Variedade algébrica

Um dos primeiros exemplos de uma variedade algébrica não quase-projetiva foi dado por Nagata.^[9] O exemplo de Nagata não era completo (o análogo da compacidade), mas logo depois ele encontrou uma superfície algébrica que era completa e não projetiva.^[10][11] Desde então, outros exemplos foram encontrados: por exemplo, é direto construir variedades tóricas que não são quase-projetivas, mas completas.^[12]

Seja k = C, e A² seja o espaço afim bidimensional sobre C. Polinômios no anel C[x, y] podem ser vistos como funções de valores complexos em A² avaliando-os nos pontos em A². Seja um subconjunto S de C[x, y] contendo um único elemento f(x, y):

${\displaystyle f(x,y)=x+y-1.}$

O lugar geométrico dos zeros de f(x, y) é o conjunto de pontos em A² nos quais esta função se anula: é o conjunto de todos os pares de números complexos (x, y) tais que y = 1 − x. Isso é chamado de reta no plano afim. (Na topologia clássica proveniente da topologia sobre os números complexos, uma reta complexa é uma variedade real de dimensão dois). Este é o conjunto Z(f):

${\displaystyle Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C} ^{2}\}.}$

Assim, o subconjunto V = Z(f) de A² é um conjunto algébrico. O conjunto V não é vazio. Ele é irredutível, pois não pode ser escrito como a união de dois subconjuntos algébricos próprios. Portanto, é uma variedade algébrica afim.

Seja k = C, e A² seja o espaço afim bidimensional sobre C. Polinômios no anel C[x, y] podem ser vistos como funções de valores complexos em A² avaliando-os nos pontos em A². Seja um subconjunto S de C[x, y] contendo um único elemento g(x, y):

${\displaystyle g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.}$

O lugar geométrico dos zeros de g(x, y) é o conjunto de pontos em A² nos quais esta função se anula, ou seja, o conjunto de pontos (x, y) tais que x² + y² = 1. Como g(x, y) é um polinômio absolutamente irredutível, esta é uma variedade algébrica. O conjunto de seus pontos reais (isto é, os pontos para os quais x e y são números reais) é conhecido como círculo unitário; esse nome também é frequentemente dado a toda a variedade.

O exemplo a seguir não é uma hipersuperfície, nem um espaço linear, nem um único ponto. Seja A³ o espaço afim tridimensional sobre C. O conjunto de pontos (x, x², x³) para x em C é uma variedade algébrica e, mais precisamente, uma curva algébrica que não está contida em nenhum plano.^{[nota 2]} É a cúbica torcida mostrada na figura acima. Ela pode ser definida pelas equações

${\displaystyle {\begin{aligned}y-x^{2}&=0\\z-x^{3}&=0\end{aligned}}}$

A irredutibilidade deste conjunto algébrico precisa de uma demonstração. Uma abordagem neste caso é verificar se a projeção (x, y, z) ↦ (x, y) é injetiva no conjunto das soluções e se a sua imagem é uma curva plana irredutível.

Para exemplos mais difíceis, uma prova semelhante sempre pode ser dada, mas pode implicar um cálculo difícil: primeiro, o cálculo de uma base de Gröbner para calcular a dimensão, seguido por uma mudança linear aleatória de variáveis (nem sempre necessária); depois, o cálculo de uma base de Gröbner para outra ordem monomial a fim de calcular a projeção e provar que ela é genericamente injetiva e que a sua imagem é uma hipersuperfície, e finalmente uma fatoração polinomial para provar a irredutibilidade da imagem.

O conjunto de matrizes n por n sobre o corpo base k pode ser identificado com o espaço afim de dimensão n², Aⁿ², com coordenadas x_ij de tal forma que x_ij(A) é a entrada (i, j) da matriz A. O determinante de det é então um polinômio em x_ij e, portanto, define a hipersuperfície H = V(det) em Aⁿ². O complemento de H é, portanto, um subconjunto aberto de Aⁿ² que consiste em todas as matrizes n por n invertíveis, o grupo linear geral GL_n(k). É uma variedade afim, pois, em geral, o complemento de uma hipersuperfície numa variedade afim é afim. Explicitamente, considere Aⁿ² × A¹, onde a reta afim recebe a coordenada t. Então GL_n(k) equivale ao lugar geométrico dos zeros em Aⁿ² × A¹ do polinômio em x_ij, t:

${\displaystyle t\cdot \det[x_{ij}]-1,}$

ou seja, o conjunto de matrizes A tais que t det(A) = 1 tem uma solução. Isso é melhor visto algebricamente: o anel de coordenadas de GL_n(k) é a localização k[x_ij | 0 ≤ i, j ≤ n][det⁻¹], que pode ser identificada com k[x_ij, t | 0 ≤ i, j ≤ n]/(t det − 1).

O grupo multiplicativo k^× do corpo base k é o mesmo que GL₁(k) e, portanto, é uma variedade afim. Um produto finito dele (k^×)^r é um toro algébrico, que é novamente uma variedade afim.

Um grupo linear geral é um exemplo de um grupo algébrico linear, uma variedade afim que possui a estrutura de um grupo de tal forma que as operações do grupo são morfismos de variedades.

Seja A uma álgebra não necessariamente comutativa sobre um corpo k. Mesmo que A não seja comutativa, ainda pode acontecer que A tenha uma Z-filtração de modo que o anel associado ${\displaystyle \textstyle \operatorname {gr} A=\bigoplus _{i=-\infty }^{\infty }A_{i}/{A_{i-1}}}$ seja comutativo, reduzido e finitamente gerado como uma álgebra sobre k; isto é, gr A é o anel de coordenadas de uma variedade (redutível) afim X. Por exemplo, se A é a álgebra envolvente universal de uma álgebra de Lie de dimensão finita ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, então gr A é um anel de polinômios (pelo teorema PBW); mais precisamente, o anel de coordenadas do espaço vetorial dual ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$.

Seja M um módulo filtrado sobre A (isto é, A_i M_j ⊂ M_i+j). Se gr M for finitamente gerado como uma gr A-álgebra, então o suporte de gr M em X; ou seja, o lugar geométrico onde gr M não se anula é chamado de variedade característica de M.^[13] A noção desempenha um papel importante na teoria dos D-módulos.

Uma curva projetiva plana é o lugar geométrico dos zeros de um polinômio homogêneo irredutível em três indeterminadas. A reta projetiva P¹ é um exemplo de curva projetiva; ela pode ser vista como a curva no plano projetivo P² = {[x, y, z]} definida por x = 0. Como outro exemplo, considere primeiro a curva cúbica afim

${\displaystyle y^{2}=x^{3}-x.}$

no espaço afim de dimensão 2 (sobre um corpo de característica diferente de dois). Ela tem a equação polinomial homogênea cúbica associada:

${\displaystyle y^{2}z=x^{3}-xz^{2},}$

que define uma curva em P² chamada de curva elíptica. A curva tem gênero um (fórmula do gênero); em particular, não é isomorfa à reta projetiva P¹, que tem gênero zero. O uso do gênero para distinguir curvas é muito básico: na verdade, o gênero é o primeiro invariante usado para classificar curvas (veja também a construção do espaço de moduli de curvas algébricas).

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. A variedade de Grassmann (ou grassmanniana) G_n(V) é o conjunto de todos os subespaços de dimensão n de V. É uma variedade projetiva: ela é mergulhada em um espaço projetivo por meio do mergulho de Plücker:

${\displaystyle {\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\bigwedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}}$

onde b_i é qualquer conjunto de vetores linearmente independentes em V, ${\displaystyle \wedge ^{n}V}$ é a n-ésima potência exterior de V, e os colchetes [w] significam a reta gerada pelo vetor não nulo w.

A variedade de Grassmann vem acompanhada de um fibrado vetorial natural (ou feixe localmente livre em outra terminologia) chamado de fibrado tautológico, que é importante no estudo de classes características como as classes de Chern.

Seja C uma curva completa suave e Pic(C) o seu grupo de Picard; ou seja, o grupo de classes de isomorfismo de fibrados de linhas sobre C. Uma vez que C é suave, Pic(C) pode ser identificado como o grupo de classes de divisores de C e, portanto, existe o homomorfismo de grau deg : Pic(C) → Z. A variedade jacobiana Jac(C) de C é o núcleo deste mapa de grau; isto é, o grupo de classes de divisores em C de grau zero. Uma variedade jacobiana é um exemplo de uma variedade abeliana, uma variedade completa com uma estrutura de grupo abeliano compatível nela (o nome "abeliana", entretanto, não se deve ao fato de ser um grupo abeliano). Verifica-se que uma variedade abeliana é projetiva (em suma, funções teta algébricas fornecem um mergulho em um espaço projetivo. Veja Equações definindo variedades abelianas); portanto, Jac(C) é uma variedade projetiva. O espaço tangente a Jac(C) no elemento neutro é naturalmente isomorfo a ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C});}$^[14] consequentemente, a dimensão de Jac(C) é o gênero de C.

Fixe um ponto P₀ em C. Para cada inteiro n > 0, há um morfismo natural^[15]

${\displaystyle C^{n}\to \operatorname {Jac} (C),\,(P_{1},\dots ,P_{r})\mapsto [P_{1}+\cdots +P_{n}-nP_{0}]}$

onde Cⁿ é o produto de n cópias de C. Para g = 1 (isto é, C é uma curva elíptica), verifica-se que o morfismo acima para n = 1 é um isomorfismo;^[16] em particular, uma curva elíptica é uma variedade abeliana.

Dado um número inteiro g ≥ 0, o conjunto de classes de isomorfismo de curvas completas suaves de gênero g é chamado de espaço de moduli de curvas de gênero ${\displaystyle g}$ e é denotado por ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$. Existem algumas maneiras de mostrar que este espaço de moduli possui a estrutura de uma variedade algébrica possivelmente redutível; por exemplo, uma maneira é usar a teoria dos invariantes geométricos, que garante que um conjunto de classes de isomorfismo tenha uma estrutura de variedade quase-projetiva (redutível).^[17] Moduli como o espaço de moduli de curvas de gênero fixo tipicamente não são uma variedade projetiva; aproximadamente a razão é que uma degeneração (limite) de uma curva suave tende a ser não suave ou redutível. Isso leva à noção de uma curva estável de gênero g ≥ 2, uma curva completa não necessariamente suave sem singularidades terrivelmente ruins e um grupo de automorfismos não tão grande. O espaço de moduli de curvas estáveis ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$, o conjunto de classes de isomorfismo de curvas estáveis de gênero g ≥ 2, é então uma variedade projetiva que contém ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$ como um subconjunto denso aberto. Visto que ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$ é obtido adicionando pontos de fronteira a ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$, diz-se coloquialmente que ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {M}}}_{g}}$ é uma compactificação de ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$. Historicamente, um artigo de Mumford e Deligne^[18] introduziu a noção de uma curva estável para mostrar que ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{g}}$ é irredutível quando g ≥ 2.

O espaço de moduli de curvas exemplifica uma situação típica: um espaço de moduli de objetos bem comportados tende a não ser projetivo, mas apenas quase-projetivo. Outro caso é o espaço de moduli de fibrados vetoriais em uma curva. Aqui, existem as noções de fibrados vetoriais estáveis e semi-estáveis sobre uma curva completa suave C. O espaço de moduli de fibrados vetoriais semi-estáveis de um dado posto n e de um dado grau d (grau do determinante do fibrado) é então uma variedade projetiva denotada como ${\displaystyle SU_{C}(n,d)}$, a qual contém o conjunto ${\displaystyle U_{C}(n,d)}$ de classes de isomorfismo de fibrados vetoriais estáveis de posto n e grau d como um subconjunto aberto.^[19] Como um fibrado de linhas é estável, tal espaço de moduli é uma generalização da variedade jacobiana de C.

Em geral, ao contrário do caso do espaço de moduli de curvas, a compactificação de um espaço de moduli não precisa ser única e, em alguns casos, diferentes compactificações não equivalentes são construídas utilizando diferentes métodos e por diferentes autores. Um exemplo sobre C é o problema de compactificar D / Γ, o quociente de um domínio simétrico limitado D por uma ação de um grupo discreto aritmético Γ.^[20] Um exemplo básico de ${\displaystyle D/\Gamma }$ é quando ${\displaystyle D={\mathfrak {H}}_{g}}$, o semiespaço superior de Siegel e Γ é comensurável com Sp(2g, Z); nesse caso, D / Γ tem uma interpretação como o espaço de moduli ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{g}}$ de variedades abelianas complexas principalmente polarizadas de dimensão g (uma polarização principal identifica uma variedade abeliana com o seu dual). A teoria das variedades tóricas (ou mergulhos de toros) fornece uma maneira de compactificar D / Γ, sendo uma compactificação toroidal dela.^[21][22] Porém, existem outras formas de compactificar D / Γ; por exemplo, existe a compactificação mínima de D / Γ devida a Baily e Borel: é a variedade projetiva associada ao anel graduado formado por formas modulares (no caso de Siegel, formas modulares de Siegel;^[23] veja também variedade modular de Siegel). A não unicidade das compactificações se deve à falta de interpretações em termos de moduli daquelas compactificações; isto é, elas não representam (no sentido da teoria das categorias) nenhum problema de moduli natural ou, em linguagem mais precisa, não há nenhuma pilha de moduli (moduli stack) natural que seria um análogo à pilha de moduli de curvas estáveis.