Teoria analítica dos números

Grande parte da teoria analítica dos números foi inspirada pelo teorema dos números primos. Seja π(x) a função que conta os primos, que fornece o número de primos menores ou iguais a x, para qualquer número real x. Por exemplo, π(10) = 4 porque existem quatro números primos (2, 3, 5 e 7) menores ou iguais a 10. O teorema dos números primos então afirma que x / ln(x) é uma boa aproximação de π(x), no sentido de que o limite do quociente das duas funções π(x) e x / ln(x) quando x tende ao infinito é 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}$

conhecida como a lei assintótica da distribuição dos números primos.

Adrien-Marie Legendre conjecturou em 1797 ou 1798 que π(a) é aproximada pela função a/(A ln(a) + B), onde A e B são constantes não especificadas. Na segunda edição de seu livro sobre teoria dos números (1808), ele formulou então uma conjectura mais precisa, com A = 1 e B ≈ −1,08366. Carl Friedrich Gauss considerou a mesma questão: “Im Jahr 1792 oder 1793” (“no ano de 1792 ou 1793”), segundo sua própria recordação quase sessenta anos depois, em uma carta a Encke (1849), ele escreveu em sua tábua de logaritmos (tendo então 15 ou 16 anos) a breve nota “Primzahlen unter ${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$” (“números primos menores que ${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$”). Mas Gauss jamais publicou essa conjectura. Em 1838, Peter Gustav Lejeune Dirichlet chegou à sua própria função aproximadora, a integral logarítmica li(x) (sob a forma ligeiramente diferente de uma série, que ele comunicou a Gauss). Tanto as fórmulas de Legendre quanto a de Dirichlet implicam a mesma equivalência assintótica conjecturada entre π(x) e x / ln(x) enunciada acima, embora tenha se revelado que a aproximação de Dirichlet é consideravelmente melhor se se considerarem as diferenças em vez dos quocientes.

Ver artigo principal: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

A Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet é atribuída a criação da teoria analítica dos números,^[6] campo no qual encontrou vários resultados profundos e, ao demonstrá-los, introduziu algumas ferramentas fundamentais, muitas das quais mais tarde receberam seu nome. Em 1837, ele publicou o teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas, usando conceitos de análise matemática para atacar um problema algébrico e, assim, criando o ramo da teoria analítica dos números. Ao provar o teorema, introduziu os caracteres de Dirichlet e as funções L.^[6][7] Em 1841, generalizou seu teorema sobre progressões aritméticas dos inteiros para o anel dos inteiros gaussianos ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$.^[8]

Ver artigo principal: Pafnuty Chebyshev

Em dois artigos de 1848 e 1850, o matemático russo Pafnuty Lvovich Chebyshev tentou provar a lei assintótica da distribuição dos números primos. Seu trabalho é notável pelo uso da função zeta ζ(s) (para valores reais do argumento “s”, como nos trabalhos de Leonhard Euler, já em 1737), anterior à célebre memória de Riemann de 1859, e ele conseguiu provar uma forma um pouco mais fraca da lei assintótica, a saber, que, se o limite de π(x)/(x/ln(x)) quando x tende ao infinito existir, então ele é necessariamente igual a um.^[9] Ele conseguiu provar incondicionalmente que essa razão é limitada superior e inferiormente por duas constantes explicitamente dadas, próximas de 1, para todo x.^[10] Embora o artigo de Chebyshev não tenha provado o teorema dos números primos, suas estimativas para π(x) foram suficientemente fortes para que ele provasse o postulado de Bertrand, segundo o qual existe um número primo entre n e 2n para qualquer inteiro n ≥ 2.

Ver artigo principal: Bernhard Riemann

Bernhard Riemann fez algumas contribuições célebres para a teoria analítica dos números moderna. Em um único artigo curto (o único que publicou sobre teoria dos números), ele investigou a função zeta de Riemann e estabeleceu sua importância para compreender a distribuição dos números primos. Formulou uma série de conjecturas sobre propriedades da função zeta, uma das quais é a conhecida hipótese de Riemann.

Ver artigos principais: Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin

Estendendo as ideias de Riemann, duas demonstrações do teorema dos números primos foram obtidas independentemente por Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin, e apareceram no mesmo ano (1896). Ambas as demonstrações usaram métodos de análise complexa, estabelecendo como etapa principal da prova que a função zeta de Riemann ζ(s) é não nula para todos os valores complexos da variável s da forma s = 1 + it com t > 0.^[12]

A maior mudança técnica depois de 1950 foi o desenvolvimento dos métodos de crivo,^[13] especialmente em problemas multiplicativos. Eles são de natureza combinatória, e bastante variados. O ramo extremal da teoria combinatória, por sua vez, foi muito influenciado pelo valor dado na teoria analítica dos números a limites superiores e inferiores quantitativos. Outro desenvolvimento recente é a teoria probabilística dos números,^[14] que usa métodos da teoria das probabilidades para estimar a distribuição de funções aritméticas, como quantos divisores primos um número possui.

Especificamente, os avanços de Yitang Zhang, James Maynard, Terence Tao e Ben Green usaram todos o método de Goldston–Pintz–Yıldırım, que eles originalmente usaram para provar que^{[15][16][17][18][19][20]}

$${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\geq o(\log p_{n}).}$$

Os desenvolvimentos dentro da teoria analítica dos números são frequentemente refinamentos de técnicas anteriores, que reduzem os termos de erro e ampliam sua aplicabilidade. Por exemplo, o método do círculo de Hardy e Littlewood foi concebido como aplicável a séries de potências próximas da circunferência unitária no plano complexo; hoje ele é pensado em termos de somas exponenciais finitas (isto é, sobre a circunferência unitária, mas com a série de potências truncada). As necessidades da aproximação diofantina são por funções auxiliares que não são funções geradoras — seus coeficientes são construídos por meio de um princípio das gavetas — e envolvem várias variáveis complexas. Os campos da aproximação diofantina e da teoria da transcendência expandiram-se a ponto de as técnicas terem sido aplicadas à conjectura de Mordell.

Euclides mostrou que existem infinitos números primos. Uma questão importante é determinar a distribuição assintótica dos números primos; isto é, uma descrição aproximada de quantos primos são menores que um dado número. Gauss, entre outros, após calcular uma grande lista de primos, conjecturou que o número de primos menores ou iguais a um grande número N é próximo do valor da integral

$${\displaystyle \int _{2}^{N}{\frac {1}{\log t}}\,dt.}$$

Em 1859, Bernhard Riemann usou análise complexa e uma função meromorfa especial, hoje conhecida como função zeta de Riemann, para derivar uma expressão analítica para o número de primos menores ou iguais a um número real x. Notavelmente, o termo principal na fórmula de Riemann era exatamente a integral acima, dando peso substancial à conjectura de Gauss. Riemann descobriu que os termos de erro nessa expressão, e portanto a maneira como os primos são distribuídos, estão intimamente relacionados aos zeros complexos da função zeta. Usando as ideias de Riemann e obtendo mais informações sobre os zeros da função zeta, Jacques Hadamard e Charles Jean de la Vallée-Poussin conseguiram completar a demonstração da conjectura de Gauss. Em particular, provaram que, se

$${\displaystyle \pi (x)=({\text{número de primos }}\leq x),}$$

então

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$$

Esse resultado notável é o que hoje se conhece como o teorema dos números primos. É um resultado central da teoria analítica dos números. Em termos informais, ele afirma que, dado um grande número N, o número de primos menores ou iguais a N é aproximadamente N/log(N).

De forma mais geral, a mesma questão pode ser feita sobre o número de primos em qualquer progressão aritmética a + nq, para qualquer inteiro n. Em uma das primeiras aplicações de técnicas analíticas à teoria dos números, Dirichlet provou que qualquer progressão aritmética com a e q coprimos contém infinitos primos. O teorema dos números primos pode ser generalizado para esse problema; definindo

$${\displaystyle \pi (x,a,q)=({\text{número de primos }}\leq x{\text{ na progressão aritmética }}a+nq,\ n\in \mathbf {Z} ),}$$

então, se a e q são coprimos,

$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1,}$$

onde ${\displaystyle \phi }$ é a função totiente.^[21]

Há também muitas conjecturas profundas e amplas na teoria dos números cujas demonstrações parecem difíceis demais para as técnicas atuais, como a conjectura dos primos gêmeos, que pergunta se existem infinitos primos p tais que p + 2 também é primo. Sob a hipótese da conjectura de Elliott–Halberstam, foi recentemente provado que existem infinitos primos p tais que p + k é primo para algum inteiro par positivo k no máximo 12. Também foi provado incondicionalmente (isto é, sem depender de conjecturas não demonstradas) que existem infinitos primos p tais que p + k é primo para algum inteiro par positivo k no máximo 246.

Ver artigo principal: Teoria aditiva dos números

Um dos problemas mais importantes da teoria aditiva dos números é o problema de Waring, que pergunta se é possível, para qualquer k ≥ 2, escrever qualquer inteiro positivo como soma de um número limitado de potências k-ésimas,

${\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.}$

O caso dos quadrados, k = 2, foi respondido por Lagrange em 1770, que provou que todo inteiro positivo é soma de no máximo quatro quadrados. O caso geral foi provado por Hilbert em 1909, usando técnicas algébricas que não forneciam limites explícitos. Um avanço importante foi a aplicação de ferramentas analíticas ao problema por Hardy e Littlewood. Essas técnicas são conhecidas como método do círculo e fornecem limites superiores explícitos para a função G(k), o menor número de potências k-ésimas necessárias, como a cota de Vinogradov

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11).}$

Problemas diofantinos dizem respeito a soluções inteiras de equações polinomiais: pode-se estudar a distribuição das soluções, isto é, contar soluções segundo alguma medida de “tamanho” ou altura.

Um exemplo importante é o problema do círculo de Gauss, que pergunta pelos pontos inteiros (x, y) que satisfazem

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

Em termos geométricos, dado um círculo centrado na origem do plano com raio r, o problema pergunta quantos pontos da rede inteira estão sobre ou dentro do círculo. Não é difícil provar que a resposta é ${\displaystyle \pi r^{2}+E(r)}$, onde ${\displaystyle E(r)/r^{2}\to 0}$ quando ${\displaystyle r\to \infty }$. Mais uma vez, a parte difícil — e uma grande realização da teoria analítica dos números — é obter limites superiores específicos para o termo de erro E(r).

Gauss mostrou que ${\displaystyle E(r)=O(r)}$. Em geral, um termo de erro O(r) seria possível se o círculo unitário (ou, mais propriamente, o disco unitário fechado) fosse substituído pelas dilatações de qualquer região plana limitada com fronteira seccionalmente suave. Além disso, substituindo-se o círculo unitário pelo quadrado unitário, o termo de erro para o problema geral pode ser tão grande quanto uma função linear de r. Portanto, obter um limite de erro da forma ${\displaystyle O(r^{\delta })}$ para algum ${\displaystyle \delta <1}$ no caso do círculo é uma melhora significativa. O primeiro a consegui-lo foi Sierpiński, em 1906, mostrando que ${\displaystyle E(r)=O(r^{2/3})}$. Em 1915, Hardy e Landau mostraram, cada um, que não se tem ${\displaystyle E(r)=O(r^{1/2})}$. Desde então, o objetivo tem sido mostrar que, para cada ${\displaystyle \epsilon >0}$ fixado, existe um número real ${\displaystyle C(\epsilon )}$ tal que ${\displaystyle E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }}$.

Em 2000, Huxley mostrou^[22] que ${\displaystyle E(r)=O(r^{131/208})}$, que é o melhor resultado publicado.

Ver artigo principal: Série de Dirichlet

Uma das ferramentas mais úteis da teoria multiplicativa dos números são as séries de Dirichlet, que são funções de uma variável complexa definidas por uma série infinita da forma

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}$

Dependendo da escolha dos coeficientes ${\displaystyle a_{n}}$, essa série pode convergir em toda parte, em parte alguma ou em algum semiplano. Em muitos casos, mesmo quando a série não converge em toda parte, a função holomorfa que ela define pode ser continuada analiticamente a uma função meromorfa em todo o plano complexo. A utilidade de funções desse tipo em problemas multiplicativos pode ser vista na identidade formal

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}$

portanto, os coeficientes do produto de duas séries de Dirichlet são as convoluções multiplicativas dos coeficientes originais. Além disso, técnicas como a somação parcial e os teoremas tauberianos podem ser usadas para obter informação sobre os coeficientes a partir de informação analítica sobre a série de Dirichlet. Assim, um método comum para estimar uma função multiplicativa é expressá-la como uma série de Dirichlet (ou como um produto de séries de Dirichlet mais simples usando identidades de convolução), examinar essa série como função complexa e então converter essa informação analítica de volta em informação sobre a função original.

Ver artigo principal: Função zeta de Riemann

Euler mostrou que o teorema fundamental da aritmética implica (ao menos formalmente) o produto de Euler

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ para }}s>1}$

onde o produto é tomado sobre todos os números primos p.

A demonstração de Euler da infinitude dos números primos faz uso da divergência do termo do lado esquerdo para s = 1 (a chamada série harmônica), um resultado puramente analítico. Euler também foi o primeiro a usar argumentos analíticos com o objetivo de estudar propriedades dos inteiros, especificamente construindo séries geradoras de potências. Esse foi o começo da teoria analítica dos números.^[20]

Mais tarde, Riemann considerou essa função para valores complexos de s e mostrou que ela pode ser estendida a uma função meromorfa em todo o plano, com um polo simples em s = 1. Essa função é hoje conhecida como função zeta de Riemann e é denotada por ζ(s). Há uma vasta literatura sobre essa função, e ela é um caso especial das mais gerais funções L de Dirichlet.

Teóricos analíticos dos números frequentemente se interessam pelo erro de aproximações como o teorema dos números primos. Nesse caso, o erro é menor que x/log x. A fórmula de Riemann para π(x) mostra que o termo de erro nessa aproximação pode ser expresso em termos dos zeros da função zeta. Em seu artigo de 1859, Riemann conjecturou que todos os zeros “não triviais” de ζ estão sobre a reta ${\displaystyle \Re (s)=1/2}$, mas nunca forneceu uma demonstração dessa afirmação. Essa conjectura célebre e duradoura é conhecida como a hipótese de Riemann e tem muitas implicações profundas na teoria dos números; de fato, muitos teoremas importantes foram provados sob a suposição de que a hipótese é verdadeira. Por exemplo, sob a hipótese de Riemann, o termo de erro no teorema dos números primos é ${\displaystyle O(x^{1/2+\varepsilon })}$.

No início do século XX, G. H. Hardy e Littlewood provaram muitos resultados sobre a função zeta na tentativa de provar a hipótese de Riemann. De fato, em 1914, Hardy provou que existem infinitos zeros da função zeta na reta crítica

${\displaystyle \Re (z)=1/2.}$

Isso levou a vários teoremas descrevendo a densidade dos zeros na reta crítica.