Função zeta de Riemann

Gráfico da função zeta para argumentos reais

A função zeta de Riemann, também função ζ de Riemann (em homenagem a Bernhard Riemann), é uma função de valor complexo, uma função matemática especial que desempenha um papel importante na teoria analítica dos números, um ramo da matemática. Foi considerada pela primeira vez no século XVIII por Leonhard Euler, que a investigou no contexto do Problema de Basileia. É normalmente denotada pela letra grega $\zeta$ (Zeta).

Seu domínio abrange todos os números complexos, exceto o número $1$ . Para valores $s\in \mathbb {C}$ com parte real maior que $1$ , a função zeta de Riemann é definida por meio de uma Série de Dirichlet. Ela é dada por:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots$ para $\operatorname {Re} (s)>1$ .

Por meio do prolongamento analítico, ela pode ser estendida para uma função holomorfa em $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ . Ela satisfaz uma importante equação funcional, com a qual pode até mesmo ser caracterizada.

De grande importância para a teoria dos números é a conexão da função zeta com a fatoração em primos de números naturais. Com base nisso, Riemann conseguiu demonstrar em 1859 a relação muito estreita e não óbvia entre os números primos e a localização dos zeros da função zeta. Assim, do fato de que $\zeta (s)\neq 0$ para todos os números complexos $s$ com $\operatorname {Re} (s)\geq 1$ , já se conclui que o $n$ -ésimo número primo $p_{n}$ tem "muito precisamente" o valor $n\log(n)$ – mais exatamente, segue que:^[1]^[2]

\lim _{n\to \infty }{\frac {p_{n}}{n\log(n)}}=1.

Aqui, $\log(n)$ denota o logaritmo natural de $n$ . Informações mais precisas sobre regiões livres de zeros tornam o quadro da distribuição dos números primos mais claro. A ainda não provada Hipótese de Riemann afirma que todos os zeros não triviais da função zeta de Riemann têm parte real ${\frac {1}{2}}$ , ou seja, estão em uma reta comum. Se essa conjectura é verdadeira, é um dos mais importantes problemas não resolvidos da matemática. Devido à importância dos números primos para os modernos criptossistemas (como, por exemplo, a criptografia RSA), a hipótese de Riemann também atrai atenção fora da teoria pura dos números.

O comportamento da função zeta de Riemann nas regiões $\operatorname {Re} (s)\geq 1$ e $\operatorname {Re} (s)\leq 0$ é considerado bem compreendido. No entanto, suas propriedades dentro da faixa crítica $0<\operatorname {Re} (s)<1$ são em grande parte desconhecidas e objeto de importantes conjecturas. Isso diz respeito, entre outras coisas, às questões sobre o crescimento assintótico na direção imaginária e a distribuição de zeros, que é tão importante para a teoria dos números. De acordo com o estado atual do conhecimento, a função zeta na faixa ${\frac {1}{2}}<\operatorname {Re} (s)<1$ descreve essencialmente o caos. Os valores dos zeros constroem pontes não apenas para a teoria dos números primos, mas muito provavelmente também para a física quântica moderna. Outras áreas de aplicação são a teoria das probabilidades e a teoria das formas automórficas (especialmente no campo do Programa Langlands).

Do ponto de vista da teoria algébrica dos números, a função zeta de Riemann é apenas um caso especial de toda uma classe das chamadas funções L. Assim, ela corresponde à Função L de Dirichlet associada ao caráter trivial módulo 1 e à Função zeta de Dedekind correspondente ao corpo de números $\mathbb {Q}$ (números racionais).

Devido à importância primordial da hipótese de Riemann para a teoria dos números e suas aplicações, o tema da função zeta de Riemann permanece uma área de intensa pesquisa matemática. Progressos decisivos foram alcançados por matemáticos como, por exemplo, Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin e Conrey.

Notação

Em todo o artigo, $\mathrm {i}$ denota a unidade imaginária e $\mathrm {e} =2{,}71828\dots$ o número de Euler. Além disso, $s$ é frequentemente usada como uma variável complexa, que muitas vezes é decomposta em $s=\sigma +\mathrm {i} t$ .

Ademais, a notação O de Landau é frequentemente usada para indicar o tamanho dos erros. Se duas funções (não limitadas) $f$ e $g$ se comportam da mesma forma para argumentos crescentes, ou seja, se $\lim _{x\to \infty }{\tfrac {f(x)}{g(x)}}=1$ , então isso é denotado por $f(x)\sim g(x)$ .

Contextualização sem conhecimentos matemáticos prévios

Motivação

Para cada número primo, a função de contagem dá um passo para cima em uma escada infinitamente longa e alta. A previsão "serpenteia" constantemente ao redor da função de contagem. No entanto, para valores muito grandes, espera-se uma distância cada vez maior entre a escada e a previsão

Os zeros da função zeta corrigem a previsão até um termo exato. Quanto mais dos infinitos zeros são incluídos, mais precisa é a aproximação. A imagem mostra a correção de 100 pares de zeros

No centro da Teoria dos números, o ramo da matemática que lida com as propriedades dos números naturais 1, 2, 3, 4..., estão os números primos 2, 3, 5, 7, 11... Estes distinguem-se pela propriedade de ter exatamente dois divisores, nomeadamente o 1 e eles próprios. O 1 não é um número primo. Já Euclides pôde demonstrar que existem infinitos números primos, e é por isso que a lista 2, 3, 5, 7, 11... nunca terminará.

Os números primos são, em certo sentido, os átomos dos números inteiros, uma vez que todo número inteiro positivo pode ser decomposto multiplicativamente de forma única neles. Por exemplo, 21 = 3 · 7 e 110 = 2 · 5 · 11. Apesar desta propriedade elementar, após vários milênios de história da matemática, ainda não é conhecido nenhum padrão ao qual os números primos se submetam em sua sequência. Sua natureza é uma das questões em aberto mais significativas da matemática.

Mesmo que a compreensão detalhada da sequência 2, 3, 5, 7, 11... seja inatingível, pode-se procurar por padrões ampliando a perspectiva. Para isso, ajuda, por exemplo, a ideia de que, com o auxílio de métodos estatísticos, o comportamento de muitas pessoas (por exemplo, no que diz respeito ao comportamento de consumo e eleitoral) pode muitas vezes ser descrito de forma surpreendentemente precisa, embora um indivíduo isolado seja extremamente complexo. Em termos gerais, isso tem a ver com o fato de que quantidades crescentes de dados relevantes fornecem informações cada vez mais confiáveis.^[3] No caso dos números primos, essa ampliação leva, entre outras coisas, à questão de quantos números primos existem abaixo de um determinado número fixo.

Por exemplo, apenas 4 números primos, a saber, 2, 3, 5 e 7, são menores que o número 10. No caso de 50, já existem 15 números primos menores, a saber:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

No final do século XIX, como consequência do Teorema dos números primos, pôde ser provada uma estimativa surpreendentemente precisa para a distribuição dos números primos. O teorema dos números primos já havia sido conjecturado no século XVIII pelo jovem Gauss de 15 anos (nos anos de 1792/93).^[4] A estimativa já havia sido dada por Riemann antes de uma prova do teorema dos números primos e surge como uma fórmula que permite o cálculo rápido de um valor preditivo. Com essa fórmula, para um determinado número, a quantidade de números primos menores que esse número pode ser estimada em um tempo razoável. A fórmula de previsão torna-se percentualmente cada vez mais precisa quanto maior for o número escolhido (embora com flutuações). Por exemplo, para o valor 50, ela fornece a previsão de 14,97 (na verdade, existem 15 números primos, veja acima), de modo que o erro é de 0,16 por cento. Além disso, ela prevê cerca de 78.527 números primos abaixo do número 1.000.000 – na verdade, são 78.498. Isso corresponde a um desvio de 0,037 por cento.

Uma ferramenta possível para provar essa fórmula é a função zeta de Riemann. Aqui, aproveita-se o fato de que ela expressa a lei da fatoração única em números primos na linguagem da análise. Portanto, as propriedades dos números primos ficam armazenadas ocultamente nessa função. Se o conhecimento sobre a função zeta aumentar, também aumentará o conhecimento sobre os números primos, até mesmo em questões mais detalhadas. Assim, muitos testes de primalidade, como o de Miller-Rabin, podem ser provados ou melhorados assumindo a Hipótese de Riemann.^[5]

Os zeros da função zeta geram um termo de correção para a fórmula acima, que a transforma em uma expressão exata. Esta fórmula exata resultante, portanto, conhece a distribuição dos números primos até o último detalhe. No entanto, as questões em torno dos números primos não são consideradas resolvidas com isso: o esforço computacional aumenta muito com o aumento dos valores e, portanto, cálculos práticos com esta fórmula não são eficientes. Para a pesquisa numérica, em contraste, os testes de primalidade modernos são mais adequados. No entanto, a fórmula exata é de interesse teórico: ela abriga, nomeadamente, a margem de erro entre a previsão simples e a distribuição real dos números primos. Supõe-se que esse erro (dentro do espectro de todas as possibilidades) seja o menor possível. Desvendar esse erro não seria tão relevante para a numérica. Pelo contrário, a matemática pura se esforça para descobrir a razão até então oculta pela qual o erro (se for o caso) se revela o menor possível.

Os números primos não são apenas objeto de pesquisa matemática básica, mas também têm aplicações práticas. Por exemplo, em criptossistemas como a criptografia RSA, são usados números primos muito grandes.

Como "funciona" a função zeta?

Uma função matemática é basicamente como uma máquina de calcular. Insere-se um valor na função e ela fornece um resultado dependendo do valor de entrada, pelo menos teoricamente. O que se quer dizer com isso é que a função em si não faz cálculos, mas na maioria das vezes apenas registra uma regra de cálculo em forma de fórmula. Um exemplo simples de função é a função quadrática, que multiplica a entrada por si mesma. Em forma de fórmula, escreve-se isso como $f(x)=x^{2}$ . Assim, a função quadrática atribui ao número $-2$ , por exemplo, o valor $(-2)^{2}$ . Calculando isso, resulta $4$ , ou seja, $f(-2)=4$ .

Em princípio, a função zeta de Riemann funciona exatamente como o exemplo acima, exceto que a regra de cálculo é um pouco mais complicada. Para entendê-la, o conceito de séries infinitas deve ser conhecido. Grosso modo, uma série (convergente) é uma soma de números que nunca termina e que se aproxima cada vez mais de um número. Um exemplo elementar e não trivial de uma série baseia-se no número ${\tfrac {1}{9}}$ , que na notação decimal não é fechado, mas só pode ser escrito pela dízima periódica infinita

{\frac {1}{9}}=0{,}11111111111\dots

Olhando mais de perto, vê-se que esta é exatamente a soma de todos os inversos das potências de 10:

{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =0{,}1+0{,}01+0{,}001+\cdots =0{,}111111\dots

Para que a soma infinitamente longa se aproxime de um valor, deve-se garantir que os somandos se tornem "pequenos com rapidez suficiente".

A função zeta de Riemann é agora comparável a uma máquina de calcular que, para um determinado número $x$ , forma a soma infinita dos inversos de todas as potências naturais com este expoente. Como fórmula matemática, essa regra é

{\begin{aligned}\zeta (x)&={\frac {1}{1^{x}}}+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+{\frac {1}{4^{x}}}+{\frac {1}{5^{x}}}+{\frac {1}{6^{x}}}+{\frac {1}{7^{x}}}+{\frac {1}{8^{x}}}+{\frac {1}{9^{x}}}+\cdots \\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}.\end{aligned}}

.

Para entender isso melhor, considere o exemplo da entrada $x=2$ . As potências naturais com este expoente são precisamente os quadrados perfeitos 1, 4, 9, 16, 25... Assim, o resultado da máquina de calcular zeta em função do valor de entrada 2 seria a série

\zeta (2)={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{36}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{81}}+\cdots .

Verifica-se que as expressões ${\tfrac {1}{N^{2}}}$ tornam-se pequenas com rapidez suficiente, de modo que esta soma infinitamente longa se aproxima arbitrariamente de um certo valor numérico quanto mais se soma. Experimentalmente, pode-se notar:

1=1;\qquad 1+{\frac {1}{4}}=1{,}25;\qquad 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}\approx 1{,}361;\qquad 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}\approx 1{,}4236

e se formos até o milionésimo quadrado perfeito $1.000.000^{2}=1.000.000.000.000$

1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+\cdots +{\frac {1}{1.000.000.000.000}}\approx 1{,}644933.

Como muitos termos já foram adicionados aqui, pode-se presumir que $1{,}644933$ já está bem próximo do resultado exato. O limite exato, como Leonhard Euler pôde justificar, é o número

{\frac {\pi ^{2}}{6}}=1{,}644934066848226436472415\dotso

.

Onde $\pi =3{,}1415926\dots$ é o Pi. Embora Euler conhecesse o início da sequência decimal $1{,}64493406684822\dotso$ , sua justificativa baseou-se em argumentos matemáticos e não em cálculos explícitos, já que a soma nunca termina. Assim, a função zeta fornece o resultado ${\tfrac {\pi ^{2}}{6}}$ para a entrada 2. Analogamente, para a entrada 3, 4... etc., os inversos de todos os números cúbicos, números biquadrados etc. devem ser adicionados correspondentemente e novos limites $\zeta (3)$ , $\zeta (4)$ ... etc. surgem.

Definições e formas de representação

Série de Dirichlet

A função zeta é frequentemente definida na literatura através de sua representação como uma Série de Dirichlet.

Para números complexos $s$ , cuja parte real é maior que 1, a função zeta é definida pela série de Dirichlet^[6]

\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\dotsb ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,n^{s}:=\exp(s\log(n)).

Como se pode mostrar por meio do critério da integral para séries infinitas, esta série é absolutamente convergente na região indicada. Além disso, a convergência em subconjuntos compactos é uniforme, e é por isso que, de acordo com o Teorema de Weierstrass, a função representada é holomorfa. Devido à divergência da série harmônica, no entanto, esta representação é inválida para todos os números complexos com parte real menor ou igual a 1. Isso se torna particularmente evidente para argumentos negativos, se alguém tentasse, por exemplo, avaliar a função zeta para $s=-1$ através da série de Dirichlet. Ter-se-ia então:

{\begin{aligned}\zeta (-1)&={\frac {1}{1^{-1}}}+{\frac {1}{2^{-1}}}+{\frac {1}{3^{-1}}}+{\frac {1}{4^{-1}}}+{\frac {1}{5^{-1}}}+{\frac {1}{6^{-1}}}+{\frac {1}{7^{-1}}}+\dotsb \\&=1+2+3+4+5+6+7+\dotsb \end{aligned}}

e esta série obviamente não tem um limite finito.

No entanto, a série de Dirichlet é usada como definição básica devido à sua simplicidade e sua relevância na teoria dos números (veja Produto de Euler). Através do prolongamento analítico (veja abaixo), um cálculo significativo torna-se possível para todos os números complexos $s$ com $s\neq 1$ . Com isso, finalmente, também pode ser dado um sentido a valores como $\zeta (-1)$ , por exemplo, tem-se $\zeta (-1)=-{\tfrac {1}{12}}$ .

Produto de Euler

Uma propriedade essencial da função zeta é a sua ligação aos números primos. Euler, que foi o primeiro a descobrir esta conexão, considerou para isso o produto de Euler, mais tarde nomeado em sua homenagem, que é válido para todo $s\in \mathbb {C}$ com $\operatorname {Re} (s)>1$ :^[6]

\zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }}=\prod _{p\ {\text{primo}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}=\prod _{p\ {\text{primo}}}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+{\frac {1}{p^{3s}}}+\dotsb \right).

É exatamente equivalente à série de Dirichlet e é usado por alguns autores como definição.^[7]^[8] Cada fator individual do produto representa uma série geométrica $\textstyle \sum q^{n}$ formada sobre o valor $q=p^{-s}$ , enquanto todo o produto se estende sobre todos os números primos $p$ . O produto de Euler é surpreendente porque os números primos, devido à sua distribuição não previsível de forma exata, são muito difíceis de acomodar em expressões analíticas. No entanto, revela-se uma identidade surpreendentemente simples entre os números primos "caóticos" e uma série conhecida.

Para a dedução detalhada
Para a dedução formal do produto de Euler, são necessários apenas a série geométrica, o teorema de que todo número natural $n$ possui exatamente uma decomposição como um produto de números primos, bem como a expansão (multiplicação) de parênteses. No início, é útil considerar apenas um número finito de números primos no produto. Se expandirmos cada termo ${\tfrac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}$ como uma série geométrica $1+{\tfrac {1}{p^{s}}}+\left({\tfrac {1}{p^{s}}}\right)^{2}+\left({\tfrac {1}{p^{s}}}\right)^{3}+\cdots$ , no caso de apenas um número primo obtemos ${\frac {1}{1-{\frac {1}{2^{s}}}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{2^{2s}}}+{\frac {1}{2^{3s}}}+\cdots =1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\cdots$ onde a regra das potências $\left({\tfrac {1}{p^{s}}}\right)^{n}={\tfrac {1}{p^{ns}}}={\tfrac {1}{(p^{n})^{s}}}$ deve ser observada. À direita, encontram-se exatamente os números que têm exclusivamente o número dois na sua decomposição em fatores primos, ou seja, as potências de dois. Se continuarmos com os dois primeiros números primos, obtemos ${\frac {1}{1-{\frac {1}{2^{s}}}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{3^{s}}}}}=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{2^{2s}}}+{\color {red}{\frac {1}{2^{3s}}}}+\cdots \right)\cdot \left(1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\color {red}{\frac {1}{3^{2s}}}}+{\frac {1}{3^{3s}}}+\cdots \right).$ Multiplicando ambos os parênteses, a soma resulta em todas as combinações de termos da forma ${\tfrac {1}{2^{ns}3^{ms}}}$ com $m,n\geq 0$ , portanto, tem-se ${\frac {1}{1-{\frac {1}{2^{s}}}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{3^{s}}}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}3^{s}}}+{\frac {1}{2^{3s}}}+{\frac {1}{2^{2s}3^{s}}}+\cdots +{\color {red}{\frac {1}{2^{3s}3^{2s}}}}+\cdots =1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{12^{s}}}+\cdots +{\color {red}{\frac {1}{72^{s}}}}+\cdots$ e do lado direito estão exatamente todos os termos $n^{-s}$ tais que $n$ tem apenas dois e três em sua decomposição em fatores primos. Ao multiplicar, cada parcela de um parêntese é combinada com uma parcela do outro parêntese, e em todas as combinações, para $72=2^{3}\cdot 3^{2}$ os termos correspondentes estão marcados em vermelho. De maneira semelhante, descobre-se que ${\tfrac {1}{1-{\frac {1}{2^{s}}}}}\cdot {\tfrac {1}{1-{\frac {1}{3^{s}}}}}\cdot {\tfrac {1}{1-{\frac {1}{5^{s}}}}}$ corresponde à série de Dirichlet correspondente, na qual aparecem todos os números com decomposição em fatores primos $2^{a}3^{b}5^{c}$ , e assim por diante. Analogamente, para os primeiros $n$ números primos, de forma geral, vale ${\frac {1}{1-{\frac {1}{2^{s}}}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{3^{s}}}}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{5^{s}}}}}\cdot \cdots \cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{n}^{s}}}}}=\sum _{m=2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}\cdots p_{n}^{a_{n}} \atop a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n}\geq 0}{\frac {1}{m^{s}}}.$ Agora pode-se fazer $n$ tender ao infinito nesta fórmula, e obtém-se $\prod _{p\ {\text{primo}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}=\lim _{n\to \infty }\sum _{m=2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}\cdots p_{n}^{a_{n}}}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots =\zeta (s),$ pois todo número $m$ possui exatamente uma decomposição $m=2^{a_{1}}3^{a_{2}}5^{a_{3}}\cdots$ .

O produto de Euler converge incondicionalmente na região considerada $\operatorname {Re} (s)>1$ .^[9] Por meio do teorema da identidade para séries de Dirichlet, pode-se mostrar que o produto de Euler e o Teorema fundamental da aritmética são equivalentes entre si. Por isso, às vezes é também referido como sua versão analítica.^[10] Uma consequência importante do produto de Euler para a análise da função zeta é que $\zeta (s)\not =0$ vale para todo $\operatorname {Re} (s)>1$ . Esta é uma consequência de uma extensão do teorema do produto nulo para produtos infinitos: nenhum dos fatores do produto de Euler é zero para qualquer valor de entrada desta região, portanto, ele também não será zero no limite.^[11] Muito mais não trivial é o fato de que o produto de Euler, ao contrário da série de Dirichlet, também mantém sua validade na reta $\operatorname {Re} (s)=1$ , com exceção de $s=1$ . Tem-se^[12]

\prod _{p\ {\text{primo}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{1+it}}}}}=\zeta (1+it),\qquad t\not =0,

o que resulta na ausência de zeros de $\zeta (s)$ em toda a região $\operatorname {Re} (s)\geq 1$ . Como consequência da equação funcional, conclui-se que os únicos zeros de $\zeta (s)$ fora da chamada faixa crítica $0<\operatorname {Re} (s)<1$ são os zeros triviais

-2,\,-4,\,-6,\,-8,\,\dots

Todos os outros zeros são chamados de não triviais, e todos eles se encontram na faixa crítica.^[13]

Com a ajuda do produto de Euler da função zeta, pode-se fornecer uma prova do Teorema de Euclides com métodos analíticos. O teorema de Euclides afirma que deve haver um número infinito de números primos e foi provado cerca de 300 anos antes de Cristo por Euclides de Alexandria. Assumindo que existisse apenas um número finito de números primos, ter-se-ia

\zeta (1)=\prod _{p\ {\text{primo}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p}}}}<\infty ,

o que é uma contradição com a divergência da série harmônica. Igualmente notável é a argumentação sobre a fórmula

\prod _{p\ {\text{primo}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{2}}}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

Se houvesse um número finito de números primos, o lado esquerdo seria um número racional, mas o lado direito é irracional devido à transcendência do número pi.^[14]

Outra consequência direta do produto de Euler, aplicando o logaritmo e usando subsequentemente a série de Taylor do logaritmo, é a fórmula válida para $\operatorname {Re} (s)>1$

\log \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {P(ns)}{n}},

onde $P(s)$ com $\textstyle P(s):=\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {1}{p^{s}}}$ denota a Função zeta de primo.^[15] Com o auxílio da inversão de Möbius, pode-se derivar disso uma maneira de obter rapidamente a função zeta de primo a partir de uma série sobre funções zeta logaritmadas:^[16]

P(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns).

Entre outras coisas, esta expressão pode ser usada para um cálculo numérico rápido da função zeta de primo.^[17] Além disso, segue de $P(s)\sim \log \zeta (s)\to \infty$ para $s\to 1$ , que a série ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+\dotsb$ dos recíprocos dos números primos diverge.

Transformada de Mellin

A representação da função zeta, depois da definição como série de Dirichlet e do produto de Euler, indiscutivelmente mais elementar e importante é aquela feita com a ajuda de uma expressão de integral imprópria. Esta representação também decorre diretamente da série de Dirichlet.

A base desta representação é a representação integral euleriana (integral de Euler de segunda espécie) da função gama

\Gamma (s)=\int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-x}x^{s-1}\mathrm {d} x,

da qual, após a substituição $x=tn$ com $n=1,2,3,\dotsc$ e divisão por $n^{s}$ , somando ambos os lados, surge a expressão

\zeta (s)\Gamma (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\int \limits _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-nt}t^{s-1}\mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\mathrm {d} t

.^[18] Esta representação de $\zeta (s)\Gamma (s)$ é naturalmente válida apenas no semiplano $\{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (s)>1\}$ . A segunda representação integral de $\zeta (s)\Gamma (s)$ também é conhecida como a Transformada de Mellin de ${\tfrac {1}{\mathrm {e} ^{t}-1}}$ . A possível troca de soma e integral pode ser justificada com a convergência absoluta e o teorema de Lebesgue. Uma forma relacionada a isso é

\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }(\vartheta (0,\mathrm {i} t)-1)t^{{\frac {s}{2}}-1}\mathrm {d} t

com a função teta de Jacobi (uma forma modular de peso semi-inteiro).

A representação da função zeta usando a função gama e a transformada de Mellin de ${\tfrac {1}{\mathrm {e} ^{t}-1}}$ é, portanto, central, pois é um ponto de partida para o prolongamento analítico da função zeta. Além disso, através dela podem ser deduzidas equações funcionais características e a relação com a teoria das formas modulares.

Métodos para o prolongamento analítico

Ficheiro:ZetaFunction2.png

Gráfico complexo −1 < Re(s) < 4 e −3 < Im(s) < 3 com coloração dos valores da função: Em comparação: o prolongamento analítico. Seus valores coincidem com a imagem superior dentro do semiplano direito deslocado em 1. No entanto, geralmente possui valores para todo

s

com

s\neq 1

.

A função zeta, inicialmente definida apenas para números complexos $\operatorname {Re} (s)>1$ , pode ser estendida para uma função holomorfa em todo o plano complexo $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ . Esse fato pode parecer incomum à primeira vista, pois sua série de Dirichlet não converge mais em muitos pontos. Na realidade, no entanto, a série de Dirichlet (assim como o produto de Euler e a transformada de Mellin por razões de equivalência) não está disponível em todos os lugares para a definição da função zeta.

No ponto $s=1$ , a função zeta possui certamente, em primeiro lugar, uma descontinuidade, pois com a divergência da série harmônica segue-se:

\lim _{\sigma \to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\sigma }}}=\infty .

Assim, ela crescerá arbitrariamente em qualquer intervalo $(1,1+\varepsilon )$ . Ao mesmo tempo, essa lacuna forma uma barreira natural para a convergência da série de Dirichlet, o que decorre das regras para abscissas de séries de Dirichlet, pois a série de Dirichlet considerada tem abscissa de convergência $\sigma _{c}=1$ .

Um prolongamento analítico da função holomorfa definida pela série $\textstyle \sum n^{-s}$ no domínio $H:=\{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (s)>1\}$ é uma função holomorfa num domínio maior $H\subsetneq D$ que coincide com esta em todo $H$ . Pelo teorema da identidade para funções holomorfas, um tal prolongamento é sempre determinado de forma única. Portanto, todos os valores da função zeta na região estendida $D$ já são determinados pela série de Dirichlet, embora ela não convirja mais em todos os pontos aqui.

Transformações da série de Dirichlet e a transformação de séries de Euler

Embora para o caso mais geral não exista um método construtivo para fornecer fórmulas de cálculo para prolongamentos analíticos, a simplicidade da série de Dirichlet $\textstyle \sum n^{-s}$ torna não muito difícil encontrar um para a função zeta. Isso se mostra particularmente simples para o semiplano perfurado

D=\{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (s)>0,s\neq 1+{\tfrac {2\pi \mathrm {i} m}{\log 2}},m\in \mathbb {Z} \}

através da seguinte observação:^[19]

(1-2^{1-s})\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}-{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}-\dotsb .

A série à direita converge comprovadamente no semiplano $\{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (s)>0\}$ para uma função holomorfa e às vezes também é referida na literatura como a Função eta de Dirichlet $\eta (s)$ . Com isso, a função zeta pode ser continuada para uma função holomorfa em todo o $D$ . A lacuna em $s=1$ é eliminada por meio do fator $1-2^{1-s}$ e deve, portanto, ser um polo de primeira ordem. O resíduo da função zeta aí é 1, ou seja, tem-se:^[20]

\lim _{s\to 1}\,(s-1)\zeta (s)=1.

Todos os pontos $s_{m}=1+{\tfrac {2\pi \mathrm {i} m}{\log 2}}$ com $m\not =0$ , por outro lado, são singularidades removíveis, pois então tem-se $\eta (s_{m})=0.$ Isso é melhor demonstrado por meio de somação parcial: Para todo $x>3$ tem-se^[21]

\sum _{n\leq x}{\frac {(-1)^{n}}{n^{s_{m}}}}=2^{1-s_{m}}\sum _{n\leq x/2}{\frac {1}{n^{s_{m}}}}-\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n^{s_{m}}}}=-\sum _{x/2<n\leq x}{\frac {1}{n^{s_{m}}}}=O\left({\frac {1}{x}}\right).

Para uma extensão holomorfa adicional do domínio, muitos métodos são adequados agora, mas, pelo teorema da identidade, todos representam a mesma função. Uma delas é oferecida pela aplicação da transformação de séries de Euler na série alternada superior. Obtém-se assim uma identidade de série publicada por Konrad Knopp e definida em todo o $\mathbb {C} \setminus \{1+{\tfrac {2\pi \mathrm {i} m}{\log 2}}\mid m\in \mathbb {Z} \}$

\zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\ {n \choose k}\ {\frac {1}{(k+1)^{s}}}.

Esta foi provada em 1930 por Helmut Hasse.^[22] Portanto, não ocorrem mais lacunas ou polos durante o prolongamento posterior. Disso resulta finalmente a holomorfia em $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ .

Através de métodos de limitação

A ideia da teoria dos métodos de soma ou limitação (séries divergentes) é atribuir um valor finito a um processo de limite divergente, introduzindo parâmetros adicionais, por exemplo, que se "limita" subsequentemente em direção à expressão original. Isso remonta a Leonhard Euler, que é famoso por seu tratamento descuidado de séries divergentes. Ele calculou aproximadamente alguns valores da função zeta também fora da região na qual a série de Dirichlet converge. Desta forma, ele também se deparou com sua conjectura a respeito da validade de sua equação funcional, que ele, no entanto, não conseguiu provar.

O pensamento é atribuir um "limite" à série divergente para $\mathrm {Re} (s)\leq 0$

(1-2^{1-s})\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}

para todos os valores $s$ . Isso é alcançado pela introdução de um parâmetro adicional $0<t\leq 1$ . A série

\phi _{s}(t):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}t^{n}

é convergente para todo $s\in \mathbb {C}$ para todos os $0<t<1$ . Com base nisso, o conceito de convergência pode ser atenuado: Uma série $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ é chamada de somável no sentido de Abel se a série de potências associada $\textstyle t\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}t^{n}$ convergir para todo $0<t<1$ e existir o limite $\textstyle \lim _{t\to 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}$ .^[23] Se uma série já for convergente no sentido clássico, os respectivos limites coincidem de acordo com o teorema limite de Abel, mas existem séries somáveis de Abel que não convergem. A somabilidade de Abel é, portanto, uma generalização bem definida da convergência clássica de séries. Tomando o limite $t\to 1^{-}$ , ou seja, $t$ se aproxima pela esquerda, obtém-se

\lim _{t\to 1^{-}}\phi _{s}(t)=\lim _{t\to 1^{-}}\left(t-2^{-s}t^{2}+3^{-s}t^{3}-4^{-s}t^{4}+5^{-s}t^{5}-6^{-s}t^{6}+\cdots \right)=(1-2^{1-s})\zeta (s)

até mesmo para todos os $s$ , e o lado direito representa uma função inteira.^[24]

Gráfico da função $\operatorname {Li} _{-2}(z)={\tfrac {z^{2}+z}{(1-z)^{3}}}$ . Claramente reconhecível: Se a expressão $z+4z^{2}+9z^{3}+16z^{4}+\cdots$ se aproxima de −1 pela direita, isso fornece o valor 0 – isto corresponde a $\zeta (-2)$

Com a adição de uma segunda variável a ser limitada, surge simultaneamente uma relação com o Polilogaritmo. Este generaliza, entre outros, o logaritmo natural e é dado para $|z|<1$ pela série de potências

\operatorname {Li} _{s}(z):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}}.

Além disso, se $\operatorname {Re} (s)>0$ , esta série também é convergente nos valores de contorno $|z|=1$ (exceto em $z=1$ ). Geralmente, para valores fixos de $s$ , é possível um prolongamento analítico em $z$ para o domínio $\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\geq 1}$ . Para todo $\operatorname {Re} (s)>1$ vale a relação $\zeta (s)=\operatorname {Li} _{s}(1)$ , mas também

\zeta (s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(-1)}{2^{1-s}-1}}

para valores de $s\in \mathbb {C} \setminus \{1\}$ . Por exemplo, para $s=-2$ vale $\textstyle \mathrm {Li} _{-2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}z^{n}={\tfrac {z^{2}+z}{(1-z)^{3}}}$ inicialmente para $|z|<1$ (veja a imagem à direita), então após o cálculo do limite

\zeta (-2)={\frac {1}{2^{3}-1}}\lim _{z\to -1^{+}}{\frac {z^{2}+z}{(1-z)^{3}}}=0.

A fórmula de Euler-Maclaurin

Outra possibilidade de fornecer um prolongamento analítico é oferecida pela Fórmula de Euler-Maclaurin. Esta expressa somas discretas explicitamente na linguagem do cálculo integral e é dada em geral por

{\begin{aligned}\sum _{n=N+1}^{M}f(n)&=\int \limits _{N}^{M}f(x)\,\mathrm {d} x+{\frac {f(M)-f(N)}{2}}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(M)-f^{(2k-1)}(N))\\&\quad +(-1)^{p+1}\int \limits _{N}^{M}f^{(p)}(x){\frac {\mathrm {B} _{p}(x-\lfloor x\rfloor )}{p!}}\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}

Aqui, $f$ é uma função diferenciável pelo menos $p$ vezes no intervalo $[N,M]$ e $p\geq 1$ é um número natural. Além disso, $\mathrm {B} _{\nu }(x)$ denota os Polinômios de Bernoulli e $\lfloor x\rfloor$ a parte inteira de $x$ .^[25]

Com $f(x)=x^{-s}$ , $N>0$ e $M\to \infty$ resulta assim^[26]

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {1}{n^{s}}}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2}}N^{-s}+\sum _{r=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}s(s+1)\cdots (s+2r-2)N^{-s-2r+1}+R_{p}(s).

Aqui o termo restante é dado por^[26]

R_{p}(s)=-{\frac {s(s+1)\cdots (s+p-1)}{p!}}\int \limits _{N}^{\infty }\mathrm {B} _{p}(x-\lfloor x\rfloor )x^{-s-p}\mathrm {d} x

e converge em todo o semiplano $\operatorname {Re} (s)>1-p$ (uniformemente em subconjuntos compactos). Portanto, esta fórmula representa um prolongamento holomorfo da função zeta para o semiplano $\operatorname {Re} (s)>1-p$ . Se deixarmos $p$ tender ao infinito, isso resulta em uma expressão holomorfa para todo o $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ .^[27]

Se definirmos, por exemplo, $N=p=1$ , obtemos a representação frequentemente citada na literatura

\zeta (s)={\frac {s}{s-1}}+s\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{s+1}}}\,\mathrm {d} x,

que é válida para $\operatorname {Re} (s)>0$ .^[28]

Gráfico complexo com coloração dos valores da função: A imagem inicial mostra a situação de convergência da série de Dirichlet no recorte −18 < Re(s) < 8 e −8 < Im(s) < 8. Através da fórmula de Euler-Maclaurin, o domínio pode sempre ser estendido em 1 na direção real negativa, elevando o parâmetro $p$ . O gráfico mostra essa extensão para os primeiros parâmetros $p=1,\ldots ,19$ . De acordo com esse princípio, a função $\zeta (s)$ pode ser calculada para qualquer valor $s$ (exceto 1) e assim obtém-se um prolongamento para todo o $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ .

Integração sobre um contorno de Hankel

Gráfico complexo com coloração dos valores da função: A função $z^{11/2}/(\mathrm {e} ^{z}-1)$ tem um ponto singular em $z=0$ . Pela mudança repentina de cor, o eixo real positivo é claramente reconhecível como uma linha de descontinuidade. O traçado do contorno de Hankel com $r=3$ está desenhado e a integral tem o valor $-2\Gamma (13/2)\zeta (13/2)\approx -582{,}6832$ .

Gráfico complexo com coloração dos valores da função: Para números inteiros $s$ , o contorno de Hankel pode ser contraído em um círculo. Aqui o exemplo de $s=6$ .

Intimamente relacionada com a representação da função zeta por meio da transformada de Mellin está uma representação da função por meio de uma integral de contorno. Esta foi usada pelo próprio Riemann para estender a função zeta para o plano complexo. A função $\textstyle f(s;z)=z^{s-1}/(\mathrm {e} ^{z}-1)$ é holomorfa em diferentes regiões, dependendo da escolha do ramo do logaritmo. Para o contorno de Hankel (um caminho de integração especial), é vantajoso excluir a semirreta $[0,\infty [$ do domínio por meio de:

{\frac {z^{s-1}}{\mathrm {e} ^{z}-1}}={\frac {\mathrm {e} ^{\pi \mathrm {i} (s-1)+\log(-z)(s-1)}}{\mathrm {e} ^{z}-1}}.

Agora define-se para $\pi >r>0$ a função $I(s)$ como uma integral de contorno sobre $f(z)$ . A curva escolhida $C_{r}$ vem de $+\infty$ , corre a uma distância $r$ acima da reta real, contorna a origem em um semicírculo e então se estende novamente a uma distância $r$ abaixo da reta real em direção a $+\infty$ :

I(s)=\int _{C_{r}}{\frac {z^{s-1}}{\mathrm {e} ^{z}-1}}\mathrm {d} z.

Devido à convergência uniforme em conjuntos compactos em $\mathbb {C}$ , $I(s)$ é uma função inteira. Se agora escolhermos $\operatorname {Re} (s)>1$ , podemos, devido a $\textstyle |f(s;z)|\ll r^{\sigma -2}$ , contrair a malha arbitrariamente e obter com a transformada de Mellin:

I(s)=\lim _{r\to 0}(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} s}-1)\int \limits _{r}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{\mathrm {e} ^{t}-1}}\mathrm {d} t=(\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} s}-1)\Gamma (s)\zeta (s).

A partir disto, com a fórmula de reflexão de Euler (ou teorema do complemento), obtém-se a fórmula:^[29]

\zeta (s)={\frac {\mathrm {e} ^{-\pi \mathrm {i} s}}{2\pi \mathrm {i} }}\Gamma (1-s)I(s).

Se $s\in \mathbb {Z}$ , então $f(s;z)$ é holomorfa dentro da faixa perfurada $\{z\in \mathbb {C} \mid -2\pi <\operatorname {Im} (z)<2\pi \}\setminus \{0\}$ . Com isso, o contorno de Hankel pode ser contraído em uma curva circular sem alterar o valor da integral. Isso permite um cálculo rápido dos valores $I(n)$ para números inteiros $n$ através do Teorema dos resíduos. Entre outras coisas, segue disso

I(n)=0

para todos os $n\geq 2$ e a estreita relação dos valores da função zeta em argumentos inteiros não positivos com os números de Bernoulli.

Esta forma de representação também pode ser usada para uma dedução direta da equação funcional. Neste caso, a curva é modificada e o teorema dos resíduos é aplicado.^[30]

Outras formas de representação

Digna de nota é a expressão em série

\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+1-\sum \limits _{n=1}^{\infty }(\zeta (s+n)-1){\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}

,

que está definida para todos os valores $s\neq 1,0,-1,\dotsc$ .^[31] O interessante sobre isso é que a função zeta pode assim ser estendida de forma recursiva para todo o plano numérico, já que para o cálculo de $\zeta (s)$ apenas os valores $\zeta (s+1),\zeta (s+2),\dotsc$ são necessários.

De Helmut Hasse provém a série globalmente convergente^[32]

\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left({n \atop k}\right){\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}.

Uma expressão exótica e globalmente convergente resulta se inserirmos diretamente a representação elementar em série da função zeta na Fórmula de Abel-Plana:^[33]

\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{(1+t^{2})^{\frac {s}{2}}(\mathrm {e} ^{2\pi t}-1)}}\,\mathrm {d} t.

História

Ao contrário dos números primos ou da Geometria euclidiana, a história da descoberta matemática da função zeta de Riemann é muito recente. Todas as descobertas essenciais sobre esta função até hoje foram feitas nos últimos 250 anos. Por um lado, a descoberta precoce em relação ao surgimento de uma análise (complexa) rigorosa pode ser justificada pela simplicidade da série. Por outro lado, os resultados tardios podem ser explicados pela dificuldade de suas propriedades.

Por volta de 1735, Leonhard Euler resolveu o Problema de Basileia

Cálculos explícitos de Euler em seu trabalho original *De Summis Serierum Reciprocarum*

Um dos primeiros matemáticos a lidar intensa e detalhadamente com uma precursora da função zeta como definida hoje foi Leonhard Euler. Desde meados do século XVII, os matemáticos tentavam determinar o limite exato da série infinita

1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dotsb

Personalidades como Pietro Mengoli, que formulou o Problema de Basileia (como foi chamado mais tarde) pela primeira vez, mas também Jakob I Bernoulli falharam em suas tentativas de solução. Apenas por volta do ano de 1734, Euler encontrou a solução

1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dotsb ={\frac {\pi ^{2}}{6}}=1{,}6449340668\dots

com o número pi $\pi =3{,}14159265\dots$ , desenvolvendo uma técnica inovadora para o cálculo da função seno.^[34] Esta prova, no entanto, não foi aceita inicialmente por seus contemporâneos após a publicação. Como resultado, ele contra-atacou com a publicação de uma prova alternativa em 1741.^[35] Naturalmente, Euler logo se interessou na investigação de séries do tipo

f(n)=1+{\frac {1}{2^{n}}}+{\frac {1}{3^{n}}}+{\frac {1}{4^{n}}}+{\frac {1}{5^{n}}}+\dotsb

Ele tinha a esperança de poder fazer outras afirmações ainda mais significativas. E de fato, não pararia apenas na solução do Problema de Basileia. Ele encontrou, entre outras, as fórmulas

f(4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}},

f(6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}},

que foram publicadas pela primeira vez em 1735 em seu trabalho De Summis Serierum Reciprocarum. Embora com números de entrada crescentes os valores da função se tornem mais complicados, Euler calculou à mão^[36] o valor

f(26)=1+{\frac {1}{2^{26}}}+{\frac {1}{3^{26}}}+{\frac {1}{4^{26}}}+{\frac {1}{5^{26}}}+\dotsb ={\frac {1.315.862}{11.094.481.976.030.578.125}}\pi ^{26}.

Em seu livro Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, publicado em 1755, ele finalmente provou uma fórmula geral para $f(2n)$ .^[37] Esta mostrou que, de fato, todo $f(2n)$ pode sempre ser escrito como um múltiplo racional da potência $\pi ^{2n}$ . No entanto, ele não teve sucesso com argumentos ímpares, por exemplo com a série

f(3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+\dotsb ,

pois aqui nenhuma de suas técnicas pôde ser aplicada. Contudo, ele calculou os valores $f(2n+1)$ para $n=1,\dotsc ,5$ até várias casas decimais. Além disso, ele escreveu uniformemente $f(n)=N\pi ^{n}$ , onde $N$ é racional no caso de $n$ ser um número par. Para o caso em que $n$ é ímpar, Euler supôs que $N$ seria "uma função de $\log(2)$ ".^[38] Isso, no entanto, apesar da formulação vaga de Euler, não pôde ser confirmado até hoje. Os valores das séries para argumentos ímpares maiores que 1 continuam em grande parte desconhecidos até hoje (dados de 2020) e são objeto de conjecturas na teoria dos números.^[39]

Euler é considerado o descobridor da conexão entre a função zeta e os números primos. Esta ligação ainda hoje é chamada de Produto de Euler. Ele escreveu em seu trabalho Variae observationes circa series infinitas:

Se a partir da série dos números primos for formada a seguinte expressão ${\tfrac {2^{n}}{2^{n}-1}}\cdot {\tfrac {3^{n}}{3^{n}-1}}\cdot {\tfrac {5^{n}}{5^{n}-1}}\cdot {\tfrac {7^{n}}{7^{n}-1}}\cdot {\tfrac {11^{n}}{11^{n}-1}}\cdot \mathrm {etc}$

seu valor será igual à soma desta série $1+{\tfrac {1}{2^{n}}}+{\tfrac {1}{3^{n}}}+{\tfrac {1}{4^{n}}}+{\tfrac {1}{5^{n}}}+{\tfrac {1}{6^{n}}}+{\tfrac {1}{7^{n}}}+\mathrm {etc}$

— Leonhard Euler

Imediatamente, Euler tomou consciência da relação entre os números primos e a geometria, e continuou escrevendo:

Porque ao definir $n=2$ tem-se $1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\mathrm {etc} ={\tfrac {\pi ^{2}}{6}}$ , onde $\pi$ denota a periferia do círculo cujo diâmetro é 1, teremos ${\tfrac {4\cdot 9\cdot 25\cdot 49\cdot 121\cdot 169\cdot \mathrm {etc} }{3\cdot 8\cdot 24\cdot 48\cdot 120\cdot 168\cdot \mathrm {etc} }}={\tfrac {\pi ^{2}}{6}}.$

— Leonhard Euler

A partir do fato, já bem conhecido na época, de que a série harmônica é divergente, Euler também pôde deduzir através do produto de Euler que a soma dos inversos de todos os números primos não tem um limite finito.^[40] Este resultado também é conhecido como o teorema de Euler sobre a soma dos inversos dos números primos.

A equação funcional, mais tarde provada por Riemann, também já era conhecida por Euler. Em seu trabalho Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques, ele a descreveu de maneira matematicamente não rigorosa:^[41]

Por esse motivo, arriscarei a seguinte conjectura: independentemente do expoente “n”, essa equação sempre se aplica:

${\frac {1-2^{n-1}+3^{n-1}-4^{n-1}+5^{n-1}-6^{n-1}+\cdots }{1-2^{-n}+3^{-n}-4^{-n}+5^{-n}-6^{-n}+\cdots }}={\frac {-1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot (n-1)(2^{n}-1)}{(2^{n-1}-1)\pi ^{n}}}\cos {\frac {n\pi }{2}}.$

— Leonhard Euler

Neste caso, Euler referia-se na verdade à Função eta de Dirichlet, que, no entanto, corresponde à função zeta de Riemann a não ser por um fator. Euler não forneceu uma prova rigorosa de uma equação funcional, mas apenas a havia verificado para muitos valores e, em seguida, presumiu-a como universalmente válida.

Dirichlet demonstra o seu teorema dos números primos

Peter Dirichlet demonstrou, com a ajuda da função zeta, que sequências numéricas como 1, 5, 9, 13, 17, 21... ou 7, 107, 207, 307, 407... contêm infinitos números primos

No ano de 1838, o matemático Peter Dirichlet fez uma grande contribuição à teoria dos números. Ele provou uma conjectura de Fermat, que agora é chamada de Teorema dos números primos de Dirichlet. Este afirma que toda progressão aritmética $ak+b$ com $a,b$ positivos e coprimos contém infinitos números primos.^[42] Se aqui, por exemplo, $a=4$ e $b=1$ , segue-se que a lista 1, 5, 9, 13, 17... contém infinitos números primos.

As chaves para a prova, além da função zeta de Riemann, foram toda uma classe de outras funções que também se decompõem em produtos de números primos e, assim, formam uma "grande família". Somente um século depois, graças a métodos mais refinados, os resultados de Dirichlet puderam ser claramente precisados por Siegel e Walfisz (Teorema de Siegel-Walfisz).

A contribuição de Riemann para a função zeta

Considerado o pioneiro da teoria moderna em torno da função zeta: Bernhard Riemann

No ano de 1859, Bernhard Riemann elaborou decisivamente a conexão da função zeta com os números primos, já dada por Euler, em sua publicação Sobre o Número de Primos Menores Que Uma Dada Magnitude. A grande conquista foi reconhecer a relevância da extensão do domínio para os números complexos. Só com essa abordagem tornou-se possível obter informações concretas sobre os próprios números primos 2, 3, 5, 7... Isso é notável na medida em que os números primos são números reais. Riemann, que foi aluno de Carl Friedrich Gauss, escreveu em seu trabalho de dez páginas uma interpretação e avaliação da teoria das funções do produto de Euler, que criou uma ligação entre os números primos e os zeros não triviais da função zeta. O resultado principal foi uma fórmula que contabilizava sem nenhum erro a quantidade de números primos abaixo de um dado número positivo (não inteiro). Com isso, ele havia alcançado uma abordagem completamente nova para a teoria dos números primos.

Em seu trabalho, ele estabeleceu o $\zeta$ grego (Zeta) como o símbolo da função e também formulou a conjectura até hoje não provada e que leva seu nome, a Hipótese de Riemann, que afirma uma importante declaração sobre a localização exata dos zeros da função zeta.

Embora o artigo seja visto hoje como o avanço para a teoria analítica moderna em torno da função zeta, na época ele foi recebido nos círculos matemáticos de forma alguma com entusiasmo unânime. O motivo principal para isso foi que Riemann omitiu em muitos lugares o fornecimento de provas para as fórmulas que apresentou. Foi assim que Godfrey Harold Hardy e John Edensor Littlewood descreveram o trabalho de Riemann apenas como uma "coleção considerável de percepções heurísticas",^[43] mas os matemáticos ingleses ainda eram tão atrasados na teoria analítica dos números no início do século XX, que Littlewood lembrou de ter recebido a Hipótese de Riemann como um exercício de seu professor em 1906. Edmund Landau também esteve entre os críticos mais ruidosos quanto à importância do artigo. Embora ele inicialmente o chamasse de "brilhante e frutífero", seu louvor logo mudou de tom:

A fórmula de Riemann não é, de longe, o que há de mais importante na teoria dos números primos. Ele criou algumas ferramentas que, uma vez elaboradas, possibilitarão algumas outras provas.

— Edmund Landau

Detlef Laugwitz observa em sua biografia de Riemann que Landau também deu pouco valor aos trabalhos pioneiros de Euler em seus livros didáticos, pois ele tendia a apreciar apenas trabalhos em que cada detalhe era elaborado.^[44] Por outro lado, matemáticos como Felix Klein admiravam que Riemann houvesse trabalhado "com grandes ideias gerais" e "frequentemente confiado em sua intuição".^[45] Isso foi ainda antes de Carl Ludwig Siegel mostrar, através do estudo de seus manuscritos póstumos, quão extensos eram os trabalhos analíticos de Riemann sobre a função zeta. Os cálculos no espólio eram, no entanto, difíceis de decifrar e exigiram um matemático do calibre de Siegel para reconstruir as ideias de Riemann.

Riemann não trabalhou mais na função zeta a partir deste momento até a sua morte precoce (ele morreu com apenas 39 anos devido a consequências da Tuberculose); esta permaneceu a sua única publicação sobre teoria dos números.^[46] O artigo de 1859 foi executado apenas como um esboço, com ele Riemann queria agradecer por ter sido aceito na Academia das Ciências de Berlim.

Muitos dos registros de Riemann foram queimados por sua governanta após o seu falecimento, até ser detida por funcionários da faculdade de Göttingen. Os escritos restantes foram entregues a sua viúva e, com isso, desapareceram por muitos anos. Sobre outros resultados em relação à função zeta, que teriam sido encontrados sem a destruição parcial dos documentos, só se pode especular até os dias de hoje.

Os últimos anos do século XIX

Mangoldt prova a fórmula principal de Riemann

No ano de 1893, o matemático Jacques Hadamard publicou um trabalho no qual foi lançada a pedra fundamental de um entendimento mais detalhado do trabalho de Riemann. Hadamard conseguiu provar uma fórmula para a função zeta que contém os seus zeros. Estritamente falando, tratava-se de um método para construir a função zeta como um todo a partir de seus zeros. A existência de uma tal fórmula já havia sido presumida por Riemann, mas até aquele momento não havia sido provada rigorosamente. Para a verificação das ideias de Riemann, no entanto, ela era uma parte substancial: o esquema básico de argumentação para a fórmula principal de Riemann dizia nomeadamente "Produto dos números primos (Euler) versus produto dos zeros (Riemann/Hadamard)". Foi também por isso que Hans von Mangoldt descreveu a contribuição de Hadamard "como o primeiro progresso real nesta área em 34 anos".^[47]^[48]

Com base no trabalho de Hadamard, Hans von Mangoldt conseguiu, apenas dois anos depois, em 1895, o avanço para a fórmula principal de Riemann.^[49] Contudo, ele a mostrou em uma versão levemente modificada, que hoje é considerada mais "natural".^[50] Em homenagem à sua realização, a fórmula principal é hoje chamada de fórmula de Riemann-von-Mangoldt.

Hadamard e De La Vallee-Poussin provam o teorema dos números primos

Depois de von Mangoldt ter fornecido a prova da fórmula principal de Riemann no ano de 1895, não faltava muito para a prova do Teorema dos números primos. Este teorema faz uma afirmação sobre a frequência com que os números primos aparecem em média. Restava apenas mostrar que a função zeta não tem zeros na região onde o produto dos números primos de Euler "está prestes a não ser mais válido". Independentemente um do outro, Hadamard e o belga Charles-Jean de La Vallée Poussin forneceram a prova no ano de 1896.^[51] Pontos importantes para a prova foram ideias de Franz Mertens e a identidade trigonométrica $3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}$ .^[52]

Embora a excitação no mundo dos matemáticos tenha sido grande, houve preocupações sobre a naturalidade do método de prova, que estava fortemente ligado às propriedades da difícil função zeta. Considerou-se estranho que uma afirmação sobre os números primos fosse sequer equivalente a uma certa distribuição dos zeros de uma função complexa. Assim, Albert Ingham expressou em 1932:

Pode-se considerar insatisfatória a prova do teorema dos números primos, [...] por de la Vallée Poussin e Hadamard, pois são introduzidos conceitos que estão muito distantes do problema original. Por isso, é muito natural perguntar por uma prova que não dependa da teoria das funções de uma variável complexa. A isso devemos responder que, atualmente, não se conhece tal prova. Na verdade, podemos ir além e dizer que é improvável que uma prova verdadeiramente real seja encontrada; pelo menos, isso é improvável enquanto a teoria se apoiar na identidade de Euler. Porque toda prova conhecida do teorema dos números primos se apoia numa certa propriedade dos zeros complexos de $\zeta (s)$ e, inversamente, esta propriedade é uma consequência simples do próprio teorema dos números primos. Parece, portanto, claro que esta propriedade deve ser usada explicita ou implicitamente em qualquer prova baseada em $\zeta (s)$ , e não se vê como uma prova pode ser feita se usarmos apenas os valores reais de $s$ .

— Albert Ingham

No ano de 1948, uma prova elementar (ou seja, feita inteiramente sem recursos da teoria de funções) foi finalmente dada por Atle Selberg e Paul Erdős.^[53] Aqui, no entanto, "elementar" não significa de forma alguma "simples".^[54] Ao longo do tempo, também foram encontradas provas da teoria das funções e elementares significativamente mais simples do teorema dos números primos.^[55]

Início do século XX

Hilbert formula seus 23 problemas

David Hilbert formulou 23 problemas matemáticos, o oitavo dos quais era a Hipótese de Riemann

Como parte do 2.º Congresso Internacional de Matemáticos do ano de 1900 em Paris, David Hilbert proferiu uma palestra no dia 8 de agosto. Nela, ele formulou uma lista de 23 problemas matemáticos que, na sua opinião, estavam entre os mais importantes para o século que estava por vir. Naquela altura, Hilbert já contava entre os principais matemáticos do seu tempo. O problema n.º 8 era a Hipótese de Riemann:

Na teoria da distribuição dos números primos, recentemente, através de Hadamard, De La Vallee-Poussin, V. Mangoldt e outros, foram feitos progressos substanciais. Para a solução completa dos problemas que o tratado de Riemann "Sobre a Quantidade de Números Primos Menores Que Uma Dada Magnitude" nos apresentou, ainda é necessário, contudo, provar a veracidade da afirmação extremamente importante de Riemann, que os zeros da função $\zeta (s)$ , que é representada pela série $\textstyle \zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$ , têm todos a parte real ${\tfrac {1}{2}}$ – se ignorarmos os conhecidos zeros inteiros negativos. Assim que essa prova for bem-sucedida, a próxima tarefa consistiria em examinar mais de perto a série infinita de Riemann para a quantidade de números primos e, em especial, decidir se a diferença entre a quantidade de números primos abaixo de uma grandeza e a integral logarítmica de $x$ se torna infinita de uma ordem não superior à ${\tfrac {1}{2}}$ em $x$ , e além disso, se então os termos da fórmula de Riemann dependentes dos primeiros zeros complexos da função $\zeta (s)$ realmente causam a condensação pontual dos números primos que se notou nas contagens dos números primos.

— David Hilbert

O grande prestígio que Hilbert desfrutava estimulou os matemáticos a se debruçarem sobre os seus problemas, incluindo a função zeta. Até os dias de hoje, 15 dos 23 problemas são considerados resolvidos, mas não a Hipótese de Riemann.^[56]

O trabalho de Ramanujan sobre a função zeta

Havia derivado autodidaticamente um enorme conhecimento em torno da função zeta: Srinivasa Ramanujan

Acreditava que sua maior descoberta matemática foi "Ramanujan": Godfrey Harold Hardy

No ano de 1910, o matemático indiano Srinivasa Ramanujan publicou um artigo no Journal of the Indian Mathematical Society, no qual, entre outras coisas, era feita a seguinte afirmação:

1+2+3+4+5+\dotsb =-{\frac {1}{12}}.

A maioria dos matemáticos que viram esta equação avaliaram-na como um disparate óbvio. Foi assim que o professor Hill da University College em Londres escreveu:

O Sr. Ramanujan foi vítima das armadilhas do campo muito difícil das séries divergentes.

— Micaiah John Muller Hill

No entanto, Hill não foi completamente negativo e encorajou Ramanujan a continuar tentando. E assim este enviou os seus resultados diretamente a alguns matemáticos na Cambridge. Dois deles não conseguiram reconhecer as afirmações por trás das fórmulas cifradas de Ramanujan e recusaram o pedido de apoio. No entanto, quando Ramanujan finalmente chamou a atenção de Godfrey Harold Hardy para as suas ideias por carta, este tomou consciência, através da equação, da avaliação correta do valor $\zeta (-1)$ , ainda que estivesse obviamente incorreta no que dizia respeito à sua formalidade matemática. Neste contexto, a fórmula já era conhecida por Euler, uma vez que resulta de $\zeta (2)$ e da equação funcional (ambos encontrados por Euler). Além disso, a afirmação de Ramanujan de ter uma fórmula que predizia quase sem erros se um determinado número era primo ou não (a fórmula de Ramanujan, no entanto, não usava os zeros da função zeta^[57]), despertou muita curiosidade. No entanto, mesmo em uma segunda carta, ele não deu nenhuma prova disso. Littlewood expressou:

Esta carta poderia levar alguém à loucura.

— John Edensor Littlewood

A correspondência inicial, exclusivamente escrita, culminou finalmente com a estadia de Ramanujan na Inglaterra, onde a dupla formada por Ramanujan e Hardy se tornou em uma das colaborações matemáticas mais produtivas e extraordinárias da história.^[58]

Após a avaliação dos diários de Ramanujan, entre outros, por George E. Andrews e Bruce Berndt, revelaram-se as numerosas ideias de Ramanujan em relação à função zeta de Riemann. Ele encontrou independentemente a fórmula de Euler para $\zeta (2n)$ ,^[59] o produto de Euler^[60] bem como numerosas séries infinitas e integrais que contêm valores da função zeta em pontos inteiros e também semi-inteiros.^[61]^[62]^[63]^[64]

O espólio de Riemann

Conseguiu preparar grandes partes dos registros preservados de Riemann de uma forma compreensível para a posteridade: Carl Ludwig Siegel

Cinquenta anos após a morte de Riemann, algumas páginas não queimadas reapareceram. Richard Dedekind, um colega de Riemann, havia recebido algumas páginas do espólio da esposa de Riemann, Elise, e depositado algumas delas na biblioteca de Göttingen. Depois de o historiador matemático Erich Bessel-Hagen ter encontrado os escritos em 1926^[65] e não ter tido sucesso ao tentar decifrar os apontamentos confusos, os documentos foram para as mãos de Carl Ludwig Siegel. Ele ficou surpreendido com a profundidade dos pensamentos de Riemann em relação à função zeta.^[66] Isto invalidou, simultaneamente, muitas das críticas ao trabalho original de Riemann, uma vez que as notas mostraram que as afirmações de Riemann se baseavam em cálculos rigorosos.^[67] No entanto, Siegel também se queixou do caos nas notas:

Nada do que Riemann escreveu sobre a função zeta estava pronto para ser publicado. Às vezes encontram-se fórmulas desconexas na mesma página, muitas vezes apenas metade de uma equação.

— Carl Ludwig Siegel

Siegel descobriu que Riemann havia calculado de forma relativamente exata, exclusivamente por meio de cálculos manuais, pelo menos três zeros não triviais da função zeta. A fórmula usada para isso foi elaborada por Siegel, publicada em 1932 e tem sido chamada desde então de Fórmula de Riemann-Siegel.^[68]

De 1945 até hoje

Na era do computador

Na pesquisa em torno da função zeta de Riemann, os computadores são usados acima de tudo para verificar a correção da Hipótese de Riemann para o maior número possível de zeros. Embora todos os cálculos envolvam métodos numéricos, estes mostram exatamente, e não apenas de forma aproximada, que os zeros examinados estão localizados na reta crítica.^[69]^[70]

Já no ano de 1936, o matemático que atuava em Oxford, Edward Charles Titchmarsh, havia calculado os primeiros 1.041 zeros não triviais da função zeta com uma máquina que havia sido originalmente construída para cálculos astronômicos.^[71] Em 1953, esses cálculos foram continuados por Alan Turing. O seu método é utilizado até os dias de hoje. Foi a primeira vez que um computador foi usado para este fim.^[72]^[73]

A partir do início dos anos 80, os computadores tornaram-se cada vez mais potentes. Já no ano de 1979, um grupo de Amsterdã liderado por Herman te Riele e Richard P. Brent tinha verificado 200 milhões de zeros (um pouco mais tarde, eles aumentaram seus cálculos para 300 milhões) – todos localizados na reta crítica. Com isto, eles contrariaram uma previsão de Don Zagier, que havia manifestado que seria "um milagre" caso estes continuassem a estar todos, sem exceção, na reta crítica.^[74] Zagier referiu-se a razões teóricas, que reforçavam a posição dos primeiros milhares de zeros na linha, mas deviam ser interpretadas de forma mais fraca para números crescentes – e, em última análise, até mesmo falando contra ela.

Até 2005, através do chamado ZetaGrid Project, usando computação distribuída, os primeiros 900 bilhões de zeros foram verificados. Aproximadamente na mesma época, Xavier Gourdon, com a ajuda de Patrick Demichel, calculou os primeiros 10 trilhões ( $10^{13}$ ) de zeros.^[75]^[76] Todos estavam na reta crítica.

A Teoria dos Números encontra a Física Quântica

Por insistência de Sarvadaman Chowla, ele envolveu-se inicialmente de forma involuntária em uma conversa com Dyson:^[77] Hugh Montgomery

Considerado como um dos principais especialistas do século XX no campo das matrizes aleatórias: Freeman Dyson

No ano de 1972, por meio de uma conversa casual entre o físico Freeman Dyson e o matemático Hugh Montgomery, revelou-se uma conexão até então despercebida entre a física quântica e a teoria dos números. O assunto da discussão foram os zeros da função zeta de Riemann. Em sua distribuição conjeturada por Montgomery, Dyson reconheceu as distâncias entre pares de autovalores de matrizes aleatórias hermitianas. Estas são usadas pelos físicos quânticos para prever os níveis de energia num núcleo atômico pesado quando este é irradiado com nêutrons de baixa energia. Quando Montgomery analisou o espaçamento entre os níveis de energia no núcleo do átomo do Érbio, o 68.º elemento na tabela periódica, ele notou uma semelhança impressionante. A concordância geral entre um certo recorte dos locais dos zeros na reta crítica e os níveis de energia determinados experimentalmente evidenciou grande significância.^[78]

Com o amplo uso de computadores, a conjectura de Montgomery sobre a distância entre os zeros foi verificada por Andrew Odlyzko. Os números apoiaram a suposição de Montgomery. Em 1987, Odlyzko publicou os seus resultados.^[79]

Apesar das fortes evidências, os resultados foram, em parte, vistos com ceticismo. Levantou-se a questão se algum progresso na matemática pura tinha sido alcançado com isso. Assim, o teórico dos números Peter Sarnak de Princeton expressou:

É de fato fascinante ver as mesmas imagens em ambas as áreas, mas quem pode citar uma contribuição real para a teoria dos números que só se tornou possível graças a isso?

— Peter Sarnak

Jonathan Keating, um aluno do físico Michael Berry, em breve forneceu uma aplicação na teoria dos números. Berry já havia trabalhado anteriormente com as conexões entre números primos e física quântica (especialmente conexões com o caos quântico). Mas foram finalmente Keating e a sua doutoranda Nina Snaith que, com a ajuda de métodos estatísticos (que são frequentemente usados na física quântica), estabeleceram uma fórmula exata para o comportamento médio das potências dos valores absolutos da função zeta ao longo da reta crítica. Estes valores médios são importantes para a teoria dos números e têm muitas aplicações, por exemplo no Problema do divisor de Dirichlet. Alguns minutos antes da apresentação de Keating dos resultados, ele testou a fórmula numa lousa em conjunto com Snaith, verificando se um resultado que já havia sido arduamente obtido seria predito corretamente. O especial sobre a abordagem de Keating e Snaith, que foi elogiada por Atle Selberg entre outros,^[80] foi o fato de interpretarem os números primos como variáveis aleatórias, ou seja, em certo sentido como resultados do lançamento de uma moeda. Sarnak cedeu e admitiu que sem essa abordagem invulgar não teria sido possível formular tal conjectura sobre a função zeta.^[81]

A Conjectura da correlação de pares de Montgomery e o comportamento assintótico dos momentos da função zeta continuam a ser objeto de intensa investigação até aos dias de hoje.

A Hipótese de Riemann até hoje

O mais tardar depois de Hilbert ter incluído a Hipótese de Riemann na sua lista de problemas, esta despertou o interesse de numerosos matemáticos. No entanto, até aos dias de hoje, o problema revela-se extraordinariamente difícil.

Depois de Atle Selberg ter demonstrado em 1942 que uma porção positiva dos zeros tem de estar situada na reta crítica, desenvolveu-se uma verdadeira corrida em torno do tamanho dessa porção. Norman Levinson mostrou que cerca de um terço obedece à conjectura, e Brian Conrey demonstrou em 1989 que chega mesmo a bons 40 porcento. Contudo, se estes métodos conduzirão, em última análise, a uma solução, é algo controverso. Nem sequer a prova de que "100 porcento" (num sentido assintótico) dos zeros obedecem à conjectura seria necessariamente conclusiva, uma vez que a quantidade de zeros é infinitamente grande. Existem preocupações semelhantes relativamente aos esforços empreendidos para otimizar as regiões livres de zeros.

Stephen Smale, detentor da Medalha Fields, publicou em 1998 a sua própria lista de 18 problemas – redigida no espírito da de Hilbert. O problema número 1 é a Hipótese de Riemann. Até agora, apenas alguns problemas da lista de Smale foram resolvidos (ver Problemas de Smale).

A Hipótese de Riemann ganhou mais notoriedade quando, no ano de 2000, foi incluída pelo Clay Mathematics Institute (CMI) na lista dos Problemas do Milênio.^[82] Para uma prova conclusiva é assim oferecido um prêmio de 1 milhão de dólares americanos.

Áreas de aplicação prática

Abaixo são apresentadas aplicações com relevância prática. Relações com a pesquisa básica em matemática e física podem ser encontradas mais abaixo nas áreas:

Teoria analítica dos números
Teoria algébrica dos números e geometria
Formas automórficas
Teoria das probabilidades e estatística

Testes rápidos de primalidade

Um Teste de primalidade é um Algoritmo que verifica se um dado número $n$ é um número primo. Procedendo de forma completamente ingênua, deve-se verificar se algum dos números $2,3,\dots ,q$ com ${\sqrt {n}}\leq q<{\sqrt {n}}+1$ é um divisor de $n$ . Se nenhum destes números dividir $n$ , então deve ser um número primo, uma vez que cada divisor $r$ maior que $q$ corresponde a um divisor $s$ menor que $q$ através de $rs=n$ . Este procedimento requer cerca de $O({\sqrt {n}})$ operações de cálculo, visto que aproximadamente $q$ quocientes devem ser formados e avaliados. Assim, apesar de sua simplicidade, ele é considerado custoso.

A localização dos zeros da função zeta de Riemann desempenha um papel na prova da existência de testes de primalidade mais rápidos. Sob a suposição da Hipótese Generalizada de Riemann, Gary L. Miller pôde mostrar em 1976 que existe um teste de primalidade determinístico que verifica em $O(\log(n)^{4}\log(\log(\log(n))))$ passos (ou seja, de forma "rápida") se $n$ é um número primo ou não.^[83] O termo Hipótese Generalizada de Riemann significa que não apenas a função zeta de Riemann, mas também todas as funções L de Dirichlet nunca assumem o valor zero para argumentos $s$ com $\operatorname {Re} (s)>{\tfrac {1}{2}}$ .

Em 1980, Michael O. Rabin conseguiu converter este teste em um teste probabilístico que, embora nunca forneça um resultado 100% correto com certeza absoluta, é muito confiável após um número suficiente de passos. Este funciona de forma independente da Hipótese de Riemann.^[84]

Grandes números primos são usados na criptografia de dados (por exemplo, na Internet). A segurança de tais sistemas baseia-se na suposição de que não existe um método rápido para decompor um número em seus fatores primos. No criptossistema RSA, uma pessoa que deseja criptografar uma mensagem escolhe dois grandes números primos $p$ e $q$ com uma grande distância entre si, e forma o número composto $pq=N$ . Com a ajuda deste número, mensagens (se convertidas previamente em números) podem agora ser criptografadas através de uma Chave pública, que foi gerada a partir de $p$ e $q$ . Esta chave está disponível para todos, mas não dá qualquer visão do sistema criptográfico em si. Com o conhecimento de $p$ e $q$ , uma mensagem do público para a pessoa privada pode posteriormente ser descriptografada, uma vez que com o conhecimento de $p$ e $q$ também pode ser gerada a "chave inversa", que restaura o Texto em claro. Esta chave inversa está disponível apenas para a pessoa privada e, portanto, é uma Chave privada. Para quebrar o sistema, consequentemente, é necessária a fatoração de $N$ .

Física

Na Física, a função zeta de Riemann desempenha um papel versátil. Aplicações incluem certos valores de função específicos:^[85]

O valor $\zeta ({\tfrac {3}{2}})\approx 2{,}61237$ é necessário, entre outras coisas, no cálculo da temperatura crítica para a formação de um chamado Condensado de Bose-Einstein e na teoria das ondas de spin em sistemas magnéticos.

O valor $\zeta (2)\approx 1{,}64493$ é usado no limite de alta temperatura na densidade de estados para o Oscilador harmônico.

O valor $\zeta ({\tfrac {5}{2}})\approx 1{,}34148$ é usado na densidade de estados para um gás de bósons livre.

A constante $\zeta (4)\approx 1{,}08232$ está relacionada com a integral sobre a densidade de radiação da radiação de corpo negro de Planck.

Regularização de determinantes

As funções zeta são uma forma de regularizar determinantes funcionais de operadores em espaços de dimensão infinita, o processo é chamado de Regularização da função zeta. Tais regularizações têm aplicações na física, por exemplo na Teoria quântica de campos e na Teoria das cordas.^[86] Neste processo, semelhante ao que Ramanujan já fazia, valores finitos são atribuídos a séries divergentes. Um exemplo de aplicação de tal regularização diz respeito ao Efeito Casimir.^[87]

A fórmula de Ramanujan e Euler para $\zeta (-1)$ pode ser usada heuristicamente para derivar de forma simples a necessidade de 26 dimensões de espaço-tempo na teoria das cordas bosônica.^[88]

A Lei de Zipf

A Lei de Zipf foi formulada originalmente na Linguística quantitativa e postula que, em um corpus de expressões de linguagem natural, a frequência de uma palavra é inversamente proporcional à sua posição (ou posto) na tabela de frequências.^[89] Assim, a palavra mais frequente ocorrerá cerca de duas vezes mais que a segunda mais frequente, três vezes mais que a terceira mais frequente, e assim por diante. Ao usar $N$ palavras diferentes, isso resulta em uma distribuição de probabilidade de

P(X=n)={\frac {1}{nH_{N}}}

com a sequência harmônica $H_{N}$ . No entanto, dependendo do tipo de conjunto de dados, pode ser que um expoente diferente seja necessário. Com a sequência harmônica generalizada $\textstyle H_{N}^{(s)}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+\cdots +{\frac {1}{N^{s}}}$ , para parâmetros reais $s$ , a distribuição generalizada

P(X=n)={\frac {1}{n^{s}H_{N}^{(s)}}}

pode ser descrita. No caso de $s>1$ , isso permite gerar a Distribuição zeta, que é adequada para "infinitas palavras":^[90]

P(X=n)={\frac {1}{n^{s}\zeta (s)}}.

Propriedades globais

Equação funcional

Gráfico real da função $x\mapsto \zeta (x)\Gamma (x/2)\pi ^{-x/2}$ , sendo claramente reconhecível a simetria de reflexão na reta x = 1/2

A seguir, $\Gamma$ denota a Função gama, que generaliza o Fatorial para os números complexos. Em todo $\mathbb {C}$ , vale a seguinte identidade entre funções meromorfas^[91]

\zeta (1-s)={\frac {2}{(2\pi )^{s}}}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (s)\zeta (s).

Desta, através de uma simples manipulação, surge a representação alternativa

\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)

para todo $s\in \mathbb {C} \setminus \lbrace {0,1\rbrace }$ . Frequentemente, a variante simétrica da equação funcional, a saber

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\pi ^{\frac {s-1}{2}}\zeta (1-s),

é citada na literatura. Note a invariância que surge sob a transformação de variável $s\mapsto 1-s$ .^[92]^[93]^[94] A partir da variante simétrica, as equações superiores podem ser derivadas usando a fórmula de duplicação de Legendre e a fórmula de reflexão de Euler (teorema dos complementos) da Função gama.

Gráfico complexo com coloração dos valores da função: A função $\xi$ de Riemann no plano numérico complexo

A satisfação de uma equação funcional do tipo acima é característica das funções L (séries de Dirichlet especiais, entre outras coisas, com prolongamento analítico). Devido ao seu comportamento de transformação, estas frequentemente se relacionam com as formas modulares. Por exemplo, a função zeta corresponde à função teta de Jacobi, uma forma modular de peso semi-inteiro. A partir dessa relação, se começarmos com o comportamento de transformação da função teta, surge a equação funcional.

A equação funcional estabelece uma conexão entre funções matemáticas importantes e acarreta resultados importantes a respeito dos zeros e do comportamento de crescimento da função zeta. Muitas conclusões compartilham o seguinte princípio: através do comportamento simples (devido à convergência absoluta da série de Dirichlet) da função zeta no semiplano $\operatorname {Re} (s)>1$ , alcança-se automaticamente uma trivialização do semiplano espelhado $\operatorname {Re} (s)<0$ por meio de $s\mapsto 1-s$ .

Em seu trabalho, Riemann definiu originalmente para $s={\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} t$ a função inteira^[95]

\Xi (t)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).

Na convenção atual, no entanto, é mais comum usar a variável $s$ em vez de $t$ ; define-se então $\xi ({\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} t):=\Xi (t)$ . Nesta nova notação, a reflexão é então

\xi (s)=\xi (1-s).

Ambas as interpretações são hoje chamadas de Função xi de Riemann.^[96]

A equação funcional já era conhecida por Euler (1749), embora ele não a tenha formulado para argumentos complexos e não a tenha provado, mas apenas verificado em um número tão grande de casos que, em suas palavras, não restaria dúvida sobre sua validade.^[97]^[98] Provas também foram publicadas em 1858 por Oskar Schlömilch e por Carl Johan Malmstén (1849). André Weil apontou que uma prova da equação funcional usando a transformada de Mellin já havia sido anotada num exemplar pessoal do Disquisitiones Arithmeticae de Gauss por Gotthold Eisenstein, de quem Riemann era amigo íntimo durante seu tempo em Berlim.^[99]

Caracterização por Hamburger

No ano de 1921, Hans Hamburger conseguiu caracterizar a função zeta de Riemann através de sua equação funcional da seguinte forma.

Seja $f(s)={\tfrac {G(s)}{P(s)}}$ , onde $G(s)$ é uma função inteira de ordem finita e $P(s)$ é uma função polinomial, representável para $\operatorname {Re} (s)>1$ pela série de Dirichlet $\textstyle f(s)=\sum a(n)n^{-s}$ . Além disso, assuma-se a equação funcional

f(s)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=g(1-s)\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}},

onde $g(s)$ também seja representável no semiplano $\operatorname {Re} (s)>1$ como uma série de Dirichlet $\textstyle g(s)=\sum b(n)n^{-s}$ . Então, segue-se imediatamente a identidade $f(s)=g(s)=a(1)\zeta (s)$ .^[100]

Transcendência

A função zeta de Riemann pertence à classe das funções transcendentes e até mesmo das funções hiper-transcendentes. Isso significa que ela não satisfaz nenhuma equação polinomial e tampouco nenhuma Equação diferencial algébrica (com coeficientes em $\mathbb {Z}$ e valores iniciais algébricos). Isso foi provado por V. E. E. Stadigh no ano de 1902. Decisiva para a prova foi a equação funcional e um resultado análogo de Otto Hölder do ano de 1887^[101] sobre a Função gama:

Se a função $\zeta (s)$ e, consequentemente, também a função $\zeta (1-s)$ satisfizerem uma equação diferencial algébrica, pelo teorema provado no primeiro capítulo o quociente $\textstyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (1-s)}}$ também deve possuir a mesma propriedade. Pela equação funcional acima, porém, este quociente é igual a $\textstyle E(s)=\pi ^{s-{\frac {1}{2}}}{\frac {\Gamma ({\frac {1-s}{2}})}{\Gamma ({\frac {s}{2}})}}$ e, portanto, deve-se mostrar que a função $E(s)$ não satisfaz nenhuma equação diferencial algébrica.

— V. E. E. Stadigh

Série de Laurent globalmente convergente

Sendo uma função holomorfa em $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ com um polo simples em 1, pode-se expandir a função zeta de Riemann em torno de sua singularidade em uma Série de Laurent globalmente convergente (ou seja, com raio de convergência $R=\infty$ ). Esta tem a forma

{\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum \limits _{\nu =0}^{\infty }{\frac {(-1)^{\nu }}{\nu

Os coeficientes

\gamma _{\nu }=\lim _{n\to \infty }\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {\log ^{\nu }k}{k}}-{\frac {\log ^{\nu +1}n}{\nu +1}}\right)

tratam-se das Constantes de Stieltjes, onde $\gamma _{0}=\gamma$ é a Constante de Euler-Mascheroni,^[102] para a qual resulta, em particular, a expressão

\gamma =\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)

.

Ordem

A função $s\mapsto (s-1)\zeta (s)$ é uma Função inteira e tem ordem de crescimento 1. Isso significa que para cada $\varepsilon >0$ existem constantes $A_{\varepsilon }\geq {\tfrac {1}{2}}$ e $B_{\varepsilon }>0$ , tais que para todo $s\in \mathbb {C}$ :^[103]

|(s-1)\zeta (s)|\leq A_{\varepsilon }\exp \left(B_{\varepsilon }|s|^{1+\varepsilon }\right).

Aqui, $\exp(x)$ é outra notação para $\mathrm {e} ^{x}$ , a função exponencial. A determinação da ordem de crescimento é um passo intermediário no teorema de fatoração de Hadamard, que é usado para a dedução da fórmula principal de Riemann.^[104]

Propriedades da série de Dirichlet

Para argumentos reais maiores que 1

Propriedades de mapeamento e consequências

No intervalo aberto $]1,\infty [$ , a função zeta é uma função ilimitada, de valor real e estritamente decrescente. Em particular, é injetiva nesta região. Além disso, 1 é o seu maior limite inferior, e é por isso que (devido à sua continuidade) mapeia o intervalo $]1,\infty [$ bijetivamente em si mesmo. Enquanto isso, da sua holomorfia conclui-se imediatamente que ela é real e infinitamente diferenciável (ou seja, suave) em $]1,\infty [$ .

Como $\zeta (]1,\infty [)\subset \mathbb {R}$ , tem-se logo $\zeta (\mathbb {R} \setminus \{1\})\subset \mathbb {\mathbb {R} }$ . Uma propriedade das funções analíticas é, sob estas condições, satisfazer uma lei de reflexão sob a conjugação complexa: Tem-se $\zeta ({\overline {s}})={\overline {\zeta (s)}}$ .^[105] Isto tem consequências importantes para a distribuição dos zeros, uma vez que os zeros são refletidos no eixo real e, portanto, ocorrem em pares.

Desigualdades

A série de Dirichlet real pode ser limitada por funções racionais no seu domínio de convergência. Para todo $\sigma >1$ , vale a estimativa^[106]

{\frac {1}{\sigma -1}}<\zeta (\sigma )<{\frac {\sigma }{\sigma -1}}.

Também interessante nesta região é a desigualdade^[107]

\sigma {\frac {\zeta (\sigma )}{\zeta (\sigma +1)}}>(\sigma +1){\frac {\zeta (\sigma +1)}{\zeta (\sigma +2)}}.

Velocidade de convergência

Definindo $\textstyle \zeta _{N}(s):=\sum _{n=1}^{N}n^{-s}$ tem-se para todo $\operatorname {Re} (s)>0$

\zeta (s)-\zeta _{N}(s)={\frac {(N+1)^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2}}(N+1)^{-s}+R_{N+1}(s),

onde $\textstyle |R_{N}(s)|\leq {\frac {1}{12}}{\frac {|s(s+1)|}{\sigma +1}}N^{-\sigma -1}$ . Isto resulta da Fórmula de Euler-Maclaurin, que também pode ser usada para o cálculo numérico da função zeta. Isso mostra que a velocidade de convergência da série de Dirichlet diminui drasticamente para partes reais decrescentes $\sigma >1$ . Além disso, conclui-se que a série $\textstyle \sum n^{-s}$ não converge em nenhum ponto $s=1+\mathrm {i} t$ .

Comportamento nas direções vertical e horizontal

Gráfico da função $|\zeta (2+\mathrm {i} t)|$ para 0 < t < 2000, o qual é limitado superiormente por $\zeta (2)$ e inferiormente por $\zeta (4)/\zeta (2)$

Para partes reais cada vez maiores sem limite, a função zeta tem um comportamento assintótico fácil de determinar, tem-se:

\lim _{\operatorname {Re} (s)\to \infty }\,\zeta (s)=1.

Isto segue imediatamente da convergência uniforme da série de Dirichlet nas regiões $\operatorname {Re} (s)\geq 1+\varepsilon$ e da troca de limite e somatório. Compare isso também com o gráfico complexo da função zeta no início do artigo, que se torna cada vez mais constantemente vermelho na direção do eixo real positivo.

Para todo $\sigma \in \mathbb {R}$ com $\sigma >1$ vale

{\frac {\zeta (2\sigma )}{\zeta (\sigma )}}<|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|<\zeta (\sigma )

para todo $t\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ . Esta estimativa é ideal. Com o produto de Euler e o Teorema de aproximação de Kronecker, as afirmações adicionais podem ser provadas:

\liminf _{t\to \infty }|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|={\frac {\zeta (2\sigma )}{\zeta (\sigma )}}\quad {\text{e}}\quad \limsup _{t\to \infty }|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|=\zeta (\sigma )

^[108] Também com métodos de aproximação, pode ser provado que para cada $T>0$ existe um $t>T$ , tal que^[109]

\sup _{\sigma >1}|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|\geq {\frac {1}{10}}\log(\log(3+t))

seja válido.

Relações com funções da teoria dos números

As séries de Dirichlet de algumas funções elementares e importantes (frequentemente multiplicativas) da teoria dos números podem ser expressas através da função zeta de Riemann. É de grande importância, por exemplo, a observação de que o inverso multiplicativo da função zeta pode novamente ser representado por uma série de Dirichlet. Vale a fórmula

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}-{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}-{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}-\dotsb ,

onde $\mu (n)$ denota a Função de Möbius. A série à direita converge (devido a $|\mu (n)|\leq 1$ para todo $n\in \mathbb {N}$ ) de forma absoluta no semiplano $\operatorname {Re} (s)>1$ e, se a Hipótese de Riemann estiver correta, até mesmo (condicionalmente) no semiplano $\operatorname {Re} (s)>{\tfrac {1}{2}}$ (o que pode ser visto através de integração por partes).^[110] Para uma explicação informal da identidade da série de Dirichlet, considera-se

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots ,

ou seja, o recíproco do produto de Euler, e forma-se a série de Dirichlet correspondente através da expansão (multiplicação) coerente.^[111]

A convolução de Dirichlet para funções aritméticas é um homomorfismo do anel $(A,+,*)$ das funções da teoria dos números no anel das séries formais de Dirichlet $(D,+,\cdot )$ . Por meio disso, resultam mais identidades. Importantes para a teoria dos números são, por exemplo, fórmulas como

\zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}},\quad a\in \mathbb {C} ,

com a Função divisor $\sigma _{a}$ ou também

{\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}

com a função phi de Euler. Além disso, existe um grupo inteiro de outras identidades. Por exemplo, a fórmula remonta a Ramanujan:^[112]

{\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}},\qquad \operatorname {Re} (s)>1+\max\{0,\operatorname {Re} (a),\operatorname {Re} (b),\operatorname {Re} (a+b)\}.

Estas identidades atestam uma ligação estreita entre funções da teoria dos números por um lado e uma função dotada de boas propriedades analíticas, como por exemplo a meromorfia global, por outro lado. Com métodos da teoria analítica dos números, padrões de comportamento frequentemente surpreendentes dessas funções da teoria dos números podem ser provados. Duas técnicas importantes para isso, o método de Selberg-Delange e o uso de teoremas tauberianos, são descritas neste artigo.

Série de Dirichlet das derivadas e da primitiva

Sua $k$ -ésima derivada possui, para argumentos $s$ com parte real maior que 1, a representação

\zeta ^{(k)}(s)=(-1)^{k}\,\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(\log n)^{k}}{n^{s}}}.

Isso se segue por diferenciação termo a termo, o que é permitido devido à convergência uniforme da série em subconjuntos compactos $K\subset \{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (s)>1\}$ . Da mesma forma, para uma primitiva (antiderivada) vale ali:

\int \zeta (s)\mathrm {d} s=s-\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}\log(n)}}+C.

Valores especiais da função

Para argumentos pares positivos, os valores da função zeta são todos conhecidos. Leonhard Euler encontrou a fórmula

\zeta (2n)=(-1)^{n-1}\,{\frac {(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}\,B_{2n},

onde $B_{2n}$ denota o $2n$ -ésimo número de Bernoulli.^[113] Em particular,

\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dotsb ={\frac {\pi ^{2}}{6}},\quad \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}.

A questão do valor de $\zeta (2)$ também é conhecida como o problema de Basileia e durante muito tempo permaneceu sem solução. A partir da equação funcional obtém-se ainda^[114]

\zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}

para todo $n\geq 0$ . Em particular,

\zeta (0)=-{\frac {1}{2}},\quad \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}},\quad \zeta (-3)={\frac {1}{120}}

e vale que $\zeta (-2n)=0$ para $n\geq 1$ .

Em contraste, ainda não são conhecidos expressões fechadas para valores positivos ímpares. Sabe-se, contudo, que a constante de Apéry $\zeta (3)$ é um número irracional. Isso foi demonstrado em 1979 por Roger Apéry.^[115]

Zeros

A azul está representada a parte real e a vermelho a parte imaginária da função $\zeta ({\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} x)$ , de modo que se pode ver claramente os primeiros zeros não triviais

Zeros triviais

A partir da representação como produto de Euler, pode-se facilmente concluir que $\zeta (s)\neq 0$ para $\operatorname {Re} (s)>1$ . Juntamente com a equação funcional da função zeta e os polos da função gama, conclui-se que os únicos zeros fora da faixa crítica $S=\{s\in \mathbb {C} \mid 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1\}$ são os zeros "triviais" $-2,-4,-6,\dotsc$ . Estes são todos simples (de multiplicidade 1), pois para todo $n\in \mathbb {N}$ vale

\zeta '(-2n)=(-1)^{n}{\frac {\zeta (2n+1)(2n)!}{2^{2n+1}\ \pi ^{2n}}}\not =0.

Zeros não triviais

Além dos zeros triviais, a função zeta possui outros zeros na faixa crítica $S=\{s\in \mathbb {C} \mid 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1\}$ . Estes também são chamados de zeros não triviais, pois até hoje sabe-se muito pouco sobre a sua localização exata. A partir de sua conexão com a Função eta de Dirichlet,

\zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}},

pode-se pelo menos concluir que $\zeta (s)<0$ para todo $0\leq s<1$ real.

Existência e distribuição assintótica

Devido ao produto de Euler e à equação funcional, todos os zeros não triviais devem estar situados dentro da faixa crítica fechada $0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1$ , caso existam. O fato de existirem infinitos zeros não triviais já era de conhecimento de Riemann:

A quantidade de raízes de $\Xi (t)=0$ , cuja parte real se encontra entre $0$ e $T$ , é aproximadamente ${\tfrac {T}{2\pi }}\log({\tfrac {T}{2\pi }})-{\tfrac {T}{2\pi }}$

pois a integral $\int d\log \Xi (t)$ estendida positivamente pelo conjunto dos valores de $t$ , cuja parte imaginária se encontra entre ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {i}$ e $-{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i}$ e cuja parte real se encontra entre $0$ e $T$ , é (a menos de uma fração da ordem de grandeza ${\tfrac {1}{T}}$ ) igual a $(T\log({\tfrac {T}{2\pi }})-T)\mathrm {i}$ ; esta integral, porém, é igual à quantidade de raízes de $\Xi (t)=0$ situadas nesta região.

— Bernhard Riemann

Riemann deu, portanto, pela primeira vez em seu trabalho, uma fórmula para a distribuição assintótica dos zeros não triviais. Ele afirmou que a quantidade $N(T)$ (contada com multiplicidade) dos zeros dentro do retângulo $R=\{s\in \mathbb {C} \mid 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1,0\leq \operatorname {Im} (s)\leq T\}$ satisfaz a equivalência assintótica

N(T)\sim {\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}.

Ele baseou sua linha de raciocínio (conforme brevemente descrito acima) em uma avaliação da integral de contagem de zeros

N(T)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\partial R}{\frac {\xi '(s)}{\xi (s)}}\mathrm {d} s={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log T),

onde $\xi (s)$ denota a Função xi de Riemann (com uma escala um pouco diferente), que em particular possui os mesmos zeros na faixa crítica que a função zeta. Esta afirmação, no entanto, só foi rigorosamente provada mais de 50 anos após a publicação de Riemann por Hans von Mangoldt.^[116] Na prova, faz-se uso da equação funcional $\xi (1-s)=\xi (s)$ . Uma prova padrão fornecida por Gérald Tenenbaum utiliza o retângulo estendido $Q=\{-1\leq \operatorname {Re} (s)\leq 2,-T\leq \operatorname {Im} (s)\leq T\}$ e chega a

2N(T)={\frac {1}{2\pi }}\operatorname {Im} \int _{\partial Q}{\frac {\xi '(s)}{\xi (s)}}\mathrm {d} s={\frac {2}{\pi }}\operatorname {Im} \int _{L}{\frac {\xi '(s)}{\xi (s)}}\mathrm {d} s,

onde, devido a todas as simetrias de $\xi$ , também pode ser integrado sobre o caminho de linha $L=[2,2+\mathrm {i} T,{\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} T]$ .^[117] Através da fórmula simples para derivadas logarítmicas, $\textstyle {\frac {(\prod _{k}f_{k})'}{\prod _{k}f_{k}}}=\sum _{k}{\frac {f_{k}'}{f_{k}}}$ e do fato de que as partes imaginárias do logaritmo são dadas pelo argumento, resulta

N(T)={\frac {1}{\pi }}[\operatorname {Arg} (\xi (s))]_{L}.

Embora a maioria dos fatores da função $\xi$ nesta fórmula sejam fáceis de avaliar e forneçam a ordem de grandeza ${\tfrac {T}{2\pi }}\log({\tfrac {T}{2\pi }})-{\tfrac {T}{2\pi }}$ , a parte mais difícil consiste na estimativa

\operatorname {Im} \int _{L}{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}\mathrm {d} s=O(\log(T)).

O erro $O(\log(T))$ não pôde ser melhorado até hoje.^[118] De Littlewood vem a intuição de que as partes imaginárias dos zeros não triviais se aproximam cada vez mais. Portanto, se definirmos $\gamma _{n}:=\operatorname {Im} (\rho _{n})$ (onde $\rho _{1},\rho _{2},\dots$ denota a sequência crescente de zeros não triviais de acordo com as partes imaginárias positivas crescentes), então vale $\textstyle \lim _{n\to \infty }\gamma _{n+1}-\gamma _{n}=0$ . Isso é deduzido de forma bastante direta da equivalência assintótica^[118]

\gamma _{n}\sim {\frac {2\pi n}{\log(n)}}.

Além dos zeros triviais em $s=-2,-4,-6,\dotsc$ , a função zeta de Riemann também possui zeros não triviais na faixa crítica. Pares de zeros potenciais são desenhados esporadicamente aqui: Devido à invariância da equação funcional em relação a $s$ e $1-s$ e à reflexão de valores de função de argumentos conjugados complexos no eixo real, os pares de zeros ocorrem sempre em dobro (ou seja, refletidos). Apenas se a Hipótese de Riemann for correta, todos os pares horizontais se encontram na reta crítica $\sigma ={\tfrac {1}{2}}$ .

Propriedades de simetria

A equação funcional da função zeta e sua propriedade de reflexão fundamental em relação a argumentos conjugados implicam numa ocorrência aos pares dos zeros não triviais. Se, por exemplo, $\rho$ é um zero na faixa crítica, então devido à equação funcional

0=\Gamma \left({\frac {\rho }{2}}\right)\pi ^{-{\frac {\rho }{2}}}\zeta (\rho )=\Gamma \left({\frac {1-\rho }{2}}\right)\pi ^{\frac {\rho -1}{2}}\zeta (1-\rho )

$1-\rho$ também é um zero. Adicionalmente, porém, $0=\zeta (\rho )={\overline {\zeta ({\overline {\rho }})}}$ , e por isso ${\overline {\rho }}$ também é um zero; analogamente, o mesmo vale para ${\overline {1-\rho }}=1-{\overline {\rho }}.$ Deve-se notar que todos os valores $\rho ,1-\rho ,{\overline {\rho }}$ e $1-{\overline {\rho }}$ estão localizados na faixa crítica, podem ser conectados para formar um retângulo lá e, assim, quase formam um duplo par de zeros.

No entanto, se a Hipótese de Riemann for correta, então todos os zeros estão situados na reta $\operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}$ , onde então se tem sempre $\rho =1-{\overline {\rho }}$ ou ${\overline {\rho }}=1-\rho$ .

Somas e Séries

A seguinte identidade é válida^[119]

\sum _{\operatorname {Im} (\rho )>0}\left({\frac {1}{\rho }}+{\frac {1}{1-\rho }}\right)=1+{\frac {1}{2}}\gamma -{\frac {1}{2}}\log \left(4\pi \right).

Neste caso, $\gamma$ é a Constante de Euler-Mascheroni. A série sobre todos os $1/\rho$ , contudo, não converge de modo absoluto de forma alguma. Somando-se os valores absolutos, o resultado é

\sum _{|\operatorname {Im} (\rho )|\leq T}{\frac {1}{|\rho |}}=O(\log(T)^{2}).

Esta fórmula é necessária na dedução das estimativas explícitas do termo restante (também sob a suposição da Hipótese de Riemann) do Teorema dos números primos.^[120]

Ordens

Sobre a ordem dos zeros não triviais, pouco se sabe até hoje. Assume-se que todos os zeros da função zeta têm a ordem 1. Esta conjectura é apoiada por investigações numéricas: até agora, todos os zeros encontrados eram de primeira ordem.

No entanto, J. B. Conrey, A. Ghosh e S. M. Gonek encontraram resultados assumindo a Hipótese de Riemann e a Hipótese generalizada de Lindelöf. Esta última afirma que para todo $\varepsilon >0$ e cada caráter de Dirichlet $\chi$ módulo $q$ , a função L associada para ${\tfrac {1}{2}}\leq \sigma \leq 1$ cresce como

L(\chi ,\sigma +\mathrm {i} t)=O((q(1+|t|))^{\varepsilon }).

Assumindo ambas as premissas, obtém-se para a quantidade de zeros simples $N_{s}(T)=\#\{\rho =\sigma +\mathrm {i} t\mid 0<\sigma <1,0\leq t\leq T,\zeta (\rho )=0,m(\rho )=1\}$ :^[121]

\liminf _{T\to \infty }{\frac {N_{s}(T)}{N(T)}}\geq {\frac {19}{27}}.

Em 2013, H. M. Bui e D. R. Heath-Brown conseguiram mostrar que isso pode ser provado essencialmente sem a Hipótese de Lindelöf.^[122] Além disso, para valores de $T\gg H>0$ tem-se

\sum _{T<\operatorname {Im} (\rho )\leq T+H}\zeta '(\rho )={\frac {H}{4\pi }}\log(T)^{2}+O\left(H\log(T)+T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right),

onde se soma sobre os zeros $\rho$ . Portanto, em cada intervalo $[T,T+T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }]$ encontra-se a parte imaginária de um zero simples.^[123]

Segundo uma conjectura de Hardy e Littlewood, existe para cada $\varepsilon >0$ um número $T(\varepsilon )>0$ tal que a função $\zeta ({\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} t)$ para todo $T>T(\varepsilon )$ no intervalo $[T,T+T^{{\frac {1}{4}}+\varepsilon }]$ tem um zero de ordem ímpar. Além disso, existe uma constante $c(\varepsilon )>0$ , tal que

N_{\mathrm {impar} }(T+T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon })-N_{\mathrm {impar} }(T)\geq cT^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }

é válido. Aqui, $N_{\mathrm {impar} }(H)$ é a quantidade de zeros de ordem ímpar em $[0,H]$ .^[124]

No caso em que todos os zeros deveriam ser simples, é dada importância aos valores não nulos $\zeta '(\rho )$ através da fórmula válida para $x>1$ não natural:

\sum _{n\leq x}\mu (n)=\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2\pi }{x}}\right)^{2n}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)}}.

Aqui, $\mu (n)$ é a Função de Möbius. Isso, no entanto, só pode ser demonstrado sob suposições adicionais sobre o comportamento da função zeta na faixa crítica; isso se refere também a sobre quais intervalos as somas parciais de zeros devem ser estendidas.^[125]

Regiões livres de zeros

Já no final do século XIX, pôde ser demonstrado com o auxílio de uma simples prova por contradição que a função zeta não possui zeros na reta $\operatorname {Re} (s)=1$ . A base desta prova é a desigualdade mostrada por Mertens, válida para todos os $s=\sigma +\mathrm {i} t$ com $\sigma >1$ ^[126]

\zeta (\sigma )^{3}\ |\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{4}\ |\zeta (\sigma +2\mathrm {i} t)|\ \geq 1.

Esta região livre de zeros pôde ser ampliada continuamente a partir de então. Assim, foi demonstrado que existe uma constante $C>0$ tal que $\zeta (s)$ não possui zero para nenhum valor $s$ com

\operatorname {Re} (s)>1-{\frac {C}{\max\{\log |\operatorname {Im} (s)|,1\}}}

.^[127] Tais melhorias conduzem (na forma generalizada para funções L de Dirichlet), entre outras coisas, ao Teorema de Siegel-Walfisz.^[128]

A região livre de zeros mais precisa até aos dias de hoje, obtida com um grande esforço técnico, é dada para $|\operatorname {Im} (s)|>3$ por^[129]

\operatorname {Re} (s)\geq 1-{\frac {1}{57{,}54(\log {|\operatorname {Im} (s)|})^{\frac {2}{3}}(\log {\log {|\operatorname {Im} (s)}})^{\frac {1}{3}}}}.

Isso conduz no teorema dos números primos a um erro melhorado: Para uma constante $c>0$ tem-se^[130]^[131]

\pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O\left(x\exp(-c\log(x)^{\frac {3}{5}}\log(\log(x))^{-{\frac {1}{5}}})\right).

Um valor explícito para a constante na função de erro, nomeadamente $c=0{,}2098$ , foi dado por Ford em 2002.^[132] Em particular, não se sabe se existe um $\varepsilon >0$ tal que $\zeta (s)\neq 0$ para todo $s$ com $\operatorname {Re} (s)>1-\varepsilon$ .^[133]

A Hipótese de Riemann

"A função $\pi (x)$ é, em pequena escala, uma função em degraus de alta irregularidade. Em grande escala, no entanto, ela apresenta, através de uma suavidade surpreendente (veja a imagem), um dos maiores mistérios que a matemática oferece." (J. Neukirch)^[134]

Riemann conjecturou no ano de 1859 que todos os zeros não triviais se encontram na reta paralela ao eixo imaginário $\{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}\}$ . Devido à equação funcional, isto é equivalente a $\zeta (s)\not =0$ para todo $\operatorname {Re} (s)>{\tfrac {1}{2}}$ . Esta chamada Hipótese de Riemann não pôde ser provada nem refutada até agora.

A localização dos zeros na faixa crítica está intimamente relacionada com afirmações sobre a distribuição dos números primos. Por exemplo, a afirmação de que não existem zeros no limite (borda) da faixa crítica é um passo intermediário possível na prova do Teorema dos números primos. Em outras palavras: Os zeros codificam o desvio da função de contagem de números primos $\pi (x)$ da ordem de grandeza $\operatorname {Li} (x)$ (Integral logarítmica) dada pelo teorema dos números primos. A sua existência (garantida pelo produto de Euler, que deixa de convergir) deve, portanto, ser entendida como uma barreira natural que exige uma certa incerteza na identificação $\pi (x)\approx \operatorname {Li} (x)$ como tributo. Contudo, embora se saiba que esta incerteza existe naturalmente, a sua intensidade não é clara e depende da distribuição dos zeros. Quanto mais próximos os zeros estiverem da reta $\operatorname {Re} (s)=1$ , maiores serão os desvios. Se $\zeta (s)\neq 0$ para todo $\operatorname {Re} (s)>\beta$ com $1>\beta \geq {\tfrac {1}{2}}$ , então segue-se para todo $\varepsilon >0$ ^[135]

\pi (x)=\operatorname {Li} (x)+O(x^{\beta +\varepsilon }).

No entanto, se todos os zeros estiverem na reta intermediária $\operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}$ , então esta incerteza é a menor possível (note que com $\rho$ , $1-\rho$ também é um zero não trivial). Isto resultaria numa suavidade surpreendente na distribuição dos números primos, por exemplo, de acordo com Lowell Schoenfeld, seria muito explicitamente válido^[136]

|\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|\leq {\frac {x^{\frac {1}{2}}\log(x)}{8\pi }},\quad x\geq 2657.

Deve-se notar aqui que $x^{\tfrac {1}{2}}\log(x)$ , embora se torne arbitrariamente grande, é, visto assintoticamente, significativamente menor do que $\operatorname {Li} (x)\sim x/\log(x)$ .

Atle Selberg deu a seguinte avaliação em 1946:

Acho que gostamos de acreditar na exatidão da Hipótese de Riemann porque é a distribuição mais bela e simples para os zeros que podemos imaginar. Há essa simetria ao longo da reta crítica. Além disso, ela resultaria na distribuição mais natural dos números primos. De alguma forma, gostaríamos de acreditar que pelo menos alguma coisa neste universo deveria estar correta.

— Atle Selberg, 1946

Resultados sobre a localização na reta crítica

No ano de 1914, Godfrey Harold Hardy conseguiu mostrar que existem infinitos zeros não triviais na reta crítica $\operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}$ . Em sua prova, revolucionária na época, ele aproveitou-se de que, para todos os valores numéricos reais $t$ , a expressão

\textstyle \xi \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} t\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} t\right)\left(\mathrm {i} t-{\frac {1}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {1}{4}}-{\frac {\mathrm {i} t}{2}}}\ \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {\mathrm {i} t}{2}}\right)\zeta \left({\frac {1}{2}}+\mathrm {i} t\right)

assume apenas valores de função reais. Isso simplificou o problema para a elucidação da existência de infinitos zeros de uma função de valor real. A prova por contradição (veja Reductio ad absurdum) demonstra que $\xi \left({\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} t\right)$ para $t\to \infty$ deve mudar de sinal infinitas vezes, o que, pelo Teorema do valor intermediário, já mostra que $\zeta (s)$ tem infinitos zeros em $\operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}$ .^[137]

Em 1921, Hardy, em colaboração com o seu amigo e colega John Edensor Littlewood, melhorou a afirmação para um resultado consideravelmente mais forte de que, para valores suficientemente grandes de $T$ , a quantidade de zeros na reta crítica no segmento $\left\{{\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} t,0\leq t\leq T\right\}$ é pelo menos $KT$ , onde $K$ denota uma constante positiva.

Atle Selberg melhorou este resultado em 1942 para $KT\log T$ ^[138] e também mostrou que uma porção positiva de todos os zeros encontra-se na reta crítica.^[139] Assim, existe uma constante $1\geq c>0$ , tal que

N_{0}(T):=\#\{0\leq t\leq T\mid \zeta ({\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} t)=0\}\geq cN(T).

Por esta e outras contribuições, foi homenageado em 1950 com a Medalha Fields. A partir deste ponto, o trabalho se concentrou em encontrar valores o mais altos possível para $c$ .

No início da década de 1970, Norman Levinson conseguiu mostrar que pelo menos um terço ( $c>0{,}342$ ) dos zeros não triviais deve estar situado na reta crítica, assumindo, no entanto, que $T$ é suficientemente grande.^[140] Em 1989, Conrey melhorou esse valor para $c>{\tfrac {2}{5}}$ , refinando as técnicas de Levinson.^[141]

Cálculos numéricos

Desde cedo, houve esforços para verificar a Hipótese de Riemann e outros fenômenos através de cálculos numéricos explícitos. Os métodos, particularmente na era dos computadores potentes, melhoraram exponencialmente. Até agora, todos os zeros não triviais encontrados encontram-se na reta $\operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}$ . Como existem infinitos zeros não triviais, contudo, os algoritmos podem ser usados, no máximo, para a busca de um contraexemplo e não para uma prova da Hipótese de Riemann.

Valores numéricos dos primeiros zeros

As partes imaginárias dos "primeiros" zeros são, por exemplo^[142]

±k	±Im(ρ_k)	±k	±Im(ρ_k)
1	14,134725141734693790…	11	52,970321477714460644…
2	21,022039638771554993…	12	56,446247697063394804…
3	25,010857580145688763…	13	59,347044002602353079…
4	30,424876125859513210…	14	60,831778524609809844…
5	32,935061587739189690…	15	65,112544048081606660…
6	37,586178158825671257…	16	67,079810529494173714…
7	40,918719012147495187…	17	69,546401711173979252…
8	43,327073280914999519…	18	72,067157674481907582…
9	48,005150881167159727…	19	75,704690699083933168…
10	49,773832477672302181…	20	77,144840068874805372…

Sobre as propriedades destas partes imaginárias (irracionalidade, transcendência...), nada se sabe até hoje.^[143]

Expansão em produto de Hadamard

Ao lado do produto de Euler, existe outra representação em produto da função zeta, a qual, pela primeira vez, engloba de forma direta os seus zeros em uma possível definição. Esta é tão importante porque é a chave para a conexão entre os números primos e os zeros. O passo crucial no trabalho de Bernhard Riemann foi, nomeadamente, a "comparação" desses dois produtos, o que acaba por implicar uma relação estreita entre os elementos dos produtos (neste caso, números primos e zeros). No entanto, devido à sua baixa velocidade de convergência, a representação em produto não é adequada na prática como base para um algoritmo de cálculo numérico para a função zeta.

Através do teorema de fatoração de Hadamard para funções holomorfas, é possível reconstruir a função zeta a partir dos seus zeros por meio de um produto. Neste caso, explora-se o fato de que a função inteira $\textstyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)$ tem a ordem de crescimento 1.^[144] De acordo com isso, existem constantes $a$ e $b$ tais que

\xi (s)=\mathrm {e} ^{as+b}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\,\mathrm {e} ^{\frac {s}{\rho }}.

Onde $a=-1-{\tfrac {1}{2}}\gamma +{\tfrac {1}{2}}\log(4\pi )$ e $b=-\log(2)$ .^[145] Obtém-se assim o produto de Hadamard,^[146] batizado em homenagem ao seu descobridor Jacques Hadamard, que converge globalmente em $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ :

\zeta (s)={\frac {\mathrm {e} ^{(\log(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}})s}}{2(s-1)\,\Gamma ({\tfrac {s}{2}}+1)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\mathrm {e} ^{\frac {s}{\rho }}.

Uma forma um pouco mais simples (mas que converge apenas condicionalmente) do produto de Hadamard é

\zeta (s)={\frac {\pi ^{\frac {s}{2}}}{2(s-1)\Gamma ({\tfrac {s}{2}}+1)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right).

Convergência absoluta é obtida se agruparmos os zeros "aos pares". Consideram-se, assim, os fatores $\textstyle \left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)\left(1-{\frac {s}{1-\rho }}\right)$ indexados por $\operatorname {Im} (\rho )>0$ .

Zeros e sua relação com os números primos

Um resultado do teorema de Grosswald e Schnitzer mostra que a atribuição dos zeros da função zeta de Riemann aos números primos é menos rígida do que é sugerido pelo produto de Euler. O teorema diz que se os números primos no produto de Euler forem substituídos por uma sequência de números reais situados entre os números primos, então esta função zeta modificada tem os mesmos zeros no semiplano positivo e, portanto, os mesmos zeros na faixa crítica.

Outras propriedades na faixa crítica

Qualquer função holomorfa definida na faixa crítica $S$ e livre de zeros num domínio $U$ é aproximada com precisão arbitrária

Gráfico complexo com coloração dos valores da função: A função zeta comporta-se de forma muito caótica na faixa crítica. Aqui um recorte para ${\tfrac {1}{2}}<\operatorname {Re} (s)<1,$ $103<\operatorname {Im} (s)<109.$

Teorema da universalidade de Voronin

De acordo com o Teorema da universalidade de Voronin, a função $\zeta$ de Riemann é capaz de aproximar com precisão arbitrária qualquer função holomorfa num disco circular livre de zeros com raio de 1/4.

Como uma comparação ilustrativa, imagine que para cada função holomorfa exista uma espécie de "mapa topográfico" que represente as elevações, depressões e orientações dos valores da função no plano complexo. O teorema da universalidade afirma agora que se digitalizássemos o mapa da função zeta numa determinada região infinita, mais cedo ou mais tarde encontraríamos áreas que se assemelham arbitrariamente a recortes dos mapas de outras funções, ou seja, juntamente com todas as "montanhas" e "vales" neles registados. A única condição aqui, no entanto, é que o valor 0 nunca seja registado na seção do mapa da função estranha.

Expresso formalmente: Seja $U$ um Subconjunto compacto da faixa $S:=\{s\in \mathbb {C} \mid {\tfrac {1}{2}}<\operatorname {Re} (s)<1\}$ com complementar conexo. Seja agora $f\colon U\to \mathbb {C}$ uma Função contínua, que seja holomorfa no interior de $U$ e não se anule para nenhum $s\in U$ . Existe então para todo $\varepsilon >0$ um $t\geq 0$ , tal que

|\zeta (s+\mathrm {i} t)-f(s)|<\varepsilon

para todo $s\in U$ . Note-se que isto é geralmente apenas uma aproximação, pelo que $\varepsilon >0$ tem de ser garantido. Se tivéssemos $\zeta (s+\mathrm {i} t)=f(s)$ para um subconjunto $M\subset U$ com Ponto de acumulação no interior de $U$ , então, com o teorema da identidade para funções holomorfas, já seguiria $\zeta (s+\mathrm {i} t)=f(s)$ em todo $U$ .

E vale ainda mais: A densidade assintótica inferior de todos os $t$ que satisfazem uma aproximação é positiva, como a desigualdade

0<\liminf _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\,\lambda \ \left(\left\{t\in [0,T]\mid \max _{s\in U}\left|\zeta (s+\mathrm {i} t)-f(s)\right|<\varepsilon \right\}\right)

prova. Aqui $\lambda$ é a Medida de Lebesgue padrão sobre os números reais.^[147] Para discos circulares muito pequenos, podem até ser dados limites eficazes, caso $f$ satisfaça certas condições. Assim, para todo $f$ analítico em $|s|\leq 0{,}05$ com $\textstyle \max _{|s|\leq 0{,}05}|f(s)|\leq 1$ e $0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}$ , existe um número $0\leq \tau \leq \exp(\exp(10\varepsilon ^{-13}))$ , de modo que

\max _{|s|\leq 0{,}0001}\left|\log \zeta \left(s+{\frac {3}{4}}+\tau \mathrm {i} \right)-f(s)\right|<\varepsilon .

Um resultado semelhante também é encontrado para a densidade assintótica inferior.^[148] Note que, nesta versão, a função modificada $\log \zeta (s)$ é universal.

Esta propriedade espantosa acarreta algumas consequências. Por exemplo, pode-se mostrar que a função zeta de Riemann não obedece a nenhuma equação diferencial algébrica. Mais precisamente, pode-se mostrar: Se $\Phi \colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C}$ for uma função contínua, $h_{1},\dotsc ,h_{n}$ constantes, $k_{1},\dotsc ,k_{n}$ números naturais com $N=k_{1}+\dotsb +k_{n}$ , tais que

\Phi \left(\zeta (s+h_{1}),\zeta '(s+h_{1}),\dotsc ,\zeta ^{(k_{1}-1)}(s+h_{1}),\zeta (s+h_{2}),\dotsc ,\zeta ^{(k_{2}-1)}(s+h_{2}),\dotsc \right)=0,

então segue-se imediatamente que $\Phi =0$ .^[149] Se adicionalmente $n\in \mathbb {N} ,s\in \mathbb {C}$ com ${\tfrac {1}{2}}<\operatorname {Re} (s)<1$ for escolhido arbitrariamente, conclui-se que o conjunto

\{(\zeta (s+\mathrm {i} t),\zeta '(s+\mathrm {i} t),\dotsc ,\zeta ^{(n-1)}(s+\mathrm {i} t))\mid t\in \mathbb {R} \}

está sempre situado de forma densa em $\mathbb {C} ^{n}$ .^[150]

Equação funcional aproximada (Approximate functional equation)

Embora a série de Dirichlet não convirja mais na faixa crítica, as suas somas parciais podem conduzir a uma boa aproximação da função zeta. Uma fórmula muito simples deste tipo, válida para $\operatorname {Re} (s)>0$ , é, por exemplo

\zeta (s)=\sum _{n\leq N}{\frac {1}{n^{s}}}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}+O\left(\left(1+{\frac {|s|}{\operatorname {Re} (s)}}\right)N^{-\operatorname {Re} (s)}\right).

Para valores fixos de $s$ , o erro torna-se pequeno para valores suficientemente grandes de $N$ . Contudo, $|s|$ é uma desvantagem severa para grandes partes imaginárias.^[151] Para neutralizar isto, escolhe-se um $\sigma _{0}>0$ fixo. Com a ajuda da fórmula de soma de van der Corput, o termo do resto pode ser melhorado para $|\operatorname {Im} (s)|\leq 4x$ para

\zeta (s)=\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {x^{1-s}}{1-s}}+O\left(x^{-\operatorname {Re} (s)}\right),\qquad \operatorname {Re} (s)\geq \sigma _{0},

ajustando a faixa de soma ao argumento. Com isso, a função zeta em $0<\operatorname {Re} (s)<1$ pode ser aproximada pelos primeiros $|\operatorname {Im} (s)|$ termos da série de Dirichlet. Na região $\operatorname {Re} (s)<0$ , a seguinte representação por uma série de Dirichlet resulta da equação funcional:

\zeta (s)={\frac {(2\pi )^{s}}{2\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (s)}}\sum _{n=1}^{\infty }n^{s-1}.

Aqui também é esperada uma aproximação correspondente na faixa crítica e se combinarmos ambos os resultados, então com $s=\sigma +\mathrm {i} t$ e $2\pi xy=|t|$ , $x,y\geq 1$ surge a fórmula

\zeta (s)=\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n^{s}}}+{\frac {(2\pi )^{s}}{2\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (s)}}\sum _{n\leq y}{\frac {1}{n^{1-s}}}+O\left((x^{-\sigma }+|t|^{{\frac {1}{2}}-\sigma }y^{\sigma -1})\log |t|\right),

que também é chamada de equação funcional aproximada.^[152] Esta foi descoberta em 1921 por Hardy e Littlewood, mas, como se veio a verificar mais tarde, já era conhecida de Bernhard Riemann.^[153] É uma ferramenta poderosa para investigar a função zeta na faixa crítica.

Crescimento na faixa crítica

Resultados conhecidos

Com a equação funcional aproximada, segue-se que sobre $x=y={\sqrt {|t|/2\pi }}$

\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)=O\left(|t|^{{\frac {1}{2}}(1-\sigma )}\log |t|\right).

Korobov e Vinogradov provaram em 1958 a estimativa

\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)=O\left((1+t^{B(1-\sigma )^{3/2}})(\log(t))^{\frac {2}{3}}\right),\qquad \sigma \geq 0,\,\,t\geq 2,

com um $B>0$ .^[154]^[155]^[156] Para a reta $\operatorname {Re} (s)=1$ , eles mostraram com isso

\zeta (1+\mathrm {i} t)=O\left(\log(t)^{\frac {2}{3}}\right),\qquad t\geq 2.

Uma forma mais explícita foi dada por Richert no ano de 1967:^[157]

|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|\leq A|t|^{100(1-\sigma )^{\frac {3}{2}}}\log(t)^{\frac {2}{3}},\qquad \sigma \geq {\frac {1}{2}},\,\,t\geq 3.

A partir desses resultados, pode-se determinar a maior região livre de zeros de $\zeta (s)$ conhecida até hoje.^[158] Dentro desta região valem as estimativas^[159]

{\frac {\zeta '(\sigma +\mathrm {i} t)}{\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)}}=O\left(\log(t)^{\frac {2}{3}}\log(\log(t))^{\frac {1}{3}}\right)

{\frac {1}{\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)}}=O\left(\log(t)^{\frac {2}{3}}\log(\log(t))^{\frac {1}{3}}\right)

e

|\log \zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|={\frac {2}{3}}\log(\log(t))+{\frac {1}{3}}\log(\log(\log(t)))+O(1).

A Hipótese de Lindelöf

Para todo $\sigma$ real, a grandeza

\mu (\sigma )=\inf _{c\in \mathbb {R} }\{c:|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|\ll |t|^{c}\}=\limsup _{t\to \infty }{\frac {\log |\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|}{\log t}}

é finita. A notação $\mu$ é devida a razões históricas.^[160] É uma medida de quão rápido a função zeta de Riemann cresce ao longo de retas verticais. Para números reais fora da faixa crítica $0<\sigma <1$ , $\mu (\sigma )$ pode ser facilmente calculada. Para $\sigma >1$ vale $\mu (\sigma )=0$ , visto que para todos os valores $s$ com $\operatorname {Re} (s)>1$ , após a estimativa da soma através de convergência absoluta, segue-se $|\zeta (s)|\leq \zeta (\operatorname {Re} (s))$ , obtém-se $\mu (\sigma )\leq 0$ . Através da Função de Möbius, por outro lado, segue o limite inferior $0<{\tfrac {\zeta (\operatorname {Re} (2s))}{\zeta (\operatorname {Re} (s))}}\leq |\zeta (s)|$ , pelo que se prova simultaneamente $\mu (\sigma )\geq 0$ e com isso $\mu (\sigma )=0$ . Juntamente com este resultado, usando a Fórmula de Stirling e a equação funcional da função zeta, segue-se $\mu (\sigma )={\tfrac {1}{2}}-\sigma$ para todo $\sigma <0$ .^[160] Igualmente garantidos são os valores de contorno $\mu (0)={\tfrac {1}{2}}$ assim como $\mu (1)=0$ .^[161]

O curso da função $\mu$ (de Lindelöf) é esclarecido para $x>1$ e $x<0$ . Supõe-se o traçado vermelho na faixa crítica real. Sabe-se que $\mu$ ali é menor que o traçado azul.

Os valores exatos de $\mu (\sigma )$ para valores críticos $0<\sigma <1$ são até hoje (setembro de 2023) desconhecidos. A culpa disso é que caracterizações de tamanho desta precisão sem convergência absoluta são muito difíceis e por vezes impossíveis. Supõe-se que a função zeta nas regiões verticais a ${\tfrac {1}{2}}\leq \sigma <1$ continua a crescer lentamente, ou seja, vale $\mu (\sigma )=0$ , mas não é mais necessariamente limitada por uma constante. Isto é equivalente a $|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|=O(t^{\varepsilon })$ para todo $\varepsilon >0$ . Esta afirmação também é conhecida como Hipótese de Lindelöf (em homenagem a Ernst Lindelöf) e permanece não comprovada até hoje.^[162] Contudo, sabe-se que a função $|\zeta (s)|$ é ilimitada em qualquer reta vertical $\sigma +\mathrm {i} t$ com $\sigma \leq 1$ .^[163]

Apesar de tudo, podem ser dadas estimativas para o comportamento de $\mu$ . Através da Equação funcional aproximada (Approximate functional equation), conclui-se, por exemplo

\mu (\sigma )\leq {\frac {1}{2}}(1-\sigma ),\qquad 0<\sigma <1.

Também se pode mostrar que $\mu (\sigma )$ é convexa^[161] e que a seguinte estimativa inferior se aplica:^[161]

\mu (\sigma )\geq \max(0,{\tfrac {1}{2}}-\sigma ).

A Hipótese de Lindelöf é equivalente ao fato de que, na última desigualdade, há sempre igualdade. Por causa da convexidade de $\mu (\sigma )$ e da equação funcional da função zeta, isto já é sinônimo de $\mu ({\tfrac {1}{2}})=0$ .

Relação com os momentos de potências

O significado da teoria dos números da Hipótese de Lindelöf torna-se evidente através de uma conexão com os momentos de potências da função zeta ao longo da reta crítica. Se definirmos

I_{k}(T):=\int \limits _{0}^{T}\left|\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} t\right)\right|^{2k}\mathrm {d} t,

então ela é equivalente à afirmação $I_{k}(T)=O(T^{1+\varepsilon })$ para todos os valores $k=1,2,3,\dotsc$ . Os momentos de potências surgem, entre outras coisas, em estimativas de erros no Problema do divisor de Dirichlet e na estatística. Explicitamente vale^[164]

I_{1}(T)=T\log(T)+O(T)

e Heath-Brown mostrou em 1979^[165]^[166]

I_{2}(T)=T\sum _{k=0}^{4}c_{k}\log(T)^{4-k}+O\left(T^{{\frac {7}{8}}+\varepsilon }\right),

com $c_{0}=1/(2\pi ^{2})$ e $c_{k}$ calculáveis. Os momentos da função zeta são, especialmente para grandes valores de $k$ (onde a teoria é significativamente mais difícil), uma área de pesquisa altamente atual. Contribuições foram feitas por Conrey, Gonek^[167] para grandes valores de $k$ e Heath-Brown^[168] para $k>0$ racionais. Em conexão com a teoria das matrizes aleatórias, Keating e Snaith formularam uma conjectura sobre o comportamento assintótico exato dos momentos de potências.

Relação com a Hipótese de Riemann

Existe uma relação entre o crescimento de uma função analítica e a quantidade dos seus zeros devido à Fórmula de Jensen. Na verdade, a Hipótese de Lindelöf aplica-se se e só se para todo $\operatorname {Re} (s)>{\tfrac {1}{2}}$ valer:^[169]

\lim _{T\to \infty }{\frac {\#\{w\in \mathbb {C} \mid \zeta (w)=0,T-1<\operatorname {Im} (w)<T+1,\operatorname {Re} (w)>\operatorname {Re} (s)\}}{\log T}}=0.

Isso foi provado pela primeira vez em 1918 por Backlund.^[170]^[171] Se a Hipótese de Riemann estiver correta, então o numerador seria sempre 0, do qual a Hipótese de Lindelöf segue diretamente. Contudo, a validade da Hipótese de Lindelöf não implica na da Hipótese de Riemann, uma vez que mesmo um único zero não trivial com parte real diferente de ${\tfrac {1}{2}}$ é suficiente para refutar esta última.

No caso de a Hipótese de Riemann ser verdadeira, Littlewood mostrou^[172]

\zeta ({\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} t)=O\left(\exp \left(C{\frac {\log(t)}{\log(\log(t))}}\right)\right),\qquad t\to \infty ,

com uma constante positiva $C>0$ . Soundararajan mostrou que neste caso pode-se definir $C={\tfrac {3}{8}}$ .^[173]

Aplicação na teoria analítica dos números

Relação com a distribuição dos números primos

O Teorema dos Números Primos

Como o jovem Gauss de 15 anos já suspeitava, a quantidade de todos os números primos $\pi (x)$ abaixo de um dado limite $x$ cresce assintoticamente da mesma forma que a expressão ${\tfrac {x}{\log(x)}}$ . Portanto, tem-se:

\lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\log(x)}}}=1.

No entanto, este chamado teorema dos números primos só foi provado cem anos depois, de forma independente por Hadamard e de La Vallée Poussin. Para uma prova, pode ser utilizada a identidade válida entre a função zeta de Riemann e a Função zeta de primo

P(s)=\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {1}{p^{s}}}=\log \zeta (s)+\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)

que tem a sua origem no produto de Euler. Sabendo agora que $\zeta (s)\neq 0$ para todo $\operatorname {Re} (s)\geq 1$ , conclui-se que $P(s)$ pode ser continuada de forma holomorfa no segmento de reta $\{\operatorname {Re} (s)=1\}\setminus \{1\}$ e pode ser escrita numa vizinhança de $s=1$ na forma $P(s)=-\log(s-1)+g(s)$ com uma função holomorfa $g$ . Com o teorema tauberiano de Delange, segue-se então^[174]

\sum _{p\leq x \atop p\ {\text{primo}}}1=\pi (x)\sim {\frac {x}{\log(x)}}\sim \operatorname {Li} (x).

Aqui, $\operatorname {Li} (x)$ denota a Integral logarítmica. Uma outra abordagem mais elementar utiliza a Função de von Mangoldt e o teorema tauberiano de Wiener-Ikehara.^[175] Um método "rápido" provém de Donald Newman e utiliza a Função de Möbius.^[176]^[177]

Cálculo explícito da função de contagem de números primos

Aproximação da função de números primos no intervalo $[200,230]$ através dos primeiros 500 zeros. O índice $k$ nesta animação representa o número de pares de zeros que são inseridos na soma acima.^[178]

Da convergência incondicional do produto de Euler segue-se imediatamente que $\zeta (s)$ não possui zeros no semiplano $\{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (s)>1\}$ . Além disso, a identidade $\textstyle \log \zeta (s)=\sum _{p\ {\text{primo}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{np^{ns}}}$ é válida aí, da qual Riemann finalmente conseguiu deduzir a expressão, válida para todo $c>1$ e muito importante para a teoria dos números,

\Pi (x):=\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int \limits _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }{\frac {\log \zeta (s)}{s}}x^{s}\mathrm {d} s

por meio da transformada inversa de Mellin. A soma no lado esquerdo fornece para cada potência de primo $p^{n}<x$ a contribuição ${\tfrac {1}{n}}$ , podendo, portanto, ser identificada com $\textstyle \pi (x)+{\frac {1}{2}}\pi (x^{\tfrac {1}{2}})+{\frac {1}{3}}\pi (x^{\tfrac {1}{3}})+\dotsb$ . Aqui, $\pi (x)$ denota a Função de contagem de números primos, que conta quantos números primos existem menores do que $x$ . Riemann calculou a integral à direita por meio de um precursor do produto de Hadamard e encontrou assim a fórmula explícita válida para números não inteiros $x>1$ ^[179]

\Pi (x)=\operatorname {Li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {Li} (x^{\rho })-\log 2+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t(t^{2}-1)\log t}},

onde $\operatorname {Li} (x)$ denota a Integral logarítmica. Por meio da inversão de Möbius, a partir de $\textstyle \Pi (x)=\pi (x)+{\frac {1}{2}}\pi (x^{\tfrac {1}{2}})+{\frac {1}{3}}\pi (x^{\tfrac {1}{3}})+\dotsb$ o valor de $\pi (x)$ pode ser reconstruído:^[180]

\pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{\tfrac {1}{3}})\pm \dotsb .

Neste caso, $\mu (n)$ é a Função de Möbius. Através dos zeros não triviais, o valor da função de números primos $\pi (x)$ no ponto $x$ pode, portanto, ser calculado exatamente. Em particular, é possível uma correção completa do erro do teorema dos números primos. Em relação à convergência, deve notar-se que a soma sobre $\rho$ adiciona os zeros aos pares após sua conjugação. Além disso, os termos na soma devem ser entendidos como $\operatorname {Li} (x^{\rho })=\operatorname {Ei} (\rho \log x)$ (aqui $\operatorname {Ei}$ denota a Integral exponencial complexa), pois: confusões podem surgir ao avaliar $x^{\rho }$ sobre o ramo principal do logaritmo complexo.

O "ramo principal real" da sua fórmula foi interpretado por Riemann como uma aproximação melhor do que $\operatorname {Li} (x)$ para $\pi (x)$ . Ele também destacou a possível importância dos zeros ("termos periódicos") na descodificação das distâncias irregulares entre os números primos:

A conhecida fórmula de aproximação $\pi (x)=\operatorname {Li} (x)$ é, portanto, correta apenas a menos de grandezas da ordem $x^{\frac {1}{2}}$ e fornece um valor um pouco grande demais; pois os termos não periódicos na expressão de $\operatorname {Li} (x)$ são, ignorando grandezas que não crescem ao infinito com $x$ : $\textstyle \operatorname {Li} (x)-{\frac {1}{2}}\operatorname {Li} (x^{\frac {1}{2}})-{\frac {1}{3}}\operatorname {Li} (x^{\frac {1}{3}})-{\frac {1}{5}}\operatorname {Li} (x^{\frac {1}{5}})+{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} (x^{\frac {1}{6}})-{\frac {1}{7}}\operatorname {Li} (x^{\frac {1}{7}})+\cdots$ . De fato, na comparação feita por Gauss e Goldschmidt e continuada até $x$ = três milhões entre $\operatorname {Li} (x)$ e o número de primos abaixo de $x$ , esse número resultou ser sempre menor que $\operatorname {Li} (x)$ já desde o primeiro cem mil, e a diferença cresce gradualmente com $x$ sob muitas flutuações. Mas também a condensação e rarefação local dos números primos, dependente dos termos periódicos, já chamou a atenção durante as contagens, sem que, no entanto, qualquer regularidade tenha sido notada nisso. Numa possível nova contagem, seria interessante acompanhar a influência de cada termo periódico individual contido na expressão para a densidade dos números primos.

— Bernhard Riemann

Por longos trechos, a função $\operatorname {Li} (x)$ (laranja) corre acima da função em degraus $\pi (x)$ (azul). No entanto, de acordo com um trabalho de Littlewood, ocorrem infinitos cruzamentos. A função $R(x)$ de Riemann (verde) representa uma aproximação significativamente melhor, pelo menos para valores pequenos.

A função mencionada por Riemann

R(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {Li} (x^{\frac {1}{n}})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\log(x)^{k}}{kk!\zeta (k+1)}}

é hoje designada como função R de Riemann^[181] e fornece para os primeiros valores $x$ uma aproximação (pontualmente muito) melhor de $\pi (x)$ do que $\operatorname {Li} (x)$ . No entanto, como Littlewood conseguiu mostrar que a função $\pi (x)-\operatorname {Li} (x)$ possui infinitos zeros,^[182] isso não pode ser o caso para todo $x$ . Apenas concebível seria uma aproximação "em média" melhor no sentido de

\int \limits _{2}^{x}\left|\pi (t)-R(t)\right|\mathrm {d} t<\int \limits _{2}^{x}\left|\pi (t)-\operatorname {Li} (t)\right|\mathrm {d} t

para todo $x$ (suficientemente grande), mas isso é desconhecido até hoje.^[183]

O método de Selberg-Delange

O método de Selberg-Delange é uma técnica para determinar a ordem média de uma função da teoria dos números, desde que a sua série de Dirichlet geradora possua propriedades suficientemente boas. Para isso, faz-se uso de potências complexas da função zeta. Para $z\in \mathbb {C}$ considera-se $\zeta (s)^{z}$ e encontra-se com o produto de Euler para todo $\operatorname {Re} (s)>1$ :

\zeta (s)^{z}=\prod _{p\ {\text{primo}}}\left(1+\sum _{v=1}^{\infty }{z+v-1 \choose v}p^{-sv}\right).

Seja para este propósito $F(s)=\sum a(n)n^{-s}$ uma série de Dirichlet que converge no semiplano $\operatorname {Re} (s)>1$ . Se para um $z\in \mathbb {C}$ a função $G(s)=F(s)\zeta (s)^{-z}$ puder ser estendida de forma holomorfa a uma região livre de zeros de $\zeta (s)$ e possuir aí um crescimento bem controlado, a soma

\sum _{n\leq x}a(n)

pode ser explicitamente estimada.^[184] O erro depende neste caso do tamanho da região livre de zeros de $\zeta (s)$ . Uma vantagem deste método é que, além da convergência da série, não são impostas pré-condições substanciais aos termos $a(n)$ . Uma desvantagem é a necessária condição de crescimento para a função $G(s)$ .

Um exemplo de aplicação do método de Selberg-Delange é um resultado de Paul Bateman relativamente à função phi de Euler. Este afirma que a quantidade de números naturais $n$ para os quais $\varphi (n)\leq x$ é válida é assintoticamente dada por^[185]

{\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}x+O\left(x\mathrm {e} ^{-c{\sqrt {\log(x)}}}\right)

onde $c>0$ é uma constante. A série de Dirichlet considerada para isso tem, para $\operatorname {Re} (s)>1$ , a forma

\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{\varphi (m)^{s}}}=\zeta (s)\prod _{p\ \mathrm {primo} }\left(1+{\frac {1}{(p-1)^{s}}}-{\frac {1}{p^{s}}}\right).

O problema do divisor de Dirichlet

A função em degraus $\textstyle s(x)=\sum _{n\leq x}d(n)$ é aproximada pela função $\textstyle f(x)=x\log(x)+(2\gamma -1)x$

A Hipótese de Lindelöf já é uma afirmação da teoria dos números. Pode ser usada para descrever a natureza de somas de divisores de forma bastante detalhada. Estas somas são objeto do problema do divisor de Dirichlet, que na variante clássica pergunta pela ordem de grandeza da soma

\sum _{n\leq x}d(n)

onde $d(n)$ aqui denota o número de divisores positivos de $n$ . Por exemplo, $d(6)=4$ , uma vez que 6 tem os divisores 1, 2, 3 e 6. Já Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet demonstrou:

\sum _{n\leq x}d(n)=x\log(x)+(2\gamma -1)x+O(x^{\beta }),

com $\beta \leq {\tfrac {1}{2}}$ . O problema do divisor pergunta agora sobre a natureza dos números $\beta$ que podem ser inseridos nesta equação. No ano de 1922, J. van der Corput mostrou $\beta \leq {\tfrac {33}{100}}$ ^[186] e a estimativa $\beta \leq {\tfrac {131}{416}}$ foi dada por M. N. Huxley no ano de 2003.^[187] Por outro lado, G. H. Hardy e E. Landau mostraram que $\beta \geq {\tfrac {1}{4}}$ deve ser válido.^[188]

Este problema pode até ser generalizado. Para isso, define-se

d_{k}(n):=\sum _{u_{1},\dotsc ,u_{k} \atop u_{1}\cdots u_{k}=n}1.

Enquanto $d_{2}(n)=d(n)$ e conta todos os pares $(u_{1},u_{2})$ com $u_{1}u_{2}=n$ (por outras palavras, os divisores de $n$ ), $d_{k}(n)$ conta todas as tuplas $(u_{1},\dots ,u_{k})$ com $u_{1}\cdots u_{k}=n$ .

Com o auxílio dos momentos de potências da função zeta de Riemann, a afirmação geral pode ser feita

\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=xP_{k}(\log x)+O_{k,\varepsilon }\left(x^{1-{\frac {2}{k+4}}+\varepsilon }\right)

.^[189] O termo $xP_{k}(\log x)$ é dado pelo resíduo da função $s\mapsto \zeta (s)^{k}{\tfrac {x^{s}}{s}}$ no ponto 1. O fundo dessa conexão é que a série de Dirichlet da função $\zeta (s)^{k}$ é gerada por $d_{k}(n)$ .^[190] No entanto, se a Hipótese de Lindelöf for verdadeira, e apenas se for, esse erro pode ser substituído para todo $k\geq 2$ por $O_{\varepsilon }(x^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon })$ para todo $\varepsilon >0$ .^[191] A partir de $I_{2}(T)=TP(\log T)+O_{\varepsilon }(T^{{\tfrac {7}{8}}+\varepsilon })$ com um polinômio $P$ de grau quatro, segue-se, por exemplo, $A_{4}(x)=xP_{4}(\log x)+O_{\varepsilon }(x^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon }).$ ^[189]

Composições multiplicativas

A função em degraus $\textstyle s(x)=\sum _{n\leq x}M(n)$ é aproximada pela função $\textstyle f(x)=0{,}31817x^{1{,}72867}$

Uma composição multiplicativa (fatoração ordenada) do número natural $n$ tem a forma $n=n_{1}\cdots n_{k}$ com números naturais $n_{j}\geq 2$ . Se $M(n)$ denotar o número de todas as composições multiplicativas (a ordem dos fatores tem importância) de $n$ , então, de acordo com a Série geométrica para números $s$ com uma parte real suficientemente grande, se exigirmos que $M(1):=1$ , temos

{\frac {1}{2-\zeta (s)}}=\sum _{k=0}^{\infty }(\zeta (s)-1)^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M(n)}{n^{s}}}.

Isto foi usado por László Kalmár para desenvolver a seguinte fórmula assintótica, válida para todo $\textstyle \alpha <{\frac {1}{2(\kappa -1)\log(2)}}$ :^[192]

\sum _{n\leq x}M(n)=-{\frac {x^{\kappa }}{\kappa \zeta '(\kappa )}}+O\left(x^{\kappa }\log(x)^{-\alpha \log(\log(\log(x)))}\right)\approx 0{,}31817x^{1{,}72867}.

Onde $\kappa \approx 1{,}728647$ é a única solução da equação $\zeta (x)=2$ no intervalo $]1,\infty [$ . Esta é atualmente também referida como a constante de composição de Kalmár.^[193] O próprio Kalmár forneceu a estimativa $1{,}7<\kappa <1{,}8$ . Entretanto, os resultados foram ainda mais refinados.^[194]

Determinação da ordem média de funções aritméticas via teoremas tauberianos

Os teoremas tauberianos para séries de Dirichlet $\textstyle \sum a(n)n^{-s}$ com $a(n)\geq 0$ são válidos sob condições bastante fracas. Assim, fórmulas de crescimento para funções somatórias

A(x):=\sum _{n\leq x}a(n)

já podem ser deduzidas do fato de as séries de Dirichlet associadas convergirem num semiplano $\operatorname {Re} (s)>\sigma _{0}>0$ , de terem um ponto singular no ponto $\sigma _{0}$ (i.e., que a função holomorfa representada pela série de Dirichlet não possa ser estendida de forma holomorfa para nenhum conjunto aberto $\sigma _{0}\in U$ em direção a $U\cup \{s\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (s)>\sigma _{0}\}$ ) e que, de outra forma, possam ser estendidas de forma holomorfa a partir da direita para a reta $\operatorname {Re} (s)=\sigma _{0}$ . As composições das funções zeta de Riemann satisfazem estas condições com muita frequência.

Assim, a partir de $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{a}(n)n^{-s}=\zeta (s)\zeta (s-a)$ para valores reais $a>0$ , deduz-se imediatamente que

\sum _{n\leq x}\sigma _{a}(n)\sim {\frac {\zeta (a+1)}{a+1}}x^{a+1}.

Para a função phi de Euler, obtém-se com $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}$

\sum _{n\leq x}\varphi (n)\sim {\frac {3}{\pi ^{2}}}x^{2}.

Uma boa ferramenta para derivar estas identidades é o teorema tauberiano de Delange. Para o caso de a função da teoria dos números considerada ser apenas uma Função indicadora de um subconjunto $A\subset \mathbb {N}$ , os teoremas tauberianos fornecem informações sobre a sua densidade assintótica. O teorema dos números primos, que trata do caso $A=\mathbb {P}$ (conjunto dos números primos), é um desses resultados de densidade.

Quatérnios e octônios

Através da construção de Cayley-Dickson, podem ser determinadas séries de Dirichlet a partir dos quatérnios e octônios, as quais incluem a Função soma de quadrados $r_{4}(n)$ e $r_{8}(n)$ respetivamente, a saber^[195]

8(1-2^{2-2s})\zeta (s)\zeta (s-1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{4}(n)}{n^{s}}},

e também

16(1-2^{1-s}+2^{4-2s})\zeta (s)\zeta (s-3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{8}(n)}{n^{s}}}.

A partir disso, segue-se de forma direta o Teorema dos quatro quadrados de Lagrange e o Teorema de Jacobi, entre outras coisas.

Conexões com curvas elípticas e triângulos congruentes

O triângulo retângulo tem comprimentos de lado racionais de 3, 4 e 5, mas área inteira 6. Portanto, 6 é um *número congruente*.

A função L de Hasse-Weil (global) de uma curva elíptica sobre $\mathbb {Q}$ tem a forma

L(E_{n};s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod _{p\,\mathrm {primo} }Z(E_{n}/\mathbb {F} _{p};p^{-s})}},

onde $Z(E_{n}/\mathbb {F} _{p};T)$ denotam as funções zeta locais de $E_{n}$ .^[196]

Um triângulo é designado de congruente se for retângulo, tiver apenas comprimentos de lados racionais e uma área de número inteiro $n$ . Correspondentemente, o número $n$ é designado de número congruente. Um número $n$ é um número congruente se e só se a curva elíptica correspondente $E_{n}:y^{2}=x^{3}-nx$ tiver infinitos pontos racionais. Se a Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer fraca for verdadeira, este é exatamente o caso se $L(E_{n};1)=0$ .^[197] Sob esta condição, a função L de Hasse-Weil definida acima codifica as propriedades geométricas dos números $n$ com respeito à congruência.^[198]

Generalizações

No desejo de generalizar ou variar a definição da função zeta de Riemann, numerosas funções relacionadas foram introduzidas e estudadas. Frequentemente, estas também carregam o nome de "função zeta", associado ao nome do seu "descobridor". Neste contexto, remete-se preliminarmente também à lista de funções zeta.

Funções L de Dirichlet

A função zeta de Riemann é uma função L de Dirichlet especial. Neste caso, a um caráter de Dirichlet $\chi$ (uma função da teoria dos números periódica e estritamente multiplicativa) é inicialmente associada uma série de Dirichlet com produto de Euler por meio de

L(s,\chi ):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p\,{\text{primo}}}{\frac {1}{1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}}}.

Novamente, esta representação é válida apenas para valores $\mathrm {Re} (s)>1$ , e as funções $s\mapsto L(s,\chi )$ podem ser estendidas analiticamente para todo o $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ , onde em $s=1$ existe um polo de primeira ordem no caso de um caráter principal (ou seja, $\chi$ assume apenas o valor 1 em todos os pontos diferentes de zero), e caso contrário existe uma singularidade removível. Neste último caso, $s\mapsto L(s,\chi )$ estende-se até mesmo para uma função inteira. A Hipótese Generalizada de Riemann afirma agora que todos os zeros (não triviais) de $L(s,\chi )$ na faixa $0<\mathrm {Re} (s)<1$ têm a parte real ${\tfrac {1}{2}}$ .^[199] A função zeta de Riemann corresponde, portanto, à função L de Dirichlet para o caráter trivial, que assume sempre o valor 1. Da Hipótese Generalizada de Riemann segue-se, assim, a Hipótese de Riemann com $\chi =1$ como um caso especial.

Funções zeta de Hurwitz e Lerch

A Função zeta de Hurwitz é definida para $\operatorname {Re} (s)>1$ e $\operatorname {Re} (q)>0$ por

\zeta (s,q):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+q)^{s}}}.

Para um $q$ fixo, ela possui um prolongamento analítico em $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ com um polo simples em $1$ . Para $q=1$ vale agora:

\zeta (s)=\zeta (s,1).

Com a ajuda da função zeta de Hurwitz, a função zeta de Riemann e as funções L de Dirichlet podem ser tratadas de forma unificada. Isto é útil sobretudo no que diz respeito à sua equação funcional generalizada.

Ainda mais geral do que a função zeta de Hurwitz é a Função zeta de Lerch, a qual é dada para $\operatorname {Re} (s)>1$ , $\operatorname {Re} (q)>0$ e $\operatorname {Im} (\lambda )\geq 0$ por

L(\lambda ,q,s):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \lambda }}{(n+q)^{s}}}.

Neste caso, tem-se

\zeta (s)=L(0,1,s).

A definição abrangente da função zeta de Lerch permite não apenas especializações para a função zeta de Hurwitz e, consequentemente, também para a função zeta de Riemann, mas também inclui muitas outras funções importantes como casos especiais. "Funções zeta generalizadas" definidas de forma semelhante também são usadas na física teórica, mais especificamente em conexão com a chamada aproximação semiclássica sistemática de resultados da mecânica quântica.

Função zeta de Dedekind para corpos de números

A função zeta de Dedekind $\zeta _{K}(s)$ de um corpo de números $K$ generaliza a função zeta de Riemann. Aqui, $\zeta _{K}(s)$ lida com a "fatoração em primos" no anel de inteiros ${\mathcal {O}}_{K}$ de $K$ . O anel ${\mathcal {O}}_{K}$ é o conjunto de todos os elementos $x\in K$ que são solução de uma equação polinomial $x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0$ com números inteiros $a_{n-1},\dots ,a_{0}$ .^[200] Por exemplo, ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} }=\mathbb {Z}$ e ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\sqrt {-5}}$ . A questão de saber se, em geral, existe uma fatoração única em elementos primos em ${\mathcal {O}}_{K}$ é de relevância para a teoria dos números e a sua resposta é, em geral, "Não". Assim, os números $3,7,1\pm 2{\sqrt {-5}}$ são de fato todos primos e distintos aos pares em $\mathbb {Z} +\mathbb {Z} {\sqrt {-5}}$ , contudo tem-se

21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})\cdot (1-2{\sqrt {-5}}).

Para restaurar a unicidade, passa-se para os ideais de ${\mathcal {O}}_{K}$ . Diante desse contexto, Ernst Eduard Kummer desenvolveu a ideia dos "números ideais", que no entanto é considerada obsoleta.^[201] Todo ideal inteiro não trivial ${\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}$ possui uma decomposição multiplicativa única em ideais primos. Isto permite finalmente a definição de uma função zeta

\zeta _{K}(s)=\sum _{{\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{N({\mathfrak {a}})^{s}}},

que se decompõe num produto de Euler sobre os ideais primos:^[202]

\zeta _{K}(s)=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}.

Aqui, o número natural $N({\mathfrak {a}})$ denota a norma do ideal ${\mathfrak {a}}$ (uma medida da sua "densidade" em ${\mathcal {O}}_{K}$ ).

A função $\zeta _{K}(s)$ possui um prolongamento holomorfo para $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ , tem um polo de primeira ordem em $s=1$ e satisfaz uma equação funcional.^[203] Ela possui grande relevância na teoria dos números, pois, por um lado, estende o conceito da Hipótese de Riemann a corpos de números e, por outro lado, codifica na Fórmula do número de classes "quão fortemente" a decomposição em fatores primos em ${\mathcal {O}}_{K}$ se desvia da unicidade.^[204] Esta medida também é conhecida como o Número de classes (class number).^[205]

O corpo de números dos números racionais

No caso de $K=\mathbb {Q}$ , a função zeta de Dedekind $\zeta _{\mathbb {Q} }(s)$ é exatamente a função zeta de Riemann. Em particular, esta está relacionada com os elementos primos no seu anel de inteiros $\mathbb {Z}$ .^[206]

Corpos de números quadráticos

Se $K/\mathbb {Q}$ é uma extensão quadrática de $\mathbb {Q}$ com discriminante $D$ , então existe um caráter de Dirichlet $\chi _{D}$ módulo $|D|$ , de tal forma que

\zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(\chi _{D},s),

onde $L(\chi _{D},s)$ denota a função L de Dirichlet correspondente a $\chi _{D}$ .^[207]

Um caso especial importante é $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})$ . A função zeta correspondente a isso é dada por

\zeta _{\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})}(s)=\zeta (s)\beta (s),

onde a Função beta de Dirichlet $\beta (s)$ corresponde ao caráter $\chi _{4}(1)=-\chi _{4}(-1)=1$ módulo 4. Disso resulta diretamente a seguinte identidade para a série de Dirichlet da função da soma de quadrados $r_{2}(n)$ :^[208]

4\zeta (s)\beta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{n^{s}}}.

Por meio de uma comparação de coeficientes, pode-se deduzir uma fórmula fechada para os $r_{2}(n)$ . Isso fornece, entre outras coisas, uma prova analítica de que um número primo $p$ é a soma de dois quadrados, ou seja, $p=n^{2}+m^{2}$ , se e somente se $p\not \equiv 3\mod 4.$

Corpos ciclotômicos

Se $K=\mathbb {Q} (\mu _{m})$ for o corpo das $m$ -ésimas raízes da unidade, também chamado de Corpo ciclotômico, então tem-se^[209]

\zeta _{K}(s)=\zeta (s)\prod _{\chi \not =\chi _{0}}L(\chi ,s).

Neste caso, o produto percorre todos os caráteres primitivos módulo $l$ de modo que $l|m$ , com a exceção do caráter trivial $\chi _{0}$ , que só assume o valor 1. Como tanto $\zeta (s)$ quanto $\zeta _{K}(s)$ possuem polos simples em $s=1$ , segue-se que $L(\chi ,1)\not =0$ é válido para todos os caráteres. Uma consequência desta afirmação é o Teorema dos números primos de Dirichlet.^[210]

Extensões abelianas

No caso de $K/\mathbb {Q}$ ser uma Extensão abeliana, o quociente ${\tfrac {\zeta _{K}(s)}{\zeta (s)}}$ é uma Função inteira. Isto significa, de certo modo, que a função zeta de Riemann é, neste caso, um "divisor de $\zeta _{K}(s)$ " (Teorema de Aramata-Brauer).^[211] Que isto também é verdade para extensões não abelianas é objeto de profundas conjecturas da teoria dos números, por exemplo, da Conjectura de Dedekind^[212] ou da Conjectura de Artin.

Funções zeta aritméticas

A função zeta de um esquema $X$ (de tipo finito sobre os números inteiros) é definida pelo produto de Euler

\zeta _{X}(s):=\prod _{x\in X}{\frac {1}{1-N(x)^{-s}}}.

O produto percorre aqui todos os pontos fechados do esquema, ou seja, aqueles cujo Corpo residual associado é finito. $N(x)$ denota o número de elementos deste corpo. A função zeta de Riemann está então associada ao esquema afim $X=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$ .

Relações com a teoria das formas automórficas

Na teoria das formas modulares, que são importantes para a teoria dos números, a função zeta de Riemann aparece em alguns contextos.

Funções L de séries de Eisenstein

Para os pesos $k=2,4,6,\dots$ , as séries de Eisenstein normalizadas para o grupo modular completo $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ são definidas da seguinte forma:^[213]

E_{k}(z):={\frac {1}{2\zeta (k)}}\sum _{(n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(nz+m)^{k}}}=1-{\frac {2k}{B_{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{k-1}(n)\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} z}.

Esta última expressão trata-se de uma representação como série de Fourier. Esta é característica das formas modulares. Devido à normalização através do fator ${\tfrac {1}{2\zeta (2k)}}$ , esta possui agora exclusivamente coeficientes racionais. Isto é usado na teoria dos números, entre outras coisas, para provar identidades inteiras entre funções divisor.^[214] Devido à sua relação com as funções divisor (os coeficientes das séries de Fourier correspondentes a $E_{k}$ ), $-{\tfrac {2k}{B_{2k}}}\cdot \zeta (s)\zeta (s-k+1)$ são as funções L correspondentes a $E_{k}$ . Este princípio generaliza-se para séries de Eisenstein a subgrupos de congruência. Aqui, os coeficientes constantes estão relacionados a valores de funções L de caráteres de Dirichlet.

Em 1987, Frits Beukers conseguiu provar a irracionalidade de $\zeta (3)$ com a ajuda da teoria das séries de Eisenstein. Para isso, ele considerou a função

F(z)={\frac {1}{40}}\left(E_{4}(z)-36E_{4}(6z)-28E_{4}(2z)+63E_{4}(3z)\right),

que é uma forma modular de peso 4 para o subgrupo de congruência $\Gamma _{1}(6)$ . A Função L correspondente a este $F$ é então

L(F,s)=6\left(1-{\frac {36}{6^{s}}}-{\frac {28}{2^{s}}}+{\frac {63}{3^{s}}}\right)\zeta (s)\zeta (s-3).

O argumento baseia-se, em última análise, numa técnica que explora os raios de convergência de funções inversas de funções meromorfas localmente injetivas.^[215] Com o mesmo método também se pode mostrar que $\zeta (2)={\tfrac {\pi ^{2}}{6}}\notin \mathbb {Q}$ e $8\zeta (3)-5{\sqrt {5}}L(\chi _{5};3)\notin \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ , onde o caráter $\chi _{5}$ é o Símbolo de Legendre módulo 5.^[216] As técnicas, no entanto, segundo o próprio Beukers, muito provavelmente não podem ser transferidas para os casos $\zeta (5),\zeta (7),\dotsc$ , mas fornecem uma visão sobre as interpretações algébrico geométricas e modulares dos números de Apéry.^[217]

Relação com as séries de Eisenstein não holomorfas

Para números complexos $z=x+y\mathrm {i}$ com $y>0$ e $s$ com $\operatorname {Re} (s)>1$ , a série de Eisenstein converge de forma absoluta:

E(z,s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s}\Gamma (s)\sum _{(n,m)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {y^{s}}{|nz+m|^{2s}}}

A função assim definida é não holomorfa e além disso (para um $s$ fixado) invariante em $z$ sob a ação do grupo modular completo. Adicionalmente, ela pode ser estendida de forma meromorfa em $s$ (para um $z$ fixado) para todo o plano, com polos simples em $s=0$ e $s=1$ , e a equação funcional é válida:

E(z,1-s)=E(z,s).

Este paralelo com a teoria da função zeta já sugere uma conexão. A seguinte representação é válida:^[218]

E(z,s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)\sum _{M\in \Gamma _{\infty }\backslash \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}\operatorname {Im} ((M(z))^{s}),

onde $\Gamma _{\infty }$ denota o subgrupo das translações de $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ . Se considerarmos adicionalmente a expansão de Fourier

E(z,s)=\sum _{r=-\infty }^{\infty }a_{r}(y,s)\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} xr},

temos^[219]

a_{0}(y,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)y^{s}+\pi ^{s-1}\Gamma (1-s)\zeta (2-2s)y^{1-s}.

As séries de Eisenstein não holomorfas, e com isso também a própria função zeta, desempenham um papel fundamental no chamado Método de Rankin-Selberg, que se consolidou como uma ferramenta poderosa nas investigações no âmbito do Programa Langlands.^[220]

Relação com a função teta de Jacobi

Uma propriedade muito importante da função zeta de Riemann é a sua equação funcional. Esta exprime-se de forma mais simples através de

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\pi ^{\frac {s-1}{2}}\zeta (1-s)

e é de notar que no lado direito, de forma surpreendente, a variável complexa $s$ é simplesmente substituída por $1-s$ .

Existem várias variantes de dedução para encontrar esta equação. Duas diferentes já foram mostradas por Riemann. Uma delas inclui diretamente um caso especial simples da função teta de Jacobi:

\theta (x):=\vartheta (0,ix)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi xn^{2}}

É vantajosa a modificação $\textstyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi xn^{2}}$ , tem-se $\psi (x)={\tfrac {1}{2}}(\theta (x)-1)$ . A função teta é aqui uma forma modular de peso semi-inteiro: Com a Fórmula de soma de Poisson, Jacobi já havia encontrado a identidade $\theta (x)=x^{-{\frac {1}{2}}}\theta \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ , da qual se segue imediatamente $\psi \left({\tfrac {1}{x}}\right)={\sqrt {x}}\psi (x)+{\tfrac {\sqrt {x}}{2}}-{\tfrac {1}{2}}$ .^[221]

O ponto de partida é a representação integral:

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)=\int \limits _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi tn^{2}}t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\int \limits _{0}^{\infty }\psi (t)t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}.

O truque a seguir é uma transformação padrão na prova do teorema de inversão de Hecke. Através de uma divisão da integral nos intervalos $[1,\infty [$ e $[0,1]$ , sendo que neste último se efetua a substituição $t={\tfrac {1}{x}}$ ,^[221] segue-se:

{\begin{aligned}\int \limits _{0}^{\infty }\psi (t)t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}&=\int \limits _{1}^{\infty }\psi (t)t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}-\int \limits _{\infty }^{1}\psi \left({\frac {1}{x}}\right)x^{-{\frac {s}{2}}}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\\&=\int \limits _{1}^{\infty }\psi (x)x^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+\int \limits _{1}^{\infty }\left({\sqrt {x}}\psi (x)+{\frac {\sqrt {x}}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)x^{-{\frac {s}{2}}}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}\\&=\int \limits _{1}^{\infty }\psi (x)\left[x^{\frac {s}{2}}+x^{\frac {1-s}{2}}\right]{\frac {\mathrm {d} x}{x}}+{\frac {1}{2}}\int \limits _{1}^{\infty }\left[x^{\frac {1-s}{2}}-x^{-{\frac {s}{2}}}\right]{\frac {\mathrm {d} x}{x}}.\end{aligned}}

A segunda integral pode ser calculada de forma elementar:

\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)=\int \limits _{1}^{\infty }\psi (x)\left[x^{\frac {s}{2}}+x^{\frac {1-s}{2}}\right]{\frac {\mathrm {d} x}{x}}-{\frac {1}{s(1-s)}}.

Como se pode ver facilmente, o lado direito permanece inalterado sob o mapeamento $s\mapsto 1-s$ , do que já se deduz a equação funcional. Esta argumentação é justificada, porque a integral no lado direito agora existe para todo $s\in \mathbb {C}$ .^[222]

Ocorrência na teoria das probabilidades, estatística e teoria probabilística dos números

Tuplas coprimas

Algumas leis de probabilidade da teoria dos números também estão intimamente relacionadas à função zeta. Um teorema de Ernesto Cesàro afirma que a densidade assintótica de pares de números inteiros que são coprimos (primos entre si) é igual a

{\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}=0{,}60792\ 71018\ 54026\ 62866\ldots

((sequência A059956 na OEIS))

ou seja, a proporção de tais pares em um intervalo de números inteiros $[\![1,n]\!]$ converge para ${\tfrac {6}{\pi ^{2}}}$ quando $n$ tende a $+\infty$ . O mesmo se aplica à probabilidade assintótica de que um número escolhido aleatoriamente seja livre de quadrados.

Mais geralmente, ${\tfrac {1}{\zeta (nk)}}$ é a probabilidade assintótica de que $n$ números inteiros positivos não tenham nenhuma $k$ -ésima potência maior que 1 como divisor comum.^[223]

Relações com a teoria de matrizes aleatórias

No ano de 1972, o matemático Hugh Montgomery descreveu a um colega, o físico quântico Freeman Dyson, no Instituto de Estudos Avançados de Princeton, durante uma pausa para o chá, seu modelo para a correlação de pares de zeros da função zeta. Assumindo a Hipótese de Riemann, os zeros não triviais podem ser escritos como $\rho _{n}={\tfrac {1}{2}}\pm \mathrm {i} t_{n}$ com números reais $0<t_{1}<t_{2}<t_{3}<\dotsb$ . A seguir, considera-se a normalização

w_{n}={\frac {t_{n}}{2\pi }}\log \left({\frac {t_{n}}{2\pi }}\right)

.

Junto com $N(W):=\#\{n\in \mathbb {N} |w_{n}<W\}$ , obtém-se $\textstyle \lim _{W\to \infty }{\frac {N(W)}{W}}=1.$ Como procedimento adicional, para números $\alpha <\beta$ , a correlação de pares $\textstyle {\frac {1}{W}}\#\{(w_{n},w_{m})\in [0,W]^{2}|\alpha \leq w_{n}-w_{m}\leq \beta \}$ pode ser estudada e, de forma mais geral, o operador linear para funções $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

R_{2}(f,W):={\frac {1}{W}}\sum _{1\leq j,k\leq N(W) \atop j\not =k}f(w_{j}-w_{k})

.

O seguinte teorema de Montgomery, provado sob o pressuposto da Hipótese de Riemann, classifica o comportamento assintótico de $R_{2}$ para uma ampla classe de funções $f$ : Se a Transformada de Fourier de $f$ tiver suporte compacto $K$ com $K\subset [-1,1]$ , então segue-se^[224]

\lim _{W\to \infty }R_{2}(f,W)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\left(1-\left({\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} x.

Dyson, um dos fundadores da teoria das matrizes aleatórias, imediatamente reconheceu uma conexão. Se de fato $(e^{\mathrm {i} \theta _{1}},\dotsc ,e^{\mathrm {i} \theta _{N}})$ com $0\leq \theta _{j}<2\pi$ forem os autovalores de um elemento $A$ do grupo unitário $U(N)$ e se definirmos $\textstyle \phi _{n}:={\frac {N}{2\pi }}\theta _{n}$ , então segue-se como acima^[225]

\lim _{N\to \infty }\int _{U(N)}\sum _{j\not =k}f(\phi _{j}-\phi _{k})\mathrm {d} \mu _{U(N)}(A)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\left(1-\left({\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} x.

Aqui, $\mu _{U(N)}$ denota a Medida de Haar em $U(N)$ . A semelhança de ambas as fórmulas sugere uma forte conexão entre a teoria da função zeta e a teoria de matrizes aleatórias unitárias. Esta conexão é sublinhada pelo chamado programa de Pólya-Hilbert: Se os valores $\gamma _{n}$ de todos os zeros não triviais ${\tfrac {1}{2}}+i\gamma _{n}$ puderem ser escritos como autovalores de um operador hamiltoniano (autoadjunto), a Hipótese de Riemann decorre disso.^[226]

Conjectura de Keating-Snaith

Keating e Snaith formularam uma conjectura sobre o crescimento assintótico dos momentos de potências $\textstyle I_{k}(T)=\int _{0}^{T}|\zeta ({\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} t)|^{2k}\mathrm {d} t$ da função zeta. Esta afirma que para todo $k>0$ é válido:

I_{k}(T)\sim M(k)A(k)T(\log(T))^{k^{2}},

com o fator aritmético

A(k):=\prod _{p\ \mathrm {primo} }\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{k^{2}}\left(\sum _{m=0}^{\infty }\left({\frac {(k+m-1)!}{m!(k-1)!}}\right)^{2}{\frac {1}{p^{m}}}\right),

e o fator de matriz

M(k):=\prod _{j=0}^{k-1}{\frac {j!}{(j+k)!}}.

Para compreender o caminho até a esta conjectura e a sua relação com a estatística, o seguinte argumento, muito heurístico, é útil. Partindo do princípio de que todos os números primos são "distribuídos de forma independente", segue-se do produto de Euler para o valor esperado (em relação à Medida de Lebesgue $\mathrm {d} t/T$ em $[{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}+\mathrm {i} t]$ )

{\frac {I_{k}(T)}{T}}=\operatorname {E} [|\zeta (s)|^{2k}]=\prod _{p\ \mathrm {primo} }\operatorname {E} \left[\left|{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right|^{2k}\right],

e a partir disso, obtêm-se finalmente os termos dados por Keating e Snaith, sendo o fator de matriz apenas um termo de correção dentro deste "modelo de independência".^[227]^[228]

Algoritmos para cálculo numérico rápido

Para um cálculo numérico rápido da função $\zeta (s)$ , muitas formas de representação clássicas são inúteis. Estas incluem, em particular, a série de Dirichlet, o produto de Euler, a representação como transformada de Mellin e o produto de Hadamard. Para um desempenho eficiente, uma expressão de soma aproximada finita com uma alta velocidade de convergência é a mais adequada. A fórmula de soma "truncada", obtida com a ajuda da Fórmula de Euler-Maclaurin, revela-se um método bom e historicamente utilizado desde cedo. Geralmente, fixa-se primeiro um número natural arbitrário $N$ , para o qual também deve valer $N>|s|$ . Tem-se então:^[229]

{\begin{aligned}\zeta (s)=&\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {1}{n^{s}}}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}+{\frac {1}{2}}N^{-s}+\sum _{r=1}^{p-1}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}s(s+1)\cdots (s+2r-2)N^{-s-2r+1}+R_{2p}(s).\end{aligned}}

Para o termo restante, vale^[230]^[231]

|R_{2p}(s)|\leq \left|{\frac {s(s+1)\cdots (s+2p-1)B_{2p}N^{-s-2p+1}}{(2p)!(\operatorname {Re} (s)+2p-1)}}\right|.

Na escolha (livre) de $p$ , deve-se também notar que o termo restante apenas converge no semiplano $\operatorname {Re} (s+2p)>1$ . Portanto, deve valer sempre $p>-\operatorname {Re} ({\tfrac {s}{2}})$ . Para valores crescentes de $N$ , o erro $R_{2p}$ diminui rapidamente, em conformidade com isso.^[229] Através da aplicação da equação funcional (um cálculo rápido da função gama e da função exponencial $\pi ^{s}$ é fácil de implementar), pode-se além disso assumir sem perda de generalidade que $\sigma >0$ . Aqui, a fórmula de soma é significativamente mais rápida. Uma desvantagem deste método, no entanto, é que perde eficiência para partes imaginárias crescentes.

Um método usando séries alternadas truncadas provém de Peter Borwein.^[232]

Muitos métodos, contudo, perdem precisão quando a parte imaginária do argumento é escolhida para ser muito grande, o que é problemático na busca por zeros ao longo da reta crítica. Portanto, recorre-se aqui a outros métodos, sendo um deles a Fórmula de Riemann-Siegel.^[233] No ano de 1988, A. M. Odlyzko e A. Schönhage desenvolveram um método muito rápido para determinar os valores da função zeta de Riemann na reta crítica. É conhecido como o algoritmo de Odlyzko-Schönhage. Este baseia-se nas ideias da fórmula de Riemann-Siegel, mas requer apenas $O(t^{\varepsilon })$ operações de cálculo em vez de $O({\sqrt {t}})$ , onde $\varepsilon >0$ pode ser escolhido de forma tão pequena quanto se queira. O refinamento das técnicas de cálculo baseia-se na Transformada rápida de Fourier.^[234]

Derivada

Nas últimas décadas, tem havido também uma investigação crescente sobre as propriedades da derivada $\zeta '(s)$ .

A função $\zeta '(s)$ possui um prolongamento holomorfo em todo $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ com um polo de segunda ordem em $1$ . Ela também satisfaz uma equação funcional, que resulta da derivação de ambos os lados da equação funcional comum da função zeta.

Embora a derivada não possua uma representação como um produto de Euler, existem também aqui relações com os números primos. Uma tal fórmula pode ser obtida através da Derivada logarítmica, ou seja, através da identidade

{\frac {\left(\prod _{k}f_{k}\right)'}{\prod _{k}f_{k}}}=\sum _{k}{\frac {f'_{k}}{f_{k}}}.

Substituindo aqui

f_{k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}}}

para o $k$ -ésimo número primo, obtém-se^[235]^[236]

\zeta '(s)=-\zeta (s)\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {\log p}{p^{s}-1}}.

Também para a derivada, os zeros são de interesse para a teoria dos números. Assim, a afirmação $\zeta '(s)\not =0$ na faixa $\{s\in \mathbb {C} \mid 0<\operatorname {Re} (s)<{\tfrac {1}{2}}\}$ é equivalente à Hipótese de Riemann.^[237] Os zeros reais na região negativa são dados assintoticamente por

s_{n}=-2n+1+2^{2-2n}{\frac {\log(2)}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{n\pi ^{2}}}\left(1-{\frac {4q}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {4p^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {2}{n\pi ^{2}}}\right)+O\left({\frac {1}{n^{3}}}\right).

Onde $n=2,3,4,\dots$ , $p=\log(n/\pi )$ e $q=\arctan(2p/\pi )$ .^[238]

Para todos os números inteiros negativos $-2n\in \{-2,-4,-6,-8,\dotsc \}$ obtém-se através da equação funcional^[239]^[240]

\zeta '(-2n)=(-1)^{n}{\frac {\zeta (2n+1)(2n)!}{2^{2n+1}\ \pi ^{2n}}}.

\zeta '(-2n+1)={\frac {1}{2n}}\left[(-1)^{n+1}{\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta '(2n)+\left(\sum _{j=1}^{2n-1}{\frac {1}{j}}-\log(2\pi )-\gamma \right)B_{2n}\right].

Outros valores são

\zeta '(0)=-{\frac {1}{2}}\log 2\pi ,\quad \zeta '(-1)={\frac {1}{12}}-\log A,

onde $A$ denota aqui a Constante de Glaisher-Kinkelin.^[241]

Ver também

Referências

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