Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas

Ver artigo principal: Número primo

No centro da Teoria dos números, o ramo da matemática que se dedica às propriedades dos números naturais 1, 2, 3, 4, ..., encontram-se os números primos 2, 3, 5, 7, 11, ... Estes distinguem-se pela propriedade de terem exatamente dois divisores, nomeadamente o 1 e eles próprios. O 1 não é um número primo. Os números primos constituem, de certa forma, os átomos dos números inteiros, uma vez que qualquer número inteiro positivo pode ser decomposto de forma multiplicativa única nestes números. Este resultado também é conhecido como o Teorema fundamental da aritmética. Por exemplo, aplica-se ${\displaystyle 21=3\cdot 7}$ e ${\displaystyle 110=2\cdot 5\cdot 11}$.

Apesar da sua definição simples, após vários milénios de história da matemática, até aos dias de hoje não é conhecido nenhum padrão a que os números primos se submetam na sua sequência. A sua natureza é uma das questões em aberto mais importantes da matemática. Na matemática moderna, contudo, existem conjecturas profundas que classificam o comportamento dos números primos como pseudoaleatório e vislumbram ligações à Física quântica. Todas estas proposições inserem-se no âmbito da Hipótese de Riemann.

Uma progressão aritmética é uma sequência de números inteiros na qual a diferença entre dois números consecutivos é constante. Alguns exemplos são

${\displaystyle 1,5,9,13,17,21,\dots }$

ou também

${\displaystyle 17,117,217,317,\dots }$

O teorema de Dirichlet afirma que uma progressão aritmética contém sempre infinitos números primos, a não ser que tal seja impossível por razões triviais. Na sua versão mais simples, o teorema enuncia:

Seja ${\displaystyle N}$ um número natural e ${\displaystyle a}$ um número natural coprimo com ${\displaystyle N}$. Então, a progressão aritmética ${\displaystyle a,a+N,a+2N,a+3N,\ldots }$ contém infinitos números primos.^[1]

Formulado de outra maneira: Existem infinitos números primos que são congruentes com ${\displaystyle a}$ módulo ${\displaystyle N}$. Nisto, a condição de serem coprimos (primos entre si) é necessária. Se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle N}$ não fossem coprimos e ${\displaystyle g>1}$ fosse um divisor comum, então cada termo da sequência seria divisível por ${\displaystyle g}$; no entanto, dois números primos distintos não podem ser ambos divisíveis por ${\displaystyle g}$. O facto de a condição de ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle N}$ serem coprimos não ser apenas necessária para a existência de infinitos números primos na respetiva sequência, mas também ser suficiente, constitui exatamente o enunciado do teorema de Dirichlet. Dirichlet conseguiu demonstrar algo ainda mais profundo. Trata-se de uma generalização direta do teorema de Euler sobre números primos. Aplica-se com as condições acima:^[1]

${\displaystyle \sum _{p\ {\text{primo}} \atop p\equiv a{\pmod {N}}}{\frac {1}{p}}=\infty .}$

Esta afirmação é mais forte do que a versão acima. Isto porque, evidentemente, a divergência da série implica a infinidade de números primos na sequência aritmética afetada. Existem, contudo, sequências infinitas cuja soma dos inversos permanece limitada. Um exemplo são os quadrados perfeitos (ver Problema de Basileia), e adicionalmente as potências de dois, para as quais se verifica

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2<\infty .}$

Assim, a versão reforçada do teorema de Dirichlet estipula que os números primos, nas progressões aritméticas relevantes, estão distribuídos de forma "densa", por assim dizer, entre os números naturais.

Do teorema de Dirichlet deduz-se, por exemplo, que infinitos números primos terminam nos algarismos 1, 3, 7 ou 9. Mais genericamente, existem infinitos números primos cujos últimos algarismos terminam em 37, 113, 419 ou 567241. Os primeiros números primos terminados em 419 são ${\displaystyle 419,5419,8419,9419,14419,17419}$. Verifica-se ainda

${\displaystyle {\frac {1}{419}}+{\frac {1}{5419}}+{\frac {1}{8419}}+{\frac {1}{9419}}+{\frac {1}{14419}}+{\frac {1}{17419}}+\cdots =\infty .}$

Razões triviais para a não aplicação do teorema verificam-se quando ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle N}$ não são coprimos. Nesse caso, existe um número inteiro ${\displaystyle d>1}$ que divide tanto ${\displaystyle a}$ como ${\displaystyle N}$. Consequentemente, ${\displaystyle d}$ divide todos os números ${\displaystyle a+kN}$ com ${\displaystyle k}$ natural e, portanto, esta sequência contém no máximo (uma vez) o número primo ${\displaystyle d}$, caso ${\displaystyle d}$ seja sequer primo. Por exemplo, ${\displaystyle a=8}$ e ${\displaystyle N=12}$ não são coprimos. De facto, todos os números da progressão

${\displaystyle 8,20,32,44,\dots }$

são divisíveis por ${\displaystyle 4=\operatorname {mdc} (8,12)}$. Assim, ela não contém um único número primo.

De forma trivial, o teorema de Dirichlet implica o Teorema de Euclides, que afirma existirem infinitos números primos. Se definirmos, por exemplo, ${\displaystyle a=N=1}$, o teorema estabelece que a progressão

${\displaystyle 1,2,3,4,5,\dots }$

contém infinitos números primos.

As descobertas de Leonhard Euler sobre os números primos foram um marco para a transição que se avizinhava de uma teoria dos números elementar, inserida na tradição dos antigos gregos, para uma forma moderna. No ano de 1737, durante o seu primeiro período em São Petersburgo, Euler investigou uma abordagem inovadora aos números primos e descobriu que eles estão espalhados "de forma relativamente densa" entre os números naturais. Mais precisamente, ele provou

${\displaystyle (\mathrm {P} )\quad \sum _{p\,{\text{primo}}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty .}$

Se, portanto, se somarem consecutivamente os inversos dos números primos, qualquer limite superior, por maior que seja, acabará por ser ultrapassado. Isto demonstra que os números primos estão espalhados de forma tendencialmente "densa" entre os números naturais; por exemplo, mais "densos" do que os quadrados perfeitos,^[2] visto que Euler também demonstrou

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}645<\infty .}$

Os quadrados perfeitos crescem, portanto, a longo prazo, suficientemente rápido para que a soma dos seus inversos não ultrapasse o valor finito de 1,645. Euler não dispunha, na sua época, da linguagem matemática necessária para interpretar de forma precisa este refinamento do teorema euclidiano, e não há provas de que ele se tenha debruçado sobre proposições exatas referentes à distribuição de números primos.^[3]

A estratégia de demonstração de Euler para ${\displaystyle (\mathrm {P} )}$ utiliza o chamado Produto de Euler. Nisto, a decomposição única de números naturais em fatores primos desempenha um papel fundamental. O Produto de Euler está relacionado com um objeto que é utilizado na investigação dos números primos até aos dias de hoje e que é conhecido na matemática moderna como a Função zeta de Riemann. A função zeta desempenha igualmente um papel central na Hipótese de Riemann. O feito inovador consistiu em abordar questões sobre números primos de forma sistemática através de relações funcionais entre números. É por essa razão que Euler é considerado o iniciador da Teoria analítica dos números.^[4]

Euler também já tinha refletido sobre números primos em progressões aritméticas. Assim, em 1785, ele alegou que, para cada número ${\displaystyle N}$, existem infinitos números primos com ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {N}}}$.^[5]

O problema foi formulado na sua totalidade pela primeira vez por Adrien-Marie Legendre em 1798. Isto esteve associado à primeira tentativa de demonstração, que também foi empreendida por Legendre. Na segunda edição do seu livro Essai sur la théorie des nombres (publicado em 1808), ele apresentou uma demonstração incorreta datada de 1798. Na terceira edição de 1830, ele repetiu o mesmo erro. O equívoco de Legendre escondia-se por detrás das palavras "Como se pode ver facilmente, ...", as quais surgiam no final da 409.ª secção da terceira edição. Nela, ele delineou o esboço da demonstração de um lema central para a sua prova, que ele formulou na secção 410:

Sejam ${\displaystyle q_{1},\dots ,q_{r}}$ números primos ímpares distintos aos pares, e designe-se ${\displaystyle q}$ como o ${\displaystyle r}$-ésimo número primo, então existe sempre dentro de ${\displaystyle q}$ termos sucessivos na progressão aritmética ${\displaystyle kx+l}$ com ${\displaystyle \mathrm {mdc} (k,l)=1}$ um número que não é divisível por nenhum dos valores ${\displaystyle q_{j}}$.

A insuficiência da demonstração de Legendre foi destacada por Dirichlet de forma célere:

Esta demonstração, cujo princípio é muito genial, parece ser incompleta; quando a olhamos com muita atenção, vemos que o autor utiliza um teorema que ele apoia apenas na indução e que, possivelmente, é tão difícil de provar como a proposição que o autor deduz dele. De qualquer forma, os meus esforços para completar o estudo de Legendre não foram bem-sucedidos e tive de encontrar meios completamente diferentes.

— Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ^[6]

O lema de Legendre, que segundo A. Desboves (1855) teria até tido como consequência a Conjectura de Legendre até hoje não demonstrada, acabou por revelar-se falso. O erro foi inicialmente apontado por A. Dupré num documento submetido à Academia de Paris.^[7] Dupré mostrou que o lema falha logo para ${\displaystyle k=1}$ e com a escolha de ${\displaystyle q_{j}}$ como os primeiros ${\displaystyle r}$ números primos com ${\displaystyle q_{r}=23,37}$ ou ${\displaystyle 43\leq q_{r}\leq 113}$. O facto de o lema falhar nesta constelação até mesmo para todos os ${\displaystyle q_{r}\geq 43}$ foi provado em 1930 por A. Brauer e H. Zeitz.^[7]

Embora Euler não tenha resolvido o problema sobre a infinidade de números primos em progressões aritméticas adequadas, ele forneceu um trabalho preparatório importante com a demonstração da divergência da série

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots =\infty }$

sobre todos os números primos. A primeira demonstração completa da conjectura de Legendre foi fornecida por Peter Dirichlet em 1837, que a apresentou no dia 27 de julho do mesmo ano, durante uma conferência na Academia de Ciências da Prússia, em Berlim. Ele deu uma prova completa para o caso com intervalos entre números primos e também já tinha desenvolvido o caso geral até a um ponto crucial. Para este último, Dirichlet apresentou uma demonstração detalhada em 1839. A demonstração de Dirichlet revelou que, se ${\displaystyle l_{1},l_{2}}$ forem números inteiros coprimos com ${\displaystyle N}$, então a relação

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{+}}{\frac {\sum \limits _{p\ {\text{primo}} \atop p\equiv l_{1}{\pmod {N}}}{\frac {1}{p^{x}}}}{\sum \limits _{p\ {\text{primo}} \atop p\equiv l_{2}{\pmod {N}}}{\frac {1}{p^{x}}}}}=1}$

tem de ser obrigatoriamente válida. Isto também demonstrou que os números primos, num certo sentido, encontram-se uniformemente distribuídos debaixo das classes de resíduos não triviais. Isto é clarificado com a afirmação, também ela provada por Dirichlet,^[8] de

${\displaystyle \sum _{{p\ {\text{primo}} \atop p\leq x} \atop p\equiv a{\pmod {N}}}{\frac {1}{p}}\sim {\frac {\log(\log(x))}{\varphi (N)}}}$,

onde ${\displaystyle \varphi }$ denota a função phi de Euler. No entanto, os métodos de Dirichlet não se adequavam para provar efetivamente a distribuição uniforme assintótica. Portanto, ele não conseguiu demonstrar

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x;N,l_{1})}{\pi (x;N,l_{2})}}=1}$,

onde ${\displaystyle \pi (x;N,l)}$ designa o número de primos ${\displaystyle p\leq x}$, de tal forma que se aplique ${\displaystyle p\equiv l{\pmod {N}}}$. Uma prova elaborada para este efeito por Legendre do ano de 1830 estava incorreta, e a primeira prova correta para a distribuição uniforme foi fornecida independentemente por Jacques Hadamard e Charles-Jean de La Vallée Poussin em 1896.^[9]

Ver artigo principal: Teorema de Euclides

Com a escolha ${\displaystyle a=N=1}$, obtém-se a progressão ${\displaystyle 1,2,3,4,\dots }$. Neste caso, o teorema de Dirichlet converte-se no teorema de Euclides, conhecido desde a Antiguidade, que abrange de forma clara a infinidade dos números primos. Para a prova desta afirmação, pode-se considerar para um ${\displaystyle M}$ natural arbitrário o número ${\displaystyle m=M!+1}$, em que ${\displaystyle M!=1\cdot 2\cdots M}$ denota o fatorial de ${\displaystyle M}$. Neste caso, ${\displaystyle m}$ não é divisível por nenhum dos números ${\displaystyle 2,3,4,\dots ,M}$. Portanto, existe um número primo ${\displaystyle p>M}$. Uma vez que ${\displaystyle M}$ pode ser escolhido para ser arbitrariamente grande, a afirmação segue-se.^[10]

Para uma prova rápida de que existem infinitos números primos da forma ${\displaystyle 4n+3}$, considera-se, sob a suposição de que ${\displaystyle p}$ é o maior número primo desta forma, o produto

${\displaystyle M=2^{2}\cdot 3\cdot 5\cdots p-1.}$

Aproveita-se o facto de a afirmação se seguir se existirem infinitos números primos da forma ${\displaystyle 4n-1}$ (mudança de variável ${\displaystyle n\mapsto n-1}$). O produto ${\displaystyle 3\cdot 5\cdots p}$ contém, nisto, todos os números primos ímpares ${\displaystyle \leq p}$. Uma vez que ${\displaystyle M}$ é da forma ${\displaystyle 4n-1}$, por suposição não pode ser um número primo devido a ${\displaystyle M>p}$. Por outro lado, todos os fatores primos de ${\displaystyle M}$ excedem o número ${\displaystyle p}$, pelo que têm de ser da forma ${\displaystyle 4n+1}$. Visto que o produto de dois, e portanto de qualquer quantidade arbitrária de números com resto 1 (módulo 4) tem novamente resto 1 devido a

${\displaystyle (4k+1)(4l+1)=16kl+4k+4l+1=4(4kl+k+l)+1}$,

${\displaystyle M}$ também teria de ter resto 1 módulo 4. No entanto, ${\displaystyle M}$ é da forma ${\displaystyle 4n-1}$, e isto gera uma contradição.^[11]

Para ver que existem infinitos números primos da forma ${\displaystyle 4n+1}$, considera-se para um número natural ${\displaystyle M>1}$ o valor ${\displaystyle m=(M!)^{2}+1}$, em que ${\displaystyle M!=1\cdot 2\cdots M}$ denota o fatorial de ${\displaystyle M}$. Então ${\displaystyle m}$ é manifestamente um número ímpar e superior a 1. Seja ${\displaystyle p}$ o menor fator primo de ${\displaystyle m}$. Por construção, nenhum dos números ${\displaystyle 2,\dots ,M}$ divide o valor ${\displaystyle m}$, pelo que ${\displaystyle p>M}$ tem de ser aplicável. É também manifesto que se aplica

${\displaystyle (M!)^{2}\equiv -1{\pmod {p}}.}$

Elevando ambos os lados à potência ${\displaystyle {\tfrac {p-1}{2}}}$ (${\displaystyle p}$ é ímpar), conclui-se

${\displaystyle (M!)^{p-1}\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}.}$

Pelo pequeno teorema de Fermat, tem-se ${\displaystyle (M!)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$, logo segue-se

${\displaystyle 1\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}.}$

Dado que ${\displaystyle p>2}$, vê-se assim rapidamente que ${\displaystyle {\tfrac {p-1}{2}}}$ tem de ser par, logo ${\displaystyle p}$ tem de ser da forma ${\displaystyle 4n+1}$. Como ${\displaystyle p>M}$ e ${\displaystyle M}$ foi escolhido para ser arbitrariamente grande, a afirmação segue-se.^[11]

Também para o caso da classe de resíduos 1 existem argumentos elementares. Em primeiro lugar, demonstra-se para isso que existem infinitos números ${\displaystyle n}$ tais que existe um número primo com ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {n}}}$.^[12] Uma demonstração desta afirmação por E. Wendt do ano de 1895 utiliza para tal os polinómios ${\displaystyle g_{n}(X)}$, que são definidos como o mínimo múltiplo comum dos polinómios ${\displaystyle X^{d}-1}$ com ${\displaystyle d|n}$ e ${\displaystyle 1\leq d<n}$. Wendt provou como passo intermédio que existem infinitos números inteiros ${\displaystyle x}$ de tal modo que os valores ${\displaystyle g_{n}(x)}$ e ${\displaystyle {\tfrac {x^{n}-1}{g_{n}(x)}}}$ são coprimos (primos entre si), o que pode ser demonstrado através de meios elementares.

Demonstração do Lema

Como ${\displaystyle x^{n}-1}$ não possui raízes múltiplas, o máximo divisor comum dos polinómios ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ é igual a 1. Logo, existem polinómios ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ com coeficientes racionais, que satisfazem ${\displaystyle A(x)f(x)+B(x)g(x)=1}$. Após multiplicar de forma transversal pelo denominador comum, obtém-se ${\displaystyle a(x)f(x)+b(x)g(x)=c}$ em que ${\displaystyle a,b}$ são polinómios com coeficientes inteiros e ${\displaystyle c}$ é um número inteiro diferente de 0. Se se tiver também ${\displaystyle \mathrm {mdc} (f(x),g(x))=d>1}$ para um ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$, então obtém-se ${\displaystyle d|c}$. Isto comprova o lema, pois para cada múltiplo inteiro ${\displaystyle mc}$ de ${\displaystyle c}$ tem-se ${\displaystyle f(mc)|(mc)^{n}-1}$, portanto ${\displaystyle f(mc)}$ é coprimo a ${\displaystyle c}$, e consequentemente segue-se ${\displaystyle \mathrm {mdc} (f(mc),g(mc))=1}$.

Após uma escolha de ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$ com ${\displaystyle \mathrm {mdc} (f(x),g(x))=1}$ e ${\displaystyle f(x)\notin \{0,\pm 1\}}$, seja ${\displaystyle q}$ um número primo que divida ${\displaystyle f(x)}$. Portanto, aplica-se ${\displaystyle x^{n}\equiv 1{\pmod {q}}}$. Uma vez que ${\displaystyle q}$ não divide ${\displaystyle g(x)}$, segue-se que para todo o divisor próprio ${\displaystyle d}$ de ${\displaystyle n}$, tem-se que ${\displaystyle q}$ não divide ${\displaystyle (x^{d}-1)}$. Isto mostra que a ordem de ${\displaystyle x{\pmod {q}}}$ é exatamente ${\displaystyle n}$.^[13]

A questão de saber se o teorema de Dirichlet pode ser provado para cada classe de resíduos através de um argumento do "tipo euclidiano", ou seja, pela multiplicação de números com um argumento final por contradição, foi respondida de forma negativa. Issai Schur conseguiu demonstrar em 1912 que isto é viável nos casos de progressões ${\displaystyle a,a+N,a+2N,\dots }$ com ${\displaystyle a^{2}\equiv 1{\pmod {N}}}$.^[14] Em todos estes casos, um polinómio com coeficientes inteiros pode ser gerado de tal modo que uma contradição à finitude dos números primos envolvidos possa ser produzida através de uma estratégia euclidiana utilizando a lei da reciprocidade quadrática. Por exemplo, no caso da progressão ${\displaystyle 15k+4}$, um polinómio com este teor tem o formato^[15]

${\displaystyle f(x)=x^{4}-x^{3}+2x^{2}+x+1.}$

O fato de não ser igualmente possível em nenhum outro caso para além dos mencionados por Schur, foi comprovado por M. Ram Murty no ano de 1988.^[16]

O teorema de Dirichlet é demonstrado com meios analíticos. Por conseguinte, a compreensão da demonstração exige o domínio do conceito de função. O domínio seguro das regras de potenciação, conhecidas do ensino básico, é também indispensável.

Função totiente de Euler

Ver artigo principal: Função totiente de Euler

A função totiente (ou função phi) de Euler associa a um número natural ${\displaystyle N}$ a quantidade ${\displaystyle \varphi (N)}$ de números ${\displaystyle 1\leq k\leq N}$ que são coprimos com ${\displaystyle N}$. Isto é de importância, pois corresponde exatamente à quantidade de classes de restos ${\displaystyle a}$ que, em conjunto com ${\displaystyle N}$, fornecem uma progressão aritmética tal que ${\displaystyle a+kN}$ com ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ contém infinitos números primos. Estas classes de restos também são chamadas primas.

As quatro classes de restos módulo ${\displaystyle 4}$ são representadas por ${\displaystyle \{0,1,2,3\}}$. Apenas duas delas, nomeadamente ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 3}$, são primas, sendo os respetivos representantes coprimos com ${\displaystyle 4}$; portanto, verifica-se ${\displaystyle \varphi (4)=2}$.

Séries

Ver artigo principal: Série (matemática)

Por série entende-se, de forma ilustrativa, uma soma de números que nunca termina. Estes podem ser números reais, mas também complexos. A representação decimal de um número real pode ser interpretada como uma série, por exemplo

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0{,}333333\ldots =0{,}3+0{,}03+0{,}003+0{,}0003+0{,}00003+0{,}000003+\cdots }$

ou também

${\displaystyle \pi =3{,}14159\ldots =3+0{,}1+0{,}04+0{,}001+0{,}0005+0{,}00009+\cdots }$

com a constante circular ${\displaystyle \pi }$. As somas indicadas pelos pontos nunca terminam, uma vez que a expansão decimal de ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ é periódica e a constante circular é irracional. Existem séries cujo valor não é representável como um número,

${\displaystyle 1+2+3+4+\cdots }$

mas também existem as que convergem para um limite (como os exemplos anteriores com limites ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ e ${\displaystyle \pi }$, respetivamente). Séries como ${\displaystyle 1+2+3+\cdots }$, que não convergem, chamam-se divergentes. De forma ilustrativa, uma série ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}:=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots }$ apenas pode convergir se os termos ${\displaystyle a_{n}}$ "tenderem para 0 de forma suficientemente rápida". Porém, nem toda a série cujos termos tendem para 0 converge, como se pode ver na série harmónica

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\infty }$.

Uma forma muito particular de convergência é a convergência absoluta, em que se exige que a soma dos valores absolutos dos termos da série convirja. Neste caso, os termos da série também podem ser reordenados à vontade, sem alterar o valor do limite.

Séries de Dirichlet

Ver artigo principal: Série de Dirichlet

É também possível definir funções através de séries. Um exemplo central para o teorema de Dirichlet é a chamada Função zeta de Riemann:

${\displaystyle x\mapsto \zeta (x):=1+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+{\frac {1}{4^{x}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}.}$

Para ${\displaystyle x>1}$, esta série converge sempre para um número que representa o valor da função no ponto ${\displaystyle x}$. Deste modo, pode-se definir a função zeta no intervalo ${\displaystyle (1,\infty )}$. No entanto, devido à divergência da série harmónica, verifica-se

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{+}}\zeta (x)=\infty .}$

De forma mais geral, pode associar-se a uma sequência de números ${\displaystyle f(1),f(2),f(3),\dots }$ uma série de Dirichlet, através de

${\displaystyle D_{f}(x):=f(1)+{\frac {f(2)}{2^{x}}}+{\frac {f(3)}{3^{x}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{x}}}.}$

Se ${\displaystyle f}$ não crescer demasiado depressa, existe um número ${\displaystyle x_{0}}$ tal que a série converge para todos os valores em ${\displaystyle (x_{0},\infty )}$. No caso em que ${\displaystyle f}$ é até mesmo limitada, pode-se sempre escolher ${\displaystyle (1,\infty )}$, uma vez que, devido a ${\displaystyle |f(n)|\leq B}$ e à convergência da série ${\displaystyle B+{\tfrac {B}{2^{x}}}+{\tfrac {B}{3^{x}}}+\cdots =B\zeta (x)}$ para ${\displaystyle x>1}$, a convergência da série sobre ${\displaystyle f}$ segue-se por maioria de razão, veja também Teste da comparação. Este princípio desempenha um papel importante na demonstração do teorema de Dirichlet.

Produtos de Euler

Ver artigo principal: Produto de Euler

O pilar entre a Análise e a Teoria dos números reside no Produto de Euler. Trata-se de uma identidade entre um produto infinito e uma série e é válida quando se cumprem determinados pressupostos.

Se os coeficientes de uma série de Dirichlet tiverem uma relação multiplicativa entre si, ou seja, se for válido ${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}$ para todos os ${\displaystyle m,n}$ sem divisores comuns e, adicionalmente, ${\displaystyle f(1)=1}$, então encontra-se na região de convergência absoluta da série de Dirichlet:

${\displaystyle \prod _{p\ {\text{primo}}}\left(\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {f(p^{m})}{p^{mx}}}\right)=\left(1+{\frac {f(2)}{2^{x}}}+{\frac {f(2^{2})}{4^{x}}}+{\frac {f(2^{3})}{8^{x}}}+\cdots \right)\cdot \left(1+{\frac {f(3)}{3^{x}}}+{\frac {f(3^{2})}{9^{x}}}+{\frac {f(3^{3})}{27^{x}}}+\cdots \right)}$ ${\displaystyle \cdot \left(1+{\frac {f(5)}{5^{x}}}+\cdots \right)\cdot \left(1+{\frac {f(7)}{7^{x}}}+\cdots \right)\cdots }$

${\displaystyle =1+{\frac {f(2)}{2^{x}}}+{\frac {f(3)}{3^{x}}}+{\frac {f(4)}{4^{x}}}+{\frac {f(5)}{5^{x}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{x}}}.}$

A fórmula pode ser explicada através do princípio de que todo o número pode ser escrito de forma única como produto de potências de números primos e através da multiplicação distributiva habitual de parênteses. Por exemplo, para o fator ${\displaystyle {\tfrac {f(1092)}{1092^{x}}}}$ no lado direito, resulta devido a ${\displaystyle 1092=2^{2}\cdot 3\cdot 7\cdot 13}$:

${\displaystyle {\frac {f(1092)}{1092^{x}}}={\frac {f(2^{2}\cdot 3\cdot 7\cdot 13)}{(2^{2}\cdot 3\cdot 7\cdot 13)^{x}}}={\frac {f(2^{2})}{2^{2x}}}\cdot {\frac {f(3)}{3^{x}}}\cdot {\frac {f(7)}{7^{x}}}\cdot {\frac {f(13)}{13^{x}}}.}$

Nisto, foi explorada a multiplicatividade exigida a ${\displaystyle f}$ – são, pela sua natureza, potências de diferentes números primos sem divisores comuns (não triviais). O termo à esquerda pode agora ser obtido através da seleção correspondente de parcelas nos parênteses durante a multiplicação.

Obtém-se uma versão ainda mais forte do produto de Euler se os coeficientes forem até completamente multiplicativos, ou seja, se ${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}$ for cumprido para todos os números naturais ${\displaystyle n,m}$ sem exceção, e novamente se aplicar ${\displaystyle f(1)=1}$. Então, aplica-se em particular ${\displaystyle f(p^{m})=f(p)^{m}}$ para todos os números primos ${\displaystyle p}$, e obtém-se com a série geométrica:^[17]

${\displaystyle (\mathrm {E} )\quad D_{f}(x)=\prod _{p\ {\text{primo}}}\left(\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {f(p^{m})}{p^{mx}}}\right)=\prod _{p\ {\text{primo}}}\left(\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {f(p)^{m}}{p^{mx}}}\right)=\prod _{p\ {\text{primo}}}{\frac {1}{1-{\frac {f(p)}{p^{x}}}}}.}$

Logaritmos

Ver artigo principal: Logaritmo natural

Os logaritmos são de importância crucial para a demonstração. Com eles, torna-se possível reduzir o produto de Euler (com fatores de números primos) a uma soma com termos de números primos. Para tal, explora-se a relação peculiar aos logaritmos

${\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)}$

com ${\displaystyle a,b>0}$, que sob certas condições se estende também aos números complexos. Para ${\displaystyle f}$ completamente multiplicativa, juntamente com ${\displaystyle (\mathrm {E} )}$, obtém-se no domínio de convergência absoluta:

${\displaystyle (\mathrm {L} _{0})\quad \log(D_{f}(x))=\sum _{p\ {\text{primo}}}\log \left({\frac {1}{1-{\frac {f(p)}{p^{x}}}}}\right).}$

Considera-se sempre o logaritmo natural, ou seja, aquele de base ${\displaystyle e}$ (Número de Euler), porque este possui uma derivada particularmente simples, nomeadamente

${\displaystyle \log '(w)={\frac {1}{w}}.}$

Devido a ${\displaystyle \log(1)=0}$ e ${\displaystyle \log '(1)={\tfrac {1}{1}}=1}$, a reta que passa pela origem é, para pequenos valores de ${\displaystyle w}$, uma excelente aproximação para ${\displaystyle w\mapsto \log(1+w)}$, ver imagem. O erro neste caso é quadrático, aplicando-se portanto

${\displaystyle \log(1+w)=w+O(w^{2}),\qquad w\to 0}$

em termos da notação Grande-O de Landau. Esta aproximação, possibilitada apenas pelo cálculo diferencial, é de grande importância, pois ajuda a substituir os logaritmos que surgem por funções lineares significativamente mais simples, podendo o erro ser negligenciado. Em conjugação com ${\displaystyle \log({\tfrac {1}{w}})=-\log(w)}$, obtém-se com ${\displaystyle (\mathrm {E} )}$ e ${\displaystyle (\mathrm {L} _{0})}$ para ${\displaystyle x\to 1^{+}}$

${\displaystyle (\mathrm {L} )\quad \log(D_{f}(x))=\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {f(p)}{p^{x}}}+O(1).}$

Aqui, a abreviatura ${\displaystyle O(1)}$ representa uma função cujos valores para ${\displaystyle x\geq 1}$ são limitados quando ${\displaystyle x\to 1^{+}}$.

Detalhes sobre (L)

Devido à regra ${\displaystyle \log({\tfrac {1}{w}})=-\log(w)}$, aplica-se com ${\displaystyle (\mathrm {L} _{0})}$:

${\displaystyle \log(D_{f}(x))=-\sum _{p\ {\text{primo}}}\log \left(1-{\frac {f(p)}{p^{x}}}\right).}$

Com a aproximação linear ${\displaystyle \log(1+w)=w+O(w^{2})}$ para ${\displaystyle |w|<1}$ quando ${\displaystyle w\to 0}$, segue-se

${\displaystyle -\sum _{p\ {\text{primo}}}\log \left(1-{\frac {f(p)}{p^{x}}}\right)=\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {f(p)}{p^{x}}}+\sum _{p\ {\text{primo}}}O\left({\frac {f(p)^{2}}{p^{2x}}}\right).}$

Como ${\displaystyle f}$ é limitada, conclui-se que, como os números primos são apenas um subconjunto dos números naturais, devido a ${\displaystyle n^{2x}\geq n^{2}}$:

${\displaystyle \sum _{p\ {\text{primo}}}O\left({\frac {f(p)^{2}}{p^{2x}}}\right)=O\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2x}}}\right)=O\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\right)=O(1).}$

Portanto, o termo de erro no final é limitado independentemente de ${\displaystyle x\geq 1}$ e aplica-se para ${\displaystyle x\to 1^{+}}$:

${\displaystyle \sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {f(p)}{p^{x}}}+\sum _{p\ {\text{primo}}}O\left({\frac {f(p)^{2}}{p^{2x}}}\right)=\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {f(p)}{p^{x}}}+O(1).}$

Uma primeira aplicação deste princípio compreende uma prova de ${\displaystyle (\mathrm {P} )}$. Dado que a função ${\displaystyle f(n)=1}$ é manifestamente de forma completa multiplicativa, uma vez que o produto de uns é sempre um, tem-se com ${\displaystyle (\mathrm {L} )}$

${\displaystyle \log \left(1+{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}+\cdots \right)=\log(\zeta (x))=\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {1}{p^{x}}}+O(1).}$

Visto que a série harmónica diverge e que os logaritmos também crescem de forma ilimitada, aplica-se ${\displaystyle \lim _{x\to 1^{+}}\log(\zeta (x))=\infty }$. Consequentemente, a série dos números primos à direita também é ilimitada para ${\displaystyle x\to 1^{+}}$, dado que o termo limitado ${\displaystyle O(1)}$ não pode assegurar o crescimento estabelecido pela igualdade.^[18]

A explicação da estratégia de demonstração de Dirichlet é acompanhada de um caso prático. Será analisado o caso ${\displaystyle a=3}$ e ${\displaystyle N=4}$, isto é, demonstrar-se-á, a título de exemplo, que a progressão

${\displaystyle 3,7,11,15,19,23,27,31,35,\dots }$

contém infinitos números primos

${\displaystyle 3,7,11,19,23,31,\dots }$.

Será inclusivamente demonstrada uma afirmação mais forte: Dirichlet conseguiu provar que a soma sobre todos os inversos dos números primos ${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$ diverge, ou seja, ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{19}}+{\tfrac {1}{23}}+\cdots =\infty .}$ Se definirmos no conjunto dos números inteiros uma função ${\displaystyle f_{4,3}}$ que assume o valor ${\displaystyle 1}$ apenas nos números "adequados" ${\displaystyle \dots ,-1,3,7,11,15,19,23,\dots }$ e que, de resto, assume o valor ${\displaystyle 0}$, então pode-se escrever a série em investigação também como uma série sobre todos os números primos:

${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}+\cdots =\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {f_{4,3}(p)}{p}}.}$

A estratégia prevê a utilização da divergência da série de números primos de Euler ${\displaystyle (\mathrm {P} )}$ para forçar a divergência da série de números primos supra mencionada. Para tal, introduz-se a variável ${\displaystyle x\geq 1}$ e demonstra-se

${\displaystyle (*)\quad \lim _{x\to 1^{+}}\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {f_{4,3}(p)}{p^{x}}}=\infty .}$

A ideia-chave consiste em definir transformações apropriadas ${\displaystyle \chi _{0}}$ e ${\displaystyle \chi _{1}}$ sobre as classes de restos ${\displaystyle \{0,1,2,3\}}$. Estas são estendidas por uma periodicidade de 4 para aplicações sobre os inteiros e devem ter as seguintes propriedades:

1. Exclusão das classes de restos triviais: Ambas as funções assumem o valor ${\displaystyle 0}$ para ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 2}$.
2. Possibilidade de considerar apenas números primos na classe de restos correspondente: É possível gerar qualquer função de período 4 em ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 3}$, abarcando, portanto, os números ${\displaystyle \dots ,-3,-1,1,3,5,\dots }$, através de uma combinação linear adequada de ${\displaystyle \chi _{0}}$ e ${\displaystyle \chi _{1}}$.
3. Multiplicatividade ou propriedade do Produto de Euler: É válido que ${\displaystyle \chi _{j}(mn)=\chi _{j}(m)\chi _{j}(n)}$ para todos os ${\displaystyle m,n}$ e ${\displaystyle j=0,1}$, o que significa que as funções geradoras ${\displaystyle \chi _{0}}$ e ${\displaystyle \chi _{1}}$ são completamente multiplicativas.

Através das condições descritas acima, é de facto possível encontrar exatamente duas destas funções:^[19]

${\displaystyle n}$	…	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	…
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	…	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	…
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	…	1	0	−1	0	1	0	−1	0	1	0	−1	0	1	0	−1	0	…

Visto que os vetores ${\displaystyle {\binom {1}{1}}}$ e ${\displaystyle {\binom {1}{-1}}}$ são linearmente independentes, a propriedade 2 é aplicável, podendo combinar-se a partir destas duas funções qualquer função de período 4 nos números inteiros que se anule nos números pares. A aplicação de interesse é ${\displaystyle f_{4,3}(4k+3)=1}$ para todos os ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, e de outra forma ${\displaystyle f_{4,3}(n)=0}$, visto que no exemplo estamos a focar-nos unicamente nos números primos na progressão ${\displaystyle (4k+3)_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$. Observa-se que ${\displaystyle f_{4,3}(n)={\tfrac {\chi _{0}(n)-\chi _{1}(n)}{2}}}$. Assim, tem-se

${\displaystyle {\frac {1}{3^{x}}}+{\frac {1}{7^{x}}}+{\frac {1}{11^{x}}}+{\frac {1}{19^{x}}}+{\frac {1}{23^{x}}}+\cdots =\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {f_{4,3}(p)}{p^{x}}}={\frac {1}{2}}\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {\chi _{0}(p)}{p^{x}}}-{\frac {1}{2}}\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {\chi _{1}(p)}{p^{x}}}.}$

Claramente, segundo Euler ${\displaystyle (\mathrm {P} )}$, verifica-se

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{+}}{\frac {1}{2}}\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {\chi _{0}(p)}{p^{x}}}=\infty ,}$

dado que há sempre ${\displaystyle \chi _{0}(p)=1}$ para todos os ${\displaystyle p>2}$, e a única parcela em falta para ${\displaystyle p=2}$ nada altera, naturalmente, na divergência. Se se conseguir também demonstrar que a função

${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{2}}\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {\chi _{1}(p)}{p^{x}}}}$

é limitada para ${\displaystyle x\to 1^{+}}$, deduz-se no cômputo geral ${\displaystyle (*)}$. A função ${\displaystyle \chi _{1}}$ é completamente multiplicativa, logo, através de ${\displaystyle (\mathrm {L} )}$, segue-se para ${\displaystyle x\to 1^{+}}$:

${\displaystyle \log \left(1-{\frac {1}{3^{x}}}+{\frac {1}{5^{x}}}-{\frac {1}{7^{x}}}+\cdots \right)=\sum _{p\ {\text{primo}}}{\frac {\chi _{1}(p)}{p^{x}}}+O(1).}$

No entanto, temos igualmente

${\displaystyle \lim _{x\to 1^{+}}\log \left(1-{\frac {1}{3^{x}}}+{\frac {1}{5^{x}}}-{\frac {1}{7^{x}}}+\cdots \right)=\log \left(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots \right)<\infty ,}$

uma vez que a série alternada ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}-{\tfrac {1}{7}}+\cdots }$ converge para um número positivo de acordo com o Critério de Leibniz.^[20] Deste modo, ${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{2}}\sum \limits _{p\ {\text{primo}}}{\tfrac {\chi _{1}(p)}{p^{x}}}}$ tem de ser limitada para ${\displaystyle x\to 1^{+}}$.^[21][22]