John von Neumann

Von Neumann nasceu em Budapeste, Reino da Hungria (então parte da Áustria-Hungria),^[3][4][5] em 28 de dezembro de 1903, numa família judaica rica e não praticante. O seu nome de nascimento era Neumann János Lajos. Em húngaro, o sobrenome vem primeiro, e os seus nomes próprios são equivalentes a John Louis em inglês.^[6]

Ele era o mais velho de três irmãos; os seus dois irmãos mais novos eram Mihály (Michael) e Miklós (Nicholas).^[7] Seu pai, Neumann Miksa (Max von Neumann), era banqueiro e possuía um doutorado em direito. Ele havia se mudado de Pécs para Budapeste no final da década de 1880.^[8] O pai e o avô de Miksa nasceram em Ond (agora parte de Szerencs), no Condado de Zemplén, norte da Hungria. A mãe de John era Kann Margit (Margaret Kann);^[9] seus pais eram Kann Jákab e Meisels Katalin, da família Meisels.^[10] Três gerações da família Kann viveram em apartamentos espaçosos acima dos escritórios da Kann-Heller em Budapeste; a família de von Neumann ocupava um apartamento de 18 cômodos no andar superior.^[11]

Em 20 de fevereiro de 1913, o Imperador Francisco José I da Áustria elevou o pai de John à nobreza húngara pelos seus serviços ao Império Austro-Húngaro.^[12] A família Neumann adquiriu assim a denominação hereditária Margittai, que significa "de Margitta" (hoje Marghita, Romênia). A família não tinha ligação com a cidade; a denominação foi escolhida em referência a Margaret, assim como o brasão adotado retratando três margaridas. Neumann János tornou-se margittai Neumann János (John Neumann de Margitta), que ele mais tarde mudou para o alemão Johann von Neumann.^[13]

Von Neumann foi um menino prodígio.^[14] Ele, os seus irmãos e os seus primos foram instruídos por governantas. O pai de von Neumann acreditava que o conhecimento de outros idiomas além da sua língua húngara nativa era essencial, então as crianças receberam aulas de inglês, francês, alemão e italiano.^[15] Segundo uma lenda, aos oito anos, von Neumann estava familiarizado com o cálculo diferencial e integral, e aos doze já havia lido La Théorie des Fonctions de Émile Borel.^[16] Ele também se interessava por história, lendo a série de história mundial de 46 volumes de Wilhelm Oncken, Allgemeine Geschichte in Einzeldarstellungen (História Geral em Monografias).^[17] Um dos cômodos do apartamento foi convertido numa biblioteca e sala de leitura.^[18]

Von Neumann ingressou no Fasori Evangélikus Gimnázium luterano em 1914.^[19] Eugene Wigner estava um ano à frente de von Neumann na escola e logo se tornou seu amigo.^[20]

Embora o pai de von Neumann insistisse para que ele frequentasse a escola na série escolar apropriada à sua idade, ele concordou em contratar professores particulares para dar instrução avançada a von Neumann. Aos 15 anos, ele começou a estudar cálculo avançado com o analista Gábor Szegő.^[20] No primeiro encontro, Szegő ficou tão impressionado com o talento matemático e a velocidade de von Neumann que, como recordou sua esposa, ele voltou para casa com lágrimas nos olhos.^[21] Aos 19 anos, von Neumann havia publicado dois importantes artigos matemáticos, o segundo dos quais dava a definição moderna de números ordinais, que substituiu a definição de Georg Cantor.^[22] Ao concluir a sua educação no ginásio, ele se candidatou e ganhou o Prêmio Eötvös, um prêmio nacional de matemática.^[23]

De acordo com o seu amigo Theodore von Kármán, o pai de von Neumann queria que John o seguisse na indústria e pediu a von Kármán que persuadisse o filho a não cursar matemática.^[24] Von Neumann e seu pai decidiram que o melhor plano de carreira seria a engenharia química. Isso não era algo sobre o qual von Neumann tivesse muito conhecimento, então foi arranjado para que ele fizesse um curso de química de dois anos, sem obtenção de diploma, na Universidade de Berlim, após o qual ele prestou o exame de admissão para a ETH Zurique,^[25] no qual foi aprovado em setembro de 1923.^[26] Simultaneamente, von Neumann ingressou na Universidade Pázmány Péter, então conhecida como Universidade de Budapeste, como candidato a Ph.D. em matemática.^[27] Para a sua tese, ele produziu uma axiomatização da teoria dos conjuntos de Cantor.^[28][29] Em 1926, formou-se como engenheiro químico pela ETH Zurique e simultaneamente passou em seus exames finais summa cum laude para o seu Ph.D. em matemática (com especializações menores em física experimental e química) na Universidade de Budapeste.^[30][31]

Ele então foi para a Universidade de Göttingen com uma bolsa da Fundação Rockefeller para estudar matemática sob a orientação de David Hilbert.^[32] Hermann Weyl lembra como, no inverno de 1926–1927, von Neumann, Emmy Noether e ele caminhavam pelas "ruas frias, molhadas e chuvosas de Göttingen" após a aula, discutindo sistemas de números hipercomplexos e as suas representações.^[33]

Em 1955, uma massa foi encontrada perto da clavícula de von Neumann, que acabou sendo um câncer originário no esqueleto, no pâncreas ou na próstata. (Embora haja um consenso geral de que o tumor havia sofrido metástase, as fontes divergem sobre a localização do câncer primário.)^[67][68] A malignidade pode ter sido causada pela exposição à radiação no Laboratório Nacional de Los Alamos.^[69] À medida que a morte se aproximava, ele pediu um padre, embora o padre mais tarde tenha lembrado que von Neumann encontrou pouco conforto em receber a extrema-unção — ele permaneceu aterrorizado com a morte e incapaz de aceitá-la.^{[70][71][72][73]} Sobre as suas visões religiosas, von Neumann teria dito: "Contanto que haja a possibilidade de danação eterna para os não crentes, é mais lógico ser um crente no final", referindo-se à Aposta de Pascal. Ele confidenciou à sua mãe: "Provavelmente tem que haver um Deus. Muitas coisas são mais fáceis de explicar se houver do que se não houver."^[74][75]

Ele morreu como católico romano^[39] em 8 de fevereiro de 1957, aos 53 anos, no Hospital Médico do Exército Walter Reed, e foi enterrado no Cemitério de Princeton.^[76][77]

No início do século XX, os esforços para basear a matemática na teoria ingênua dos conjuntos sofreram um revés devido ao paradoxo de Russell (sobre o conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos).^[78] O problema de uma axiomatização adequada da teoria dos conjuntos foi resolvido implicitamente cerca de vinte anos depois por Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel. A teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel forneceu uma série de princípios que permitiram a construção dos conjuntos usados na prática diária da matemática, mas não excluiu explicitamente a possibilidade da existência de um conjunto que pertencesse a si mesmo. Na sua tese de doutorado de 1925, von Neumann demonstrou duas técnicas para excluir tais conjuntos — o axioma da fundação e a noção de classe.^[79]

O axioma da fundação propunha que todo conjunto pode ser construído de baixo para cima numa sucessão ordenada de passos por meio dos princípios de Zermelo-Fraenkel. Se um conjunto pertence a outro, então o primeiro deve necessariamente vir antes do segundo na sucessão. Isso exclui a possibilidade de um conjunto pertencer a si mesmo. Para demonstrar que a adição deste novo axioma aos outros não produzia contradições, von Neumann introduziu o método dos modelos internos, que se tornou um instrumento de demonstração essencial na teoria dos conjuntos.

A segunda abordagem ao problema dos conjuntos que pertencem a si mesmos tomou como base a noção de classe, e define um conjunto como uma classe que pertence a outras classes, enquanto uma classe própria é definida como uma classe que não pertence a outras classes. Na abordagem de Zermelo-Fraenkel, os axiomas impedem a construção de um conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos. Em contraste, na abordagem de von Neumann, a classe de todos os conjuntos que não pertencem a si mesmos pode ser construída, mas é uma classe própria, não um conjunto.

No geral, a maior conquista de von Neumann na teoria dos conjuntos foi uma "axiomatização da teoria dos conjuntos e (ligada a isso) uma teoria elegante dos números ordinais e cardinais, bem como a primeira formulação estrita dos princípios de definições pela indução transfinita".^[80]

Com as contribuições de von Neumann aos conjuntos, o sistema axiomático da teoria dos conjuntos evitou as contradições dos sistemas anteriores e tornou-se utilizável como um fundamento para a matemática, apesar da falta de uma prova de sua consistência. A próxima questão era se ele fornecia respostas definitivas para todas as questões matemáticas que pudessem ser propostas nele, ou se poderia ser melhorado adicionando axiomas mais fortes que pudessem ser usados para provar uma classe mais ampla de teoremas.^[83]

Em 1927, von Neumann já estava envolvido nas discussões em Göttingen sobre se a aritmética elementar derivava dos Axiomas de Peano.^[84] Construindo sobre o trabalho de Wilhelm Ackermann, ele começou a tentar provar (usando os métodos finitistas da escola de Hilbert) a consistência da aritmética de primeira ordem. Ele conseguiu provar a consistência de um fragmento da aritmética dos números naturais (através do uso de restrições na indução).^[85] Ele continuou procurando uma prova mais geral da consistência da matemática clássica usando métodos da teoria da demonstração.^[86]

Uma resposta fortemente negativa para a questão de se o sistema era definitivo chegou em setembro de 1930 na Segunda Conferência de Epistemologia das Ciências Exatas, na qual Kurt Gödel anunciou seu primeiro teorema da incompletude: os sistemas axiomáticos usuais são incompletos, no sentido de que não podem provar toda verdade expressível em sua linguagem. Além disso, toda extensão consistente desses sistemas permanece necessariamente incompleta.^[87] Na conferência, von Neumann sugeriu a Gödel que ele deveria tentar transformar os seus resultados para proposições indecidíveis sobre números inteiros.^[88]

Menos de um mês depois, von Neumann comunicou a Gödel uma consequência interessante de seu teorema: os sistemas axiomáticos usuais são incapazes de demonstrar a sua própria consistência.^[87] Gödel respondeu que já havia descoberto essa consequência, hoje conhecida como o seu segundo teorema da incompletude, e que enviaria um preprint do seu artigo contendo ambos os resultados, que nunca apareceu.^[89][90][91] Von Neumann reconheceu a prioridade de Gödel em sua carta seguinte.^[92] No entanto, o método de prova de von Neumann diferia do de Gödel, e ele também opinava que o segundo teorema da incompletude desferira um golpe muito mais forte no programa de Hilbert do que Gödel pensava.^[93][94] Com essa descoberta, que mudou drasticamente a sua visão sobre o rigor matemático, von Neumann cessou a pesquisa nos fundamentos da matemática e na metamatemática e passou a se dedicar a problemas ligados a aplicações.^[95]

Em uma série de artigos publicados em 1932, von Neumann fez contribuições fundamentais para a teoria ergódica, um ramo da matemática que envolve os estados de sistemas dinâmicos com uma medida invariante.^[96] Sobre os artigos de 1932 na teoria ergódica, Paul Halmos escreveu que mesmo "se von Neumann nunca tivesse feito mais nada, eles seriam suficientes para lhe garantir a imortalidade matemática".^[97] Nessa época, von Neumann já havia escrito os seus artigos sobre a teoria dos operadores, e a aplicação desse trabalho foi fundamental em seu teorema ergódico médio.^[98]

O teorema trata de grupos unitários a um parâmetro arbitrários ${\displaystyle {\mathit {t}}\to {\mathit {V_{t}}}}$ e afirma que para todo vetor ${\displaystyle \phi }$ no espaço de Hilbert, ${\textstyle \lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}V_{t}(\phi )\,dt}$ existe no sentido da métrica definida pela norma de Hilbert e é um vetor ${\displaystyle \psi }$ que é tal que ${\displaystyle V_{t}(\psi )=\psi }$ para todo ${\displaystyle t}$. Isso foi provado no primeiro artigo. No segundo artigo, von Neumann argumentou que seus resultados aqui eram suficientes para aplicações físicas relacionadas à hipótese ergódica de Boltzmann. Ele também apontou que a ergodicidade ainda não havia sido alcançada e isolou isso para trabalhos futuros.^[99]

Mais tarde naquele ano, ele publicou outro artigo influente que iniciou o estudo sistemático da ergodicidade. Ele deu e provou um teorema de decomposição mostrando que as ações ergódicas de preservação da medida da reta real são os blocos de construção fundamentais a partir dos quais todas as ações de preservação da medida podem ser construídas. Vários outros teoremas importantes foram dados e provados. Os resultados neste artigo e em outro, em conjunto com Paul Halmos, têm aplicações significativas em outras áreas da matemática.^[100]

Na teoria da medida, o "problema da medida" para um espaço euclidiano n-dimensional Rⁿ pode ser enunciado como: "existe uma função de conjunto aditiva, invariante, normalizada e positiva na classe de todos os subconjuntos de Rⁿ?"^[101] O trabalho de Felix Hausdorff e Stefan Banach havia implicado que o problema da medida tem uma solução positiva se n = 1 ou n = 2 e uma solução negativa (devido ao Paradoxo de Banach-Tarski) em todos os outros casos. O trabalho de von Neumann argumentou que o "problema é de caráter essencialmente teórico em grupos": a existência de uma medida poderia ser determinada observando-se as propriedades do grupo de transformações do espaço dado. A solução positiva para espaços de dimensão no máximo dois, e a solução negativa para dimensões superiores, advém do fato de que o grupo euclidiano é um grupo solúvel para dimensão no máximo dois, e não é solúvel para dimensões superiores. "Assim, de acordo com von Neumann, é a mudança de grupo que faz a diferença, não a mudança de espaço."^[102] Por volta de 1942, ele disse a Dorothy Maharam como provar que todo espaço de medida σ-finito completo tem um levantamento multiplicativo; ele não publicou essa prova e ela mais tarde elaborou uma nova.^[103]

Num grande número de artigos de von Neumann, os métodos de argumento que ele empregou são considerados ainda mais significativos do que os resultados. Em antecipação a seu posterior estudo da teoria da dimensão em álgebras de operadores, von Neumann usou resultados sobre equivalência por decomposição finita e reformulou o problema da medida em termos de funções.^[104] Uma importante contribuição que von Neumann deu à teoria da medida foi o resultado de um artigo escrito para responder a uma pergunta de Haar sobre se existia uma álgebra de todas as funções limitadas na reta dos números reais, tal que formassem "um sistema completo de representantes das classes de funções limitadas mensuráveis quase em toda parte iguais".^[105] Ele provou isso positivamente e, em artigos posteriores com Stone, discutiu várias generalizações e aspectos algébricos desse problema.^[106] Ele também provou por novos métodos a existência de desintegrações para vários tipos gerais de medidas. Von Neumann também deu uma nova prova sobre a unicidade das medidas de Haar utilizando os valores médios das funções, embora esse método só funcionasse para grupos compactos.^[105] Ele teve que criar técnicas inteiramente novas para aplicar isso a grupos localmente compactos.^[107] Ele também apresentou uma prova nova e engenhosa para o Teorema de Radon-Nikodym.^[108] Suas notas de aula sobre a teoria da medida no Instituto de Estudos Avançados foram uma fonte importante de conhecimento sobre o tópico na América da época, e foram publicadas mais tarde.^{[109][110][111]}

Aproveitando o seu trabalho anterior na teoria da medida, von Neumann fez várias contribuições à teoria dos grupos topológicos, começando com um artigo sobre funções quase periódicas em grupos, onde von Neumann estendeu a teoria das funções quase periódicas de Bohr para grupos arbitrários.^[112] Ele continuou esse trabalho com outro artigo, em conjunto com Bochner, que aprimorou a teoria da quase periodicidade para incluir funções que assumiam elementos de espaços lineares como valores, em vez de números.^[113] Em 1938, foi laureado com o Prêmio Memorial Bôcher por seu trabalho em análise relacionado a esses artigos.^[114][115]

Num artigo de 1933, ele usou a recém-descoberta medida de Haar para resolver o quinto problema de Hilbert para o caso de grupos compactos.^[116] A ideia básica por trás disso fora descoberta vários anos antes, quando von Neumann publicou um artigo sobre as propriedades analíticas dos grupos de transformações lineares e descobriu que subgrupos fechados de um grupo linear geral são grupos de Lie.^[117] Isso foi estendido mais tarde por Cartan a grupos de Lie arbitrários na forma do teorema do subgrupo fechado.^[118][105]

Von Neumann foi o primeiro a definir axiomaticamente um espaço de Hilbert abstrato. Ele definiu-o como um espaço vetorial complexo com um produto escalar hermitiano, com a norma correspondente sendo tanto separável quanto completa. Nos mesmos artigos, ele também provou a forma geral da Desigualdade de Cauchy-Schwarz que até então era conhecida apenas em exemplos específicos.^[119] Ele continuou com o desenvolvimento da teoria espectral de operadores no espaço de Hilbert em três artigos fundamentais entre 1929 e 1932.^[120] Este trabalho culminou em seu Fundamentos Matemáticos da Mecânica Quântica, que, ao lado de outros dois livros de Stone e Banach no mesmo ano, foram as primeiras monografias sobre a teoria do espaço de Hilbert.^[121] Trabalhos anteriores de outros matemáticos mostravam que uma teoria de topologias fracas não poderia ser obtida pelo uso de sequências. Von Neumann foi o primeiro a delinear um programa de como superar as dificuldades, o que resultou na definição de espaços localmente convexos e espaços vetoriais topológicos pela primeira vez. Além disso, várias outras propriedades topológicas que ele definiu na época (ele foi um dos primeiros matemáticos a aplicar novas ideias topológicas de Hausdorff de espaços euclidianos a espaços de Hilbert)^[122], como limitação e limitação total, ainda são usadas hoje.^[123] Durante vinte anos, von Neumann foi considerado o 'mestre indiscutível' desta área.^[105] Estes desenvolvimentos foram impulsionados principalmente por necessidades na mecânica quântica, onde von Neumann percebeu a necessidade de estender a teoria espectral de operadores hermitianos do caso limitado para o não limitado.^[124] Outras conquistas importantes nestes artigos incluem uma elucidação completa da teoria espectral para operadores normais, a primeira apresentação abstrata do traço de um operador positivo,^[125][126] uma generalização da apresentação de Riesz dos teoremas espectrais de Hilbert na época, e a descoberta de operadores hermitianos num espaço de Hilbert, como algo distinto dos operadores autoadjuntos, o que lhe permitiu dar uma descrição de todos os operadores hermitianos que estendem um dado operador hermitiano. Ele escreveu um artigo detalhando como o uso de matrizes infinitas, comum na época na teoria espectral, era inadequado como uma representação para operadores hermitianos. Seu trabalho na teoria de operadores levou à sua invenção mais profunda na matemática pura, o estudo de álgebras de von Neumann e, em geral, de álgebras de operadores.^[127]

O seu trabalho posterior sobre anéis de operadores levou-o a revisitar seu trabalho na teoria espectral e fornecer uma nova forma de trabalhar com o conteúdo geométrico por meio do uso de integrais diretas de espaços de Hilbert.

Como no seu trabalho sobre a teoria da medida, ele provou vários teoremas que não encontrou tempo para publicar. Ele contou a Nachman Aronszajn e K. T. Smith que, no início da década de 1930, ele provou a existência de subespaços invariantes próprios para operadores completamente contínuos em um espaço de Hilbert enquanto trabalhava no problema do subespaço invariante.^[128]

Junto com I. J. Schoenberg, ele escreveu vários artigos investigando métricas hilbertianas invariantes por translação na reta dos números reais, o que resultou na sua classificação completa. A motivação deles residia em várias questões relacionadas ao mergulho de espaços métricos em espaços de Hilbert.^[129][130]

Com Pascual Jordan, ele escreveu um artigo curto dando a primeira derivação de uma determinada norma a partir de um produto interno por meio da identidade do paralelogramo.^[131] Sua desigualdade de traço é um resultado chave da teoria de matrizes, usado em problemas de aproximação de matrizes.^[132] Ele também apresentou primeiro a ideia de que o dual de uma pré-norma é uma norma no primeiro grande artigo discutindo a teoria das normas unitariamente invariantes e funções de calibre simétricas (hoje conhecidas como normas absolutas simétricas).^{[133][134][135]} Esse artigo leva naturalmente ao estudo de ideais de operadores simétricos e é o ponto de partida para os estudos modernos de espaços de operadores simétricos.^[136]

Posteriormente, junto com Robert Schatten, ele iniciou o estudo de operadores nucleares em espaços de Hilbert,^[137][138] produtos tensoriais de espaços de Banach,^[139] introduziu e estudou operadores de classe do traço,^[140] os seus ideais, e sua dualidade com operadores compactos, e pré-dualidade com operadores limitados.^[141] A generalização desse tópico para o estudo de operadores nucleares em espaços de Banach foi uma das primeiras conquistas de Alexander Grothendieck.^[142][143] Anteriormente, em 1937, von Neumann havia publicado vários resultados nesta área, por exemplo, dando a escala de 1 parâmetro de diferentes normas cruzadas em ${\displaystyle {\textit {l}}\,_{2}^{n}\otimes {\textit {l}}\,_{2}^{n}}$ e provando vários outros resultados sobre o que agora são conhecidos como ideais de Schatten-von Neumann.^[144]

Ver artigo principal: Álgebra de von Neumann

Von Neumann fundou o estudo de anéis de operadores, através das álgebras de von Neumann (originalmente chamadas de álgebras W*). Embora suas ideias originais para anéis de operadores já existissem em 1930, ele não começou a estudá-las a fundo até conhecer Francis Joseph Murray vários anos depois.^[145][146] Uma álgebra de von Neumann é uma *-álgebra de operadores limitados num espaço de Hilbert que é fechada na topologia fraca de operadores e contém o operador identidade.^[147] O teorema do bicomutante de von Neumann mostra que a definição analítica é equivalente a uma definição puramente algébrica de ser igual ao bicomutante.^[148] Após elucidar o estudo do caso da álgebra comutativa, von Neumann embarcou em 1936, com a colaboração parcial de Murray, no caso não comutativo, o estudo geral da classificação dos fatores das álgebras de von Neumann. Os seis principais artigos nos quais ele desenvolveu essa teoria entre 1936 e 1940 "figuram entre as obras-primas da análise no século XX";^[149] eles reúnem muitos resultados fundamentais e iniciaram vários programas na teoria de álgebras de operadores nos quais os matemáticos trabalharam por décadas depois. Um exemplo é a classificação de fatores.^[150] Além disso, em 1938 ele provou que toda álgebra de von Neumann em um espaço de Hilbert separável é uma integral direta de fatores; ele só encontrou tempo para publicar esse resultado em 1949.^[151][152] As álgebras de von Neumann relacionam-se estreitamente com uma teoria de integração não comutativa, algo que von Neumann sugeriu no seu trabalho, mas não escreveu explicitamente.^[153][154] Outro resultado importante sobre a decomposição polar foi publicado em 1932.^[155]

Entre 1935 e 1937, von Neumann trabalhou na teoria dos reticulados, a teoria dos conjuntos parcialmente ordenados na qual cada par de elementos tem um ínfimo (maior limite inferior) e um supremo (menor limite superior). Como escreveu Garrett Birkhoff, "A mente brilhante de John von Neumann resplandeceu sobre a teoria dos reticulados como um meteoro".^[156] Von Neumann combinou a geometria projetiva tradicional com a álgebra moderna (álgebra linear, teoria dos anéis, teoria dos reticulados). Muitos resultados anteriormente geométricos puderam então ser interpretados no caso de módulos gerais sobre anéis. O seu trabalho estabeleceu as bases para parte do trabalho moderno na geometria projetiva.^[157]

Sua maior contribuição foi a fundação do campo da geometria contínua.^[158] Isso seguiu-se ao seu trabalho pioneiro sobre anéis de operadores. Em matemática, a geometria contínua é um substituto da geometria projetiva complexa, onde, em vez de a dimensão de um subespaço ser um conjunto discreto ${\displaystyle 0,1,...,{\mathit {n}}}$, ela pode ser um elemento do intervalo unitário ${\displaystyle [0,1]}$. Anteriormente, Karl Menger e Birkhoff haviam axiomatizado a geometria projetiva complexa em termos das propriedades do seu reticulado de subespaços lineares. Von Neumann, na sequência de seu trabalho sobre anéis de operadores, enfraqueceu esses axiomas para descrever uma classe mais ampla de reticulados, as geometrias contínuas.

Enquanto as dimensões dos subespaços das geometrias projetivas são um conjunto discreto (os inteiros não-negativos), as dimensões dos elementos de uma geometria contínua podem variar de forma contínua em todo o intervalo unitário ${\displaystyle [0,1]}$. Von Neumann foi motivado pela sua descoberta das álgebras de von Neumann com uma função de dimensão assumindo um intervalo contínuo de dimensões, e o primeiro exemplo de uma geometria contínua diferente do espaço projetivo foram as projeções do fator hiperfinito do tipo II.^[159][160]

No seu trabalho mais puro sobre a teoria dos reticulados, ele resolveu o difícil problema de caracterizar a classe da ${\displaystyle {\mathit {CG(F)}}}$ (geometria projetiva de dimensão contínua sobre um anel de divisão arbitrário ${\displaystyle {\mathit {F}}\,}$) na linguagem abstrata da teoria dos reticulados.^[161] Von Neumann forneceu uma exploração abstrata da dimensão em reticulados topológicos modulares complementados completos (propriedades que surgem nos reticulados de subespaços de espaços com produto interno):

A dimensão é determinada, a menos de uma transformação linear positiva, pelas duas propriedades a seguir. É conservada por mapeamentos de perspectiva ("perspectividades") e ordenada por inclusão. A parte mais profunda da prova diz respeito à equivalência de perspectividade com "projetividade por decomposição" — da qual um corolário é a transitividade da perspectividade.

Para qualquer inteiro ${\displaystyle n>3}$ toda geometria projetiva abstrata de dimensão ${\displaystyle {\mathit {n}}}$ é isomorfa ao reticulado de subespaços de um espaço vetorial ${\displaystyle V_{n}(F)}$ de dimensão ${\displaystyle {\mathit {n}}}$ sobre um (único) anel de divisão correspondente ${\displaystyle F}$. Isto é conhecido como o Teorema de Veblen-Young. Von Neumann estendeu este resultado fundamental da geometria projetiva para o caso dimensional contínuo.^[162] Este teorema da coordenação estimulou trabalhos consideráveis na geometria projetiva abstrata e na teoria dos reticulados, muito dos quais continuaram utilizando as técnicas de von Neumann.

^[163] Birkhoff descreveu este teorema da seguinte forma:

Qualquer reticulado modular complementado L tendo uma "base" de n ≥ 4 elementos em perspectiva aos pares, é isomorfo com o reticulado ℛ(R) de todos os ideais à direita principais de um anel regular adequado R. Esta conclusão é o culminar de 140 páginas de álgebra brilhante e incisiva envolvendo axiomas inteiramente novos. Qualquer um que deseje ter uma impressão inesquecível do fio da navalha da mente de von Neumann, precisa apenas tentar seguir essa cadeia de raciocínio exato por si mesmo — percebendo que muitas vezes cinco páginas dela foram escritas antes do café da manhã, sentado numa escrivaninha na sala de estar de roupão.^[164]

Este trabalho exigiu a criação de anéis regulares.^[165] Um anel regular de von Neumann é um anel onde para todo ${\displaystyle a}$, existe um elemento ${\displaystyle x}$ tal que ${\displaystyle axa=a}$.^[164] Estes anéis vieram e têm conexões com o seu trabalho em álgebras de von Neumann, bem como álgebras AW* e vários tipos de álgebras C*.^[166]

Muitos resultados técnicos menores foram provados durante a criação e prova dos teoremas acima, particularmente em relação à distributividade (tal como a distributividade infinita), que von Neumann desenvolvia conforme a necessidade. Ele também elaborou uma teoria de valorizações em reticulados e compartilhou no desenvolvimento da teoria geral de reticulados métricos.^[167]

Birkhoff observou em seu artigo póstumo sobre von Neumann que a maioria desses resultados foi desenvolvida em um intenso período de dois anos de trabalho, e que enquanto os seus interesses continuaram na teoria dos reticulados após 1937, eles se tornaram periféricos e ocorreram principalmente em cartas a outros matemáticos. Uma contribuição final, em 1940, foi para um seminário conjunto que ele conduziu com Birkhoff no Instituto de Estudos Avançados sobre o tema, onde desenvolveu uma teoria de anéis ordenados de reticulados σ-completos. Ele nunca redigiu o trabalho para publicação.^[168]

Von Neumann fez contribuições fundamentais para a estatística matemática. Em 1941, ele derivou a distribuição exata da razão do quadrado médio de diferenças sucessivas para a variância da amostra em variáveis independentes e identicamente distribuídas normalmente.^[169] Esta razão foi aplicada aos resíduos de modelos de regressão e é comumente conhecida como a Estatística Durbin-Watson^[170] para testar a hipótese nula de que os erros são serialmente independentes contra a alternativa de que eles seguem uma autorregressão estacionária de primeira ordem.^[170]

Posteriormente, Denis Sargan e Alok Bhargava estenderam os resultados para testar se os erros num modelo de regressão seguem um passeio aleatório Gaussiano (i.e., possuem uma raiz unitária) contra a alternativa de que são uma autorregressão estacionária de primeira ordem.^[171]

Em seus primeiros anos, von Neumann publicou vários artigos relacionados à análise real na teoria dos conjuntos e à teoria dos números.^[172] Em um artigo de 1925, ele provou que, para qualquer sequência densa de pontos em ${\displaystyle [0,1]}$, existia um rearranjo desses pontos que era uniformemente distribuído.^{[173][174][175]} Em 1926, sua única publicação foi sobre a teoria dos números algébricos ideais de Heinz Prüfer, na qual ele encontrou uma nova maneira de os construir, estendendo assim a teoria de Prüfer ao corpo de todos os números algébricos, e esclareceu a sua relação com os números p-ádicos.^{[176][177][178][179][180]}

Em 1928, ele publicou dois artigos adicionais continuando com esses temas. O primeiro tratava do particionamento de um intervalo numa quantidade enumerável de subconjuntos congruentes. Isso resolveu um problema de Hugo Steinhaus que questionava se um intervalo é ${\displaystyle \aleph _{0}}$-divisível. Von Neumann provou que, de fato, todos os intervalos (semiabertos, abertos ou fechados) são ${\displaystyle \aleph _{0}}$-divisíveis por translações (ou seja, que esses intervalos podem ser decompostos em ${\displaystyle \aleph _{0}}$ subconjuntos que são congruentes por translação).^{[181][182][183][184]} Seu artigo seguinte tratava de dar uma prova construtiva, sem o axioma da escolha, de que existiam ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ reais algebricamente independentes. Ele provou que os números do tipo ${\displaystyle A_{r}=\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{2^{[nr]}}\!{\big /}\,2^{2^{n^{2}}}}$ são algebricamente independentes para ${\displaystyle r>0}$. Consequentemente, existe um conjunto perfeito algebricamente independente de reais no tamanho do contínuo.^{[185][186][187][188]} Outros resultados menores do início da sua carreira incluem uma prova de um princípio do máximo para o gradiente de uma função minimizadora no campo do cálculo de variações,^{[189][190][191][192]} e uma pequena simplificação do teorema de Hermann Minkowski para formas lineares na teoria geométrica dos números.^{[193][194][195]}

Mais tarde em sua carreira, junto com Pascual Jordan e Eugene Wigner, ele escreveu um artigo fundamental classificando todas as álgebras de Jordan formalmente reais de dimensão finita e descobrindo as álgebras de Albert enquanto tentavam encontrar um formalismo matemático melhor para a teoria quântica.^[196][197] Em 1936, ele tentou levar adiante o programa de substituir os axiomas do seu programa anterior no espaço de Hilbert pelos das álgebras de Jordan^[198] num artigo investigando o caso de dimensão infinita; ele planejou escrever pelo menos mais um artigo sobre o tópico, mas nunca o fez.^[199] No entanto, esses axiomas formaram a base para investigações posteriores da mecânica quântica algébrica iniciadas por Irving Segal.^[200][201]

Von Neumann foi o primeiro a estabelecer uma estrutura matemática rigorosa para a mecânica quântica, conhecida como os Axiomas de Dirac-von Neumann, na sua influente obra de 1932 Fundamentos Matemáticos da Mecânica Quântica.^[202] Após ter concluído a axiomatização da teoria dos conjuntos, ele começou a confrontar a axiomatização da mecânica quântica. Ele percebeu em 1926 que o estado de um sistema quântico poderia ser representado por um ponto num espaço de Hilbert (complexo) que, em geral, poderia ser de dimensão infinita, mesmo para uma única partícula. Neste formalismo da mecânica quântica, grandezas observáveis como posição ou momento são representadas como operadores lineares agindo no espaço de Hilbert associado ao sistema quântico.^[203]

A física da mecânica quântica foi assim reduzida à matemática dos espaços de Hilbert e dos operadores lineares que neles atuam. Por exemplo, o princípio da incerteza, segundo o qual a determinação da posição de uma partícula impede a determinação de seu momento e vice-versa, é traduzido na não comutatividade dos dois operadores correspondentes. Esta nova formulação matemática incluiu como casos especiais as formulações tanto de Heisenberg quanto de Schrödinger.^[203]

O tratamento abstrato de von Neumann permitiu-lhe confrontar a questão fundamental do determinismo versus não determinismo, e no livro ele apresentou uma prova de que os resultados estatísticos da mecânica quântica possivelmente não poderiam ser médias de um conjunto subjacente de "variáveis ocultas" determinadas, como na mecânica estatística clássica. Em 1935, Grete Hermann publicou um artigo argumentando que a prova continha um erro conceitual e era, portanto, inválida.^[204] O trabalho de Hermann foi amplamente ignorado até que John S. Bell apresentou essencialmente o mesmo argumento em 1966.^[205] Em 2010, Jeffrey Bub argumentou que Bell havia interpretado mal a prova de von Neumann, e apontou que a prova, embora não válida para todas as teorias de variáveis ocultas, exclui um subconjunto bem definido e importante. Bub também sugere que von Neumann estava ciente desta limitação e não alegou que a sua prova excluísse completamente as teorias de variáveis ocultas.^[206] A validade do argumento de Bub é, por sua vez, contestada. O Teorema de Gleason de 1957 forneceu um argumento contra as variáveis ocultas nos moldes do de von Neumann, mas baseado em suposições vistas como mais bem motivadas e com mais significado físico.^[207][208]

A prova de von Neumann inaugurou uma linha de investigação que acabou por conduzir, através do Teorema de Bell e das experiências de Alain Aspect em 1982, à demonstração de que a física quântica ou exige uma noção de realidade substancialmente diferente da física clássica, ou deve incluir a não-localidade em aparente violação da relatividade especial.^[209]

Num capítulo de Os Fundamentos Matemáticos da Mecânica Quântica, von Neumann analisou profundamente o chamado problema da medição. Ele concluiu que todo o universo físico poderia estar sujeito ao colapso da função de onda universal. Uma vez que algo "fora do cálculo" era necessário para colapsar a função de onda, von Neumann concluiu que o colapso era causado pela consciência do experimentador. Ele argumentou que a matemática da mecânica quântica permite que o colapso da função de onda seja colocado em qualquer posição na cadeia causal, desde o dispositivo de medição até à "consciência subjetiva" do observador humano. Por outras palavras, embora a linha entre observador e observado pudesse ser traçada em diferentes lugares, a teoria só faz sentido se um observador existir algures.^[210] Embora a ideia da consciência causar o colapso tenha sido aceita por Eugene Wigner,^[211] esta interpretação nunca ganhou aceitação entre a maioria dos físicos.^[212]

Embora as teorias da mecânica quântica continuem a evoluir, a estrutura básica para o formalismo matemático de problemas em mecânica quântica subjacente à maioria das abordagens pode ser rastreada até aos formalismos matemáticos e técnicas utilizados primeiramente por von Neumann. Discussões sobre a interpretação da teoria, e extensões da mesma, são agora conduzidas principalmente com base em pressupostos partilhados sobre os fundamentos matemáticos.^[202]

Ao ver o trabalho de von Neumann sobre mecânica quântica como parte do cumprimento do Sexto problema de Hilbert, o físico matemático Arthur Wightman disse em 1974 que a sua axiomatização da teoria quântica era talvez a mais importante axiomatização de uma teoria física até então. Com o seu livro de 1932, a mecânica quântica tornou-se uma teoria madura no sentido de que tinha uma forma matemática precisa, o que permitia respostas claras a problemas conceituais.^[213] Não obstante, von Neumann nos seus últimos anos sentiu que tinha falhado neste aspecto do seu trabalho científico, pois apesar de toda a matemática que desenvolveu, não encontrou um quadro matemático satisfatório para a teoria quântica como um todo.^[214][215]

Matriz densidade

Ver artigo principal: Matriz densidade

O formalismo dos operadores e matrizes densidade foi introduzido por von Neumann^[219] em 1927 e de forma independente, mas menos sistemática, por Lev Landau^[220] e Felix Bloch^[221] em 1927 e 1946, respectivamente. A matriz densidade permite a representação de misturas probabilísticas de estados quânticos (estados mistos) em contraste com as funções de onda, que apenas podem representar estados puros.^[222]

Lógica quântica

Ver artigo principal: Lógica quântica

Von Neumann propôs pela primeira vez uma lógica quântica no seu tratado de 1932 Fundamentos Matemáticos da Mecânica Quântica, onde observou que as projeções num espaço de Hilbert podem ser vistas como proposições sobre observáveis físicas. O campo da lógica quântica foi subsequentemente inaugurado num artigo de 1936 por von Neumann e Garrett Birkhoff, os primeiros a introduzir lógicas quânticas,^[225] em que von Neumann e Birkhoff provaram pela primeira vez que a mecânica quântica requer um cálculo proposicional substancialmente diferente de todas as lógicas clássicas e isolaram rigorosamente uma nova estrutura algébrica para lógicas quânticas. O conceito de criar um cálculo proposicional para a lógica quântica foi delineado pela primeira vez numa secção curta na obra de von Neumann de 1932, mas em 1936 a necessidade do novo cálculo proposicional foi demonstrada através de várias provas. Por exemplo, fotões não conseguem passar através de dois filtros sucessivos que estão polarizados perpendicularmente (por ex., horizontalmente e verticalmente), e portanto, a fortiori, não pode passar se um terceiro filtro polarizado diagonalmente for adicionado aos outros dois, quer antes ou depois deles na sucessão, mas se o terceiro filtro for adicionado entre os outros dois, os fotões irão de facto passar. Este fato experimental é traduzível para lógica como a não comutatividade da conjunção ${\displaystyle (A\land B)\neq (B\land A)}$. Foi também demonstrado que as leis da distribuição da lógica clássica, ${\displaystyle P\lor (Q\land R)={}}$${\displaystyle (P\lor Q)\land (P\lor R)}$ e ${\displaystyle P\land (Q\lor R)={}}$${\displaystyle (P\land Q)\lor (P\land R)}$, não são válidas para a teoria quântica.^[226]

A razão para isto é que uma disjunção quântica, ao contrário do caso da disjunção clássica, pode ser verdadeira mesmo quando ambos os disjuntos são falsos e isto é, por sua vez, atribuível ao fato de ser frequentemente o caso na mecânica quântica que um par de alternativas seja semanticamente determinado, enquanto cada um dos seus membros é necessariamente indeterminado. Consequentemente, a lei distributiva da lógica clássica deve ser substituída por uma condição mais fraca.^[226] Em vez de um reticulado distributivo, as proposições sobre um sistema quântico formam um reticulado ortomodular isomorfo ao reticulado de subespaços do espaço de Hilbert associado a esse sistema.^[227]

Contudo, ele nunca esteve satisfeito com o seu trabalho em lógica quântica. A sua intenção era que fosse uma síntese conjunta de lógica formal e teoria das probabilidades e quando tentou escrever um artigo para a Palestra Henry Joseph que deu na Sociedade Filosófica de Washington em 1945, descobriu que não conseguia, especialmente dado que estava ocupado com o trabalho de guerra nessa altura. Durante o seu discurso no Congresso Internacional de Matemáticos de 1954, apresentou esta questão como um dos problemas não resolvidos em que os futuros matemáticos poderiam trabalhar.^[228][229]

Durante a Segunda Guerra Mundial, von Neumann deu contributos fundamentais no campo da dinâmica de fluidos, incluindo a clássica solução de fluxo para ondas de explosão agora chamada de Onda de explosão de Taylor-von Neumann-Sedov em homenagem a três cientistas que a conceberam de forma independente,^[230] e a codescoberta (independentemente por Yakov Borisovich Zel'dovich e Werner Döring) do modelo de detonação ZND de explosivos.von Neumann, John (1976) [1942]. «Theory of Detonation Waves». In: Abraham H. Taub. Collected Works of John von Neumann (PDF). [S.l.: s.n.] pp. 205–218. Consultado em 10 de junho de 2016 Carlucci, Donald E.; Jacobson, Sidney S. (26 de agosto de 2013). Ballistics: Theory and Design of Guns and Ammunition 2ª ed. [S.l.]: CRC Press. p. 523 </ref>

Posteriormente, com Robert D. Richtmyer, von Neumann desenvolveu um algoritmo definindo uma viscosidade artificial que melhorou o entendimento de ondas de choque. Quando os computadores resolviam problemas hidrodinâmicos ou aerodinâmicos, eles colocavam demasiados pontos de grade computacional em regiões de descontinuidade acentuada (ondas de choque). A matemática da viscosidade artificial suavizou a transição do choque sem sacrificar a física básica.^[231]

Von Neumann logo aplicou a modelagem computacional ao campo, desenvolvendo software para a sua investigação em balística. Durante a Segunda Guerra Mundial, abordou R. H. Kent, o diretor do Laboratório de Investigação Balística do Exército dos EUA, com um programa de computador para calcular um modelo unidimensional de 100 moléculas para simular uma onda de choque. Von Neumann deu um seminário sobre o seu programa a um público que incluía o seu amigo Theodore von Kármán. Após von Neumann ter terminado, von Kármán disse: "Claro que você percebe que Lagrange também usou modelos digitais para simular a mecânica do contínuo." Von Neumann desconhecia a Mécanique analytique de Lagrange.^[232]

Embora não fosse tão prolífico em física como o era em matemática, mesmo assim deu várias outras contribuições notáveis. Os seus artigos pioneiros com Subrahmanyan Chandrasekhar sobre a estatística de um campo gravitacional flutuante gerado por estrelas distribuídas aleatoriamente foram considerados um tour de force.^[233] Neste artigo desenvolveram uma teoria de relaxamento de dois corpos^[234] e usaram a distribuição de Holtsmark para modelar^[235] a dinâmica dos sistemas estelares.^[236] Escreveu vários outros manuscritos não publicados sobre temas na estrutura estelar, alguns dos quais foram incluídos em outras obras de Chandrasekhar.^[237][238] Num trabalho anterior liderado por Oswald Veblen, von Neumann ajudou a desenvolver ideias básicas envolvendo espinores que levariam à teoria dos twistores de Roger Penrose.^[239][240] Grande parte disto foi feito em seminários conduzidos no IAS durante a década de 1930.^[241] A partir deste trabalho, escreveu um artigo com Abraham H. Taub e Veblen estendendo a equação de Dirac para a relatividade projetiva, com um foco essencial na manutenção da invariância em relação às transformações de coordenadas, de spin e de calibre, como parte de pesquisas iniciais sobre potenciais teorias da gravidade quântica na década de 1930.^[242] No mesmo período, fez várias propostas a colegas para lidar com os problemas da recém-criada teoria de campos quânticos e para quantizar o espaço-tempo; no entanto, tanto ele como os seus colegas não consideraram as ideias frutíferas e não as prosseguiram.^{[243][244][245]} Mesmo assim, manteve pelo menos algum interesse, redigindo em 1940 um manuscrito sobre a equação de Dirac no espaço de de Sitter.^[246]

Von Neumann fundou o campo da teoria dos jogos como uma disciplina matemática.^[247] Ele provou o seu teorema minimax em 1928. Ele estabelece que em jogos de soma zero com informação perfeita (ou seja, em que os jogadores conhecem em cada momento todos os movimentos que ocorreram até então), existe um par de estratégias para ambos os jogadores que permite a cada um minimizar as suas perdas máximas.^[248] Tais estratégias são chamadas de ótimas. Von Neumann mostrou que os seus minimaxes são iguais (em valor absoluto) e contrários (em sinal). Ele melhorou e estendeu o teorema minimax para incluir jogos envolvendo informação imperfeita e jogos com mais de dois jogadores, publicando este resultado no seu livro de 1944 Theory of Games and Economic Behavior, escrito com Oskar Morgenstern. O interesse do público neste trabalho foi tamanho que o The New York Times publicou uma história de primeira página.^[249] Neste livro, von Neumann declarou que a teoria econômica precisava usar a análise funcional, especialmente conjuntos convexos e o teorema do ponto fixo topológico, em vez do tradicional cálculo diferencial, porque o operador de máximo não preservava funções diferenciáveis.^[247]

As técnicas analítico-funcionais de von Neumann — o uso de emparelhamentos de dualidade de espaços vetoriais reais para representar preços e quantidades, o uso de hiperplanos de suporte e de separação e conjuntos convexos, e a teoria do ponto fixo — têm sido ferramentas primárias da economia matemática desde então.^[250]

Von Neumann elevou o nível matemático da economia em várias publicações influentes. Para o seu modelo de uma economia em expansão, ele provou a existência e a unicidade de um equilíbrio usando a sua generalização do Teorema do ponto fixo de Brouwer.^[247] O modelo de von Neumann de uma economia em expansão considerava o feixe de matrizes A − λB com matrizes não negativas A e B; von Neumann procurava vetores de probabilidade (ou autovetores generalizados) p e q e um número positivo λ que resolvesse a equação de complementaridade ${\displaystyle p^{T}(A-\lambda B)q=0}$ juntamente com dois sistemas de desigualdades expressando eficiência econômica. Neste modelo, o vetor de probabilidade (transposto) p representa os preços dos bens, enquanto o vetor de probabilidade q representa a "intensidade" na qual o processo de produção operaria. A solução única λ representa o fator de crescimento, que é 1 mais a taxa de crescimento da economia; a taxa de crescimento é igual à taxa de juros.^[251][252]

Os resultados de von Neumann têm sido vistos como um caso especial de programação linear, onde o seu modelo utiliza apenas matrizes não negativas. O estudo do seu modelo de uma economia em expansão continua a interessar economistas matemáticos.^[253][254] Este artigo foi chamado de o maior artigo em economia matemática por vários autores, que reconheceram a sua introdução de teoremas de ponto fixo, desigualdades lineares, folga complementar e dualidade de ponto de sela.^[255] Nos anais de uma conferência sobre o modelo de crescimento de von Neumann, Paul Samuelson disse que muitos matemáticos haviam desenvolvido métodos úteis para economistas, mas que von Neumann era único por ter feito contribuições significativas à própria teoria econômica.^[256] A importância duradoura do trabalho sobre equilíbrios gerais e a metodologia de teoremas de ponto fixo é sublinhada pela atribuição de prêmios Nobel em 1972 a Kenneth Arrow, em 1983 a Gérard Debreu e em 1994 a John Nash, que usou teoremas de ponto fixo para estabelecer equilíbrios para jogos não cooperativos e para problemas de negociação na sua tese de Ph.D. Arrow e Debreu também usaram programação linear, assim como os ganhadores do Prêmio Nobel Tjalling Koopmans, Leonid Kantorovich, Wassily Leontief, Paul Samuelson, Robert Dorfman, Robert Solow e Leonid Hurwicz.^[257]

O interesse de von Neumann no tema começou enquanto ele lecionava em Berlim em 1928 e 1929. Ele passava os seus verões em Budapeste, assim como o economista Nicholas Kaldor; Kaldor recomendou que von Neumann lesse um livro do economista matemático Léon Walras. Von Neumann notou que a Teoria do Equilíbrio Geral e a Lei de Walras, que levavam a sistemas de equações lineares simultâneas, poderiam produzir o resultado absurdo de que o lucro poderia ser maximizado produzindo e vendendo uma quantidade negativa de um produto. Ele substituiu as equações por desigualdades, introduziu equilíbrios dinâmicos, entre outras coisas, e eventualmente produziu o seu artigo.^[258]

Construindo sobre os seus resultados em jogos de matrizes e sobre o seu modelo de uma economia em expansão, von Neumann inventou a teoria da dualidade na programação linear quando George Dantzig descreveu o seu trabalho em alguns minutos, e um impaciente von Neumann pediu-lhe que fosse direto ao assunto.^[259] Dantzig então ouviu estupefato enquanto von Neumann dava uma palestra de uma hora sobre conjuntos convexos, teoria do ponto fixo e dualidade, conjeturando a equivalência entre jogos de matrizes e programação linear.

Mais tarde, von Neumann sugeriu um novo método de programação linear, usando o sistema linear homogêneo de Paul Gordan (1873), que mais tarde foi popularizado pelo Algoritmo de Karmarkar. O método de von Neumann usava um algoritmo de pivoteamento entre simplexos, com a decisão de pivoteamento determinada por um subproblema de mínimos quadrados não negativos com uma restrição de convexidade (projetando o vetor nulo no envoltório convexo do simplexo ativo). O algoritmo de von Neumann foi o primeiro método de pontos interiores da programação linear.^[260]

Von Neumann foi consultor do Laboratório de Pesquisa Balística do Exército, mais notavelmente no projeto do ENIAC,^[262] como membro do seu Comitê Consultivo Científico.^[263] Embora a arquitetura de programa armazenado em memória única seja comumente chamada de arquitetura de von Neumann, a arquitetura foi baseada no trabalho de J. Presper Eckert e John Mauchly, inventores do ENIAC e de seu sucessor, o EDVAC. Enquanto prestava consultoria para o projeto EDVAC na Universidade da Pensilvânia, von Neumann escreveu um documento incompleto intitulado First Draft of a Report on the EDVAC (Primeiro Rascunho de um Relatório sobre o EDVAC). O artigo, cuja distribuição prematura anulou as reivindicações de patente de Eckert e Mauchly, descrevia um computador que armazenava tanto os seus dados quanto o seu programa no mesmo espaço de memória, ao contrário dos primeiros computadores que armazenavam os seus programas separadamente em fitas de papel ou painéis de conexão (plugboards). Esta arquitetura tornou-se a base da maioria dos designs de computadores digitais modernos.^[264]

Em seguida, von Neumann projetou a máquina IAS no Instituto de Estudos Avançados em Princeton, Nova Jersey. Ele arranjou o seu financiamento, e os componentes foram desenhados e construídos no laboratório de pesquisa da RCA (hoje Sarnoff Corporation) nas proximidades. Von Neumann recomendou que o IBM 701, apelidado de o computador de defesa, incluísse um tambor magnético. Tratava-se de uma versão mais rápida da máquina IAS e formou a base para o sucesso comercial do IBM 704.^[265][266]

Von Neumann foi o inventor, em 1945, do algoritmo ordenação por mistura (merge sort), no qual a primeira e a segunda metades de uma matriz são cada uma ordenadas recursivamente e depois fundidas (misturadas).^[267][268]

Como parte do trabalho de von Neumann na bomba de hidrogênio, ele e Stanisław Ulam desenvolveram simulações para cálculos hidrodinâmicos. Ele também contribuiu para o desenvolvimento do método de Monte Carlo, que usava números aleatórios para aproximar as soluções de problemas complicados.^[269]

O algoritmo de von Neumann para simular uma moeda justa a partir de uma moeda viciada é usado no estágio de "branqueamento de software" de alguns geradores de números aleatórios em hardware.^[270] Pelo fato de a obtenção de números "verdadeiramente" aleatórios ser impraticável, von Neumann desenvolveu uma forma de pseudorrandomicidade, usando o método do meio do quadrado (middle-square method). Ele justificou este método rudimentar como sendo mais rápido do que qualquer outro método à sua disposição, escrevendo que "Qualquer um que considere métodos aritméticos de produzir dígitos aleatórios está, é claro, num estado de pecado."^[270] Ele também observou que, quando esse método falhava, o fazia de forma óbvia, ao contrário de outros métodos que poderiam estar sutilmente incorretos.^[270]

A computação estocástica foi introduzida por von Neumann em 1953^[271] e não pôde ser implementada até aos avanços na computação da década de 1960.^[272][273] Por volta de 1950, ele também esteve entre os primeiros a falar sobre a complexidade de tempo das computações, que acabou por evoluir para o campo da teoria da complexidade computacional.^[274]

A análise matemática de von Neumann sobre a estrutura da autorreplicação precedeu a descoberta da estrutura do DNA.^[276] Ulam e von Neumann são também geralmente creditados com a criação do campo dos autômatos celulares, começando na década de 1940, como um modelo matemático simplificado de sistemas biológicos.^[277]

Em palestras em 1948 e 1949, von Neumann propôs um autômato cinemático autorreprodutor.^[278][279] Em 1952, ele tratou o problema de forma mais abstrata. Desenhou um elaborado autômato celular 2D que faria automaticamente uma cópia da sua configuração inicial de células.^[280] O construtor universal de von Neumann, baseado no seu autômato celular, foi detalhado na sua obra póstuma Theory of Self Reproducing Automata.^[281] A vizinhança de von Neumann, na qual cada célula numa grade bidimensional tem as quatro células adjacentes ortogonalmente como vizinhas, continua a ser utilizada em outros autômatos celulares.^[282]

Considerado possivelmente "o investigador mais influente de todos os tempos na computação científica",^[283] von Neumann fez vários contributos no campo, tanto técnica como administrativamente. Ele desenvolveu o procedimento de análise de estabilidade de von Neumann,^[284] ainda hoje vulgarmente utilizado para evitar a acumulação de erros nos métodos numéricos para equações diferenciais parciais lineares.^[285] O seu artigo de 1947 com Herman Goldstine foi o primeiro a descrever a análise de erros retroativa, embora de forma implícita.^[286] Ele também foi um dos primeiros a escrever sobre o Método de Jacobi.^[287] Em Los Alamos, ele escreveu vários relatórios sigilosos sobre a resolução numérica de problemas de dinâmica de gases. Contudo, sentiu-se frustrado pela falta de progresso com métodos analíticos para estes problemas não lineares. Como resultado, virou-se para os métodos computacionais.^[288] Sob a sua influência, Los Alamos tornou-se o líder na ciência computacional durante a década de 1950 e início da década de 1960.^[289]

A partir deste trabalho, von Neumann percebeu que a computação não era apenas uma ferramenta de força bruta para resolver problemas numericamente, mas também poderia fornecer intuições para resolver problemas analiticamente,^[290] e que existia uma enorme variedade de problemas científicos e de engenharia nos quais os computadores seriam úteis, sendo os mais significativos os problemas não lineares.^[291] Em junho de 1945, no Primeiro Congresso Matemático do Canadá, ele deu a sua primeira palestra sobre ideias gerais de como resolver problemas, particularmente de dinâmica de fluidos, de forma numérica.

Ele também descreveu como os túneis de vento eram na verdade computadores analógicos, e como os computadores digitais os substituiriam e trariam uma nova era da dinâmica de fluidos. Garrett Birkhoff descreveu isso como "um argumento de vendas inesquecível". Ele expandiu essa palestra com Goldstine no manuscrito "On the Principles of Large Scale Computing Machines" e o usou para promover o apoio à computação científica. Seus artigos também desenvolveram os conceitos de inversão de matrizes, matrizes aleatórias e métodos de relaxação automatizados para resolver problemas de valor de limite elípticos.^[292]

Como parte de sua investigação em possíveis aplicações de computadores, von Neumann começou a interessar-se na previsão meteorológica, notando as semelhanças entre os problemas deste campo e os problemas nos quais havia trabalhado no Projeto Manhattan.^[293] Em 1946, von Neumann fundou o "Projeto Meteorológico" no Instituto de Estudos Avançados, garantindo financiamento para seu projeto do Serviço de Meteorologia dos EUA e dos serviços meteorológicos da Força Aérea e da Marinha dos EUA.^[294] Com Carl-Gustaf Rossby, considerado o principal meteorologista teórico da época, reuniu um grupo de vinte meteorologistas para trabalhar em vários problemas na área. No entanto, em face aos seus outros trabalhos do pós-guerra, ele não foi capaz de dedicar o tempo suficiente para a devida liderança do projeto e pouco foi concretizado.

Isto mudou quando o jovem Jule Gregory Charney assumiu a coliderança do projeto em nome de Rossby.^[295] Em 1950, von Neumann e Charney escreveram o primeiro software de modelagem climática do mundo, e usaram-no para realizar a primeira previsão meteorológica numérica do mundo no computador ENIAC que von Neumann havia conseguido para o projeto;^[294] von Neumann e a sua equipe publicaram os resultados como Numerical Integration of the Barotropic Vorticity Equation (Integração Numérica da Equação de Vorticidade Barotrópica).^[296] Juntos, eles desempenharam um papel fundamental nos esforços para integrar as trocas de energia e umidade entre o mar e o ar no estudo do clima.^[297] Apesar de rudimentar, a notícia das previsões do ENIAC espalhou-se rapidamente pelo mundo e iniciaram-se vários projetos paralelos em outros locais.^[298]

Em 1955, von Neumann, Charney e seus colaboradores convenceram os seus financiadores a abrir a Unidade de Previsão Numérica do Tempo Conjunta (JNWPU) em Suitland, Maryland, que iniciou a rotina de previsão meteorológica em tempo real.^[299] Em seguida, von Neumann propôs um programa de investigação de modelagem climática:

A abordagem é tentar primeiro as previsões de curto prazo, depois as previsões de longo prazo das propriedades da circulação que se podem perpetuar por períodos de tempo arbitrariamente longos e, só no final, tentar as previsões para os períodos de médio e longo prazo que são demasiado longos para serem tratados pela teoria hidrodinâmica simples e demasiado curtos para serem tratados pelo princípio geral da teoria do equilíbrio.^[300]

Resultados positivos de Norman A. Phillips em 1955 provocaram uma reação imediata e von Neumann organizou uma conferência em Princeton sobre "Aplicação de Técnicas de Integração Numérica ao Problema da Circulação Geral". Mais uma vez, ele organizou estrategicamente o programa como um projeto preditivo para garantir o apoio contínuo do Serviço de Meteorologia e dos militares, o que levou à criação da Seção de Pesquisa de Circulação Geral (agora Laboratório de Dinâmica de Fluidos Geofísicos) adjacente à JNWPU.^[301] Ele continuou a trabalhar tanto nas questões técnicas de modelagem quanto na garantia de financiamento contínuo para esses projetos.^[302] No final do século XIX, Svante Arrhenius sugeriu que a atividade humana poderia causar aquecimento global ao adicionar dióxido de carbono à atmosfera.^[303] Em 1955, von Neumann observou que isso talvez já tivesse começado: "O dióxido de carbono lançado na atmosfera pela queima de carvão e petróleo da indústria — mais de metade durante a última geração — pode ter mudado a composição da atmosfera suficientemente para explicar um aquecimento geral do mundo de cerca de um grau Fahrenheit."^[304][305] A sua pesquisa em sistemas meteorológicos e previsão levou-o a propor a manipulação do ambiente espalhando corantes nas calotas polares para aumentar a absorção da radiação solar (reduzindo o albedo).^{[306][307][306][307]} No entanto, pediu cautela em qualquer programa de modificação da atmosfera:

O que poderia ser feito, não é, obviamente, nenhum índice para o que deveria ser feito... Na verdade, para avaliar as consequências finais quer de um resfriamento geral quer de um aquecimento geral seria um assunto complexo. Tais mudanças afetariam o nível dos mares e, consequentemente, a habitabilidade das plataformas costeiras continentais; a evaporação dos mares e, consequentemente, os níveis gerais de precipitação e glaciação; e assim por diante... Mas há pouca dúvida de que se poderia realizar as análises necessárias para prever os resultados, intervir na escala desejada e, em última análise, obter resultados assombrosos.^[305]

Ele também alertou que o controle do clima poderia ter usos militares, dizendo ao Congresso em 1956 que isso poderia representar um risco ainda maior do que os ICBMs.^[308]

O primeiro uso do conceito de uma singularidade no contexto tecnológico é atribuído a von Neumann,^[309] que de acordo com Ulam discutiu o "progresso da tecnologia cada vez mais acelerado e as mudanças no modo de vida humano, o que dá a aparência de se estar a aproximar a uma singularidade essencial na história da raça além da qual os assuntos humanos, tal como os conhecemos, não poderiam continuar."^[310] Este conceito foi mais tarde aprofundado no livro de 1970 Future Shock de Alvin Toffler.

A partir do final da década de 1930, von Neumann desenvolveu uma especialização em explosões — fenômenos que são difíceis de modelar matematicamente. Durante este período, ele foi a principal autoridade na matemática das cargas moldadas, o que o levou a um grande número de consultorias militares e, consequentemente, ao seu envolvimento no Projeto Manhattan. O envolvimento incluiu viagens frequentes às instalações de pesquisa secretas do projeto no Laboratório de Los Alamos, no Novo México.^[27]

Von Neumann deu a sua principal contribuição para a bomba atômica no conceito e design das lentes explosivas que eram necessárias para comprimir o núcleo de plutônio da arma Fat Man, que foi mais tarde lançada sobre Nagasaki.^[311] Embora von Neumann não tenha originado o conceito de "implosão", ele foi um dos seus defensores mais persistentes, encorajando o seu desenvolvimento contínuo contra os instintos de muitos de seus colegas, que achavam que tal design não funcionaria. Eventualmente, ele também teve a ideia de usar cargas moldadas mais poderosas e menos material físsil para aumentar grandemente a velocidade de "montagem".^[312]

Quando se descobriu que não haveria urânio-235 suficiente para fazer mais de uma bomba e também que o plutônio-239 não poderia ser usado na bomba Thin Man, o projeto da lente implosiva foi amplamente expandido e a ideia de von Neumann foi implementada. A implosão era o único método que poderia ser usado com o plutônio-239 que estava disponível na Instalação de Hanford.^[313] Ele estabeleceu o design das lentes explosivas necessárias, mas ainda havia preocupações sobre "efeitos de borda" e imperfeições nos explosivos.^[314] Os seus cálculos mostraram que a implosão funcionaria se não se desviasse mais de 5% da simetria esférica.^[315] Após uma série de tentativas fracassadas com modelos, isso foi alcançado por George Kistiakowsky, e a construção da bomba Trinity foi concluída em julho de 1945.^[316]

Em uma visita a Los Alamos em setembro de 1944, von Neumann mostrou que o aumento de pressão da reflexão da onda de choque da explosão em objetos sólidos era maior do que se acreditava anteriormente se o ângulo de incidência da onda de choque estivesse entre 90° e algum ângulo limite. Como resultado, determinou-se que a eficácia de uma bomba atômica seria aumentada com a detonação a alguns quilômetros acima do alvo, em vez de no nível do solo.^[317][318]

Von Neumann foi incluído no comitê de seleção de alvos que foi responsável por escolher as cidades japonesas de Hiroshima e Nagasaki como os primeiros alvos da bomba atômica. Von Neumann supervisionou os cálculos relacionados ao tamanho esperado das explosões da bomba, estimou o número de mortos e a distância acima do solo na qual as bombas deveriam ser detonadas para a propagação ideal da onda de choque. A capital cultural Quioto foi a primeira escolha de von Neumann,^[319] uma seleção apoiada pelo líder do Projeto Manhattan, o general Leslie Groves. No entanto, esse alvo foi descartado pelo Secretário da Guerra Henry L. Stimson.^[320]

Em 16 de julho de 1945, von Neumann e vários outros funcionários do Projeto Manhattan foram testemunhas oculares do primeiro teste de detonação de uma bomba atômica, que recebeu o codinome Trinity. O evento foi conduzido como um teste do dispositivo do método de implosão, no Campo de Bombardeio de Alamogordo, no Novo México. Baseado apenas na sua observação, von Neumann estimou que o teste havia resultado numa explosão equivalente a 5 quilotons de TNT, mas Enrico Fermi produziu uma estimativa mais precisa de 10 quilotons ao soltar pedaços de papel rasgado à medida que a onda de choque passava pela sua localização e observar a que distância se espalhavam. A potência real da explosão esteve entre 20 e 22 quilotons.^[321] Foi nos artigos de 1944 de von Neumann que a expressão "quilotons" apareceu pela primeira vez.^[322]

Von Neumann continuou imperturbável no seu trabalho e tornou-se, juntamente com Edward Teller, um dos que sustentaram o projeto da bomba de hidrogênio. Ele colaborou com Klaus Fuchs no desenvolvimento posterior da bomba e, em 1946, os dois registraram uma patente secreta descrevendo um esquema para usar uma bomba de fissão para comprimir o combustível de fusão a fim de iniciar a fusão nuclear.^[323] A patente Fuchs-von Neumann usava implosão por radiação, mas não da mesma forma que é usada no que se tornou o design final da bomba de hidrogênio, o design Teller-Ulam. O trabalho deles foi, no entanto, incorporado no teste "George" da Operação Greenhouse, que foi instrutivo para testar conceitos que entraram no design final.^[324] O trabalho de Fuchs-von Neumann foi repassado à União Soviética por Fuchs como parte da sua espionagem nuclear, mas não foi usado no desenvolvimento próprio e independente dos soviéticos do design Teller-Ulam. O historiador Jeremy Bernstein apontou que, ironicamente, "John von Neumann e Klaus Fuchs produziram uma invenção brilhante em 1946 que poderia ter mudado todo o curso do desenvolvimento da bomba de hidrogênio, mas não foi totalmente compreendida até depois que a bomba foi fabricada com sucesso."^[324]

Pelos seus serviços durante a guerra, von Neumann foi condecorado com o Navy Distinguished Civilian Service Award em julho de 1946 e com a Medalha de Mérito em outubro de 1946.^[325]

Em 1950, von Neumann tornou-se consultor do Grupo de Avaliação de Sistemas de Armas (Weapons Systems Evaluation Group),^[326] cuja função era aconselhar a Junta de Chefes de Estado-Maior e o Secretário de Defesa dos EUA sobre o desenvolvimento e uso de novas tecnologias.^[327] Ele também se tornou conselheiro do Projeto de Armas Especiais das Forças Armadas (Armed Forces Special Weapons Project), que era responsável pelos aspetos militares das armas nucleares.^[326] Ao longo dos dois anos seguintes, ele se tornou consultor em todo o governo dos EUA.^[328] Isso incluiu a Central Intelligence Agency (CIA), a função de membro do influente Comitê Consultivo Geral da Comissão de Energia Atômica, um cargo de consultor no recém-criado Laboratório Nacional de Lawrence Livermore, e a função de membro do Grupo Consultivo Científico da Força Aérea dos Estados Unidos.^[326] Durante esse tempo, ele tornou-se um cientista de defesa "superstar" no Pentágono. A sua autoridade era considerada infalível nos mais altos níveis do governo e das forças armadas dos EUA.^[329]

Durante várias reuniões do conselho consultivo da Força Aérea dos EUA, von Neumann e Edward Teller previram que até 1960 os EUA seriam capazes de construir uma bomba de hidrogênio leve o suficiente para caber no topo de um foguete. Em 1953, Bernard Schriever, que estava presente na reunião, fez uma visita pessoal a von Neumann em Princeton para confirmar esta possibilidade.^[330] Schriever recrutou Trevor Gardner, que por sua vez visitou von Neumann várias semanas depois para compreender totalmente as possibilidades futuras antes de iniciar a sua campanha por tal arma em Washington.^[331] Nessa altura presidindo ou servindo em vários conselhos que lidavam com mísseis estratégicos e armamento nuclear, von Neumann foi capaz de injetar vários argumentos cruciais — a respeito dos potenciais avanços da União Soviética em ambas estas áreas e em defesas estratégicas contra bombardeiros americanos — nos relatórios governamentais, a fim de argumentar a favor da criação de mísseis balísticos intercontinentais (ICBMs).^[332] Em várias ocasiões, Gardner levou von Neumann a reuniões com o Departamento de Defesa dos EUA para discutir os seus relatórios com vários altos funcionários.^[333] Várias decisões de design nesses relatórios, tais como mecanismos de navegação inercial, formariam a base para todos os ICBMs daí em diante.^[334] Em 1954, von Neumann também já prestava testemunhos regularmente a vários subcomitês militares do Congresso dos Estados Unidos para garantir apoio contínuo ao programa ICBM.^[335]

No entanto, isto não foi suficiente. Para que o programa ICBM funcionasse a todo vapor, eles precisavam da ação direta do Presidente dos Estados Unidos.^[336] Eles convenceram o Presidente Dwight D. Eisenhower numa reunião direta em julho de 1955, que resultou numa diretiva presidencial em 13 de setembro de 1955. Afirmava que "haveria as mais graves repercussões na segurança nacional e na coesão do mundo livre" se a União Soviética desenvolvesse o ICBM antes dos EUA e, portanto, designava o projeto ICBM como "um programa de pesquisa e desenvolvimento da mais alta prioridade acima de todos os outros". O Secretário de Defesa recebeu ordem de iniciar o projeto com "máxima urgência".^[337] Evidências mostrariam mais tarde que os soviéticos, de fato, já estavam testando os seus próprios mísseis balísticos de médio alcance na época.^[338] Von Neumann continuou a se reunir com o Presidente, inclusive na sua casa em Gettysburg, Pensilvânia, e com outras altas autoridades governamentais como conselheiro-chave em ICBMs até à data da sua morte.^[339]

Em 1955, von Neumann tornou-se comissário da Comissão de Energia Atômica (AEC), o que na altura era o mais alto cargo oficial disponível para cientistas no governo.^[340] (Embora a sua nomeação exigisse formalmente que ele cortasse todos os seus outros contratos de consultoria,^[341] abriu-se uma exceção para que von Neumann continuasse a trabalhar com vários comitês militares críticos depois que a Força Aérea e vários senadores chave levantaram preocupações.^[339]) Ele usou essa posição para impulsionar a produção de bombas de hidrogênio compactas adequadas para serem lançadas por mísseis balísticos intercontinentais (ICBMs). Envolveu-se na correção da grave escassez de trítio e lítio 6 necessários para essas armas, e argumentou contra a aceitação dos mísseis de médio alcance que o Exército desejava. Ele foi inflexível de que as bombas H lançadas profundamente em território inimigo por um ICBM seriam as armas mais eficazes possíveis, e que a relativa imprecisão do míssil não seria um problema com uma bomba H. Ele disse que os russos provavelmente estariam construindo um sistema de armas semelhante, o que acabou se confirmando.^[342][343] Enquanto Lewis Strauss esteve fora na segunda metade de 1955, von Neumann assumiu o cargo de presidente interino da comissão.^[344]

Nos seus anos finais, antes de morrer de câncer, von Neumann chefiou o comitê ultra-secreto de ICBMs do governo dos Estados Unidos, que às vezes se reunia em sua casa. O seu objetivo era decidir sobre a viabilidade de construir um ICBM grande o suficiente para carregar uma arma termonuclear. Von Neumann havia argumentado por muito tempo que, embora os obstáculos técnicos fossem grandes, eles poderiam ser superados. O SM-65 Atlas passou em seu primeiro teste totalmente funcional em 1959, dois anos após a sua morte.^[345] Os foguetes Titan, mais avançados, foram implantados em 1962. Ambos haviam sido propostos nos comitês de ICBM que von Neumann presidira.^[339] A viabilidade dos ICBMs deveu-se tanto às ogivas menores e melhoradas, que não tinham problemas de orientação ou resistência ao calor, quanto aos desenvolvimentos em tecnologia de foguetes, e a sua compreensão das primeiras tornou o seu aconselhamento inestimável.^[345][339]

Von Neumann entrou para o serviço governamental principalmente porque sentia que, se a liberdade e a civilização devessem sobreviver, teria de ser porque os Estados Unidos triunfariam sobre o totalitarismo do nazismo, fascismo e do comunismo soviético.^[49] Durante uma audiência num comitê do Senado, ele descreveu a sua ideologia política como "violentamente anticomunista, e muito mais militarista do que o normal".^[346][347]

Herman Goldstine comentou sobre a capacidade de von Neumann de intuir erros ocultos e lembrar material antigo perfeitamente.^[348][349] Quando tinha dificuldades, ele não se esforçava excessivamente nelas; em vez disso, ia para casa, "dormia sobre o assunto" e voltava mais tarde com uma solução.^[350] Este estilo de "tomar o caminho de menor resistência", por vezes significava que ele podia desviar-se por tangentes. Também significava que, se a dificuldade fosse grande desde o início, ele simplesmente mudaria para outro problema, não tentando encontrar pontos fracos pelos quais pudesse avançar.^[351] Às vezes ele podia ignorar a literatura matemática padrão, achando mais fácil deduzir novamente a informação básica de que precisava em vez de caçar referências.^[352]

Após o início da Segunda Guerra Mundial, ele ficou extremamente ocupado com compromissos acadêmicos e militares. O seu hábito de não redigir as palestras ou não publicar os resultados piorou.^[353] Ele não achava fácil discutir formalmente um tópico por escrito, a menos que este já estivesse maduro na sua mente; se não estivesse, ele iria, nas suas próprias palavras, "desenvolver os piores traços de pedantismo e ineficiência".^[354]

O matemático Jean Dieudonné disse que von Neumann "pode ter sido o último representante de um grupo outrora florescente e numeroso, os grandes matemáticos que se sentiam igualmente em casa na matemática pura e aplicada e que ao longo de suas carreiras mantiveram uma produção constante em ambas as direções".^[149] Segundo Dieudonné, o seu gênio específico estava na análise e na "combinatória", sendo a combinatória entendida num sentido muito amplo que descrevia a sua capacidade de organizar e axiomatizar trabalhos complexos que anteriormente pareciam ter pouca ligação com a matemática. O seu estilo na análise seguiu a escola alemã, baseada em fundamentos de álgebra linear e topologia geral. Embora von Neumann tivesse uma formação enciclopédica, a sua abrangência na matemática pura não era tão ampla quanto a de Poincaré, Hilbert ou mesmo Weyl: von Neumann nunca fez trabalhos significativos na teoria dos números, topologia algébrica, geometria algébrica ou geometria diferencial. No entanto, na matemática aplicada, o seu trabalho igualou-se ao de Gauss, Cauchy ou Poincaré.^[105]

De acordo com Wigner, "Ninguém conhece toda a ciência, nem mesmo von Neumann conhecia. Mas quanto à matemática, ele contribuiu para todas as partes dela, exceto a teoria dos números e a topologia. Isso é, creio eu, algo único."^[355] Halmos observou que, embora von Neumann soubesse muita matemática, as lacunas mais notáveis estavam na topologia algébrica e na teoria dos números; ele lembrou de um incidente em que von Neumann não conseguiu reconhecer a definição topológica de um toro.^[356] Von Neumann admitiu a Herman Goldstine que não tinha qualquer facilidade em topologia e que nunca se sentiu confortável com ela, com Goldstine mais tarde a mencionar isso ao compará-lo com Hermann Weyl, a quem ele considerava mais profundo e mais amplo.^[350]

Na sua biografia sobre von Neumann, Salomon Bochner escreveu que grande parte dos trabalhos de von Neumann em matemática pura envolveu espaços vetoriais de dimensão finita e infinita, que na época cobriam grande parte da área total da matemática. No entanto, ele ressaltou que isso ainda não cobria uma parte importante da paisagem matemática, em particular, qualquer coisa que envolvesse a geometria "no sentido global", tópicos como a topologia, a geometria diferencial e as integrais harmônicas, a geometria algébrica e outros campos similares. Von Neumann raramente trabalhou nestes campos e, na visão de Bochner, tinha pouca afinidade com eles.^[118]

Num dos seus últimos artigos, von Neumann lamentou que os matemáticos puros já não conseguissem alcançar um conhecimento profundo nem de uma fração do campo.^[357] No início da década de 1940, Ulam inventou para ele um exame de estilo de doutorado para encontrar pontos fracos nos seus conhecimentos; von Neumann foi incapaz de responder satisfatoriamente a uma pergunta de geometria diferencial, teoria dos números e álgebra. Eles concluíram que os exames de doutorado podiam ter "pouco significado permanente". No entanto, quando Weyl recusou uma oferta para escrever uma história da matemática do século XX, argumentando que nenhuma pessoa poderia fazê-lo sozinha, Ulam achou que von Neumann poderia ter aspirado a fazê-lo.^[358]

Ulam observou que a maioria dos matemáticos conseguia dominar uma técnica que eles então usavam repetidamente, ao passo que von Neumann dominava três:

1. Uma facilidade com a manipulação simbólica de operadores lineares;
2. Uma sensibilidade intuitiva para a estrutura lógica de qualquer nova teoria matemática;
3. Uma sensibilidade intuitiva para a superestrutura combinatória de novas teorias.^[359]

Apesar de ser comumente descrito como um analista, certa vez ele se classificou como um algebrista,^[360] e o seu estilo frequentemente exibia uma mistura de técnica algébrica e intuição teórica dos conjuntos.^[361] Ele amava detalhes obsessivos e não tinha problemas com repetições em excesso ou notações excessivamente explícitas. Um exemplo disso foi um artigo seu sobre anéis de operadores, onde ele estendeu a notação funcional normal, de ${\displaystyle \phi (x)}$ para ${\displaystyle \phi ((x))}$. No entanto, este processo acabou sendo repetido várias vezes, onde o resultado final foram equações como ${\displaystyle (\psi ((((a)))))^{2}=\phi ((((a))))}$. O artigo de 1936 tornou-se conhecido entre os estudantes como "a cebola de von Neumann"^[362] porque as equações "precisavam ser descascadas antes de poderem ser digeridas". No geral, embora os seus escritos fossem claros e poderosos, não eram limpos nem elegantes.^[363] Embora fosse poderoso tecnicamente, a sua principal preocupação era mais com a formulação clara e viável de questões fundamentais e questões da ciência do que apenas com a solução de quebra-cabeças matemáticos.

De acordo com Ulam, von Neumann surpreendia os físicos fazendo estimativas dimensionais e cálculos algébricos mentalmente com uma fluência que Ulam comparou ao xadrez às cegas. A sua impressão era a de que von Neumann analisava situações físicas através de deduções lógicas abstratas em vez de uma visualização concreta.^[364]

Goldstine comparou as suas palestras a estar sobre vidro, suaves e lúcidas. Em comparação, Goldstine achava que os seus artigos científicos eram escritos de uma maneira muito mais áspera e com muito menos discernimento.^[53] Halmos descreveu as suas palestras como "deslumbrantes", com o seu discurso claro, rápido, preciso e abrangente. Tal como Goldstine, também ele descreveu como tudo parecia "tão fácil e natural" nas palestras, mas intrigante quando se refletia mais tarde.^[352] Era um orador rápido: Banesh Hoffmann achava muito difícil tirar notas, mesmo em taquigrafia,^[365] e Albert Tucker referiu que as pessoas frequentemente tinham de fazer perguntas a von Neumann para abrandá-lo, a fim de poderem pensar sobre as ideias que ele estava a apresentar. Von Neumann tinha consciência disso e ficava grato ao seu público quando o avisavam que estava a ir depressa demais.^[366] Embora dedicasse tempo à preparação das palestras, raramente usava notas, em vez disso apontava os pontos do que iria discutir e durante quanto tempo.^[352]

Von Neumann também era notado pela sua memória eidética, particularmente do tipo simbólico. Herman Goldstine escreve:

Uma de suas habilidades notáveis era o poder da memória absoluta. Pelo que eu podia perceber, von Neumann era capaz de ler um livro ou artigo uma vez e citá-lo textualmente; além disso, ele conseguia fazê-lo anos mais tarde sem hesitação. Ele também podia traduzi-lo do idioma original para o inglês sem diminuição da velocidade. Numa ocasião, testei a sua habilidade pedindo-lhe que me dissesse como começava Um Conto de Duas Cidades. Imediatamente, sem qualquer pausa, ele começou a recitar o primeiro capítulo e continuou até lhe pedir para parar após cerca de dez ou quinze minutos.^[367]

Von Neumann alegadamente era capaz de memorizar páginas inteiras de listas telefônicas. Ele entretinha os amigos pedindo-lhes que gritassem números de página aleatórios; ele então recitava os nomes, endereços e números neles contidos.^[17][368] Stanisław Ulam acreditava que a memória de von Neumann era mais auditiva do que visual.^[369]

A fluência matemática de von Neumann, a velocidade de cálculo e a habilidade geral de resolver problemas foram amplamente notadas pelos seus pares. Paul Halmos chamou a sua velocidade de "inspiradora de admiração e respeito".^[370] Lothar Wolfgang Nordheim descreveu-o como a "mente mais rápida que já conheci".^[371] Enrico Fermi disse ao físico Herbert L. Anderson: "Sabe, Herb, o Johnny consegue fazer cálculos na cabeça dez vezes mais rápido do que eu! E eu consigo fazê-los dez vezes mais rápido do que você, Herb, para você ver como o Johnny é impressionante!"^[372] Edward Teller admitiu que "nunca conseguia acompanhá-lo",^[373] e Israel Halperin descreveu tentar acompanhá-lo como andar de "triciclo a perseguir um carro de corrida".^[374]

Ele tinha uma habilidade incomum de resolver problemas novos rapidamente. George Pólya, cujas aulas na ETH Zurique von Neumann assistiu como aluno, disse: "Johnny foi o único aluno de quem já tive medo. Se no decorrer de uma aula eu mencionasse um problema não resolvido, era provável que ele me procurasse no final da aula com a solução completa rabiscada num pedaço de papel."^[375] Quando George Dantzig apresentou a von Neumann um problema não resolvido de programação linear "como o apresentaria a um mero mortal", sobre o qual não havia nenhuma literatura publicada, ficou surpreso quando von Neumann disse "Ah, isso!", antes de proferir casualmente uma palestra de mais de uma hora, explicando como resolver o problema usando a até então inconcebida teoria da dualidade.^[376]

Uma história sobre o encontro de von Neumann com o famoso quebra-cabeça da mosca^[377] entrou no folclore matemático. Neste quebra-cabeça, duas bicicletas começam a 20 milhas de distância, e cada uma viaja na direção da outra a 10 milhas por hora até colidirem; enquanto isso, uma mosca voa continuamente de um lado para o outro entre as bicicletas a 15 milhas por hora até ser esmagada na colisão. Aquele que pergunta quer saber qual a distância total que a mosca percorreu; o "truque" para uma resposta rápida é perceber que os trânsitos individuais da mosca não importam, apenas que ela viajou a 15 milhas por hora durante uma hora. Conforme narra Eugene Wigner,^[378] Max Born colocou o enigma a von Neumann. Os outros cientistas a quem ele havia feito a mesma pergunta calcularam laboriosamente a distância, de forma que quando von Neumann respondeu imediatamente com a resposta correta de 15 milhas, Born observou que ele devia ter adivinhado o truque. "Que truque?", respondeu von Neumann. "Tudo o que eu fiz foi somar a série geométrica."^[379]

Gian-Carlo Rota escreveu que von Neumann tinha "dúvidas sobre si mesmo profundas e recorrentes".^[380] John L. Kelley relembrou em 1989 que "Johnny von Neumann disse certa vez que ele será esquecido enquanto Kurt Gödel for lembrado com Pitágoras, mas o restante de nós via o Johnny com reverência."^[381] Ulam sugere que algumas das suas próprias dúvidas no que diz respeito à sua própria criatividade podem ter advindo do fato de ele não ter descoberto várias ideias importantes que outros descobriram, mesmo sendo mais do que capaz de o fazer, dando os teoremas da incompletude e o teorema ergódico pontual de Birkhoff como exemplos. Von Neumann possuía uma virtuosidade para seguir raciocínios complicados e teve perceções geniais, contudo ele talvez sentisse que não tinha o dom para provas e teoremas aparentemente irracionais ou perceções intuitivas. Ulam descreve como, durante uma de suas estadias em Princeton, enquanto von Neumann trabalhava em anéis de operadores, geometrias contínuas e lógica quântica, ele sentiu que von Neumann não estava convencido da importância do seu trabalho, e apenas quando encontrava algum truque técnico engenhoso ou uma nova abordagem ele sentia algum prazer naquilo.^[382] No entanto, de acordo com Rota, von Neumann ainda tinha uma "técnica incomparavelmente mais forte" comparada à do seu amigo, apesar de descrever Ulam como o matemático mais criativo.^[380]

O ganhador do Prêmio Nobel Hans Bethe disse: "Às vezes me pergunto se um cérebro como o de von Neumann não indica uma espécie superior à do homem".^[17] Edward Teller observou: "von Neumann conversava com meu filho de 3 anos, e os dois falavam de igual para igual, e às vezes eu me pergunto se ele usava o mesmo princípio quando falava com o resto de nós."^[383] Peter Lax escreveu: "Von Neumann era viciado em pensar e, em particular, em pensar sobre matemática".

Eugene Wigner disse: "Ele compreendia os problemas matemáticos não apenas no seu aspecto inicial, mas em toda a sua complexidade."^[384] Claude Shannon chamou-o de "a pessoa mais inteligente que já conheci", uma opinião comum.^[385] Jacob Bronowski escreveu: "Ele foi o homem mais inteligente que já conheci, sem exceção. E ele era um gênio, no sentido de que um gênio é um homem que tem duas grandes ideias".^[386] Em 2006, Tom Siegfried escreveu que "Se alguma pessoa no século passado personificou a palavra polímata, foi von Neumann" e que "As suas contribuições para a física, matemática, ciência da computação e economia o classificam como um dos maiores gigantes intelectuais de todos os tempos em cada campo."^[387]

Wigner notou a mente extraordinária que von Neumann possuía, e descreveu-o como tendo uma mente mais rápida do que qualquer um que ele conhecesse, afirmando que:^[384]

Conheci muitas pessoas inteligentes em minha vida. Conheci Max Planck, Max von Laue e Werner Heisenberg. Paul Dirac era meu cunhado; Leo Szilard e Edward Teller estiveram entre meus amigos mais próximos; e Albert Einstein também foi um bom amigo. E conheci muitos dos jovens cientistas mais brilhantes. Mas nenhum deles tinha uma mente tão rápida e aguda quanto Jancsi von Neumann. Frequentemente comentei isso na presença desses homens, e ninguém jamais me contestou.

"Parece justo dizer que se a influência de um cientista for interpretada de forma ampla o suficiente para incluir o impacto em campos além da própria ciência, então John von Neumann foi provavelmente o matemático mais influente que já viveu", escreveu Miklós Rédei.^[388] Lax afirmou que von Neumann teria ganhado o Prêmio Nobel de Economia se tivesse vivido mais, e que "se houvesse Prêmios Nobel em ciência da computação e matemática, ele teria sido homenageado por estes também."^[389] Gian-Carlo Rota escreveu que von Neumann "foi o primeiro a ter uma visão das possibilidades ilimitadas da computação e teve a determinação de reunir os consideráveis recursos intelectuais e de engenharia que levaram à construção do primeiro grande computador" e, consequentemente, que "Nenhum outro matemático neste século teve uma influência tão profunda e duradoura no curso da civilização."^[390] Ele é amplamente considerado como um dos maiores e mais influentes matemáticos e cientistas do século XX.^[391] Como resultado da sua vasta influência e contribuições para muitos campos, ele é amplamente considerado um polímata.^{[392][393][394]}

O neurofisiologista Leon Harmon descreveu-o de forma semelhante, chamando von Neumann de o único "verdadeiro gênio" que ele já havia conhecido, apesar de ter conhecido figuras como Einstein, Teller e J. Robert Oppenheimer, afirmando que: "A mente de von Neumann era abrangente. Ele podia resolver problemas em qualquer domínio. ... E a sua mente estava sempre a trabalhar, sempre inquieta."^[395] Ao atuar como consultor em projetos não acadêmicos, a combinação da notável habilidade científica e praticidade de von Neumann deu-lhe uma elevada credibilidade junto de oficiais militares, engenheiros e industriais que nenhum outro cientista conseguia igualar. Na tecnologia de mísseis nucleares, ele era considerado "a figura consultiva claramente dominante", de acordo com Herbert York.^[396] O economista Nicholas Kaldor disse que ele era "inquestionavelmente o mais próximo de um gênio que já encontrei."^[255] Da mesma forma, Paul Samuelson escreveu: "Nós, economistas, somos gratos pela genialidade de von Neumann. Não nos cabe calcular se ele era um Gauss, ou um Poincaré, ou um Hilbert. Ele era o incomparável Johnny von Neumann. Ele mergulhou brevemente em nosso domínio e este nunca mais foi o mesmo desde então."^[397]

Eventos e prêmios batizados em reconhecimento a von Neumann incluem o anual Prêmio Teoria John von Neumann do Instituto de Pesquisa Operacional e Ciências da Gestão (INFORMS),^[398] a Medalha John von Neumann IEEE,^[399] e o Prêmio John von Neumann da Sociedade de Matemática Industrial e Aplicada (SIAM).^[400] Tanto a cratera von Neumann na Lua^[401] quanto o asteroide 22824 von Neumann são nomeados em sua homenagem.^[402][403]

Von Neumann recebeu prêmios incluindo a Medalha de Mérito em 1947, a Medalha da Liberdade em 1956,^[404] e o Prêmio Enrico Fermi também em 1956. Foi eleito membro de múltiplas sociedades honorárias, incluindo a Academia Americana de Artes e Ciências e a Academia Nacional de Ciências, e detinha oito doutorados honorários.^{[405][406][407]} Em 4 de maio de 2005, o Serviço Postal dos Estados Unidos emitiu a série de selos comemorativos Cientistas Americanos, desenhada pelo artista Victor Stabin. Os cientistas retratados foram von Neumann, Barbara McClintock, Josiah Willard Gibbs e Richard Feynman.^[408]

A Universidade John von Neumann foi fundada em Kecskemét, Hungria em 2016, como sucessora da Faculdade de Kecskemét.^[409]

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• 1963. John von Neumann Collected Works (6 Volume Set), Taub, A. H., editor, Pergamon Press Ltd.
  • 1961. Volume I: Logic, Theory of Sets and Quantum Mechanics
  • 1961. Volume II: Operators, Ergodic Theory and Almost Periodic Functions in a Group
  • 1961. Volume III: Rings of Operators
  • 1962. Volume IV: Continuous Geometry and other topics
  • 1963. Volume V: Design of Computers, Theory of Automata and Numerical Analysis
  • 1963. Volume VI: Theory of Games, Astrophysics, Hydrodynamics and Meteorology