definição for igual a X, costuma-se dizer que a função parcial é uma função total.

Em várias áreas da matemática, o termo "função" refere-se a funções parciais em vez de funções comuns (totais). Este é tipicamente o caso quando as funções podem ser especificadas de uma maneira que torna difícil ou até mesmo impossível determinar seu domínio.

No cálculo, uma função de valor real de uma variável real ou função real é uma função parcial do conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dos números reais para si mesmo. Dada uma função real ${\displaystyle f:x\mapsto f(x)}$, o seu inverso multiplicativo ${\displaystyle x\mapsto 1/f(x)}$ também é uma função real. A determinação do domínio de definição de um inverso multiplicativo de uma função (parcial) equivale a calcular os zeros da função, os valores onde a função é definida, mas não o seu inverso multiplicativo.

De forma semelhante, uma função de uma variável complexa é geralmente uma função parcial cujo domínio de definição é um subconjunto dos números complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$. A dificuldade de determinar o domínio de definição de uma função complexa é ilustrada pelo inverso multiplicativo da função zeta de Riemann: a determinação do domínio de definição da função ${\displaystyle z\mapsto 1/\zeta (z)}$ é mais ou menos equivalente à prova ou refutação de um dos maiores problemas em aberto da matemática, a hipótese de Riemann.

Na teoria da computabilidade, uma função recursiva geral é uma função parcial dos inteiros para os inteiros cujos valores podem ser calculados por um algoritmo (grosso modo). O domínio de definição de tal função é o conjunto de entradas para as quais o algoritmo não roda indefinidamente. Um teorema fundamental da teoria da computabilidade é que não pode existir um algoritmo que tome uma função recursiva geral arbitrária como entrada e teste se 0 pertence ao seu domínio de definição (veja Problema da parada).

Uma função multivariada, função multivariável, ou função de várias variáveis é uma função que depende de vários argumentos. Tais funções são comumente encontradas. Por exemplo, a posição de um carro em uma estrada é uma função do tempo de viagem e de sua velocidade média.^{[18][19][20][21][22]}

Formalmente, uma função de n variáveis é uma função cujo domínio é um conjunto de n-tuplas.^{[note 2]} Por exemplo, a multiplicação de inteiros é uma função de duas variáveis, ou função bivariada, cujo domínio é o conjunto de todos os pares ordenados (2-tuplas) de inteiros, e cujo contradomínio é o conjunto dos inteiros. O mesmo é válido para toda operação binária. O gráfico de uma superfície bivariada sobre um domínio real bidimensional pode ser interpretado como definindo uma superfície paramétrica, como usado em, por exemplo, interpolação bivariada.

Comumente, uma n-tupla é denotada entre parênteses, como em ${\displaystyle (1,2,\ldots ,n).}$ Ao usar a notação funcional, costuma-se omitir os parênteses em torno das tuplas, escrevendo ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ em vez de ${\displaystyle f((x_{1},\ldots ,x_{n})).}$

Dado n conjuntos ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$ o conjunto de todas as n-tuplas ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ tais que ${\displaystyle x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}}$ é chamado de produto cartesiano de ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$ e denotado por ${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

Portanto, uma função multivariada é uma função que tem um produto cartesiano ou um subconjunto próprio de um produto cartesiano como domínio.

$${\displaystyle f:U\to Y,}$$

onde o domínio U tem a forma

$${\displaystyle U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$$

Se todos os ${\displaystyle X_{i}}$ são iguais ao conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dos números reais ou ao conjunto ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dos números complexos, fala-se respectivamente de uma função de várias variáveis reais ou de uma função de várias variáveis complexas.

A notação funcional exige que um nome seja dado à função, o qual, no caso de uma função não especificada, é frequentemente a letra f. Em seguida, a aplicação da função a um argumento é denotada pelo seu nome seguido do seu argumento (ou, no caso de funções multivariadas, de seus argumentos) entre parênteses, como em

$${\displaystyle f(x),\quad \sin(3),\quad {\text{ou}}\quad f(x^{2}+1).}$$

O argumento entre parênteses pode ser uma variável, frequentemente x, que representa um elemento arbitrário do domínio da função, um elemento específico do domínio (3 no exemplo acima), ou uma expressão que pode ser avaliada como um elemento do domínio (${\displaystyle x^{2}+1}$ no exemplo acima). O uso de uma variável não especificada entre parênteses é útil para definir uma função explicitamente, como em "seja ${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}$".

Quando o símbolo que denota a função consiste em vários caracteres e não houver ambiguidade, os parênteses da notação funcional podem ser omitidos. Por exemplo, é comum escrever sen x em vez de sen(x).

A notação funcional foi usada pela primeira vez por Leonhard Euler em 1734.^[23] Algumas funções amplamente utilizadas são representadas por um símbolo que consiste em várias letras (geralmente duas ou três, na maioria das vezes uma abreviação de seu nome). Neste caso, um tipo romano (fonte não itálica) é habitualmente usado, como "sen" para a função seno, em contraste com a fonte itálica para símbolos de uma única letra.

A notação funcional é frequentemente usada coloquialmente para se referir a uma função e simultaneamente nomear o seu argumento, como em "seja ${\displaystyle f(x)}$ uma função". Este é um abuso de notação que é útil para uma formulação mais simples.

A notação de seta define a regra de uma função em linha, sem exigir que um nome seja dado à função. Ela usa o símbolo de seta ↦, lido como "mapeia em" ou "leva a". Por exemplo, ${\displaystyle x\mapsto x+1}$ é a função que toma um número real como entrada e produz como saída esse número mais 1. Novamente, um domínio e um contradomínio de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ estão implícitos.

O domínio e o contradomínio também podem ser declarados explicitamente, por exemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}}$$

Isso define uma função sqr dos inteiros para os inteiros que retorna o quadrado de sua entrada.

Como uma aplicação comum da notação de seta, suponha que ${\displaystyle f:X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}$ seja uma função de duas variáveis, e queremos nos referir a uma função parcialmente aplicada ${\displaystyle X\to Y}$ produzida fixando o segundo argumento no valor t₀ sem introduzir um novo nome de função. O mapa em questão poderia ser denotado por ${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$ usando a notação de seta. A expressão ${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$ (lê-se: "o mapa que leva x a f de x vírgula t zero") representa esta nova função com apenas um argumento, ao passo que a expressão f(x₀, t₀) refere-se ao valor da função f no ponto (x₀, t₀).

A notação de índice pode ser usada no lugar da notação funcional. Ou seja, em vez de escrever f(x), escreve-se ${\displaystyle f_{x}.}$

Este é tipicamente o caso para funções cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Tal função é chamada de sequência e, neste caso, o elemento ${\displaystyle f_{n}}$ é chamado de n-ésimo elemento da sequência.

A notação de índice também pode ser usada para distinguir algumas variáveis chamadas parâmetros das "variáveis verdadeiras". De fato, parâmetros são variáveis específicas que são consideradas fixas durante o estudo de um problema. Por exemplo, o mapa ${\displaystyle x\mapsto f(x,t)}$ (veja acima) seria denotado como ${\displaystyle f_{t}}$ usando a notação de índice, se definirmos a coleção de mapas ${\displaystyle f_{t}}$ pela fórmula ${\displaystyle f_{t}(x)=f(x,t)}$ para todos os ${\displaystyle x,t\in X}$.

Na notação ${\displaystyle x\mapsto f(x),}$ o símbolo x não representa nenhum valor; é simplesmente um marcador de posição, significando que, se x for substituído por qualquer valor à esquerda da seta, ele deve ser substituído pelo mesmo valor à direita da seta. Portanto, na expressão à direita da seta, x pode ser substituído por um símbolo de marcador de posição, frequentemente um ponto mediano "⋅" ou um traço "–", e essa nova expressão contendo o símbolo de marcador de posição pode ser usada como uma abreviação para a própria função. Como no caso da notação de seta, isso é útil em casos onde a função não recebe um nome explícito como f ou sen, etc.

Por exemplo, ${\displaystyle a(\cdot )^{2}}$ ou ${\displaystyle a(-)^{2}}$ podem representar a função ${\displaystyle x\mapsto ax^{2}}$, e ${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$ ou ${\textstyle \int _{a}^{\,(-)}f(u)\,du}$ podem representar uma função definida por uma integral com limite superior variável: ${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$.

Existem outras notações especializadas para funções em subdisciplinas da matemática. Por exemplo, na álgebra linear e na análise funcional, as formas lineares e os vetores sobre os quais elas atuam são denotados usando um par dual para mostrar a dualidade subjacente. Isso é semelhante ao uso da notação bra-ket na mecânica quântica. Na lógica e na teoria da computação, a notação de função do cálculo lambda é usada para expressar explicitamente as noções básicas de abstração e aplicação de função. Na teoria das categorias e na álgebra homológica, redes de funções são descritas em termos de como elas e suas composições comutam entre si usando diagramas comutativos que estendem e generalizam a notação de seta para funções descrita acima.

Em alguns casos, o argumento de uma função pode ser um par ordenado de elementos retirados de algum conjunto ou conjuntos. Por exemplo, uma função f pode ser definida como o mapeamento de qualquer par de números reais ${\displaystyle (x,y)}$ para a soma de seus quadrados, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$. Tal função é comumente escrita como ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ e referida como "uma função de duas variáveis". Da mesma forma, pode-se ter uma função de três ou mais variáveis, com notações como ${\displaystyle f(w,x,y)}$, ${\displaystyle f(w,x,y,z)}$.^[24][25][26]

Em um conjunto finito, uma função pode ser definida listando os elementos do contradomínio que estão associados aos elementos do domínio. Por exemplo, se ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$, então pode-se definir uma função ${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$ por ${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.}$

As funções são frequentemente definidas por uma expressão que descreve uma combinação de operações aritméticas e funções previamente definidas; tal fórmula permite calcular o valor da função a partir do valor de qualquer elemento do domínio. Por exemplo, no caso acima, f pode ser definida pela fórmula ${\displaystyle f(n)=n+1}$, para ${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$.

Quando uma função é definida desta forma, a determinação do seu domínio às vezes é difícil. Se a fórmula que define a função contiver divisões, os valores da variável para os quais um denominador é zero devem ser excluídos do domínio; assim, para uma função complicada, a determinação do domínio passa pelo cálculo dos zeros de funções auxiliares. Da mesma forma, se raízes quadradas ocorrerem na definição de uma função de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ para ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ o domínio está contido no conjunto dos valores da variável para os quais os argumentos das raízes quadradas são não negativos.

Por exemplo, ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}$ define uma função ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ cujo domínio é ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ porque ${\displaystyle 1+x^{2}}$ é sempre positivo se x for um número real. Por outro lado, ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ define uma função dos reais para os reais cujo domínio é reduzido ao intervalo [−1, 1]. (Em textos antigos, tal domínio era chamado de domínio de definição da função.)

As funções podem ser classificadas pela natureza das fórmulas que as definem:

• Uma função quadrática é uma função que pode ser escrita como ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$ onde a, b, c são constantes.
• Mais genericamente, uma função polinomial é uma função que pode ser definida por uma fórmula envolvendo apenas adições, subtrações, multiplicações e exponenciações a potências inteiras não negativas. Por exemplo, ${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}$ e ${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}$ são funções polinomiais de x.
• Uma função racional é o mesmo, com divisões também permitidas, como ${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}$ e ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}$
• Uma função algébrica é o mesmo, com raízes enésimas e raízes de polinômios também permitidas.
• Uma função elementar^{[nota 2]} é o mesmo, com logaritmos e funções exponenciais permitidos.

Uma função ${\displaystyle f:X\to Y,}$ com domínio X e contradomínio Y, é bijetiva se, para cada y em Y, houver um e apenas um elemento x em X tal que y = f(x). Neste caso, a função inversa de f é a função ${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$ que mapeia ${\displaystyle y\in Y}$ para o elemento ${\displaystyle x\in X}$ tal que y = f(x). Por exemplo, o logaritmo natural é uma função bijetiva dos números reais positivos para os números reais. Portanto, ele tem uma inversa, chamada de função exponencial, que mapeia os números reais para os números positivos.

Se uma função ${\displaystyle f:X\to Y}$ não é bijetiva, pode ocorrer que se possa selecionar subconjuntos ${\displaystyle E\subseteq X}$ e ${\displaystyle F\subseteq Y}$ de tal forma que a restrição de f a E seja uma bijeção de E para F, e assim tenha uma inversa. As funções trigonométricas inversas são definidas desta forma. Por exemplo, a função cosseno induz, por restrição, uma bijeção do intervalo [0, π] para o intervalo [−1, 1], e sua função inversa, chamada arco-cosseno, mapeia [−1, 1] para [0, π]. As outras funções trigonométricas inversas são definidas de forma semelhante.

Mais genericamente, dada uma relação binária R entre dois conjuntos X e Y, seja E um subconjunto de X tal que, para todo ${\displaystyle x\in E,}$ exista algum ${\displaystyle y\in Y}$ tal que x R y. Se houver um critério que permita selecionar tal y para cada ${\displaystyle x\in E,}$ isso define uma função ${\displaystyle f:E\to Y,}$ chamada de função implícita, porque ela é implicitamente definida pela relação R.

Por exemplo, a equação do círculo unitário ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ define uma relação nos números reais. Se −1 < x < 1, existem dois valores possíveis de y, um positivo e um negativo. Para x = ± 1, esses dois valores tornam-se ambos iguais a 0. Caso contrário, não há valor possível para y. Isso significa que a equação define duas funções implícitas com domínio [−1, 1] e contradomínios respectivos [0, +∞) e (−∞, 0].

Neste exemplo, a equação pode ser resolvida em y, dando ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},}$ mas, em exemplos mais complicados, isso é impossível. Por exemplo, a relação ${\displaystyle y^{5}+y+x=0}$ define y como uma função implícita de x, chamada de radical de Bring, que tem ${\displaystyle \mathbb {R} }$ como domínio e imagem. O radical de Bring não pode ser expresso em termos das quatro operações aritméticas e raízes enésimas.

O teorema da função implícita fornece condições brandas de diferenciabilidade para a existência e unicidade de uma função implícita na vizinhança de um ponto.

Muitas funções podem ser definidas como a antiderivada (ou primitiva) de outra função. Este é o caso do logaritmo natural, que é a antiderivada de 1/x que é 0 para x = 1. Outro exemplo comum é a função erro.

Mais genericamente, muitas funções, incluindo a maioria das funções especiais, podem ser definidas como soluções de equações diferenciais. O exemplo mais simples é provavelmente a função exponencial, que pode ser definida como a única função que é igual à sua derivada e assume o valor 1 para x = 0.

Séries de potências podem ser usadas para definir funções no domínio em que convergem. Por exemplo, a função exponencial é dada por ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$. No entanto, como os coeficientes de uma série são bastante arbitrários, uma função que é a soma de uma série convergente geralmente é definida de outra forma, e a sequência dos coeficientes é o resultado de algum cálculo baseado em outra definição. Então, a série de potências pode ser usada para ampliar o domínio da função. Tipicamente, se uma função de uma variável real é a soma de sua série de Taylor em algum intervalo, esta série de potências permite ampliar imediatamente o domínio para um subconjunto dos números complexos, o disco de convergência da série. Em seguida, o prolongamento analítico permite ampliar ainda mais o domínio para incluir quase todo o plano complexo. Este processo é o método geralmente usado para definir o logaritmo, a exponencial e as funções trigonométricas de um número complexo.

Ver artigo principal: Relação de recorrência

Funções cujo domínio são os números inteiros não negativos, conhecidas como sequências, às vezes são definidas por relações de recorrência.

A função fatorial nos inteiros não negativos (${\displaystyle n\mapsto n!}$) é um exemplo básico, pois pode ser definida pela relação de recorrência

$${\displaystyle n!=n(n-1)!\quad {\text{para}}\quad n>0,}$$

e pela condição inicial

$${\displaystyle 0!=1.}$$

Ver artigo principal: Gráfico de uma função

Dada uma função ${\displaystyle f:X\to Y,}$ seu gráfico é, formalmente, o conjunto

$${\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}$$

No caso frequente em que X e Y são subconjuntos dos números reais (ou podem ser identificados com tais subconjuntos, por exemplo, intervalos), um elemento ${\displaystyle (x,y)\in G}$ pode ser identificado com um ponto de coordenadas (x, y) num sistema de coordenadas bidimensional, como o plano cartesiano. Partes disso podem criar uma plotagem (ou gráfico) que representa (partes da) função. O uso de plotagens é tão onipresente que elas também são chamadas de gráfico da função. Representações gráficas de funções também são possíveis em outros sistemas de coordenadas. Por exemplo, o gráfico da função quadrática (função quadrado)

$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$$

consistindo de todos os pontos com coordenadas ${\displaystyle (x,x^{2})}$ para ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$ produz, quando retratado em coordenadas cartesianas, a conhecida parábola. Se a mesma função quadrática ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$ com o mesmo gráfico formal, consistindo de pares de números, for plotada em coordenadas polares ${\displaystyle (r,\theta )=(x,x^{2}),}$ a curva obtida é a espiral de Fermat.

Ver artigo principal: Tabela matemática

Uma função pode ser representada como uma tabela de valores. Se o domínio de uma função for finito, então a função pode ser completamente especificada desta forma. Por exemplo, a função de multiplicação ${\displaystyle f:\{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} }$ definida como ${\displaystyle f(x,y)=xy}$ pode ser representada pela familiar tabuada de multiplicação:

Por outro lado, se o domínio de uma função for contínuo, uma tabela pode fornecer os valores da função em valores específicos do domínio. Se um valor intermediário for necessário, a interpolação pode ser usada para estimar o valor da função.^{[nota 3]} Por exemplo, uma parte de uma tabela para a função seno pode ser dada da seguinte forma, com valores arredondados para 6 casas decimais:

Antes do advento das calculadoras de bolso e dos computadores pessoais, tais tabelas eram frequentemente compiladas e publicadas para funções como logaritmos e funções trigonométricas.^{[nota 4]}

Um gráfico de barras pode representar uma função cujo domínio é um conjunto finito, os números naturais ou os inteiros. Neste caso, um elemento x do domínio é representado por um intervalo do eixo x, e o valor correspondente da função, f(x), é representado por um retângulo cuja base é o intervalo correspondente a x e cuja altura é f(x) (possivelmente negativa, caso em que a barra se estende abaixo do eixo x).

Existem várias funções padrão que ocorrem com frequência:

• Para todo conjunto X, existe uma função única, chamada de função vazia, ou aplicação vazia, do conjunto vazio para X. O gráfico de uma função vazia é o conjunto vazio.^{[nota 5]} A existência de funções vazias é necessária tanto para a coerência da teoria quanto para evitar exceções relativas ao conjunto vazio em muitas proposições. Sob a definição usual da teoria dos conjuntos de uma função como um trio ordenado (ou equivalentes), há exatamente uma função vazia para cada conjunto, portanto, a função vazia ${\displaystyle \varnothing \to X}$ não é igual a ${\displaystyle \varnothing \to Y}$ se e somente se ${\displaystyle X\neq Y}$, embora seus gráficos sejam ambos o conjunto vazio.
• Para todo conjunto X e todo conjunto unitário {s}, existe uma função única de X para {s}, que mapeia todo elemento de X em s. Esta é uma sobrejeção (veja abaixo) a menos que X seja o conjunto vazio.
• Dada uma função ${\displaystyle f:X\to Y,}$ a sobrejeção canônica de f sobre sua imagem ${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$ é a função de X para f(X) que mapeia x em f(x).
• Para todo subconjunto A de um conjunto X, a aplicação de inclusão de A em X é a função injetiva (veja abaixo) que mapeia todo elemento de A em si mesmo.
• A função identidade em um conjunto X, frequentemente denotada por id_X, é a inclusão de X em si mesmo.

Ver artigo principal: Composição de funções

Dadas duas funções ${\displaystyle f:X\to Y}$ e ${\displaystyle g:Y\to Z}$ tais que o domínio de g é o contradomínio de f, a sua composição é a função ${\displaystyle g\circ f:X\rightarrow Z}$ definida por

$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$$

Ou seja, o valor de ${\displaystyle g\circ f}$ é obtido aplicando primeiro f a x para obter y = f(x) e, em seguida, aplicando g ao resultado y para obter g(y) = g(f(x)). Nesta notação, a função que é aplicada primeiro é sempre escrita à direita.

A composição ${\displaystyle g\circ f}$ é uma operação sobre funções que é definida apenas se o contradomínio da primeira função for o domínio da segunda. Mesmo quando tanto ${\displaystyle g\circ f}$ quanto ${\displaystyle f\circ g}$ satisfazem essas condições, a composição não é necessariamente comutativa, ou seja, as funções ${\displaystyle g\circ f}$ e ${\displaystyle f\circ g}$ não precisam ser iguais e podem fornecer valores diferentes para o mesmo argumento. Por exemplo, seja f(x) = x² e g(x) = x + 1; então ${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}$ e ${\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}$ concordam apenas para ${\displaystyle x=0.}$

A composição de funções é associativa no sentido de que, se uma das expressões ${\displaystyle (h\circ g)\circ f}$ ou ${\displaystyle h\circ (g\circ f)}$ estiver definida, então a outra também estará, e elas serão iguais, isto é, ${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}$ Portanto, é comum escrever apenas ${\displaystyle h\circ g\circ f.}$

As funções identidade ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$ e ${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$ são, respectivamente, um elemento neutro à direita e um elemento neutro à esquerda para funções de X para Y. Ou seja, se f é uma função com domínio X e contradomínio Y, tem-se ${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.}$

• 
  Uma função composta g(f(x)) pode ser visualizada como a combinação de duas "máquinas".
• 
  Um exemplo simples de uma composição de funções
• 
  Outra composição. Neste exemplo, (g ∘ f )(c) = #.

Ver artigo principal: Imagem (matemática)

Seja ${\displaystyle f:X\to Y.}$ A imagem sob f de um elemento x do domínio X é f(x). Se A for qualquer subconjunto de X, então a imagem de A sob f, denotada por f(A), é o subconjunto do contradomínio Y que consiste em todas as imagens dos elementos de A, isto é,

$${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}$$

A imagem de f é a imagem de todo o domínio, isto é, f(X).^[32] Ela também é chamada de conjunto imagem de f,^[7][8][9] embora o termo (do inglês range) às vezes também possa referir-se ao contradomínio.^[9][32][33]

Por outro lado, a imagem inversa ou pré-imagem sob f de um elemento y do contradomínio Y é o conjunto de todos os elementos do domínio X cujas imagens sob f são iguais a y. Em símbolos, a pré-imagem de y é denotada por ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ e é dada pela equação

$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$$

Da mesma forma, a pré-imagem de um subconjunto B do contradomínio Y é o conjunto das pré-imagens dos elementos de B, isto é, é o subconjunto do domínio X consistindo em todos os elementos de X cujas imagens pertencem a B. Ela é denotada por ${\displaystyle f^{-1}(B)}$ e é dada pela equação

$${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}$$

Por exemplo, a pré-imagem de ${\displaystyle \{4,9\}}$ sob a função quadrática é o conjunto ${\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}$.

Por definição de uma função, a imagem de um elemento x do domínio é sempre um único elemento do contradomínio. No entanto, a pré-imagem ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ de um elemento y do contradomínio pode ser vazia ou conter qualquer número de elementos. Por exemplo, se f for a função dos inteiros para si mesmos que mapeia todo inteiro em 0, então ${\displaystyle f^{-1}(0)=\mathbb {Z} }$.

Se ${\displaystyle f:X\to Y}$ é uma função, A e B são subconjuntos de X, e C e D são subconjuntos de Y, então tem-se as seguintes propriedades:

• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)}$
• ${\displaystyle C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)}$
• ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A))}$
• ${\displaystyle C\supseteq f(f^{-1}(C))}$
• ${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$
• ${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)}$

A pré-imagem por f de um elemento y do contradomínio às vezes é chamada, em alguns contextos, de fibra de y sob f.

Se uma função f tiver uma inversa (veja abaixo), esta inversa é denotada por ${\displaystyle f^{-1}.}$ Neste caso, ${\displaystyle f^{-1}(C)}$ pode denotar tanto a imagem por ${\displaystyle f^{-1}}$ quanto a pré-imagem por f de C. Isso não é um problema, pois esses conjuntos são iguais. A notação ${\displaystyle f(A)}$ e ${\displaystyle f^{-1}(C)}$ pode ser ambígua no caso de conjuntos que contêm alguns subconjuntos como elementos, tal como ${\displaystyle \{x,\{x\}\}.}$ Nesse caso, pode ser necessário algum cuidado, por exemplo, usando colchetes ${\displaystyle f[A],f^{-1}[C]}$ para imagens e pré-imagens de subconjuntos e parênteses comuns para imagens e pré-imagens de elementos.

Seja ${\displaystyle f:X\to Y}$ uma função.

A função f é injetiva (ou injetora, ou um-para-um) se f(a) ≠ f(b) para cada par de elementos diferentes a e b de X.^[32][34] De forma equivalente, f é injetiva se e somente se, para todo ${\displaystyle y\in Y,}$ a pré-imagem ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ contiver no máximo um elemento. Uma função vazia é sempre injetiva. Se X não for o conjunto vazio, então f é injetiva se e somente se existir uma função ${\displaystyle g:Y\to X}$ tal que ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$ ou seja, se f tiver uma inversa à esquerda.^[34] Prova: Se f é injetiva, para definir g, escolhe-se um elemento ${\displaystyle x_{0}}$ em X (que existe pois supõe-se que X seja não vazio),^{[nota 6]} e define-se g por ${\displaystyle g(y)=x}$ se ${\displaystyle y=f(x)}$ e ${\displaystyle g(y)=x_{0}}$ se ${\displaystyle y\not \in f(X).}$ Reciprocamente, se ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$ e ${\displaystyle y=f(x),}$ então ${\displaystyle x=g(y),}$ e portanto ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}$

A função f é sobrejetiva (ou sobrejetora) se a sua imagem ${\displaystyle f(X)}$ for igual ao seu contradomínio ${\displaystyle Y}$, ou seja, se, para cada elemento ${\displaystyle y}$ do contradomínio, existir algum elemento ${\displaystyle x}$ do domínio tal que ${\displaystyle f(x)=y}$ (em outras palavras, a pré-imagem ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ de cada ${\displaystyle y\in Y}$ é não vazia).^[32][35] Se, como é usual na matemática moderna, o axioma da escolha for assumido, então f é sobrejetiva se e somente se existir uma função ${\displaystyle g:Y\to X}$ tal que ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}$ ou seja, se f tiver uma inversa à direita.^[35] O axioma da escolha é necessário porque, se f for sobrejetiva, define-se g por ${\displaystyle g(y)=x,}$ onde ${\displaystyle x}$ é um elemento escolhido arbitrariamente de ${\displaystyle f^{-1}(y).}$

A função f é bijetiva (ou uma bijeção ou uma correspondência biunívoca) se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva.^[32][36] Ou seja, f é bijetiva se, para todo ${\displaystyle y\in Y,}$ a pré-imagem ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ contiver exatamente um elemento. A função f é bijetiva se e somente se admitir uma função inversa, isto é, uma função ${\displaystyle g:Y\to X}$ tal que ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ e ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}$^[36] (Ao contrário do caso das sobrejeções, isso não requer o axioma da escolha; a prova é direta).

Toda função ${\displaystyle f:X\to Y}$ pode ser fatorada como a composição ${\displaystyle i\circ s}$ de uma sobrejeção seguida por uma injeção, onde s é a sobrejeção canônica de X sobre f(X) e i é a injeção canônica de f(X) em Y. Esta é a fatoração canônica de f.

Termos como "um-para-um" e "sobre" eram mais comuns na literatura mais antiga da língua inglesa; "injetiva", "sobrejetiva" e "bijetiva" foram originalmente cunhados como palavras francesas no segundo quarto do século XX pelo grupo Bourbaki e importados para o inglês e outras línguas.^[37] Como uma palavra de cautela, "uma função um-para-um" é aquela que é injetiva, enquanto uma "correspondência biunívoca" (correspondência um-para-um) refere-se a uma função bijetiva. Devido à natureza confusa desta terminologia mais antiga, esses termos declinaram em popularidade em relação aos termos bourbakianos, que também têm a vantagem de serem mais simétricos.

Ver artigo principal: Restrição (matemática)

Se ${\displaystyle f:X\to Y}$ é uma função e S é um subconjunto de X, então a restrição de ${\displaystyle f}$ a S, denotada por ${\displaystyle f|_{S}}$, é a função de S para Y definida por

$${\displaystyle f|_{S}(x)=f(x)}$$

para todo x em S. As restrições podem ser usadas para definir funções inversas parciaais: se houver um subconjunto S do domínio de uma função ${\displaystyle f}$ tal que ${\displaystyle f|_{S}}$ seja injetiva, então a sobrejeção canônica de ${\displaystyle f|_{S}}$ sobre sua imagem ${\displaystyle f|_{S}(S)=f(S)}$ é uma bijeção, e portanto tem uma função inversa de ${\displaystyle f(S)}$ para S. Uma aplicação é a definição de funções trigonométricas inversas. Por exemplo, a função cosseno é injetiva quando restrita ao intervalo [0, π]. A imagem desta restrição é o intervalo [−1, 1], e portanto a restrição tem uma função inversa de [−1, 1] para [0, π], que é chamada de arco-cosseno e é denotada por arccos.

A restrição de função também pode ser usada para "colar" funções juntas. Seja ${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ a decomposição de X como uma união de subconjuntos, e suponha que uma função ${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to Y}$ seja definida em cada ${\displaystyle U_{i}}$ de tal forma que, para cada par de índices i, j, as restrições de ${\displaystyle f_{i}}$ e ${\displaystyle f_{j}}$ a ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ sejam iguais. Então isso define uma função única ${\displaystyle f:X\to Y}$ tal que ${\displaystyle f|_{U_{i}}=f_{i}}$ para todo i. Esta é a forma como as funções em variedades são definidas.

Uma extensão de uma função f é uma função g tal que f é uma restrição de g. Um uso típico deste conceito é o processo de prolongamento analítico, que permite estender funções cujo domínio é uma pequena parte do plano complexo para funções cujo domínio é quase todo o plano complexo.

Aqui está outro exemplo clássico de uma extensão de função que é encontrada ao estudar homografias da reta real. Uma homografia é uma função ${\displaystyle h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$ tal que ad − bc ≠ 0. O seu domínio é o conjunto de todos os números reais diferentes de ${\displaystyle -d/c,}$ e a sua imagem é o conjunto de todos os números reais diferentes de ${\displaystyle a/c.}$ Se estendermos a reta real para a reta real projetivamente estendida incluindo o ∞, podemos estender h a uma bijeção da reta real estendida sobre si mesma, definindo ${\displaystyle h(\infty )=a/c}$ e ${\displaystyle h(-d/c)=\infty }$.

Uma função real é uma função de uma variável real com valores reais, ou seja, uma função cujo contradomínio é o corpo dos números reais e cujo domínio é um conjunto de números reais que contém um intervalo. Nesta seção, essas funções são chamadas simplesmente de funções.

As funções que são mais comumente consideradas na matemática e em suas aplicações têm alguma regularidade, ou seja, são contínuas, diferenciáveis e até mesmo analíticas. Esta regularidade garante que essas funções possam ser visualizadas pelos seus gráficos. Nesta seção, todas as funções são diferenciáveis em algum intervalo.

Funções desfrutam de operações pontuais, ou seja, se f e g são funções, sua soma, diferença e produto são funções definidas por

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}}$$

Os domínios das funções resultantes são a interseção dos domínios de f e g. O quociente de duas funções é definido de forma semelhante por

$${\displaystyle {\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$$

mas o domínio da função resultante é obtido removendo os zeros de g da interseção dos domínios de f e g.

As funções polinomiais são definidas por polinômios, e seu domínio é todo o conjunto dos números reais. Elas incluem funções constantes, funções lineares e funções quadráticas. As funções racionais são quocientes de duas funções polinomiais, e seu domínio são os números reais com um número finito deles removidos para evitar a divisão por zero. A função racional mais simples é a função ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}},}$ cujo gráfico é uma hipérbole, e cujo domínio é toda a reta real exceto o 0.

A derivada de uma função real diferenciável é uma função real. Uma antiderivada (ou primitiva) de uma função real contínua é uma função real que tem a função original como derivada. Por exemplo, a função ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$ é contínua, e até mesmo diferenciável, nos números reais positivos. Assim, uma antiderivada, que assume o valor zero para x = 1, é uma função diferenciável chamada de logaritmo natural.

Uma função real f é monotônica em um intervalo se o sinal de ${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$ não depender da escolha de x e y no intervalo. Se a função for diferenciável no intervalo, ela é monotônica se o sinal da derivada for constante no intervalo. Se uma função real f é monotônica em um intervalo I, ela possui uma função inversa, que é uma função real com domínio f(I) e imagem I. É assim que as funções trigonométricas inversas são definidas em termos das funções trigonométricas, onde as funções trigonométricas são monotônicas. Outro exemplo: o logaritmo natural é monotônico nos números reais positivos, e sua imagem é toda a reta real; portanto, ele possui uma função inversa que é uma bijeção entre os números reais e os números reais positivos. Esta inversa é a função exponencial.

Muitas outras funções reais são definidas pelo teorema da função implícita (a função inversa é um caso particular) ou como soluções de equações diferenciais. Por exemplo, as funções seno e cosseno são as soluções da equação diferencial linear

$${\displaystyle y''+y=0}$$

tais que

$${\displaystyle \sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.}$$

Ver artigos principais: Função de valor vetorial e Campo vetorial

Quando os elementos do contradomínio de uma função são vetores, diz-se que a função é uma função de valor vetorial. Essas funções são particularmente úteis em aplicações, por exemplo, na modelagem de propriedades físicas. Por exemplo, a função que associa a cada ponto de um fluido o seu vetor velocidade é uma função de valor vetorial.

Algumas funções de valor vetorial são definidas em um subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ou em outros espaços que compartilham propriedades geométricas ou topológicas do ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, como as variedades. A essas funções de valor vetorial dá-se o nome de campos vetoriais.

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