Álgebra homológica

A álgebra homológica é o ramo da matemática que estuda a homologia em um cenário algébrico geral. É uma disciplina relativamente jovem, cujas origens remontam a investigações em topologia combinatória (uma precursora da topologia algébrica) e álgebra abstrata (teoria de módulos e sizígias) no final do século XIX, principalmente por Henri Poincaré e David Hilbert.^[1]^[2]^[3]

A álgebra homológica é o estudo de functores homológicos e das intrincadas estruturas algébricas que eles implicam; seu desenvolvimento esteve intimamente ligado ao surgimento da teoria das categorias. Um conceito central é o de complexos de cadeias, que podem ser estudados através de sua homologia e coomologia.

A álgebra homológica fornece os meios para extrair informações contidas nesses complexos e apresentá-las na forma de invariantes homológicos de anéis, módulos, espaços topológicos e outros objetos matemáticos "tangíveis". Uma sequência espectral é uma ferramenta poderosa para isso.

Ela tem desempenhado um papel enorme na topologia algébrica. Sua influência se expandiu gradualmente e atualmente inclui a álgebra comutativa, geometria algébrica, teoria algébrica dos números, teoria de representação, física matemática, álgebras de operadores, análise complexa e a teoria das equações diferenciais parciais. A teoria K é uma disciplina independente que se baseia em métodos da álgebra homológica, assim como a geometria não comutativa de Alain Connes.

História

A álgebra homológica começou a ser estudada em sua forma mais básica no final do século XIX como um ramo da topologia e, na década de 1940, tornou-se um assunto independente com o estudo de objetos como o functor ext e o functor tor, entre outros.^[4]

Complexos de cadeias e homologia

A noção de complexo de cadeias é central na álgebra homológica. Um complexo de cadeias abstrato é uma sequência $(C_{\bullet },d_{\bullet })$ de grupos abelianos e homomorfismos de grupos, com a propriedade de que a composição de quaisquer duas aplicações consecutivas é zero:^[5]^[6]^[7]^[8]

C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.

Os elementos de $C_{n}$ são chamados de $n$ -cadeias e os homomorfismos $d_{n}$ são chamados de aplicações de bordo ou diferenciais. Os grupos de cadeias $C_{n}$ podem ser dotados de estrutura extra; por exemplo, podem ser espaços vetoriais ou módulos sobre um anel fixo $R$ . As diferenciais devem preservar a estrutura extra, se ela existir; por exemplo, devem ser aplicações lineares ou homomorfismos de $R$ -módulos. Por conveniência notacional, restringe-se a atenção aos grupos abelianos (mais corretamente, à categoria Ab dos grupos abelianos); um célebre teorema de Barry Mitchell implica que os resultados se generalizarão para qualquer categoria abeliana. Todo complexo de cadeias define duas sequências adicionais de grupos abelianos, os ciclos $Z_{n}=\ker d_{n}$ e os bordos $B_{n}=\operatorname {Im} d_{n+1}$ , onde $\ker d$ e $\operatorname {Im} d$ denotam o núcleo e a imagem de $d$ . Como a composição de duas aplicações de bordo consecutivas é zero, esses grupos estão imersos um no outro como

B_{n}\subseteq Z_{n}\subseteq C_{n}.

Os subgrupos de grupos abelianos são automaticamente normais; portanto, podemos definir o enésimo grupo de homologia $H_{n}(C)$ como o grupo quociente dos $n$ -ciclos pelos $n$ -bordos,

H_{n}(C)=Z_{n}/B_{n}=\operatorname {Ker} \,d_{n}/\operatorname {Im} \,d_{n+1}.

Um complexo de cadeias é chamado de acíclico ou de uma sequência exata se todos os seus grupos de homologia forem zero.

Os complexos de cadeias surgem em abundância na álgebra e na topologia algébrica. Por exemplo, se $X$ é um espaço topológico, então as cadeias singulares $C_{n}(X)$ são combinações lineares formais de aplicações contínuas do $n$ -simplexo padrão em $X$ ; se $K$ é um complexo simplicial, então as cadeias simpliciais $C_{n}(K)$ são combinações lineares formais dos $n$ -simplexos de $K$ ; se $A=F/R$ é uma apresentação de um grupo abeliano $A$ por geradores e relações, onde $F$ é um grupo abeliano livre gerado pelos geradores e $R$ é o subgrupo das relações, então definir $C_{1}(A)=R$ , $C_{0}(A)=F$ , e $C_{n}(A)=0$ para todos os outros $n$ define uma sequência de grupos abelianos. Em todos esses casos, existem diferenciais naturais $d_{n}$ transformando $C_{n}$ num complexo de cadeias, cuja homologia reflete a estrutura do espaço topológico $X$ , do complexo simplicial $K$ , ou do grupo abeliano $A$ . No caso de espaços topológicos, chegamos à noção de homologia singular, que desempenha um papel fundamental na investigação das propriedades de tais espaços, por exemplo, de variedades.

Em um nível filosófico, a álgebra homológica nos ensina que certos complexos de cadeias associados a objetos algébricos ou geométricos (espaços topológicos, complexos simpliciais, $R$ -módulos) contêm muitas informações algébricas valiosas sobre eles, sendo a homologia apenas a parte mais prontamente disponível. Em um nível técnico, a álgebra homológica fornece as ferramentas para manipular complexos e extrair essas informações. Aqui estão duas ilustrações gerais:

Dois objetos $X$ e $Y$ são conectados por uma aplicação $f$ entre eles. A álgebra homológica estuda a relação, induzida pela aplicação $f$ , entre os complexos de cadeias associados a $X$ e $Y$ e sua homologia. Isso é generalizado para o caso de vários objetos e aplicações conectando-os. Expresso na linguagem da teoria das categorias, a álgebra homológica estuda as propriedades functoriais de várias construções de complexos de cadeias e da homologia desses complexos.
Um objeto $X$ admite múltiplas descrições (por exemplo, como um espaço topológico e como um complexo simplicial) ou o complexo $C_{\bullet }(X)$ é construído usando alguma 'apresentação' de $X$ , o que envolve escolhas não canônicas. É importante conhecer o efeito da mudança na descrição de $X$ sobre os complexos de cadeias associados a $X$ . Tipicamente, o complexo e sua homologia $H_{\bullet }(C)$ são functoriais em relação à apresentação; e a homologia (embora não o próprio complexo) é, na verdade, independente da apresentação escolhida, sendo assim um invariante de $X$ .

Aspectos fundamentais

As teorias de coomologia foram definidas para muitos objetos diferentes, como espaços topológicos, feixes, grupos, anéis, álgebras de Lie e C*-álgebras. O estudo da geometria algébrica moderna seria quase impensável sem a coomologia de feixes.

Central para a álgebra homológica é a noção de sequência exata; estas podem ser usadas para realizar cálculos reais. Uma ferramenta clássica da álgebra homológica é a de functor derivado; os exemplos mais básicos são os functores Ext e Tor.

Tendo em mente um conjunto diversificado de aplicações, foi natural tentar colocar todo o assunto em uma base uniforme. Houve várias tentativas antes que o assunto se estabilizasse. Uma história aproximada pode ser declarada da seguinte forma:

Cartan–Eilenberg: No seu livro de 1956, "Homological Algebra", esses autores usaram resoluções de módulos projetivos e injetivos.
'Tohoku': A abordagem em um célebre artigo de Alexander Grothendieck que apareceu na Segunda Série do Tohoku Mathematical Journal em 1957, usando o conceito de categoria abeliana (para incluir feixes de grupos abelianos).
A categoria derivada de Grothendieck e Verdier. As categorias derivadas remontam à tese de Verdier de 1967. Elas são exemplos de categorias trianguladas usadas em várias teorias modernas.

Estes avançam da computabilidade à generalidade.

O principal "peso-pesado" computacional por excelência é a sequência espectral; estas são essenciais nas abordagens de Cartan-Eilenberg e Tohoku, onde são necessárias, por exemplo, para calcular os functores derivados de uma composição de dois functores. As sequências espectrais são menos essenciais na abordagem de categoria derivada, mas ainda desempenham um papel sempre que cálculos concretos são necessários.

Houve tentativas de teorias 'não comutativas' que estendem a primeira coomologia como torsores (importantes na coomologia de Galois).

Ferramentas padrão

Sequências exatas

No contexto da teoria dos grupos, uma sequência

G_{0}\;{\xrightarrow {f_{1}}}\;G_{1}\;{\xrightarrow {f_{2}}}\;G_{2}\;{\xrightarrow {f_{3}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {f_{n}}}\;G_{n}

de grupos e homomorfismos de grupos é chamada de exata se a imagem de cada homomorfismo for igual ao núcleo do seguinte:

\mathrm {im} (f_{k})=\mathrm {ker} (f_{k+1}).\!

Note que a sequência de grupos e homomorfismos pode ser finita ou infinita.

Uma definição semelhante pode ser feita para certas outras estruturas algébricas. For exemplo, pode-se ter uma sequência exata de espaços vetoriais e aplicações lineares, ou de módulos e homomorfismos de módulos. De forma mais genérica, a noção de uma sequência exata faz sentido em qualquer categoria com núcleos e conúcleos.

Curtas

O tipo mais comum de sequência exata é a sequência exata curta. Esta é uma sequência exata da forma

A\;{\overset {f}{\hookrightarrow }}\;B\;{\overset {g}{\twoheadrightarrow }}\;C

onde $f$ é um monomorfismo e $g$ é um epimorfismo. Nesse caso, $A$ é um subobjeto de $B$ , e o quociente correspondente é isomorfo a $C$ :

C\cong B/f(A).

(onde $f(A)$ = im( $f$ )).

Uma sequência exata curta de grupos abelianos também pode ser escrita como uma sequência exata com cinco termos:

0\;{\xrightarrow {}}\;A\;{\xrightarrow {f}}\;B\;{\xrightarrow {g}}\;C\;{\xrightarrow {}}\;0

onde 0 representa o objeto nulo, como o grupo trivial ou um espaço vetorial de dimensão zero. A colocação dos zeros obriga $f$ a ser um monomorfismo e $g$ a ser um epimorfismo (veja abaixo).

Longas

Uma sequência exata longa é uma sequência exata indexada pelos números naturais.

Lema dos cinco

Considere o seguinte diagrama comutativo em qualquer categoria abeliana (tal como a categoria de grupos abelianos ou a categoria de espaços vetoriais sobre um determinado corpo) ou na categoria de grupos.

O lema dos cinco afirma que, se as linhas forem exatas, $m$ e $p$ forem isomorfismos, $l$ for um epimorfismo, e $q$ for um monomorfismo, então $n$ também é um isomorfismo.

Lema da serpente

Numa categoria abeliana (como a categoria de grupos abelianos ou a categoria de espaços vetoriais sobre um dado corpo), considere um diagrama comutativo:

onde as linhas são sequências exatas e 0 é o objeto zero. Então há uma sequência exata relacionando os núcleos e conúcleos de $a$ , $b$ , e $c$ :

\ker a\to \ker b\to \ker c{\overset {d}{\to }}\operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c

Além disso, se o morfismo $f$ for um monomorfismo, também o será o morfismo $\ker a\to \ker b$ , e se $g'$ for um epimorfismo, então também será $\operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c$ .

Categorias abelianas

Na matemática, uma categoria abeliana é uma categoria na qual morfismos e objetos podem ser adicionados e na qual núcleos e conúcleos existem e têm propriedades desejáveis. O exemplo prototípico motivador de uma categoria abeliana é a categoria dos grupos abelianos, Ab. A teoria originou-se de uma tentativa de unificar várias teorias de coomologia por Alexander Grothendieck. As categorias abelianas são categorias muito estáveis, por exemplo, elas são regulares e satisfazem o lema da serpente. A classe das categorias abelianas é fechada sob diversas construções categoriais, por exemplo, a categoria de complexos de cadeias de uma categoria abeliana, ou a categoria de functores de uma categoria pequena para uma categoria abeliana também são abelianas. Essas propriedades de estabilidade as tornam inevitáveis na álgebra homológica e além; a teoria tem grandes aplicações na geometria algébrica, coomologia e teoria das categorias pura. As categorias abelianas recebem este nome em homenagem a Niels Henrik Abel.^[9]^[10]^[11]

Mais concretamente, uma categoria é abeliana se:

ela tem um objeto nulo,
ela tem todos os produtos binários e coprodutos binários, e
ela tem todos os núcleos e conúcleos.
todos os monomorfismos e epimorfismos são normais.

Functores derivados

Suponha que seja dado um functor exato à esquerda covariante $F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ entre duas categorias abelianas ${\mathcal {A}}$ e ${\mathcal {B}}$ . Se $0\to A\to B\to C\to 0$ for uma sequência exata curta em ${\mathcal {A}}$ , então aplicar $F$ produz a sequência exata $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ e pode-se perguntar como continuar essa sequência para a direita para formar uma sequência exata longa. A rigor, essa questão é mal formulada, visto que sempre há inúmeras maneiras diferentes de continuar uma determinada sequência exata para a direita. Mas verifica-se que (se ${\mathcal {A}}$ for suficientemente "boa") há uma maneira canônica de fazê-lo, dada pelos functores derivados à direita de $F$ . Para todo $i\geq 1$ , existe um functor $R^{i}F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ , e a sequência acima continua assim: $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to R^{2}F(B)\to \dots$ . A partir disso, vemos que $F$ é um functor exato se e somente se $R^{1}F=0$ ; logo, de certa forma, os functores derivados à direita de $F$ medem o "quão longe" $F$ está de ser exato.

Functor Ext

Seja $R$ um anel e seja Mod_$R$ a categoria dos módulos sobre $R$ . Seja $B$ em Mod_$R$ e defina $T(B)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)$ , para um $A$ fixo em Mod_$R$. Este é um functor exato à esquerda e, portanto, tem functores derivados à direita $R^{n}T$ . O functor Ext é definido por

\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}T)(B).

Isso pode ser calculado pegando qualquer resolução injetiva

0\rightarrow B\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,

e calculando

0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\rightarrow \cdots .

Então $(R^{n}T)(B)$ é a coomologia deste complexo. Note que $\operatorname {Hom} _{R}(A,B)$ é excluído do complexo.

Uma definição alternativa é dada usando o functor $G(A)=\operatorname {Hom} _{R}(A,B)$ . Para um módulo $B$ fixo, este é um functor contravariante exato à esquerda, e assim também temos functores derivados à direita $R^{n}G$ , e podemos definir

\operatorname {Ext} _{R}^{n}(A,B)=(R^{n}G)(A).

Isso pode ser calculado escolhendo qualquer resolução projetiva

\dots \rightarrow P^{1}\rightarrow P^{0}\rightarrow A\rightarrow 0,

e procedendo dualmente ao calcular

0\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{0},B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{R}(P^{1},B)\rightarrow \cdots .

Então $(R^{n}G)(A)$ é a coomologia desse complexo. Novamente note que $\operatorname {Hom} _{R}(A,B)$ é excluído.

Descobre-se que essas duas construções produzem resultados isomorfos, de modo que ambas podem ser usadas para calcular o functor Ext.

Functor Tor

Suponha que $R$ seja um anel, e denotemos por $R$ -Mod a categoria dos módulos à esquerda sobre $R$ e por Mod- $R$ a categoria dos módulos à direita sobre $R$ (se $R$ for comutativo, as duas categorias coincidem). Fixe um módulo $B$ em $R$ -Mod. Para $A$ em Mod- $R$ , defina $T(A)=A\otimes _{R}B$ . Então $T$ é um functor exato à direita de Mod- $R$ para a categoria dos grupos abelianos Ab (no caso em que $R$ é comutativo, ele é um functor exato à direita de Mod- $R$ para Mod- $R$ ) e seus functores derivados à esquerda $L_{n}T$ estão definidos. Definimos

\mathrm {Tor} _{n}^{R}(A,B)=(L_{n}T)(A)

ou seja, pegamos uma resolução projetiva

\cdots \rightarrow P_{2}\rightarrow P_{1}\rightarrow P_{0}\rightarrow A\rightarrow 0

então removemos o termo $A$ e aplicamos o produto tensorial da resolução projetiva com $B$ para obter o complexo

\cdots \rightarrow P_{2}\otimes _{R}B\rightarrow P_{1}\otimes _{R}B\rightarrow P_{0}\otimes _{R}B\rightarrow 0

(note que $A\otimes _{R}B$ não aparece e a última seta é apenas a aplicação nula) e tomamos a homologia desse complexo.

Sequências espectrais

Fixe uma categoria abeliana, como uma categoria de módulos sobre um anel. Uma sequência espectral é uma escolha de um número inteiro não negativo $r_{0}$ e uma coleção de três sequências:

Para todos os inteiros $r\geq r_{0}$ , um objeto $E_{r}$ , chamado de folha (como numa folha de papel), ou às vezes uma página ou um termo,
Endomorfismos $d_{r}:E_{r}\to E_{r}$ satisfazendo $d_{r}\circ d_{r}=0$ , chamados de aplicações de bordo ou diferenciais,
Isomorfismos de $E_{r+1}$ com $H(E_{r})$ , a homologia de $E_{r}$ em relação a $d_{r}$ .

A folha E₂ de uma sequência espectral coomológica

Uma sequência espectral duplamente graduada tem uma quantidade tremenda de dados para serem acompanhados, mas existe uma técnica de visualização comum que torna a estrutura da sequência espectral mais clara. Temos três índices, $r$ , $p$ , e $q$ . Para cada $r$ , imagine que temos uma folha de papel quadriculado. Nesta folha, tomaremos $p$ como a direção horizontal e $q$ como a direção vertical. Em cada ponto do reticulado temos o objeto $E_{r}^{p,q}$ .

É muito comum que $n=p+q$ seja outro índice natural na sequência espectral. $n$ corre diagonalmente, do noroeste para o sudeste, através de cada folha. No caso homológico, as diferenciais têm bigrau $(-r,r-1)$ , então elas diminuem $n$ em um. No caso coomológico, $n$ é aumentado em um. Quando $r$ é zero, a diferencial move objetos um espaço para baixo ou para cima. Isso é semelhante à diferencial em um complexo de cadeias. Quando $r$ é um, a diferencial move objetos um espaço para a esquerda ou direita. Quando $r$ é dois, a diferencial move objetos assim como o movimento de um cavalo no xadrez. Para $r$ maiores, a diferencial atua como o movimento generalizado de um cavalo.

Functorialidade

Uma aplicação contínua de espaços topológicos dá origem a um homomorfismo entre os seus enésimos grupos de homologia para todos os $n$ . Esse fato básico da topologia algébrica encontra uma explicação natural através de certas propriedades dos complexos de cadeias. Como é muito comum estudar vários espaços topológicos simultaneamente, na álgebra homológica somos levados à consideração simultânea de múltiplos complexos de cadeias.

Um morfismo entre dois complexos de cadeias, $F:C_{\bullet }\to D_{\bullet },$ é uma família de homomorfismos de grupos abelianos $F_{n}:C_{n}\to D_{n}$ que comutam com as diferenciais, no sentido de que $F_{n-1}\circ d_{n}^{C}=d_{n}^{D}\circ F_{n}$ para todo $n$ . Um morfismo de complexos de cadeias induz um morfismo $H_{\bullet }(F)$ dos seus grupos de homologia, consistindo nos homomorfismos $H_{n}(F):H_{n}(C)\to H_{n}(D)$ para todo $n$ . Um morfismo $F$ é chamado de quase-isomorfismo se induzir um isomorfismo na enésima homologia para todo $n$ .

Muitas construções de complexos de cadeias que surgem na álgebra e geometria, incluindo a homologia singular, têm a seguinte propriedade de functorialidade: se dois objetos $X$ e $Y$ são conectados por uma aplicação $f$ , então os complexos de cadeias associados são conectados por um morfismo $F=C(f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Y),$ e além disso, a composição $g\circ f$ das aplicações $f:X\to Y$ e $g:Y\to Z$ induz o morfismo $C(g\circ f):C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(Z)$ que coincide com a composição $C(g)\circ C(f).$ Segue-se que os grupos de homologia $H_{\bullet }(C)$ também são functoriais, de modo que morfismos entre objetos algébricos ou topológicos dão origem a aplicações compatíveis entre as suas homologias.

A seguinte definição surge de uma situação típica em álgebra e topologia. Uma tripla consistindo de três complexos de cadeias $L_{\bullet },M_{\bullet },N_{\bullet }$ e dois morfismos entre eles, $f:L_{\bullet }\to M_{\bullet },g:M_{\bullet }\to N_{\bullet },$ é chamada de tripla exata, ou uma sequência exata curta de complexos, e escrita como

0\longrightarrow L_{\bullet }{\overset {f}{\longrightarrow }}M_{\bullet }{\overset {g}{\longrightarrow }}N_{\bullet }\longrightarrow 0,

se para qualquer $n$ , a sequência

0\longrightarrow L_{n}{\overset {f_{n}}{\longrightarrow }}M_{n}{\overset {g_{n}}{\longrightarrow }}N_{n}\longrightarrow 0

for uma sequência exata curta de grupos abelianos. Por definição, isso significa que $f_{n}$ é uma injeção, $g_{n}$ é uma sobrejeção, e $\operatorname {Im} f_{n}=\ker g_{n}$ . Um dos teoremas mais fundamentais da álgebra homológica, às vezes conhecido como o lema do zig-zag, afirma que, neste caso, existe uma sequência exata longa em homologia

\cdots \longrightarrow H_{n}(L){\overset {H_{n}(f)}{\longrightarrow }}H_{n}(M){\overset {H_{n}(g)}{\longrightarrow }}H_{n}(N){\overset {\delta _{n}}{\longrightarrow }}H_{n-1}(L){\overset {H_{n-1}(f)}{\longrightarrow }}H_{n-1}(M)\longrightarrow \cdots ,

onde os grupos de homologia de $L$ , $M$ e $N$ seguem uns aos outros ciclicamente, e $\delta _{n}$ são certos homomorfismos determinados por $f$ e $g$ , chamados de homomorfismos de conexão. Manifestações topológicas desse teorema incluem a sequência de Mayer-Vietoris e a sequência exata longa para a homologia relativa.

Ver também

Abstract nonsense, um termo para a álgebra homológica e a teoria das categorias
Derivador
Álgebra homotópica

Referências

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Bibliografia

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