Equação do quarto grau

Se o termo constante a₄ = 0, então uma das raízes é x = 0, e as demais raízes podem ser encontradas dividindo-se a equação por x e resolvendo a equação cúbica resultante:

${\displaystyle a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0.\,}$

Vamos chamar o nosso polinômio quártico de Q(x). Como 1 elevado a qualquer potência é 1,

${\displaystyle Q(1)=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\ .}$

Portanto, se ${\displaystyle \ a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=0\ ,}$ temos Q(1) = 0 e, assim, x = 1 é uma raiz de Q(x). De maneira semelhante, pode-se demonstrar que se ${\displaystyle \ a_{0}+a_{2}+a_{4}=a_{1}+a_{3}\ ,}$ então x = −1 é uma raiz.

Em ambos os casos, a quártica completa pode então ser dividida pelo fator (x − 1) ou (x + 1) , respectivamente, produzindo um novo polinômio cúbico, que pode ser resolvido para encontrar as outras raízes da quártica.

Se ${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{2}=0\ }$ e ${\displaystyle \ a_{4}=a_{3}k\ ,}$ então ${\displaystyle \ x=-k\ }$ é uma raiz da equação. A quártica completa pode então ser fatorada desta maneira:

${\displaystyle \ a_{0}x^{4}+a_{0}kx^{3}+a_{3}x+a_{3}k=a_{0}x^{3}(x+k)+a_{3}(x+k)=(a_{0}x^{3}+a_{3})(x+k)\ .}$

Alternativamente, se ${\displaystyle \ a_{1}=a_{0}k\ ,}$ ${\displaystyle \ a_{3}=a_{2}k\ ,}$ e ${\displaystyle \ a_{4}=0\ ,}$ então x = 0 e x = −k tornam-se duas raízes conhecidas. A divisão de Q(x) por x(x + k) resulta em um polinômio quadrático.

Uma equação quártica onde a₃ e a₁ são iguais a 0 assume a forma

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{4}=0\,\!}$

e, portanto, é uma equação biquadrática, que é fácil de resolver: seja ${\displaystyle z=x^{2}}$, logo nossa equação se torna

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{2}z+a_{4}=0\,\!}$

que é uma equação quadrática simples, cujas soluções são facilmente encontradas usando a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara):

${\displaystyle z={\frac {-a_{2}\pm {\sqrt {a_{2}^{2}-4a_{0}a_{4}}}}{2a_{0}}}\,\!}$

Quando a tivermos resolvido (isto é, encontrado esses dois valores de z), podemos extrair o x a partir deles:

${\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{+}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{-}}}\,\!}$

Se alguma das soluções de z for um número negativo ou complexo, então algumas das soluções de x serão números complexos.

${\displaystyle a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}=0\,}$

Passos:

1. Divida por x ².
2. Use a mudança de variável z = x + m/x.
3. Assim, z ² = x ² + (m/x) ² + 2m.

Isto leva a:

${\displaystyle a_{0}(x^{2}+m^{2}/x^{2})+a_{1}(x+m/x)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle a_{0}(z^{2}-2m)+a_{1}(z)+a_{2}=0}$,

${\displaystyle a_{0}z^{2}+a_{1}z+(a_{2}-2ma_{0})=0}$ (uma equação quadrática em z = x + m/x)

Se a quártica possuir uma raiz dupla, ela pode ser encontrada calculando o máximo divisor comum do polinômio com a sua derivada. Em seguida, eles podem ser divididos e a equação quadrática resultante solucionada.

Em geral, existem apenas quatro casos possíveis de equações quárticas com raízes múltiplas, os quais estão listados abaixo:^[3]

1. Multiplicidade-4 (M4): quando a equação quártica geral puder ser expressa como ${\displaystyle a(x-l)^{4}=0}$, para algum número real ${\displaystyle l}$. Este caso pode sempre ser reduzido a uma equação biquadrática.
2. Multiplicidade-3 (M3): quando a equação quártica geral puder ser expressa como ${\displaystyle a(x-l)^{3}(x-m)=0}$, onde ${\displaystyle l}$ e ${\displaystyle m}$ são dois números reais diferentes. Este é o único caso que nunca pode ser reduzido a uma equação biquadrática.
3. Dupla Multiplicidade-2 (DM2): quando a equação quártica geral puder ser expressa como ${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)^{2}=0}$, onde ${\displaystyle l}$ e ${\displaystyle m}$ são dois números reais diferentes ou um par de números complexos conjugados não reais. Este caso também pode sempre ser reduzido a uma equação biquadrática.
4. Simples Multiplicidade-2 (SM2): quando a equação quártica geral puder ser expressa como ${\displaystyle a(x-l)^{2}(x-m)(x-n)=0}$, onde ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ são três números reais diferentes ou ${\displaystyle l}$ é um número real e ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ são um par de números complexos conjugados não reais. Este caso é dividido em dois subcasos: os que podem ser reduzidos a uma equação biquadrática e os que não podem.

Considere o caso em que os três coeficientes não mônicos da equação quártica deprimida, ${\displaystyle x^{4}+px^{2}+qx+r=0}$, podem ser expressos em termos dos cinco coeficientes da equação quártica geral da seguinte forma:

${\displaystyle p={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$

${\displaystyle q={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$

${\displaystyle r={\frac {16ab^{2}c-64a^{2}bd-3b^{4}+256a^{3}e}{256a^{4}}}}$,

Então, os critérios para identificar a priori cada caso de equações quárticas com raízes múltiplas e as suas respectivas soluções são mostrados abaixo.

• M4. A equação quártica geral corresponde a este caso sempre que ${\displaystyle p=q=r=0}$, logo as quatro raízes desta equação são dadas como se segue:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=-{\frac {b}{4a}}}$.

• M3. A equação quártica geral corresponde a este caso sempre que ${\displaystyle p^{2}=-12r>0}$ e ${\displaystyle 27q^{2}=-8p^{3}>0}$, logo as quatro raízes desta equação são dadas a seguir se ${\displaystyle q>0}$:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

Caso contrário, se ${\displaystyle q\leq 0}$:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\sqrt {-{\frac {p}{6}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{4}={\sqrt {-{\frac {3p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$.

• DM2. A equação quártica geral corresponde a este caso sempre que ${\displaystyle p^{2}=4r>0=q}$, logo as quatro raízes desta equação são dadas como se segue:

${\displaystyle x_{1}=x_{3}={\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{2}=x_{4}=-{\sqrt {-{\frac {p}{2}}}}-{\frac {b}{4a}}}$.

• SM2 Biquadrática. A equação quártica geral corresponde a este subcaso das equações SM2 sempre que ${\displaystyle p\neq q=r=0}$, logo as quatro raízes desta equação são dadas da seguinte forma:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{3}={\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {-p}}-{\frac {b}{4a}}}$.

• SM2 Não-Biquadrática. A equação quártica geral corresponde a este subcaso das equações SM2 sempre que ${\displaystyle (p^{2}+12r)^{3}=[p(p^{2}-36r)+{\frac {27}{2}}q^{2}]^{2}>0\neq {q}}$, de modo que as quatro raízes desta equação são dadas pela seguinte fórmula:^[4]

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left[\xi {\sqrt {s_{1}}}\pm {\sqrt {2{\biggl (}s_{2}-{\frac {\xi q}{\sqrt {s_{1}}}}{\biggr )}}}\right]-{\frac {b}{4a}}}$,

onde:

${\displaystyle s_{1}={\frac {9q^{2}-32pr}{p^{2}+12r}}>0}$

${\displaystyle s_{2}=-{\frac {2p(p^{2}-4r)+9q^{2}}{2(p^{2}+12r)}}\neq 0}$

${\displaystyle \xi =\pm 1}$.

Após a conversão para uma equação quártica deprimida

${\displaystyle u^{4}+au^{2}+bu+c=0}$

e excluindo o caso especial b = 0, que é resolvido como uma biquadrática, assumiremos daqui em diante que b ≠ 0 .

Separaremos os termos para a esquerda e para a direita como

${\displaystyle u^{4}=-au^{2}-bu-c}$

e adicionaremos termos em ambos os lados de modo a transformá-los em quadrados perfeitos.

Seja y qualquer solução desta equação cúbica:

${\displaystyle 2y^{3}-ay^{2}-2cy+(ac-{\tfrac {1}{4}}b^{2})=(2y-a)(y^{2}-c)-{\tfrac {1}{4}}b^{2}=0\ .}$

Então (uma vez que b ≠ 0)

${\displaystyle 2y-a\neq 0}$

de modo que podemos dividir por esse termo, obtendo

${\displaystyle y^{2}-c={\frac {b^{2}}{4(2y-a)}}\ .}$

Assim,

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}=u^{4}+2yu^{2}+y^{2}=(2y-a)u^{2}-bu+(y^{2}-c)=(2y-a)u^{2}-bu+{\frac {b^{2}}{\ 4(2y-a)\ }}=\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}\ .}$

Subtraindo, obtemos a diferença de dois quadrados, que é o produto da soma e da diferença de suas raízes

${\displaystyle (u^{2}+y)^{2}-\left({\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)^{2}=\left(u^{2}+y+{\sqrt {2y-a\ }}\,u-{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)\left(u^{2}+y-{\sqrt {2y-a\ }}\,u+{\frac {b}{2{\sqrt {2y-a\ }}}}\right)=0}$

a qual pode ser resolvida aplicando-se a fórmula quadrática a cada um dos dois fatores. Portanto, os possíveis valores de u são:

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left(-{\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a+{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}+{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ ,}$ ou

${\displaystyle u={\tfrac {1}{2}}\left({\sqrt {2y-a\ }}-{\sqrt {-2y-a-{\frac {2b}{\sqrt {2y-a\ }}}\ }}\right)\ .}$

Usar um outro y dentre as três raízes da cúbica simplesmente faz com que esses mesmos quatro valores de u apareçam numa ordem diferente. As soluções da cúbica são:

${\displaystyle \ y={\frac {a}{6}}+w-{\frac {p}{3w}}\ }$

${\displaystyle \ w={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\ }}\ }}}$

usando qualquer uma das três possíveis raízes cúbicas. Uma estratégia sensata é escolher o sinal da raiz quadrada que torne o valor absoluto de w o maior possível.

${\displaystyle \ p=-{\frac {a^{2}}{12}}-c\ ,}$

${\displaystyle \ q=-{\frac {a^{3}}{108}}+{\frac {ac}{3}}-{\frac {b^{2}}{8}}\ .}$

De outra maneira, a quártica deprimida pode ser resolvida através de um método descoberto por Lodovico Ferrari. Uma vez obtida a quártica deprimida, o próximo passo é somar a identidade válida

${\displaystyle \left(u^{2}+a\right)^{2}-u^{4}-2au^{2}=a^{2}}$

à equação (1), gerando

${\displaystyle \left(u^{2}+a\right)^{2}+bu+c=au^{2}+a^{2}.}$

(2)

O efeito gerado foi dobrar o termo u⁴ transformando-o num quadrado perfeito: (u² + a)². O segundo termo, au² não desapareceu, mas seu sinal foi alterado e ele foi movido para o lado direito.

O passo seguinte é inserir uma variável y no quadrado perfeito do lado esquerdo da equação (2), e um 2y correspondente no coeficiente de u² do lado direito. Para realizar estas inserções, as seguintes fórmulas válidas serão adicionadas à equação (2),

${\displaystyle {\begin{aligned}(u^{2}+a+y)^{2}-(u^{2}+a)^{2}&=2y(u^{2}+a)+y^{2}\ \ \\&=2yu^{2}+2ya+y^{2},\end{aligned}}}$

e

${\displaystyle 0=(a+2y)u^{2}-2yu^{2}-au^{2}\,}$

Estas duas fórmulas, somadas, produzem

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}-\left(u^{2}+a\right)^{2}=\left(a+2y\right)u^{2}-au^{2}+2ya+y^{2}\qquad \qquad ({\text{inserção de }}y)\,}$

a qual adicionada à equação (2) produz

${\displaystyle \left(u^{2}+a+y\right)^{2}+bu+c=\left(a+2y\right)u^{2}+\left(2ya+y^{2}+a^{2}\right).\,}$

Isso é equivalente a

${\displaystyle (u^{2}+a+y)^{2}=(a+2y)u^{2}-bu+(y^{2}+2ya+a^{2}-c).}$

(3)

O objetivo agora é escolher um valor para y tal que o lado direito da equação (3) se torne um quadrado perfeito. Isso pode ser feito zerando-se o discriminante da função quadrática. Para explicar isto, primeiro expanda um quadrado perfeito de forma que ele se iguale a uma função quadrática:

${\displaystyle \left(su+t\right)^{2}=\left(s^{2}\right)u^{2}+\left(2st\right)u+\left(t^{2}\right).\,}$

A função quadrática no lado direito tem três coeficientes. É possível verificar que elevar o segundo coeficiente ao quadrado e depois subtrair quatro vezes o produto do primeiro com o terceiro coeficiente resulta em zero:

${\displaystyle \left(2st\right)^{2}-4\left(s^{2}\right)\left(t^{2}\right)=0.\,}$

Portanto, para fazer com que o lado direito da equação (3) se torne um quadrado perfeito, a seguinte equação deve ser resolvida:

${\displaystyle (-b)^{2}-4\left(2y+a\right)\left(y^{2}+2ya+a^{2}-c\right)=0.\,}$

Multiplique o binômio pelo polinômio,

${\displaystyle b^{2}-4\left(2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac\right)\right)=0\,}$

Divida ambos os lados por −4, e mova o −b²/4 para a direita,

${\displaystyle 2y^{3}+5ay^{2}+\left(4a^{2}-2c\right)y+\left(a^{3}-ac-{\frac {b^{2}}{4}}\right)=0}$

Divida ambos os lados por 2,

${\displaystyle y^{3}+{\frac {5}{2}}ay^{2}+\left(2a^{2}-c\right)y+\left({a^{3} \over 2}-{ac \over 2}-{b^{2} \over 8}\right)=0.}$

(4)

Isto é uma equação cúbica em y. Resolva para y usando qualquer método para resolver tais equações (por exemplo, a conversão para uma cúbica deprimida e a aplicação da fórmula de Cardano). Qualquer uma das três raízes possíveis servirá.

Se os coeficientes da equação quártica são reais, então a equação cúbica deprimida aninhada (5) também possui coeficientes reais, logo ela tem pelo menos uma raiz real.

Além disso, a função cúbica

${\displaystyle C(v)=v^{3}+Pv+Q,}$

onde P e Q são dados por (5), possui as propriedades de que

${\displaystyle C\left({a \over 3}\right)={-b^{2} \over 8}<0}$ e

${\displaystyle \lim _{v\to \infty }C(v)=\infty ,}$ onde ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são dados por (1).

Isso significa que (5) tem uma raiz real maior que ${\displaystyle a \over 3}$, e, portanto, que (4) tem uma raiz real maior que ${\displaystyle -a \over 2}$.

Usando esta raiz, o termo ${\displaystyle {\sqrt {a+2y}}}$ em (6) é sempre real, o que garante que as duas equações quadráticas (6) possuam coeficientes reais.^[5]

Pode acontecer de se obter apenas uma solução através das fórmulas acima, porque nem todos os quatro padrões de sinais são testados para as quatro soluções, e a solução obtida é um número complexo. Também pode ser o caso de se estar procurando apenas por uma solução real. Seja ${\displaystyle x_{1}}$ a solução complexa. Se todos os coeficientes originais ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$ e ${\displaystyle E}$ forem reais — o que deve ser o caso quando se deseja apenas soluções reais — então há outra solução complexa ${\displaystyle x_{2}}$ que é o complexo conjugado de ${\displaystyle x_{1}}$. Se as outras duas raízes forem denotadas como ${\displaystyle x_{3}}$ e ${\displaystyle x_{4}}$, então a equação quártica pode ser expressa como

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0,\,}$

mas esta equação quártica é equivalente ao produto de duas equações quadráticas:

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})=0}$

(9)

e

${\displaystyle (x-x_{3})(x-x_{4})=0.}$

(10)

Como

${\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }}$

então

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\\&=x^{2}-2\operatorname {Re} (x_{1})x+[\operatorname {Re} (x_{1})]^{2}+[\operatorname {Im} (x_{1})]^{2}.\end{aligned}}}$

Seja

${\displaystyle a=-2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle b=\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}}$

de modo que a equação (9) se torna

${\displaystyle x^{2}+ax+b=0.}$

(11)

Também sejam w e v variáveis (desconhecidas) tais que a equação (10) se torne

${\displaystyle x^{2}+wx+v=0.}$

(12)

Multiplicando as equações (11) e (12) obtém-se

${\displaystyle x^{4}+(a+w)x^{3}+(b+wa+v)x^{2}+(wb+va)x+vb=0.}$

(13)

Comparando a equação (13) com a equação quártica original, pode-se ver que

${\displaystyle a+w={B \over A},}$

${\displaystyle b+wa+v={C \over A},}$

${\displaystyle wb+va={D \over A},}$

e

${\displaystyle vb={E \over A}.}$

Portanto

${\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\operatorname {Re} (x_{1}),}$

${\displaystyle v={E \over Ab}={\frac {E}{A\left(\left[\operatorname {Re} (x_{1})\right]^{2}+\left[\operatorname {Im} (x_{1})\right]^{2}\right)}}.}$

A equação (12) pode ser resolvida para x resultando em

${\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},}$

${\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.}$

Uma destas duas soluções deve ser a solução real desejada.

A cúbica resolvente ilustra como uma equação cúbica resolvente pode ser usada para encontrar as raízes de uma equação quártica deprimida mônica ao encontrar as raízes de duas equações quadráticas. Especialmente simples é a Terceira Definição. Seja

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+c\,x^{2}+d\,x+e&=(x^{2}+p\,x+q)\,(x^{2}-p\,x+s)\\&=x^{4}+(s+q-p^{2})\,x^{2}+p\,(s-q)\,x+q\,s\quad \Rightarrow \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle p^{2}+c=s+q\quad \quad {\frac {d}{p}}=s-q\quad \quad e=q\,s\quad \Rightarrow }$$

$${\displaystyle (p^{2}+c)^{2}-\left({\frac {d}{p}}\right)^{2}=4\,e}$$

Esta equação cúbica em ${\displaystyle p^{2}}$ é conhecida como a Resolvente de Descartes ^[6][7] . Existem três maneiras de particionar as quatro raízes da equação quártica em dois pares de raízes e, em seguida, duas maneiras para cada uma ordenar as quadráticas (${\displaystyle \pm p}$). Adicione e subtraia as duas primeiras equações de coeficiente para obter q e s.

Uma transformação de Möbius adequadamente escolhida pode transformar uma equação quártica em uma equação quadrática na nova variável elevada ao quadrado. Este é um método conhecido.^[8]

Encontrar tal transformação de Möbius envolve resolver uma equação cúbica e assim simplifica o problema. Por exemplo, comece com a equação quártica deprimida com coeficiente dominante unitário e com nem ${\displaystyle a_{1}}$ nem ${\displaystyle a_{0}}$ iguais a zero:

$${\displaystyle x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$$

e faça a transformação de Möbius:

$${\displaystyle x={\frac {A+By}{1+y}}}$$

Defina o primeiro e o terceiro coeficientes de ordem da equação quártica resultante em ${\displaystyle y}$ como zero. Após alguma álgebra, descobre-se que ${\displaystyle A+B}$ deve ser obtido a partir da equação cúbica

$${\displaystyle a_{1}(A+B)^{3}+(4a_{0}-2a_{1}a_{2}-{a_{2}}^{2})(A+B)^{2}-2a_{1}a_{2}(A+B)-{a_{1}}^{2}=0}$$

e, considerando ${\displaystyle A+B}$ como conhecido, ${\displaystyle A}$ deve ser obtido a partir da equação quadrática

$${\displaystyle 2(A+B)A^{2}-2(A+B)^{2}A-a_{2}(A+B)-a_{1}=0}$$

A resolução da equação quadrática resultante para ${\displaystyle y^{2}}$ fornece dois valores para ${\displaystyle y^{2}}$ e cada raiz quadrada de ${\displaystyle y^{2}}$ possui dois valores, resultando em um total de quatro soluções, como esperado.

A equação cúbica em ${\displaystyle {\textbf {A}}+{\textbf {B}}}$ dada anteriormente é a mesma que ${\displaystyle P^{2}-Q(A+B)^{2}=0}$, onde

$${\displaystyle P\equiv {\frac {b_{1}-b_{3}}{2(A-B)}}=2\,A\,B\,(A+B)+a_{2}(A+B)+a_{1}}$$

$${\displaystyle Q\equiv {\frac {B\,b_{1}-A\,b_{3}}{A-B}}=4A^{2}B^{2}-a_{1}(A+B)-4a_{0}=0}$$

Aqui b_i são os coeficientes do polinômio quártico em y. Isto mostra como essa equação foi obtida.

O grupo simétrico S₄ em quatro elementos tem o grupo de quatro de Klein como um subgrupo normal. Isso sugere o uso de uma resolvente cujas raízes podem ser descritas de várias maneiras como uma transformada discreta de Fourier ou uma transformação de matriz de Hadamard das raízes. Suponha que r_i para i de 0 a 3 sejam raízes de

${\displaystyle x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad (1)}$

Se definirmos agora

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}+r_{2}+r_{3}),\\s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}+r_{2}-r_{3}),\\s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}+r_{1}-r_{2}-r_{3}),\\s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(r_{0}-r_{1}-r_{2}+r_{3}),\end{aligned}}}$

então, como a transformação é uma involução, podemos expressar as raízes em termos dos quatro s_i exatamente da mesma maneira. Uma vez que conhecemos o valor de s₀ = −b/2, na realidade só precisamos dos valores para s₁, s₂ e s₃. Estes valores podem ser encontrados expandindo o polinômio

${\displaystyle \left(z^{2}-s_{1}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{2}^{2}\right)\left(z^{2}-s_{3}^{2}\right)\qquad (2)}$

o qual, se assumirmos a hipótese simplificadora de que b = 0, é igual a

${\displaystyle z^{6}+2cz^{4}+\left(c^{2}-4e\right)z^{2}-d^{2}\qquad (3)}$

Este polinômio é de grau seis, porém é de grau três apenas em z², e, portanto, a equação correspondente é resolúvel. Por tentativa, podemos determinar quais três raízes são as corretas e, consequentemente, encontrar as soluções da quártica.

Podemos remover qualquer necessidade de tentativa usando uma raiz do mesmo polinômio resolvente para fatoração; se w é uma raiz qualquer de (3), e se

${\displaystyle F_{1}=x^{2}+wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}-{\frac {cw^{3}}{d}}+2{\frac {ew}{d}}}$

${\displaystyle F_{2}=x^{2}-wx+{\frac {1}{2}}w^{2}+{\frac {1}{2}}c+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {w^{5}}{d}}+{\frac {cw^{3}}{d}}-2{\frac {ew}{d}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {c^{2}w}{d}}}$