Teoria de Hodge

Na matemática, a teoria de Hodge, cujo nome homenageia W. V. D. Hodge, é um método para estudar os grupos de coomologia de uma variedade suave ${\displaystyle M}$ utilizando equações diferenciais parciais. A observação chave é que, dada uma métrica riemanniana em ${\displaystyle M}$, cada classe de coomologia possui um representante canônico, uma forma diferencial que se anula sob o operador Laplaciano da métrica. Tais formas são chamadas de harmônicas.

A teoria foi desenvolvida por Hodge na década de 1930 para o estudo da geometria algébrica, construindo sobre o trabalho de Georges de Rham em coomologia de de Rham. Ela possui grandes aplicações em dois cenários: nas variedades riemannianas e nas variedades de Kähler. A principal motivação de Hodge, o estudo de variedades projetivas complexas, é abarcada por este último caso. A teoria de Hodge tornou-se uma importante ferramenta na geometria algébrica, particularmente através da sua conexão com o estudo dos ciclos algébricos.

Embora a teoria de Hodge dependa intrinsecamente dos números reais e dos números complexos, ela pode ser aplicada a questões na teoria dos números. Em situações aritméticas, as ferramentas da teoria de Hodge p-ádica têm fornecido provas alternativas ou resultados análogos à teoria de Hodge clássica.

O campo da topologia algébrica ainda era incipiente na década de 1920. Ainda não havia sido desenvolvida a noção de coomologia, e a interação entre formas diferenciais e a topologia era pouco compreendida. Em 1928, Élie Cartan publicou uma ideia, "Sur les nombres de Betti des espaces de groupes clos", na qual ele sugeriu—embora não tivesse provado—que as formas diferenciais e a topologia deveriam estar ligadas. Ao lê-la, Georges de Rham, então estudante, sentiu-se inspirado. Em sua tese de 1931, ele provou um resultado hoje conhecido como Teorema de de Rham. Pelo Teorema de Stokes, a integração de formas diferenciais ao longo de cadeias singulares induz, para qualquer variedade suave compacta ${\displaystyle M}$, um emparelhamento bilinear, como demonstrado abaixo:

${\displaystyle H_{k}(M;\mathbf {R} )\times H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} )\to \mathbf {R} .}$

Como enunciado originalmente,^[1] o teorema de de Rham atesta que este é um emparelhamento perfeito e que, portanto, cada um dos termos do lado esquerdo são duais de espaço vetorial um do outro. Na linguagem contemporânea, o teorema de de Rham é mais frequentemente formulado como a afirmação de que a coomologia singular com coeficientes reais é isomorfa à coomologia de de Rham:

${\displaystyle H_{\text{sing}}^{k}(M;\mathbf {R} )\cong H_{\text{dR}}^{k}(M;\mathbf {R} ).}$

O enunciado original de de Rham é, então, uma consequência do fato de que, sobre os números reais, a coomologia singular é o dual da homologia singular.

Separadamente, um artigo de 1927 de Solomon Lefschetz usou métodos topológicos para provar novamente os teoremas de Riemann.^[2] Em linguagem moderna, se ${\displaystyle \omega _{1}}$ e ${\displaystyle \omega _{2}}$ são diferenciais holomorfos em uma curva algébrica ${\displaystyle C}$, então o produto exterior deles é necessariamente zero porque ${\displaystyle C}$ tem apenas uma dimensão complexa; consequentemente, o produto cup das suas classes de coomologia é nulo, e, quando explicitado, isso forneceu a Lefschetz uma nova prova das relações de Riemann. Além disso, se ${\displaystyle \omega }$ é uma diferencial holomorfa não nula, então ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ é uma forma de volume positiva, a partir da qual Lefschetz foi capaz de derivar novamente as desigualdades de Riemann. Em 1929, W. V. D. Hodge tomou conhecimento do artigo de Lefschetz. Ele imediatamente observou que princípios análogos se aplicavam a superfícies algébricas. Mais precisamente, se ${\displaystyle \omega }$ for uma forma holomorfa não nula numa superfície algébrica, então ${\displaystyle {\sqrt {-1}}\,\omega \wedge {\bar {\omega }}}$ será positiva, logo, o produto cup de ${\displaystyle \omega }$ e ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$ deve ser não nulo. Conclui-se que a própria ${\displaystyle \omega }$ deve representar uma classe de coomologia não nula, portanto, seus períodos não podem ser todos nulos. Isto resolveu uma questão proposta por Severi.^[3]

Hodge sentia que essas técnicas também deveriam ser aplicáveis a variedades de dimensões mais altas. Seu colega Peter Fraser recomendou a tese de de Rham a ele. Ao ler a tese de de Rham, Hodge percebeu que as partes real e imaginária de uma 1-forma holomorfa em uma superfície de Riemann eram, de certa forma, duais uma à outra. Ele suspeitava que deveria haver uma dualidade similar em dimensões maiores; essa dualidade é atualmente conhecida como o operador estrela de Hodge. Ele ainda conjecturou que cada classe de coomologia deveria ter um representante distinto com a propriedade de que tanto ela quanto o seu dual fossem anulados sob o operador diferencial exterior; essas são chamadas atualmente de formas harmônicas. Hodge devotou a maior parte da década de 1930 a este problema. Sua primeira tentativa de demonstração publicada surgiu em 1933, mas ele a considerava "extremamente rudimentar". Hermann Weyl, um dos matemáticos mais brilhantes daquela época, viu-se incapaz de determinar se a prova de Hodge estava correta ou não. Em 1936, Hodge publicou uma nova demonstração. Embora Hodge considerasse a nova demonstração bem superior, uma falha grave foi descoberta por Bohnenblust. De forma independente, Hermann Weyl e Kunihiko Kodaira modificaram a demonstração de Hodge a fim de reparar o erro. Isso determinou o isomorfismo procurado por Hodge entre formas harmônicas e classes de coomologia.

Em retrospecto, fica claro que as dificuldades técnicas no teorema da existência realmente não exigiram quaisquer ideias novas e significativas, mas apenas uma extensão cuidadosa dos métodos clássicos. A verdadeira novidade, que foi a principal contribuição de Hodge, esteve na concepção das integrais harmônicas e em sua relevância para a geometria algébrica. Este triunfo do conceito sobre a técnica é reminiscente de um episódio semelhante no trabalho do grande predecessor de Hodge, Bernhard Riemann. —M. F. Atiyah, William Vallance Douglas Hodge, 17 June 1903 – 7 July 1975, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, vol. 22, 1976, pp. 169–192.

Seja ${\displaystyle X}$ uma variedade projetiva complexa suave, o que significa que ${\displaystyle X}$ é uma subvariedade complexa fechada de algum espaço projetivo complexo ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{N}}$. Pelo teorema de Chow, variedades projetivas complexas são automaticamente algébricas: elas são dadas pelo anulamento de equações polinomiais homogêneas em ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{N}}$. A métrica riemanniana padrão de ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{N}}$ induz em ${\displaystyle X}$ uma métrica riemanniana que tem uma forte compatibilidade com a estrutura complexa, tornando ${\displaystyle X}$ numa variedade de Kähler.

Para uma variedade complexa ${\displaystyle X}$ e um número natural ${\displaystyle r}$, cada ${\displaystyle r}$-forma de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ em ${\displaystyle X}$ (com coeficientes complexos) pode ser escrita unicamente como uma soma de formas do tipo ${\displaystyle (p,q)}$ com ${\displaystyle p+q=r}$, ou seja, formas que podem ser localmente expressas como uma soma finita de termos em que cada termo assume a forma

${\displaystyle f\,dz_{1}\wedge \cdots \wedge dz_{p}\wedge d{\overline {w_{1}}}\wedge \cdots \wedge d{\overline {w_{q}}}}$

com ${\displaystyle f}$ uma função de classe ${\displaystyle C^{\infty }}$ e com ${\displaystyle z}$'s e ${\displaystyle w}$'s sendo funções holomorfas. Numa variedade de Kähler, os componentes ${\displaystyle (p,q)}$ de uma forma harmônica voltam a ser harmônicos. Sendo assim, para qualquer variedade de Kähler compacta ${\displaystyle X}$, o teorema de Hodge dá uma decomposição da coomologia de ${\displaystyle X}$ de coeficientes complexos em uma soma direta de espaços vetoriais complexos:^[7]

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )=\bigoplus _{p+q=r}H^{p,q}(X).}$

Tal decomposição é na verdade independente da escolha da métrica de Kähler (porém, não existe uma decomposição análoga no caso de uma variedade complexa compacta mais geral). Por outro lado, a decomposição de Hodge depende genuinamente da estrutura de ${\displaystyle X}$ enquanto uma variedade complexa, já o grupo ${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )}$ só depende do espaço topológico subjacente a ${\displaystyle X}$.

Tirar os produtos exteriores destes representantes harmônicos corresponderá ao produto cup da coomologia, logo o produto cup com os coeficientes complexos será compatível com a decomposição de Hodge:

${\displaystyle \smile \colon H^{p,q}(X)\times H^{p',q'}(X)\rightarrow H^{p+p',q+q'}(X).}$

O pedaço ${\displaystyle H^{p,q}(X)}$ da decomposição de Hodge pode ser identificado com um grupo da coomologia de feixes coerentes, que depende apenas de ${\displaystyle X}$ na condição de variedade complexa (e não da escolha de métrica de Kähler):^[8]

${\displaystyle H^{p,q}(X)\cong H^{q}(X,\Omega ^{p}),}$

onde ${\displaystyle \Omega ^{p}}$ denota o feixe das ${\displaystyle p}$-formas holomorfas no ${\displaystyle X}$. Como exemplo, ${\displaystyle H^{p,0}(X)}$ é o espaço de ${\displaystyle p}$-formas holomorfas de ${\displaystyle X}$. (Se ${\displaystyle X}$ for projetiva, o teorema GAGA de Serre implica que uma ${\displaystyle p}$-forma holomorfa que preenche ${\displaystyle X}$ inteiro é de fato algébrica).

A integral, por outro lado, pode ser escrita como o produto cap da classe de homologia de ${\displaystyle Z}$ e da classe de coomologia representada pela ${\displaystyle \alpha }$. Pela Dualidade de Poincaré, a classe de homologia de ${\displaystyle Z}$ é o dual à uma classe de coomologia que chamaremos de ${\displaystyle [Z]}$, e o produto cap poderá ser computado extraindo-se o produto cup de ${\displaystyle [Z]}$ e ${\displaystyle \alpha }$ e capeando-o com a classe fundamental de ${\displaystyle X}$.

Dado que ${\displaystyle [Z]}$ é uma classe de coomologia, ele conta com uma decomposição de Hodge. Através dos cálculos efetuados em cima, se aplicarmos o produto cup nesta classe com uma classe qualquer de tipo ${\displaystyle (p,q)\neq (k,k)}$, resulta-se num zero. Sendo ${\displaystyle H^{2n}(X,\mathbb {C} )=H^{n,n}(X)}$, inferimos que ${\displaystyle [Z]}$ obrigatoriamente se encontra dentro de ${\displaystyle H^{n-k,n-k}(X)}$.

O número de Hodge ${\displaystyle h^{p,q}(X)}$ significa a dimensão do espaço vetorial complexo ${\displaystyle H^{p,q}(X)}$. Esses constituem importantes invariantes das variedades projetivas complexas suaves; não se alteram à medida que a estrutura complexa de ${\displaystyle X}$ varia continuadamente, ainda que eles não costumem se enquadrar como invariantes topológicos. A simetria de Hodge ${\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}}$ está dentre as qualidades dos números de Hodge (pelo fato de ${\displaystyle H^{p,q}(X)}$ equivaler ao complexo conjugado de ${\displaystyle H^{q,p}(X)}$) e também a igualdade ${\displaystyle h^{p,q}=h^{n-p,n-q}}$ (originada pela dualidade de Serre).

Os números de Hodge das variedades projetivas complexas e suaves (ou variedades de Kähler compactas) podem ser elencados na tabela correspondente ao diamante de Hodge (abaixo exibe-se a conjuntura concernente a 2 dimensões complexas): ${\displaystyle {\begin{matrix}&&h^{2,2}&&\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\&&h^{0,0}&&\end{matrix}}}$ Tome-se como exemplo que todas as curvas projetivas lisas atreladas a um gênero ${\displaystyle g}$ têm a si designado o seguinte diamante de Hodge: ${\displaystyle {\begin{matrix}&1&\\g&&g\\&1&\end{matrix}}}$

Num outro exemplo, as superfícies K3 retêm o diamante de Hodge: ${\displaystyle {\begin{matrix}&&1&&\\&0&&0&\\1&&20&&1\\&0&&0&\\&&1&&\end{matrix}}}$

Os números de Betti representativos de ${\displaystyle X}$ compreendem a soma dos números de Hodge em uma determinada linha. Uma aplicação básica da teoria de Hodge é então que os números de Betti ímpares ${\displaystyle b_{2a+1}}$ de uma variedade projetiva complexa suave (ou variedade de Kähler compacta) são pares, devido à simetria de Hodge. Isso não é verdade para variedades complexas compactas em geral, como demonstrado pelo exemplo da superfície de Hopf, que é difeomorfa a ${\displaystyle S^{1}\times S^{3}}$ e, portanto, tem ${\displaystyle b_{1}=1}$.

O "Pacote de Kähler" é um poderoso conjunto de restrições sobre a coomologia de variedades projetivas complexas suaves (ou variedades de Kähler compactas), com base na teoria de Hodge. Os resultados incluem o Teorema do hiperplano de Lefschetz, o Teorema forte de Lefschetz e as relações bilineares de Hodge-Riemann.^[9] Muitos desses resultados decorrem de ferramentas técnicas fundamentais que podem ser comprovadas para variedades de Kähler compactas usando a teoria de Hodge, incluindo as Identidades de Kähler e o ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema.

Tanto a teoria de Hodge quanto extensões como a teoria de Hodge não abeliana também impõem fortes restrições aos possíveis grupos fundamentais de variedades de Kähler compactas.

Ver artigo principal: Conjectura de Hodge

Seja ${\displaystyle X}$ uma variedade projetiva complexa suave. Uma subvariedade complexa ${\displaystyle Y}$ em ${\displaystyle X}$ de codimensão ${\displaystyle p}$ define um elemento do grupo de coomologia ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$. Além disso, a classe resultante tem uma propriedade especial: sua imagem na coomologia complexa ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$ reside na parte central da decomposição de Hodge, ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$. A conjectura de Hodge prevê o inverso: cada elemento de ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )}$ cuja imagem na coomologia complexa reside no subespaço ${\displaystyle H^{p,p}(X)}$ deve ter um múltiplo inteiro positivo que é uma combinação linear sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ de classes de subvariedades complexas de ${\displaystyle X}$. (Tal combinação linear é chamada de ciclo algébrico em ${\displaystyle X}$).

Um ponto crucial é que a decomposição de Hodge é uma decomposição da coomologia com coeficientes complexos que geralmente não provém de uma decomposição de coomologia com coeficientes inteiros (ou racionais). Como resultado, a interseção

${\displaystyle (H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torção}})\cap H^{p,p}(X)\subseteq H^{2p}(X,\mathbb {C} )}$

pode ser muito menor que o grupo inteiro ${\displaystyle H^{2p}(X,\mathbb {Z} )/{\text{torção}}}$, mesmo se o número de Hodge ${\displaystyle h^{p,p}}$ for grande. Em suma, a conjectura de Hodge prevê que os possíveis "formatos" das subvariedades complexas de ${\displaystyle X}$ (conforme descritos pela coomologia) são determinados pela estrutura de Hodge de ${\displaystyle X}$ (a combinação da coomologia integral com a decomposição de Hodge da coomologia complexa).

O teorema (1,1) de Lefschetz afirma que a conjectura de Hodge é verdadeira para ${\displaystyle p=1}$ (mesmo integralmente, isto é, sem a necessidade de um múltiplo inteiro positivo no enunciado).

A estrutura de Hodge de uma variedade ${\displaystyle X}$ descreve as integrais de formas diferenciais algébricas em ${\displaystyle X}$ sobre classes de homologia em ${\displaystyle X}$. Nesse sentido, a teoria de Hodge está relacionada a uma questão básica no cálculo: em geral não há uma "fórmula" para a integral de uma função algébrica. Em particular, integrais definidas de funções algébricas, conhecidas como períodos, podem ser números transcendentes. A dificuldade da conjectura de Hodge reflete a falta de compreensão de tais integrais em geral.

Exemplo: Para uma superfície K3 projetiva complexa suave ${\displaystyle X}$, o grupo ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ é isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{22}}$, e ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ é isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {C} ^{20}}$. A interseção deles pode ter posto em qualquer lugar entre 1 e 20; este posto é chamado de número de Picard de ${\displaystyle X}$. O espaço de moduli de todas as superfícies K3 projetivas tem um conjunto infinito contável de componentes, cada uma de dimensão complexa 19. O subespaço de superfícies K3 com número de Picard ${\displaystyle a}$ tem dimensão ${\displaystyle 20-a}$.^[10] (Assim, para a maioria das superfícies K3 projetivas, a interseção de ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ com ${\displaystyle H^{1,1}(X)}$ é isomorfa a ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, mas para superfícies K3 "especiais" a interseção pode ser maior.)

Este exemplo sugere vários papéis diferentes desempenhados pela teoria de Hodge na geometria algébrica complexa. Primeiro, a teoria de Hodge fornece restrições sobre quais espaços topológicos podem ter a estrutura de uma variedade projetiva complexa suave. Segundo, a teoria de Hodge fornece informações sobre o espaço de moduli de variedades projetivas complexas suaves com um dado tipo topológico. O melhor caso é quando o Teorema de Torelli é válido, o que significa que a variedade é determinada a menos de isomorfismo por sua estrutura de Hodge. Por fim, a teoria de Hodge fornece informações sobre o grupo de Chow de ciclos algébricos em uma dada variedade. A conjectura de Hodge é sobre a imagem da aplicação de ciclo de grupos de Chow para a coomologia ordinária, mas a teoria de Hodge também fornece informações sobre o núcleo da aplicação de ciclo, por exemplo, usando os Jacobianos intermediários que são construídos a partir da estrutura de Hodge.

A teoria de Hodge mista, desenvolvida por Pierre Deligne, estende a teoria de Hodge a todas as variedades algébricas complexas, não necessariamente suaves ou compactas. A saber, a coomologia de qualquer variedade algébrica complexa tem um tipo mais geral de decomposição, uma estrutura de Hodge mista.

Uma generalização diferente da teoria de Hodge para variedades singulares é fornecida pela homologia de interseção. Especificamente, Morihiko Saito mostrou que a homologia de interseção de qualquer variedade projetiva complexa (não necessariamente suave) possui uma estrutura de Hodge pura, da mesma forma que no caso suave. De fato, o pacote Kähler inteiro se estende à homologia de interseção.

Um aspecto fundamental da geometria complexa é que existem famílias contínuas de variedades complexas não-isomorfas (que são todas difeomorfas como variedades reais). A noção de Phillip Griffiths de uma variação da estrutura de Hodge descreve como a estrutura de Hodge de uma variedade projetiva complexa suave ${\displaystyle X}$ varia conforme ${\displaystyle X}$ varia. Em termos geométricos, isso equivale a estudar a aplicação de períodos associada a uma família de variedades. A teoria dos módulos de Hodge de Saito é uma generalização. De modo geral, um módulo de Hodge misto numa variedade ${\displaystyle X}$ é um feixe de estruturas de Hodge mistas sobre ${\displaystyle X}$, tal como surgiria a partir de uma família de variedades que não precisem ser suaves ou compactas.

• Teoria do potencial
• Dualidade de Serre
• Decomposição de Helmholtz
• Teorema do ciclo invariante local
• Teoria de Arakelov
• Teoria de Hodge-Arakelov
• Lema d-bar d, uma consequência fundamental da teoria de Hodge para variedades de Kähler compactas.

• Arapura, Donu. Computing Some Hodge Numbers (PDF). [S.l.: s.n.] 
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• Voisin, Claire (2007) [2002]. Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry (2 vols.). [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71801-1. MR 1967689. doi:10.1017/CBO9780511615344 
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• Código em Python para computar os números de Hodge de hipersuperfícies no GitHub