Fator integrante

Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais, fator integrante é uma função usada para facilitar uma integração e resolver a equação ou encontrar alguma lei de conservação.

Considere uma equação diferencial ordinária linear da seguinte forma:

${\displaystyle y'+a(x)y=b(x)\,}$

onde ${\displaystyle y=y(x)}$ é a incógnita e depende da variável ${\displaystyle x}$, e ${\displaystyle a(x)}$ e ${\displaystyle b(x)}$ são funções dadas.

Ao multiplicarmos ambos os lados da equação diferencial por ${\displaystyle \mu (x)}$, obtém-se:

${\displaystyle \mu (x)y'+\mu (x)a(x)y=\mu (x)b(x)\,}$

Supomos que ${\displaystyle \mu (x)}$ possa ser escrita na seguinte forma:

${\displaystyle (\mu (x)y)'=\mu (x)b(x)\,}$

Usando o teorema fundamental do cálculo, temos:

${\displaystyle y(x)\mu (x)=\int b(x)\mu (x)\,dx+C\,}$

onde ${\displaystyle C}$ é constante. Resolvendo para ${\displaystyle y(x),}$, temos:

${\displaystyle y(x)={\frac {\int b(x)\mu (x)\,dx+C}{\mu (x)}}\,}$

Para encontrar a função ${\displaystyle \mu (x)}$, basta observar que, pela regra do produto:

${\displaystyle (\mu (x)y)'=\mu '(x)y+\mu (x)y'=\mu (x)b(x)\,}$

Substituindo esta última expressão na equação diferencial original e simplificando, temos:

${\displaystyle \mu '(x)=a(x)\mu (x).\quad \quad \quad (4)\,}$

O que implica:

${\displaystyle \mu (x)=e^{\int a(x)\,dx},}$ que é chamado de fator integrante ou fator de integração, pois é um fator de uma multiplicação obtido através de uma integração.

Considere a seguinte equação diferencial:

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}$

Multiplicando a equação pelo fator integrante ${\displaystyle M(x)=x^{-2}\,}$, temos:

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

ou, reagrupando os termos:

${\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}$

o que é equivalente a:

${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C}$

ou, resolvendo para y:

${\displaystyle y=Cx^{2}\,}$

Ver artigo principal: Equação diferencial exata

Considere uma equação diferencial da forma

${\displaystyle M(x,y)+N(x,y)y'=0}$

Um fator integrante pode ser utilizado para transformá-la em uma Equação Diferencial Exata e assim resolvê-la.

Para isso, tomaremos um fator integrante ${\displaystyle \mu (x,y)}$ e multiplicaremos toda a equação que queremos resolver por esse fator integrante, obtendo assim:

${\displaystyle \mu (x,y)M(x,y)+\mu (x,y)N(x,y)y'=0}$

Para que essa equação seja exata, precisamos que

${\displaystyle {\frac {\partial (\mu {M})}{\partial {y}}}={\frac {\partial (\mu {N})}{\partial {x}}}}$^[1]

Ou seja, como ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ são funções dadas pela equação que se deseja resolver, precisamos encontrar uma função ${\displaystyle \mu }$ que satisfaça a igualdade acima.

Para isso expandiremos ambos os lados da igualdade utilizando a derivação do produto.

${\displaystyle \mu {\frac {\partial {M}}{\partial {y}}}+M{\frac {\partial {\mu }}{\partial {y}}}=\mu {\frac {\partial {N}}{\partial {x}}}+N{\frac {\partial {\mu }}{\partial {x}}}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \mu {\frac {\partial {M}}{\partial {y}}}+M{\frac {\partial {\mu }}{\partial {y}}}-\mu {\frac {\partial {N}}{\partial {x}}}-N{\frac {\partial {\mu }}{\partial {x}}}=0}$

Por fim isso pode ser escrito como uma equação diferencial parcial:

${\displaystyle M{\frac {\partial {\mu }}{\partial {y}}}-N{\frac {\partial {\mu }}{\partial {x}}}+\mu \left({\frac {\partial {M}}{\partial {y}}}-{\frac {\partial {N}}{\partial {x}}}\right)=0\qquad \qquad (I)}$

Porém a resolução dessa equação diferencial para obtenção do fator integrante é, muitas vezes, mais exaustiva do que a equação original. Então um artifício útil de ser feito é supor o fator integrante como uma função de apenas uma das variáveis, ou seja, supor um fator integrante sob a forma ${\displaystyle \mu (x)}$ ou ${\displaystyle \mu (y)}$, sendo que essa escolha deve ser feita conforme a equação a ser resolvida.

Também, para simplificar a notação, utilizaremos ${\displaystyle {\frac {\partial {M}}{\partial {y}}}=M_{y}}$ e ${\displaystyle {\frac {\partial {N}}{\partial {x}}}=N_{x}}$.

Assim, tomando ${\displaystyle \mu }$ como uma função exclusivamente de ${\displaystyle x}$, teremos:

${\displaystyle \mu {\text{ é uma função de x}}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {\partial \mu }{\partial {y}}}=0\qquad \Rightarrow ^{\qquad }{N{\frac {d\mu }{dx}}}=\mu (M_{y}-N_{x})\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {d\mu }{dx}}=\mu {\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}}$

Ou seja, para obter uma a função ${\displaystyle \mu (x)}$ precisamos resolver a equação diferencial

${\displaystyle {\frac {d\mu }{dx}}={\frac {M_{y}-N_{x}}{N}}\mu }$

Observe que dessa expressão obtemos que, para que ${\displaystyle \mu }$ seja uma função de ${\displaystyle x}$ é necessário que ${\displaystyle {\frac {M_{y}-N_{x}}{M}}}$ seja também uma função de ${\displaystyle x}$.

Se isso ocorrer essa equação é uma equação diferencial separável e pode ser resolvida integrando, obtendo assim:

${\displaystyle \mu =e^{\int {\frac {M_{y}-N_{x}}{M}}dx}}$.

Analogamente poderíamos obter uma expressão para um fator integrante dependendo apenas de ${\displaystyle y}$.

Então, se multiplicarmos por um fator integrante dessa forma, tornaremos uma equação diferencial ordinária não exata em uma equação diferencial exata, restando assim apenas resolver a equação conforme o método de resolução de equações exatas. 

• Equação diferencial linear
• Equação de Bernoulli