Logaritmo integral

 Nota: "Li(x)" redireciona para este artigo. Para o polilogaritmo denotado por Li_s(z), veja Polilogaritmo.

Em matemática, a função integral logarítmica ou logaritmo integral li(x) é uma função especial. Ela é relevante em problemas de física e tem significado em teoria dos números. Em particular, de acordo com o teorema dos números primos, ela é uma excelente aproximação para a função que conta os primos, definida como o número de números primos menores ou iguais a um dado valor x.

A integral logarítmica tem uma representação integral definida para todos os números reais positivos x ≠ 1 pela integral definida

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}$

Aqui, ln denota o logaritmo natural. A função 1/(ln t) tem uma singularidade em t = 1, e a integral para x > 1 é interpretada como um valor principal de Cauchy,

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).}$

Entretanto, a integral logarítmica também pode ser tomada como uma função complexa meromorfa no domínio complexo. Nesse caso, ela é multivalorada, com pontos de ramificação em 0 e 1, e os valores entre 0 e 1 definidos pela integral acima não são compatíveis com os valores além de 1. A função complexa é mostrada na figura acima. Os valores no eixo real além de 1 são os mesmos definidos acima, mas os valores entre 0 e 1 são deslocados por iπ, de modo que o valor absoluto em 0 é π em vez de zero. A função complexa também é definida (mas multivalorada) para números com parte real negativa, mas, no eixo real negativo, os valores não são reais.

A integral logarítmica deslocada ou integral logarítmica euleriana é definida por

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

Assim, a representação integral tem a vantagem de evitar a singularidade no domínio de integração.

Equivalentemente,

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {Li} (x)+\operatorname {li} (2).}$

A função li(x) tem um único zero positivo; ele ocorre em x ≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS: A070769; esse número é conhecido como a constante de Ramanujan–Soldner.

${\displaystyle \operatorname {li} ({\text{Li}}^{-1}(0))={\text{li}}(2)}$ ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS: A069284

Isto é ${\displaystyle -(\Gamma (0,-\ln 2)+i\,\pi )}$, onde ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$ é a função gama incompleta. Deve ser entendido como o valor principal de Cauchy da função.

A função li(x) está relacionada à integral exponencial Ei(x) pela equação

${\displaystyle \operatorname {li} (x)={\hbox{Ei}}(\ln x),}$

válida para x > 0. Essa identidade fornece uma representação em série de li(x) como

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ para }}u\neq 0\,,}$

onde γ ≈ 0.57721 56649 01532 ... OEIS: A001620 é a constante de Euler–Mascheroni. Para a função complexa, a fórmula é

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ para }}u\neq 0\,,}$

(sem tomar o valor absoluto de u). Uma série de convergência mais rápida, de Ramanujan,^[1] é

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln |\ln x|+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}\right).}$

Mais uma vez, para a função complexa meromorfa, o termo ${\displaystyle \ln |\ln u|}$ deve ser substituído por ${\displaystyle \ln \ln u.}$

O comportamento assintótico, tanto para ${\displaystyle x\to \infty }$ quanto para ${\displaystyle x\to 0^{+}}$, é

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=O\left({\frac {x}{\ln x}}\right).}$

onde ${\displaystyle O}$ é a notação O grande. A expansão assintótica completa é

${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$

ou

${\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .}$

Isso fornece o seguinte comportamento assintótico mais preciso:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)-{\frac {x}{\ln x}}=O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right).}$

Como expansão assintótica, essa série não converge: ela é uma aproximação razoável apenas se a série for truncada em um número finito de termos, e apenas para valores grandes de x. Essa expansão decorre diretamente da expansão assintótica da integral exponencial.

Isso implica, por exemplo, que podemos delimitar li por:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}}$

para todo ${\displaystyle \ln x\geq 11}$.

A integral logarítmica é importante em teoria dos números, aparecendo em estimativas do número de números primos menores do que um dado valor. Por exemplo, o teorema dos números primos afirma que:

${\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {li} (x)}$

onde ${\displaystyle \pi (x)}$ denota o número de primos menores ou iguais a ${\displaystyle x}$.

Assumindo a hipótese de Riemann, obtém-se o resultado ainda mais forte:^[2]

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O({\sqrt {x}}\log x)}$

De fato, a hipótese de Riemann é equivalente à afirmação de que:

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O(x^{1/2+a})}$ para qualquer ${\displaystyle a>0}$.

Para valores pequenos de ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle \operatorname {li} (x)>\pi (x)}$, mas a diferença muda de sinal um número infinito de vezes à medida que ${\displaystyle x}$ cresce, e a primeira vez que isso acontece está em algum lugar entre 10¹⁹ e 1,4×10³¹⁶.

• Jørgen Pedersen Gram
• Número de Skewes
• Lista de integrais de funções logarítmicas

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), «Chapter 5», Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, ISBN 978-0486612720, New York: Dover, MR0167642 .
• Temme, N. M. (2010). «Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals». In: Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. NIST Handbook of Mathematical Functions. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248