Função inclusão

Na matemática, se ${\displaystyle A}$ é um subconjunto de ${\displaystyle B,}$ então a aplicação de inclusão (ou mapa de inclusão) é a função ${\displaystyle \iota }$ que envia cada elemento ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle A}$ para ${\displaystyle x,}$ tratado como um elemento de ${\displaystyle B:}$ $${\displaystyle \iota :A\rightarrow B,\qquad \iota (x)=x.}$$

Uma aplicação de inclusão também pode ser referida como uma função de inclusão, uma inserção,^[1] ou uma injeção canônica.

Uma "seta com gancho" (U+21AA ↪ RIGHTWARDS ARROW WITH HOOK)^[2] é às vezes usada no lugar da seta de função acima para denotar uma aplicação de inclusão; assim: $${\displaystyle \iota :A\hookrightarrow B.}$$

(No entanto, alguns autores usam esta seta com gancho para qualquer mergulho — embedding.)

Esta e outras funções injetivas análogas^[3] a partir de subestruturas são às vezes chamadas de injeções naturais.

Dado qualquer morfismo ${\displaystyle f}$ entre objetos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, se houver uma aplicação de inclusão ${\displaystyle \iota \colon A\to X}$ no domínio ${\displaystyle X}$, então pode-se formar a restrição ${\displaystyle f\circ \iota }$ de ${\displaystyle f.}$ Em muitas instâncias, também é possível construir uma inclusão canônica no contradomínio ${\displaystyle R\to Y}$ conhecida como a imagem (range) de ${\displaystyle f.}$

As aplicações de inclusão tendem a ser homomorfismos de estruturas algébricas; assim, tais aplicações de inclusão são mergulhos. Mais precisamente, dada uma subestrutura fechada sob algumas operações, a aplicação de inclusão será um mergulho por razões tautológicas. Por exemplo, para alguma operação binária ${\displaystyle \star ,}$ exigir que $${\displaystyle \iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)}$$ é simplesmente dizer que ${\displaystyle \star }$ é calculada consistentemente na subestrutura e na estrutura maior. O caso de uma operação unária é semelhante; mas também se deve observar as operações nulárias, que selecionam um elemento constante. Aqui, o ponto é que o fechamento significa que tais constantes já devem ser dadas na subestrutura.

Aplicações de inclusão são vistas na topologia algébrica onde, se ${\displaystyle A}$ é um retrato por deformação forte de ${\displaystyle X,}$ a aplicação de inclusão produz um isomorfismo entre todos os grupos de homotopia (isto é, é uma equivalência de homotopia).

Aplicações de inclusão na geometria apresentam-se de diferentes tipos: por exemplo, mergulhos de subvariedades. Objetos contravariantes (ou seja, objetos que têm pullbacks; estes eram chamados de covariantes em uma terminologia mais antiga e não relacionada), como as formas diferenciais, restringem-se a subvariedades, fornecendo um mapeamento na outra direção. Outro exemplo, mais sofisticado, é o dos esquemas afins, para os quais as inclusões $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ e $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ podem ser morfismos diferentes, onde ${\displaystyle R}$ é um anel comutativo e ${\displaystyle I}$ é um ideal de ${\displaystyle R.}$

• Cofibração
• Função de identidade