Módulo (matemática)

Na matemática, um módulo é uma generalização da noção de espaço vetorial na qual o corpo de escalares é substituído por um anel (não necessariamente comutativo). O conceito de um módulo também generaliza a noção de um grupo abeliano, uma vez que os grupos abelianos são exatamente os módulos sobre o anel dos inteiros.^[1]

Assim como um espaço vetorial, um módulo é um grupo abeliano aditivo, e a multiplicação escalar é distributiva em relação às operações de adição entre elementos do anel ou módulo e é compatível com a multiplicação do anel.

Os módulos estão muito intimamente relacionados com a teoria de representação de grupos. Eles também são uma das noções centrais da álgebra comutativa e da álgebra homológica, e são amplamente utilizados na geometria algébrica e na topologia algébrica.

• Se ${\displaystyle K}$ for um corpo, então os ${\displaystyle K}$-módulos são chamados de ${\displaystyle K}$-espaços vetoriais (espaços vetoriais sobre ${\displaystyle K}$).
• Se ${\displaystyle K}$ for um corpo, e ${\displaystyle K[x]}$ um anel de polinômios univariado, então um ${\displaystyle K[x]}$-módulo ${\displaystyle M}$ é um ${\displaystyle K}$-módulo com uma ação adicional de ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle M}$ por um homomorfismo de grupos que comuta com a ação de ${\displaystyle K}$ em ${\displaystyle M}$. Em outras palavras, um ${\displaystyle K[x]}$-módulo é um ${\displaystyle K}$-espaço vetorial ${\displaystyle M}$ combinado com uma transformação linear de ${\displaystyle M}$ para ${\displaystyle M}$. A aplicação do teorema de estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais a este exemplo mostra a existência das formas canônica racional e de Jordan.
• O conceito de um ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo concorda com a noção de um grupo abeliano. Ou seja, todo grupo abeliano é um módulo sobre o anel dos inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ de uma maneira única. Para ${\displaystyle n>0}$, seja ${\displaystyle n\cdot x=x+x+\ldots +x}$ (${\displaystyle n}$ parcelas), ${\displaystyle 0\cdot x=0}$ e ${\displaystyle (-n)\cdot x=-(n\cdot x)}$. Tal módulo não precisa ter uma base — grupos contendo elementos de torção não têm. (Por exemplo, no grupo dos inteiros módulo 3, não se pode encontrar nem mesmo um elemento que satisfaça a definição de um conjunto linearmente independente, pois quando um inteiro como 3 ou 6 multiplica um elemento, o resultado é 0. No entanto, se um corpo finito for considerado como um módulo sobre o mesmo corpo finito tomado como um anel, ele será um espaço vetorial e possuirá uma base).
• As frações decimais (incluindo as negativas) formam um módulo sobre os inteiros. Apenas conjuntos unitários (singletons) são conjuntos linearmente independentes, mas não existe nenhum conjunto unitário que possa servir como base, de modo que o módulo não tem base e não tem posto, no sentido usual da álgebra linear. No entanto, este módulo tem um posto livre de torção igual a 1.
• Se ${\displaystyle R}$ for qualquer anel e ${\displaystyle n}$ um número natural, então o produto cartesiano ${\displaystyle R^{n}}$ é tanto um ${\displaystyle R}$-módulo à esquerda quanto à direita sobre ${\displaystyle R}$ se usarmos as operações componente a componente. Assim, quando ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle R}$ é um ${\displaystyle R}$-módulo, onde a multiplicação escalar é apenas a multiplicação do anel. O caso ${\displaystyle n=0}$ produz o ${\displaystyle R}$-módulo trivial ${\displaystyle \{0\}}$ consistindo apenas de seu elemento neutro. Módulos deste tipo são chamados de livres e se ${\displaystyle R}$ tiver número de base invariante (por exemplo, qualquer anel comutativo ou corpo) o número ${\displaystyle n}$ é então o posto do módulo livre.
• Se ${\displaystyle M_{n}(R)}$ é o anel de matrizes ${\displaystyle n\times n}$ sobre um anel ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle M}$ é um ${\displaystyle M_{n}(R)}$-módulo, e ${\displaystyle e_{i}}$ é a matriz ${\displaystyle n\times n}$ com 1 na entrada ${\displaystyle (i,i)}$ (e zeros nos demais lugares), então ${\displaystyle e_{i}M}$ é um ${\displaystyle R}$-módulo, uma vez que ${\displaystyle re_{i}m=e_{i}rm\in e_{i}M}$. Então ${\displaystyle M}$ se divide como a soma direta de ${\displaystyle R}$-módulos, ${\displaystyle M=e_{1}M\oplus \ldots \oplus e_{n}M}$. Reciprocamente, dado um ${\displaystyle R}$-módulo ${\displaystyle M_{0}}$, então ${\displaystyle M_{0}^{\oplus n}}$ é um ${\displaystyle M_{n}(R)}$-módulo. De fato, a categoria de ${\displaystyle R}$-módulos e a categoria de ${\displaystyle M_{n}(R)}$-módulos são equivalentes. O caso especial é aquele em que o módulo ${\displaystyle M}$ é apenas ${\displaystyle R}$ como um módulo sobre si mesmo; então ${\displaystyle R^{n}}$ é um ${\displaystyle M_{n}(R)}$-módulo.
• Se ${\displaystyle S}$ for um conjunto não vazio, ${\displaystyle M}$ for um ${\displaystyle R}$-módulo à esquerda e ${\displaystyle M^{S}}$ for a coleção de todas as funções ${\displaystyle f:S\to M}$, então com adição e multiplicação escalar em ${\displaystyle M^{S}}$ definidas ponto a ponto por ${\displaystyle (f+g)(s)=f(s)+g(s)}$ e ${\displaystyle (rf)(s)=rf(s)}$, ${\displaystyle M^{S}}$ é um ${\displaystyle R}$-módulo à esquerda. O caso do ${\displaystyle R}$-módulo à direita é análogo. Em particular, se ${\displaystyle R}$ for comutativo, então a coleção de ${\displaystyle R}$-homomorfismos de módulos ${\displaystyle h:M\to N}$ (veja abaixo) é um ${\displaystyle R}$-módulo (e de fato um submódulo de ${\displaystyle N^{M}}$).
• Se ${\displaystyle X}$ for uma variedade suave, então as funções suaves de ${\displaystyle X}$ nos números reais formam um anel ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$. O conjunto de todos os campos vetoriais suaves definidos em ${\displaystyle X}$ forma um módulo sobre ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$, assim como os campos tensoriais e as formas diferenciais em ${\displaystyle X}$. De forma mais geral, as seções de qualquer fibrado vetorial formam um módulo projetivo sobre ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$, e pelo teorema de Swan, todo módulo projetivo é isomorfo ao módulo de seções de algum fibrado vetorial; a categoria de ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$-módulos e a categoria de fibrados vetoriais sobre ${\displaystyle X}$ são equivalentes.
• Se ${\displaystyle R}$ for qualquer anel e ${\displaystyle I}$ for qualquer ideal à esquerda em ${\displaystyle R}$, então ${\displaystyle I}$ é um ${\displaystyle R}$-módulo à esquerda, e analogamente ideais à direita em ${\displaystyle R}$ são ${\displaystyle R}$-módulos à direita.
• Se ${\displaystyle R}$ for um anel, podemos definir o anel oposto ${\displaystyle R^{\text{op}}}$, que tem o mesmo conjunto subjacente e a mesma operação de adição, mas a multiplicação oposta: se ${\displaystyle ab=c}$ em ${\displaystyle R}$, então ${\displaystyle ba=c}$ em ${\displaystyle R^{\text{op}}}$. Qualquer ${\displaystyle R}$-módulo à esquerda ${\displaystyle M}$ pode então ser visto como um módulo à direita sobre ${\displaystyle R^{\text{op}}}$, e qualquer módulo à direita sobre ${\displaystyle R}$ pode ser considerado um módulo à esquerda sobre ${\displaystyle R^{\text{op}}}$.
• Módulos sobre uma álgebra de Lie são módulos (como álgebras associativas) sobre a sua álgebra envolvente universal.
• Se ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle S}$ são anéis com um homomorfismo de anéis ${\displaystyle \varphi :R\to S}$, então todo ${\displaystyle S}$-módulo ${\displaystyle M}$ é um ${\displaystyle R}$-módulo, definindo-se ${\displaystyle rm=\varphi (r)m}$. Em particular, o próprio ${\displaystyle S}$ é um tal ${\displaystyle R}$-módulo.

Suponha que ${\displaystyle M}$ seja um ${\displaystyle R}$-módulo à esquerda e ${\displaystyle N}$ seja um subgrupo de ${\displaystyle M}$. Então ${\displaystyle N}$ é um submódulo (ou mais explicitamente um ${\displaystyle R}$-submódulo) se para qualquer ${\displaystyle n}$ em ${\displaystyle N}$ e qualquer ${\displaystyle r}$ em ${\displaystyle R}$, o produto ${\displaystyle r\cdot n}$ (ou ${\displaystyle n\cdot r}$ para um ${\displaystyle R}$-módulo à direita) está em ${\displaystyle N}$.

Se ${\displaystyle X}$ é um subconjunto qualquer de um ${\displaystyle R}$-módulo ${\displaystyle M}$, então o submódulo gerado por ${\displaystyle X}$ é definido como ${\displaystyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$ onde ${\displaystyle N}$ percorre os submódulos de ${\displaystyle M}$ que contêm ${\displaystyle X}$, ou explicitamente ${\displaystyle {\bigl \{}\!\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mathrel {\big |} r_{i}\in R,\,x_{i}\in X{\bigr \}}}$, o que é importante na definição de produtos tensoriais de módulos.^[3]

O conjunto de submódulos de um dado módulo ${\displaystyle M}$, juntamente com as duas operações binárias ${\displaystyle +}$ (o módulo gerado pela união dos argumentos) e ${\displaystyle \cap }$, forma um reticulado que satisfaz a lei modular: Dados os submódulos ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle N_{1}}$, ${\displaystyle N_{2}}$ de ${\displaystyle M}$ tais que ${\displaystyle N_{1}\subseteq N_{2}}$, então os dois submódulos a seguir são iguais: ${\displaystyle (N_{1}+U)\cap N_{2}=N_{1}+(U\cap N_{2})}$.

Se ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ são ${\displaystyle R}$-módulos à esquerda, então uma aplicação ${\displaystyle f:M\to N}$ é um homomorfismo de ${\displaystyle R}$-módulos se para quaisquer ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$ em ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle s}$ em ${\displaystyle R}$,

${\displaystyle f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)}$.

Isto, como qualquer homomorfismo de objetos matemáticos, é apenas um mapeamento que preserva a estrutura dos objetos. Outro nome para um homomorfismo de ${\displaystyle R}$-módulos é uma ${\displaystyle R}$-aplicação linear.

Um homomorfismo de módulos bijetivo ${\displaystyle f:M\to N}$ é chamado de isomorfismo de módulos, e os dois módulos ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ são chamados de isomorfos. Dois módulos isomorfos são idênticos para todos os fins práticos, diferindo apenas na notação para seus elementos.

O núcleo de um homomorfismo de módulos ${\displaystyle f:M\to N}$ é o submódulo de ${\displaystyle M}$ constituído por todos os elementos que são enviados a zero por ${\displaystyle f}$, e a imagem de ${\displaystyle f}$ é o submódulo de ${\displaystyle N}$ constituído pelos valores ${\displaystyle f(m)}$ para todos os elementos ${\displaystyle m}$ de ${\displaystyle M}$.^[4] Os teoremas do isomorfismo familiares dos grupos e espaços vetoriais também são válidos para ${\displaystyle R}$-módulos.

Dado um anel ${\displaystyle R}$, o conjunto de todos os ${\displaystyle R}$-módulos à esquerda juntamente com os seus homomorfismos de módulos forma uma categoria abeliana, denotada por ${\displaystyle R}$-Mod (veja categoria de módulos).

Finitamente gerado

Um ${\displaystyle R}$-módulo ${\displaystyle M}$ é finitamente gerado se existirem finitamente muitos elementos ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ em ${\displaystyle M}$ tais que todo elemento de ${\displaystyle M}$ é uma combinação linear desses elementos com coeficientes do anel ${\displaystyle R}$.

Cíclico

Um módulo é chamado de módulo cíclico se for gerado por um elemento.

Livre

Um ${\displaystyle R}$-módulo livre é um módulo que tem uma base, ou equivalentemente, um que é isomorfo a uma soma direta de módulos de cópias do anel ${\displaystyle R}$. Estes são os módulos que se comportam de maneira muito semelhante aos espaços vetoriais.

Projetivo

Módulos projetivos são somandos diretos de módulos livres e compartilham muitas de suas propriedades desejáveis.

Injetivo

Módulos injetivos são definidos dualmente aos módulos projetivos.

Plano

Um módulo é chamado de plano (flat) se tomar o produto tensorial dele com qualquer sequência exata de ${\displaystyle R}$-módulos preserva a exatidão.

Sem torção (torsionless)

Um módulo é chamado de sem torção se ele mergulha no seu módulo dual.

Simples

Um módulo simples ${\displaystyle S}$ é um módulo que não é ${\displaystyle \{0\}}$ e cujos únicos submódulos são ${\displaystyle \{0\}}$ e ${\displaystyle S}$. Módulos simples são às vezes chamados de irredutíveis.^[5]

Semissimples

Um módulo semissimples é uma soma direta (finita ou não) de módulos simples. Historicamente, esses módulos também são chamados de completamente redutíveis.

Indecomponível

Um módulo indecomponível é um módulo não nulo que não pode ser escrito como uma soma direta de dois submódulos não nulos. Todo módulo simples é indecomponível, mas existem módulos indecomponíveis que não são simples (ex. módulos uniformes).

Fiel

Um módulo fiel ${\displaystyle M}$ é aquele onde a ação de cada ${\displaystyle r\neq 0}$ em ${\displaystyle R}$ sobre ${\displaystyle M}$ é não trivial (ou seja, ${\displaystyle r\cdot x\neq 0}$ para algum ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle M}$). Equivalentemente, o anulador de ${\displaystyle M}$ é o ideal nulo.

Livre de torção (torsion-free)

Um módulo livre de torção é um módulo sobre um anel tal que 0 é o único elemento anulado por um elemento regular (que não é um divisor de zero) do anel, equivalentemente ${\displaystyle rm=0}$ implica ${\displaystyle r=0}$ ou ${\displaystyle m=0}$.

Noetheriano

Um módulo noetheriano é um módulo que satisfaz a condição de cadeia ascendente sobre submódulos, ou seja, toda cadeia crescente de submódulos se torna estacionária após um número finito de passos. Equivalentemente, todo submódulo é finitamente gerado.

Artiniano

Um módulo artiniano é um módulo que satisfaz a condição de cadeia descendente sobre submódulos, ou seja, toda cadeia decrescente de submódulos se torna estacionária após um número finito de passos.

Graduado

Um módulo graduado é um módulo sobre um anel graduado ${\displaystyle R=\bigoplus _{x}R_{x}}$ juntamente com uma decomposição em soma direta ${\displaystyle M=\bigoplus _{x}M_{x}}$ tal que ${\displaystyle R_{x}M_{y}\subseteq M_{x+y}}$ para todo ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$.

Uniforme

Um módulo uniforme é um módulo no qual todos os pares de submódulos não nulos têm interseção não nula.

• G-módulo
• Anel de grupo
• Álgebra (teoria dos anéis)
• Módulo (teoria dos modelos)
• Anulador

• F.W. Anderson e K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3
• Nathan Jacobson. Structure of rings. Colloquium publications, Vol. 37, 2nd Ed., AMS Bookstore, 1964, ISBN 978-0-8218-1037-8

• «Module». Encyclopedia of Mathematics (em inglês) 
• Module no nLab