Grupo de Galois

Como corolário, isso pode ser induzido finitamente muitas vezes. Dadas extensões de Galois ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}/k}$ tais que ${\displaystyle K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k}$, então existe um isomorfismo dos grupos de Galois correspondentes:

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong \operatorname {Gal} (K_{1}/k)\times \cdots \times \operatorname {Gal} (K_{n}/k)}$

Uma das proposições básicas exigidas para determinar completamente o grupo de Galois^[3] de uma extensão finita de corpos é a seguinte: dado um polinómio ${\displaystyle f(x)\in F[x]}$, seja ${\displaystyle E/F}$ sua extensão por corpo de decomposição. Então a ordem do grupo de Galois é igual ao grau da extensão de corpos; isto é,

${\displaystyle \left|\operatorname {Gal} (E/F)\right|=[E:F]}$

Uma ferramenta útil para determinar o grupo de Galois de um polinómio vem do critério de Eisenstein. Se um polinómio ${\displaystyle f\in F[x]}$ se fatoriza em polinómios irredutíveis ${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k}}$, o grupo de Galois de ${\displaystyle f}$ pode ser determinado usando os grupos de Galois de cada ${\displaystyle f_{i}}$, já que o grupo de Galois de ${\displaystyle f}$ contém cada um dos grupos de Galois dos ${\displaystyle f_{i}}$.

A extensão de corpos de grau dois ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$ tem grupo de Galois ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$ com dois elementos: o automorfismo identidade e o automorfismo ${\displaystyle \sigma }$ que troca ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ e ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$. Esse exemplo se generaliza para um número primo ${\displaystyle p\in \mathbb {N} }$.

Usando a estrutura de reticulado dos grupos de Galois, para números primos distintos ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$, o grupo de Galois de ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q} }$ é

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}}$

Outra classe útil de exemplos vem dos corpos de decomposição de polinómios ciclotómicos. Esses são polinómios ${\displaystyle \Phi _{n}}$ definidos por

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(x-e^{2ik\pi /n}\right)}$

cujo grau é ${\displaystyle \phi (n)}$, a função totiente de Euler em ${\displaystyle n}$. Então o corpo de decomposição sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ é ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ e tem automorfismos ${\displaystyle \sigma _{a}}$ que enviam ${\displaystyle \zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}}$ para ${\displaystyle 1\leq a<n}$ primo com ${\displaystyle n}$. Como o grau do corpo é igual ao grau do polinómio, esses automorfismos geram o grupo de Galois.^[5] Se ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$, então

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong \prod _{a_{i}}\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)}$

Se ${\displaystyle n}$ é um primo ${\displaystyle p}$, então um corolário disso é

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }$

De fato, qualquer grupo abeliano finito pode aparecer como grupo de Galois de algum subcorpo de uma extensão de corpo ciclotómico, pelo teorema de Kronecker–Weber.

Outra classe útil de exemplos de grupos de Galois com grupos abelianos finitos vem dos corpos finitos. Se q é uma potência de primo, e se ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$ e ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{q^{n}}}$ denotam os corpos de Galois de ordens ${\displaystyle q}$ e ${\displaystyle q^{n}}$, respectivamente, então ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$ é cíclico de ordem n e é gerado pelo homomorfismo de Frobenius.

A extensão de corpos ${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}~\!{\bigr )}{\big /}\mathbb {Q} }$ é um exemplo de uma extensão de grau ${\displaystyle 4}$.^[6] Ela tem dois automorfismos ${\displaystyle \sigma ,\tau }$, em que ${\displaystyle \sigma {\bigl (}{\sqrt {2}}~\!{\bigr )}=-{\sqrt {2}}}$ e ${\displaystyle \tau {\bigl (}{\sqrt {3}}~\!{\bigr )}=-{\sqrt {3}}}$. Como esses dois geradores definem um grupo de ordem ${\displaystyle 4}$, o grupo de Klein, eles determinam todo o grupo de Galois.^[3]

Outro exemplo é dado pelo corpo de decomposição ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ do polinómio

${\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

Note que, como ${\displaystyle (x-1)f(x)=x^{5}-1}$, as raízes de ${\displaystyle f(x)}$ são ${\displaystyle \exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}k\pi i{\bigr )}}$. Existem automorfismos

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{\ell }:E\to E\\\sigma _{2}:\exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}\pi i{\bigr )}\mapsto \exp {\bigl (}{\tfrac {2}{5}}\pi i{\bigr )}^{\ell }\end{cases}}}$

que geram um grupo de ordem ${\displaystyle 4}$. Como ${\displaystyle \sigma _{2}}$ gera esse grupo, o grupo de Galois é isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$.

O grupo dos quatérnios pode aparecer como o grupo de Galois de uma extensão de corpo de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Por exemplo, a extensão

${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})(3+{\sqrt {3}})}}\right)}$

tem o grupo de Galois prescrito.^[7]

Se ${\displaystyle f}$ é um polinómio irredutível de grau primo ${\displaystyle p}$, com coeficientes racionais e exatamente duas raízes não reais, então o grupo de Galois de ${\displaystyle f}$ é o grupo simétrico completo ${\displaystyle S_{p}}$.^[2]

Por exemplo, ${\displaystyle f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]}$ é irredutível pelo critério de Eisenstein. O gráfico de ${\displaystyle f}$, traçado com software gráfico ou no papel, mostra que ele tem três raízes reais e, portanto, duas raízes complexas, o que mostra que seu grupo de Galois é ${\displaystyle S_{5}}$.