Equação diferencial linear

Equações diferenciais lineares são equações diferenciais da seguinte forma :

$${\displaystyle a_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a_{n-1}(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+...+a_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+a_{0}(x)y=g(x).}$$

(0.1)

As soluções de uma equação diferencial linear podem ser somadas a fim de produzir uma nova solução. Diz-se que uma equação diferencial é linear quando satisfaz duas características:

• Cada coeficiente ${\displaystyle a_{n}}$ e o termo de não-homogeneidade só dependem da variável independente, no caso x;
• A variável dependente, no caso y, e suas derivadas são de primeiro grau.

Um exemplo de equação diferencial não linear :

$${\displaystyle \left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)^{3}-2xy=1.}$$

Uma equação diferencial linear também pode ser escrita de forma condensada:

$${\displaystyle L_{n}[D]y(x)=g(x)}$$

Onde ${\displaystyle L_{n}[D]}$ é dito um operador linear diferencial, atuando sobre y(x) e tendo a forma de:

$${\displaystyle L_{n}[D]=a_{n}(x)D^{n}+a_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdot \cdot \cdot +a_{1}(x)D^{1}+a_{0}(x),\ sendo\ D^{j}={\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$$

Equações diferenciais são classificadas quanto à ordem n, sendo n a ordem mais alta de uma derivada com a qual o termo dependente (y(x)) está envolvido. Para resolver uma equação diferencial são precisos n valores iniciais, no caso de EDO’s, ou n condições de contorno, no caso de EDP’s.

As equações diferenciais lineares podem ser classificadas em:

• Homogêneas se g(x)=0 para todo x ou não-homogêneas, caso essa condição não seja satisfeita;
• Ordinárias (EDO’s) ou parciais (EDP’s);
• Coeficientes constantes se todos os ${\displaystyle a_{n}}$ forem funções constantes.

A equação diferencial linear (0.1) diz-se de ordem n, supondo ${\displaystyle a_{n}(x)\neq 0,}$ visto ser ${\displaystyle n}$ a ordem mais elevada das derivadas de y que figuram na equação.

Para ${\displaystyle n=1,}$ a equação (0.1) fica

${\displaystyle a_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+a_{0}(x)y=g(x).}$

(0.2)

Temos neste caso uma equação diferencial de Primeira Ordem.

Desenvolvimento

Dividindo ambos os membros por ${\displaystyle a_{1}(x),}$ obtém-se uma equação da forma

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x).}$

(0.3)

Na equação (0.3) supõe-se que ${\displaystyle P(x)}$ e ${\displaystyle Q(x)}$ são contínuas num certo intervalo ${\displaystyle I,}$ onde pretendemos encontrar a solução geral da equação.

Para resolver esta equação, usa-se o fator integrante ${\displaystyle e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}.}$ Multiplicando ambos os membros da equação por ${\displaystyle e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}}$ obtém-se a seguinte equação equivalente:

${\displaystyle e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}{\frac {dy}{dx}}+e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}P(x)y=e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x).}$

(0.4)

Deve-se notar que, como ${\displaystyle \int _{}^{}P(x)\ dx}$ gera uma expressão da forma ${\displaystyle P_{1}(x)+C,}$ pode-se escolher qualquer constante C para o factor integrante (escolhe-se o que gera a solução mais simples).

Vamos mostrar que a solução geral de (0.3) é dada por

${\displaystyle e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}y=\int _{}^{}e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x)\,dx+C.}$

(0.5)

Com efeito, (0.4) é equivalente a

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[ye^{\int _{}^{}P(x)\,dx}\right]=e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x).}$

(0.6)

(Verifique, derivando o primeiro membro de (0.6).) Integrando, obtém-se (0.5). Conclui-se assim que toda a solução ${\displaystyle y}$ de (0.3) satisfaz (0.6). Por outro lado é fácil ver que toda a função ${\displaystyle y}$ nas condições de (0.5), i.e., tal que

${\displaystyle y=e^{-\int _{}^{}P(x)\,dx}\int _{}^{}e^{\int _{}^{}P(x)\,dx}Q(x)\,dx+Ce^{-\int _{}^{}P(x)\,dx},}$

(0.7)

é solução da equação diferencial (0.3). (Derive ${\displaystyle y,}$ ou seja, o segundo membro de (0.7), e substitua ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle y'}$ em (0.3)).

Exemplo

Considere a equação diferencial

${\displaystyle y'+2y=e^{2x}.}$

(0.8)

Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Comparando com (0.3),

${\displaystyle P(x)=2}$ e ${\displaystyle Q(x)=e^{2x}.}$

${\displaystyle \int _{}^{}P(x)dx=\int _{}^{}2dx=2x+C.}$

A solução geral da equação é dada por

${\displaystyle e^{2x}y=\int _{}^{}e^{2x}e^{2x}\,dx+C,}$

donde se obtém

${\displaystyle e^{2x}y=\int _{}^{}e^{4x}\,dx+C,}$

i.e.,

${\displaystyle e^{2x}y={\frac {e^{4x}}{4}}+C.}$

A solução geral (explícita) da equação (0.8) é então

${\displaystyle y={\frac {e^{2x}}{4}}+Ce^{-2x}.}$

Diz-se que uma equação diferencial é homogênea de coeficientes constantes quando seu termo fonte, ou forçante, é igual a zero para todo o domínio e seus ${\displaystyle a_{n}}$ são funções constantes. Por exemplo:

$${\displaystyle y''(x)+2*y'(x)+5=0}$$$${\displaystyle 4*y'(x)+y(x)=0}$$

A Equação de Euler-Cauchy é um exemplo muito famoso de equação diferencial homogênea com coeficientes constantes.

É aquela equação diferencial com termo fonte igual a zero para todo o domínio e com os coeficientes sendo funções que assumem diferentes valores de acordo com o termo independente. Por exemplo:

$${\displaystyle 10xy''(x)+5xy'(x)+y(x)=0}$$$${\displaystyle y'(x)+xy(x)=0}$$

Exemplo:^[1]

$${\displaystyle ty''(t)+y'(t)+9ty(t)=0}$$

$${\displaystyle y(0)=5\ \ \ \ y'(0)=0}$$Aplica-se a Transformada de Laplace:

$${\displaystyle -{\frac {d}{ds}}(s^{2}Y(s)-5s)+sY(s)-5-9{\frac {d}{ds}}Y(s)=0}$$

$${\displaystyle -s^{2}Y'(s)-2sY(s)+sY(s)-9Y'(s)=0}$$

$${\displaystyle {\frac {Y'(s)}{Y(s)}}=-{\frac {s}{s^{2}+9}}}$$Sendo K uma constante de integração:$${\displaystyle ln(Y(s))=-{\frac {1}{2}}ln(s^{2}+9)+K}$$

$${\displaystyle Y(s)={\frac {K}{\sqrt {s^{2}+9}}}}$$Aplicando a Transformada Inversa e utilizando as condições iniciais:

$${\displaystyle y(t)=KJ_{0}(3t)}$$$${\displaystyle y(t)=5J_{0}(3t)}$$

Onde ${\textstyle J_{0}}$ é a Função de Bessel de ordem zero.

Equação diferencial com funções constantes nos termos ${\displaystyle a_{n}}$ e termo forçante diferente de zero em pelo menos um ponto do domínio. Há duas formas para se resolver esse tipo de equação, na primeira encontra-se uma solução particular através do método de variação de parâmetros ou de coeficientes a determinar e depois uma solução denominada geral, a qual corresponde à solução para a equação homogênea correspondente. A segunda forma é aplicar a Transformada de Laplace obtendo-se a solução diretamente.

Sistemas de equação diferenciais lineares surgem naturalmente em problemas físicos e de engenharia. Os de primeira ordem de dimensão n podem ser descritos da seguinte maneira^[2]:

$${\displaystyle x'_{1}=p_{11}(t)x_{1}+p_{12}(t)x_{2}+\cdot \cdot \cdot +p_{1n}(t)x_{n}+g_{1}(t)}$$

$${\displaystyle x'_{2}=p_{21}(t)x_{1}+p_{22}(t)x_{2}+\cdot \cdot \cdot +p_{2n}(t)x_{n}+g_{2}(t)}$$

$${\displaystyle \cdot \ \cdot \ \cdot }$$$${\displaystyle x'_{n}=p_{n1}(t)x_{1}+p_{n2}(t)x_{2}+\cdot \cdot \cdot +p_{nn}(t)x_{n}+g_{n}(t)}$$

• Equação diferencial
• Equação de Bernoulli
• Transformada de Laplace

• Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças (PDF). Porto: [s.n.] 120 páginas