Função holomorfa

Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano complexo $\mathbb {C}$ com valores em $\mathbb {C}$ que são diferenciáveis em cada ponto.^[1]

Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",^[1] entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto $a\in \mathbb {C}$ " significa não só diferenciável em $a$ , mas diferenciável em algum disco aberto centrado em $a$ , no plano complexo.

Introdução

Números complexos

Os números complexos expandem o domínio dos números reais através da adição dos chamados números imaginários. Estes devem ter a propriedade de resolver equações algébricas que não têm solução nos reais. Um exemplo é a equação quadrática $x^{2}+1=0$ . Esta não possui uma solução real, uma vez que o quadrado de um número real é sempre não negativo. Contudo, se adicionarmos aos números reais um número imaginário $i$ com a propriedade $i^{2}=-1$ , a equação acima pode ser resolvida.

[Image of complex plane with real and imaginary axes]

Os números complexos formam um plano. Nele existe a "direção real" (rótulo do eixo: Re) e a "direção imaginária" (rótulo do eixo: Im).

Enquanto os números reais formam uma reta numérica, os números complexos estendem-se por um plano. Cada número complexo $z$ é da forma $z=x+iy$ com números reais $x$ e $y$ . Se percorrermos $x$ passos na "direção real" e $y$ passos na "direção imaginária", o número complexo $x+iy$ é identificado com o ponto $(x,y)$ no plano euclidiano. Nisto, $x$ é designado por parte real e $y$ por parte imaginária de $z$ .

Uma propriedade importante dos números complexos é que é possível fazer cálculos com eles da mesma forma que com os números reais. Isto significa que a adição, subtração, multiplicação e divisão também estão definidas para os números complexos. Para aplicar isto, basta dominar as regras de cálculo dos reais, bem como a regra $i^{2}=-1$ . A adição é executada separadamente na parte real e na parte imaginária, como por exemplo $(-3+2i)+(4+10i)=1+12i$ , e na multiplicação é necessário expandir os parênteses:

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

O termo $-bd$ surge na expansão a partir do produto $bidi$ . A divisão também é possível, por exemplo, tornando o denominador real através de uma expansão adequada utilizando a diferença de quadrados (terceira fórmula binomial):

{\frac {1+i}{1-2i}}={\frac {(1+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}={\frac {-1+3i}{5}}=-{\frac {1}{5}}+{\frac {3}{5}}i.

Deste modo, os números complexos formam também uma estrutura numérica na qual se pode calcular algebricamente. Diz-se também que o conjunto dos números complexos $\mathbb {C}$ , tal como os números reais $\mathbb {R}$ , formam um corpo.

Funções complexas

A holomorfia é uma propriedade de funções complexas. De forma muito geral, uma função estabelece uma relação entre dois conjuntos $M$ e $N$ através de uma regra de correspondência. As funções $f\colon M\rightarrow N$ têm de satisfazer a regra de que a cada elemento de $M$ é atribuído exatamente um elemento em $N$ .

Alguns exemplos de funções reais podem ser transferidos diretamente para os números complexos. Entre estes encontra-se, por exemplo, a função quadrática $f(z)=z^{2}$ .

Gráfico da regra *real* $x\mapsto x^{2}$

As funções reais induzem dados tabulares da forma $(x,f(x))$ , onde os valores de entrada $x$ percorrem o domínio de $f$ . A analogia com uma Tabela surge do facto de os dados $x$ e $f(x)$ poderem ser compilados em formato de linha ou coluna. No entanto, não é possível inserir todos os valores de uma função real numa tabela, visto que, por exemplo, já não é possível listar todos os valores $0<x<1$ . Todos os intervalos reais não vazios são não enumeráveis. Por conseguinte, a representação de uma função real através de um gráfico é comum. Para isso, tira-se partido de o domínio ser uma parte de uma reta numérica, bem como o contradomínio. Logo, a informação $(x,f(x))$ reúne-se em pontos $(x,y)$ num plano bidimensional. Se os destacarmos no plano, obtemos uma visão geral do comportamento de uma função real.

Para as funções complexas, a situação é diferente. Aqui o domínio de entrada já é uma superfície. Portanto, um gráfico ao estilo das funções reais teria de ser tetradimensional, o que não é representável de forma compreensível.^[2] Uma via para representar funções complexas, em particular as holomorfas, socorre-se de um código de cores.

Atribui-se a um número complexo uma cor, dependendo do seu "ponto cardeal" (fase/argumento), em que a origem, ou seja, o zero, forma o ponto de referência. Adicionalmente, a magnitude (módulo) em termos de distância à origem é visualizada através da luminosidade da tonalidade da cor. "Escuro" significa perto de zero, e "claro" significa perto de "infinito".

$O código de cores, mostrado pelo gráfico da aplicação identidade z ↦ z {\displaystyle z\mapsto z} . Cores mais avermelhadas representam números complexos que são aproximadamente reais positivos.$
O código de cores, mostrado pelo gráfico da aplicação identidade $z\mapsto z$ . Cores mais avermelhadas representam números complexos que são aproximadamente reais positivos.
Gráfico da função quadrática complexa. No centro está o seu valor 0. A partir daí, assume valores vermelhos à esquerda e à direita, ou seja, no eixo real, porque os quadrados de números reais nunca são negativos. A partir do centro em direção ao Norte ou Sul, o turquesa está presente: Os quadrados de números puramente imaginários são negativos.
A extensão complexa da função exponencial. Os seus módulos crescem rapidamente à medida que a parte real aumenta, tornando o gráfico mais claro, e diminuem para partes reais decrescentes, tornando o gráfico mais escuro. Paralelamente ao eixo imaginário do domínio de entrada, é uma função periódica.

A representação de funções complexas através de coloração é particularmente habitual para realçar zeros ou polos, bem como outras singularidades de uma função.^[3] O software Wolfram Mathematica oferece uma ferramenta correspondente desde a versão 12.^[4]

Em inglês, este tipo de visualização tem a designação domain coloring (coloração de domínio). Esta foi cunhada por Frank Farris.^[5] Houve muitas utilizações anteriores de cor para visualizar funções complexas, tipicamente a atribuição de argumentos (fases) a tonalidades de cor.^[6] Larry Crone utilizou o método no final da década de 1980.^[7] A técnica da utilização de cor contínua para mapear pontos do domínio no contradomínio foi utilizada em 1999 por George Abdo e Paul Godfrey, e grelhas coloridas foram usadas em gráficos por Doug Arnold, que ele data de 1997.^[8] No entanto, as pessoas com daltonismo podem ter dificuldade em interpretar tais diagramas quando estes são criados com mapas de cores padrão.^[9] Este problema pode possivelmente ser atenuado através da criação de versões alternativas utilizando mapas de cores que se adequam ao espaço de cores reconhecível para pessoas daltónicas. Por exemplo, um mapa de cores baseado em azul/cinzento/amarelo pode ser mais legível para pessoas com Deuteranopia total do que o gráfico convencional baseado em azul/verde/vermelho.^[10]

Da diferenciabilidade real à complexa

Nos números reais, só é possível aproximar-se no quociente de diferenças por dois lados: um número diferente de $x_{0}$ situa-se ou à esquerda ou à direita de $x_{0}$ na reta numérica. Neste gráfico ilustra-se a aproximação pela direita.

Como os cálculos com números complexos podem ser feitos essencialmente da mesma forma que com números reais, coloca-se a questão de até que ponto a análise real, com conceitos como funções, derivadas ou mesmo integrais, pode ser estendida aos números complexos.

Nos números reais, uma função $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ é diferenciável (derivável) num ponto $a$ se puder ser linearizada nesse ponto. Isto significa que, à volta de $a$ , ela comporta-se de forma muito semelhante a uma função linear $x\mapsto m(x-a)+c$ . Portanto, para valores de $h$ muito pequenos, aplica-se a aproximação $f(a+h)\approx mh+c$ , onde com $h=0$ se obtém também $c=f(a)$ . Para definir com precisão os conceitos de "linearização", "muito semelhante" e "aproximação", recorre-se ao conceito de limite. Por conseguinte, $f$ é diferenciável em $a$ se e só se o quociente de diferenças

\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=f'(a)

existir, o qual também é designado como a derivada de $f$ no ponto $a$ . Visto que o cálculo deste quociente apenas utiliza as operações aritméticas elementares de adição, subtração e divisão, coloca-se a questão de um análogo no domínio complexo. Uma vez que os números complexos também permitem estes cálculos, a condição

\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}=:f'(z)\,\,\,

existir

pode ser adotada integralmente. A diferença fundamental aqui, no entanto, é que ao calcular o quociente de diferenças complexo, o $h$ que se torna cada vez menor pode ser um número complexo. Logo, a aproximação pode ser feita a partir de qualquer direção no plano complexo. Em contraste, nos números reais, apenas um número finito, nomeadamente duas direções, são possíveis: pela esquerda ( $h<0$ ) e pela direita ( $h>0$ ).

Para a compreensão da diferenciabilidade complexa é essencial percecionar o domínio da função complexa também de forma geométrica. Os valores de entrada na função não são assim apenas números complexos, mas também pontos de um plano. Neste plano está definido um conceito de distância, pelo que os pontos podem estar "perto" e "longe" de outros pontos. Só esta perspetiva permite a formulação do conceito de localidade, que é essencial para a diferenciabilidade: Uma função complexamente diferenciável num ponto $z$ parece "muito semelhante" a uma função linear em pontos muito próximos de $z$ . É precisamente esta afirmação que é precisada analiticamente pelo quociente diferencial. Após manipular a equação do quociente diferencial, obtém-se

f(z+h)\approx f'(z)h+f(z),

sendo o erro nesta aproximação "muito menor" do que o valor "pequeno" $h$ .

Ilustração

Sobre o conceito de holomorfia

Dizer que uma função complexa $f$ é holomorfa no seu domínio de definição significa que ela é complexamente diferenciável em cada ponto. Devido à condição já por si restritiva da diferenciabilidade complexa (em vez de apenas real), aliada à sua validade para todos os pontos numa superfície em vez de apenas num intervalo (uma linha), a holomorfia é uma propriedade extremamente forte.

Motivação analítica

Um problema central da análise consiste em estudar funções "complicadas". Aqui, "complicada" significa, por exemplo, que a regra de cálculo não consiste numa sequência finita de aplicações das quatro operações aritméticas básicas. Uma regra "simples" neste sentido seria: multiplica o número de entrada por dois, soma um ao resultado, multiplica isto por si mesmo e divide tudo por três. Em forma abreviada: $\textstyle z\mapsto {\frac {1}{3}}(2z+1)^{2}$ .

No entanto, muitíssimos fenómenos na natureza não se deixam descrever de forma tão simples. A matemática procura, portanto, desenvolver métodos de análise para funções não triviais. Tais métodos são utilizados, por exemplo, quando é necessário estabelecer taxas de variação em leis da natureza ou balanços na economia. Uma possibilidade consiste em restringir inicialmente a função de forma muito acentuada, ou seja, utilizar apenas valores de entrada de um conjunto muito "pequeno". Pequeno, neste contexto, significa que os valores de entrada considerados estão muito próximos uns dos outros. Se uma função deve ser estudada, por exemplo, em torno de 0, valores como 0,000001 poderiam possivelmente ser considerados, mas possivelmente já não o 1, muito menos o 100. Neste contexto, chama-se ao 0 o ponto de expansão (ou centro de desenvolvimento). Fenómenos como a holomorfia indicam agora que as funções afetadas, em regiões muito pequenas, se assemelham fortemente a funções muito mais compreensíveis. Estas funções mais compreensíveis são regras que se compõem apenas das quatro operações aritméticas básicas. Por trás deste princípio reside uma certa forma de "continuidade": se uma função holomorfa foi bem compreendida no ponto 0, então já se pode concluir o seu comportamento em, por exemplo, 0,000001, e isto apenas com base nas quatro operações básicas. Mais precisamente, a aproximação é realizada através de polinómios, ou seja, expressões como $z+2$ , $z^{3}-4z^{2}+3z-1$ e, de forma geral,

a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}.

Uma função holomorfa pode, portanto, ser desenvolvida em torno de qualquer valor do seu domínio através da aplicação das operações aritméticas básicas. Deve notar-se que, no caso de funções suficientemente "complicadas", trata-se apenas de uma aproximação. Uma propriedade central da holomorfia, porém, é que para tais funções complicadas podem ser encontradas cadeias de polinómios arbitrariamente longas (ou seja, somas de termos $z^{n}$ ) para a aproximação. Quanto mais longos forem estes termos, melhor. Se deixarmos este processo tender para o infinito, a aproximação nos pontos circundantes torna-se perfeita, ou seja, há igualdade. Neste sentido, as funções holomorfas são, pelo menos localmente, precisamente "polinómios infinitamente longos". Embora se somem infinitos termos, pode haver convergência se o argumento da função estiver suficientemente próximo do ponto de expansão. Se escolhermos, por exemplo, o ponto de expansão 0 e para os coeficientes as casas decimais da constante pi $\pi$ , ou seja,

f(z):=3+z+4z^{2}+z^{3}+5z^{4}+9z^{5}+2z^{6}+6z^{7}+\cdots ,

então

f\left({\frac {1}{10}}\right)=3+{\frac {1}{10}}+{\frac {4}{100}}+{\frac {1}{1000}}+{\frac {5}{10000}}+\cdots =3{,}1415926\dotsc =\pi .

Para valores $|z|<{\tfrac {1}{10}}$ , $f(z)$ será "com mais razão" finito. Aqui, $|z|$ designa o comprimento euclidiano do número $z$ no plano, o que corresponde à distância ao ponto 0. Seguindo este pensamento, pode mostrar-se que as séries de potências convergem ou em toda a parte ou dentro de discos circulares. No entanto, pode acontecer que, no caso das séries de potências, nem sempre exista holomorfia em todo o $\mathbb {C}$ . Um exemplo é a função $f(z)={\tfrac {1}{1-z}}$ , que no ponto $z=1$ não é complexamente diferenciável (nem sequer está definida). No entanto, existe holomorfia na região de todos os $z$ com $|z|<1$ , e aplica-se, através da série geométrica,

1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+z^{5}+\cdots ={\frac {1}{1-z}}.

Consequentemente, a holomorfia é sempre, inicialmente, apenas uma propriedade local.

Seguem-se alguns exemplos de funções holomorfas.

O seno e o cosseno mapeiam o comprimento de um arco de circunferência no comprimento de dois segmentos retos. Note-se que o comprimento do arco b corresponde à "distância" curva entre os pontos A e B. Dada a escolha do raio = r = 1, o perímetro total da circunferência é $2\pi$ , o que permite a identificação do arco com o ângulo correspondente em radianos.

Uma função tratada no ensino secundário que, em geral, não se deixa calcular apenas por aplicações finitas das quatro operações básicas, é o Seno, ou seja, a regra $z\mapsto \sin(z)$ . No domínio real, esta regra é explicada inicialmente de forma geométrica: para o comprimento de um arco de circunferência, deve encontrar-se o segmento reto correspondente que liga o ponto final do arco ao eixo base (analogamente para o Cosseno, ver imagem). Curvas circulares ("segmentos complicados") são mapeadas em linhas retas de comprimentos desiguais ("segmentos simples"), o que sugere que esta conversão não se deixa representar de forma simples com as quatro operações básicas. Contudo, verifica-se que o seno é uma função holomorfa, razão pela qual é possível uma aproximação por termos simples. Por exemplo, para valores muito pequenos de $z$ , tem-se

\sin(z)\approx z-{\frac {z^{3}}{6}}.

Isto corresponde a um "estudo" da função seno no sentido acima explicado, dado que a complicada função seno foi aproximada por uma aplicação simples

\textstyle z\mapsto z-{\frac {z^{3}}{6}}

. Aqui, o ponto de expansão foi o 0; de facto, devido a

\sin(0)=0

, a aproximação é perfeita neste ponto, mas também é útil para valores circundantes. Tem-se, por exemplo,

\sin(0{,}2)=0{,}1986693308\dots

e

\textstyle 0{,}2-{\frac {0{,}2^{3}}{6}}=0{,}1986666\dots

. Para um cálculo exato do seno, obtém-se

\sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{6}}+{\frac {z^{5}}{120}}-{\frac {z^{7}}{5040}}+{\frac {z^{9}}{362880}}-{\frac {z^{11}}{39916800}}+{\frac {z^{13}}{6227020800}}-{\frac {z^{15}}{1307674368000}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}},

onde

{\displaystyle

designa o fatorial e

\Sigma

o símbolo de somatório. A fórmula estende-se a todos os números complexos e continua o seno ali como função, embora ali já não esteja disponível uma interpretação geométrica através de triângulos.

Para a compreensão local de funções holomorfas utilizam-se polinómios, mas a questão crucial é como se deduzem os coeficientes destes polinómios, ou seja, os números que precedem os termos $z^{n}$ . Para isso, são necessárias as derivadas complexas das funções no ponto de expansão. Mais precisamente, aplica-se uma fórmula que na matemática é chamada de Série de Taylor:

f(z)=f(c)+f'(c)(z-c)+{\frac {f''(c)}{2}}(z-c)^{2}+{\frac {f'''(c)}{6}}(z-c)^{3}+\cdots

Aqui,

z

é um número que deve estar próximo do ponto de expansão

c

. Isto pode ser demonstrado, por exemplo, na função raiz quadrada

z\mapsto {\sqrt {z}}

, em torno do ponto

c=25

. Esta é ali holomorfa e tem-se as derivadas

\textstyle ({\sqrt {z}})'={\frac {1}{2{\sqrt {z}}}}

e

\textstyle ({\sqrt {z}})''=-{\frac {1}{4{\sqrt {z}}^{3}}}

. Assim, com a fórmula de Taylor, tem-se a aproximação

{\sqrt {z}}\approx {\sqrt {25}}+{\frac {1}{2{\sqrt {25}}}}(z-25)-{\frac {1}{8\cdot {\sqrt {25}}^{3}}}(z-25)^{2}=5+{\frac {1}{10}}(z-25)-{\frac {1}{1000}}(z-25)^{2}

para números complexos

z

que estejam próximos de

25

. A expressão

\textstyle 5+{\tfrac {1}{10}}(z-25)-{\tfrac {1}{1000}}(z-25)^{2}

do lado direito pode ser calculada rapidamente apenas com as quatro operações básicas. Ela coincide exatamente com o valor da função

5

ao substituir

z=25

, mas a aproximação continua a ser muito precisa na vizinhança de

25

. Tem-se, por exemplo,

{\sqrt {26}}\approx 5+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{1000}}=5{,}099

enquanto o valor exato é

{\sqrt {26}}=5{,}0990195\dots

. Como a holomorfia é uma propriedade de funções complexas, a aproximação também é válida para números não reais próximos de 25. Para

25+0{,}4i

obtém-se, por exemplo,

5{,}00016+0{,}04i

como aproximação para

{\sqrt {25+0{,}4i}}

.

Importância

A força do conceito de holomorfia apoia-se nos seguintes pilares.

Facilidade de manuseamento dos polinómios de Taylor: Através da propriedade de uma função holomorfa poder ser aproximada localmente por polinómios (somas de termos $z^{n}$ ) com a precisão que se deseje, a prática da análise para este tipo de funções é particularmente simples. Assim, podem determinar-se rapidamente tanto as derivadas como as primitivas das expressões individuais $z^{n}$ .
Cada derivada é holomorfa: Se uma função é holomorfa, a sua função derivada complexa também o é. Como numa reação em cadeia, pode concluir-se que cada função holomorfa é já infinitamente diferenciável no sentido complexo. Não existe qualquer correspondência para esta afirmação no domínio real, onde existem funções que são deriváveis duas vezes, mas não três.
Aproximação uniforme: A aproximação local pelos polinómios não ocorre de forma "arbitrária", mas sim uniforme. Por exemplo, se uma função holomorfa $f$ num disco circular deve ser aproximada por polinómios $p$ até um erro de $0{,}001$ , então, após atingir um certo grau do polinómio, a condição $|f(z)-p(z)|<0{,}001$ será válida para cada valor $z$ dentro do disco. A aproximação não ocorre de forma descontrolada, mas espalha-se com a "mesma velocidade" sobre as superfícies. A série de imagens abaixo ilustra esta uniformidade na aproximação do seno em torno da origem através dos seus polinómios de Taylor $\textstyle p_{k}(z):=\sum _{n=0}^{k}{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$

Gráfico complexo da função seno
$p 0 ( z ) = z {\displaystyle p_{0}(z)=z}$
$p_{0}(z)=z$
$p 1 ( z ) = z − z 3 6 {\displaystyle p_{1}(z)=z-{\tfrac {z^{3}}{6}}}$
$p_{1}(z)=z-{\tfrac {z^{3}}{6}}$
$p 2 ( z ) = z − z 3 6 + z 5 120 {\displaystyle p_{2}(z)=z-{\tfrac {z^{3}}{6}}+{\tfrac {z^{5}}{120}}}$
$p_{2}(z)=z-{\tfrac {z^{3}}{6}}+{\tfrac {z^{5}}{120}}$

$p 3 ( z ) {\displaystyle p_{3}(z)}$
$p_{3}(z)$
$p 4 ( z ) {\displaystyle p_{4}(z)}$
$p_{4}(z)$
$p 5 ( z ) {\displaystyle p_{5}(z)}$
$p_{5}(z)$
$p 6 ( z ) {\displaystyle p_{6}(z)}$
$p_{6}(z)$

Esta propriedade da convergência uniforme é enormemente útil na matemática. Ela permite, por exemplo, que na execução de processos não triviais, como derivar, integrar ou somar infinitamente funções holomorfas, a ordem possa ser permutada. Por exemplo, a partir da série geométrica pode determinar-se a série de Taylor da função logaritmo na vizinhança de 1:

\int \!\left(1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots \right)\,\mathrm {d} z=\int \!{\frac {1}{1-z}}\,\mathrm {d} z\implies z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots =-\log(1-z).

Em domínios conexos por caminhos, basta conhecer uma função holomorfa num número infinito numerável de pontos em torno de um "centro de aglomeração" para determinar a função em todos os locais.

Poucos dados são suficientes: A regra de que dois pontos determinam univocamente uma "reta" (uma função linear $z\mapsto az+b$ ) também é válida no domínio complexo. Além disso, são necessários três pontos para funções quadráticas, quatro para cúbicas, e assim por diante. Como as funções holomorfas parecem localmente "polinómios infinitamente longos", isto diz heuristicamente que também aqui "relativamente poucos" valores da função devem bastar para caracterizar a função de forma unívoca. Se duas funções holomorfas coincidem num conjunto de números $z_{1},z_{2},z_{3},\dots$ que se aproximam arbitrariamente de um número $z_{\infty }$ , e se a igualdade também se verifica em $z_{\infty }$ , então elas já são localmente idênticas. Em domínios onde é possível alcançar qualquer ponto através de um caminho sem sair da superfície, a holomorfia revela-se muito forte. Aqui, o conhecimento da função numa "zona de aglomeração" local $z_{1},z_{2},\dotsc \to z_{\infty }$ é suficiente para caracterizar a função em todo o domínio de forma unívoca.

Enquadramento das possíveis aplicações

Cálculo de integrais reais

As funções holomorfas também têm importância em aplicações para integrais reais. É possível calcular alguns integrais importantes sem ser necessário especificar uma função primitiva. Entre estes, encontra-se, por exemplo,

\int _{-\infty }^{\infty }\!\mathrm {e} ^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t={\sqrt {\pi }}

,

sendo de notar que, para $t\mapsto \mathrm {e} ^{-t^{2}}$ , não pode ser indicada qualquer função primitiva elementar em forma fechada. Integrais como o referido desempenham um papel na Teoria das probabilidades, neste caso, no âmbito da Distribuição normal de Gauss.

Fórmulas fechadas para séries infinitas

Na análise, que se ocupa dos limites de funções ou sucessões numéricas, surgem também as séries. Estas são sucessões especiais, expressas através de somas infinitas $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots$ . Quando os sumandos $a_{n}$ diminuem de magnitude com rapidez suficiente, a série em questão possui um limite. Um exemplo é:

1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+{\frac {1}{10^{4}}}+\cdots =1+0{,}1+0{,}01+0{,}001+0{,}0001+\cdots =1{,}11111\ldots ={\frac {10}{9}}.

Com o auxílio de funções holomorfas, é possível determinar, nalguns casos, os limites de séries muito mais complexas. Exemplos disso são:

1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

(ver também Problema de Basileia),

1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+\cdots ={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\left({\frac {1}{\mathrm {e} ^{2\pi }-1}}+{\frac {1/8}{\mathrm {e} ^{4\pi }-1}}+{\frac {1/27}{\mathrm {e} ^{6\pi }-1}}+\cdots \right)

(ver também Constante de Apéry),^[11]

mas também identidades como, por exemplo, a transformação válida para todo o $x>0$ ^[12]

\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi xn^{2}}=1+2\mathrm {e} ^{-\pi x}+2\mathrm {e} ^{-4\pi x}+2\mathrm {e} ^{-9\pi x}+\cdots ={\frac {1}{\sqrt {x}}}\left(1+2\mathrm {e} ^{-\pi /x}+2\mathrm {e} ^{-4\pi /x}+2\mathrm {e} ^{-9\pi /x}+\cdots \right)={\frac {1}{\sqrt {x}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-\pi n^{2}/x}.

Nelas, $e$ designa o Número de Euler e $\pi$ a constante pi. A última identidade remonta ao matemático Carl Gustav Jakob Jacobi e tem consequências profundas na teoria dos números. Por exemplo, permite demonstrar que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito como a soma de quatro quadrados,^[13] como por exemplo $78=8^{2}+3^{2}+2^{2}+1^{2}$ (ver também Teorema dos quatro quadrados de Jacobi).

Na teoria dos números

As funções holomorfas surgem na teoria dos números de forma particular quando se pretende estudar uma sucessão (sequência) de números. Uma sucessão é como uma tabela, na qual aos números $0,1,2,3,4,\dots ,n,\dots$ são associados, respetivamente, os números $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots ,a_{n},\dots$ . Exemplos célebres de sucessões são a sucessão dos quadrados perfeitos $0,1,4,9,16,25,\dots$ , a sucessão dos números primos $2,3,5,7,\dots$ ou ainda a sucessão de Fibonacci $1,1,2,3,5,8,\dots$ Caso se pretenda analisar uma sucessão numérica $a_{0},a_{1},a_{2},\dots$ com recurso a métodos analíticos, isto é, através de funções holomorfas, pode ser útil considerar a série de potências associada

f(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots +a_{n}z^{n}+\cdots

.

Conforme observado anteriormente, trata-se de uma função holomorfa na vizinhança de 0, pelo menos quando os $a_{n}$ não crescem demasiado rápido. A função $f$ é determinada de forma única pelos $a_{n}$ , e vice-versa. Isto significa que a função gerada $f$ é, de certo modo, caraterística da sucessão numérica $a_{n}$ , devendo assim "codificar" propriedades da mesma sucessão. Em geral, todavia, é difícil ou quase impossível extrair daí informações exatas. No entanto, nalguns casos, é possível apurar o comportamento de crescimento de $a_{n}$ para um $n$ crescente.

Um exemplo histórico é a análise da função de partição $p$ . Esta associa a um número natural o número de formas possíveis de o escrever como soma de números naturais menores. Devido a

{\begin{aligned}4&=4\\&=3+1\\&=2+2\\&=2+1+1\\&=1+1+1+1\end{aligned}}

tem-se $p(4)=5$ . A sucessão das partições cresce rapidamente. Assim, já se verifica $p(100)=190\ 569\ 292$ e

p(1000)=24\ 061\ 467\ 864\ 032\ 622\ 473\ 692\ 149\ 727\ 991.

Durante muito tempo, uma "compreensão fechada" desta sucessão foi considerada inatingível. Godfrey Harold Hardy e Srinivasa Ramanujan estudaram afincadamente a função holomorfa gerada pelas partições (formalmente estabelece-se $p(0)=1$ )

P(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p(n)z^{n}=1+z+2z^{2}+3z^{3}+5z^{4}+{\color {red}{7}}z^{\color {blue}{5}}+11z^{6}+15z^{7}+22z^{8}+\cdots

O número 5 (assinalado a azul na série acima) tem exatamente 7 partições (assinaladas a vermelho na série acima).
$Visão esquemática mais geral das primeiras partições. Pode ser efetuada a comparação com os primeiros coeficientes da série de potências P . {\displaystyle P.}$
Visão esquemática mais geral das primeiras partições. Pode ser efetuada a comparação com os primeiros coeficientes da série de potências $P.$
$Gráfico complexo da função P {\displaystyle P} . Na fronteira delineiam-se regiões de forte crescimento. Estas podem ser utilizadas para deduzir a natureza dos coeficientes p ( n ) {\displaystyle p(n)} da série de potências.$
Gráfico complexo da função $P$ . Na fronteira delineiam-se regiões de forte crescimento. Estas podem ser utilizadas para deduzir a natureza dos coeficientes $p(n)$ da série de potências.

Para cada número complexo $z$ com $|z|<1$ , esta série é finita no seu limite (ver imagem superior). Não é possível qualquer prolongamento holomorfo para a região $|z|>1$ ; esta região é mantida a cinzento. Hardy e Ramanujan conseguiram descrever de forma detalhada o comportamento da função na proximidade da circunferência de raio 1 e centro 0, onde, portanto, a convergência termina, e reconstruíram a partir das suas análises a fórmula de estimativa assintótica^[14]

p(n)\approx {\frac {1}{4{\sqrt {3}}n}}\mathrm {e} ^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}},

a qual se torna percentualmente cada vez mais exata à medida que $n$ aumenta. Neste contexto, $e^{x}$ denota a função exponencial natural, $\pi =3{,}14159\dots$ a constante pi e ${\sqrt {3}}$ a raiz quadrada de 3.

Na álgebra

No plano complexo é possível notar, através da tonalidade escura, uma forte queda do quociente ${\tfrac {1}{f(z)}}$ para $z\to \infty$ em todas as direções. Apesar disso, a função não é limitada, uma vez que em alguns pontos, visíveis pelos pontos brancos, ocorre uma divisão por 0. Sem estes pontos, a função seria globalmente limitada, e portanto constante.

Muitas aplicações aproveitam as fortes propriedades das funções holomorfas. Por exemplo, através de argumentos lógicos fundamentados nas propriedades básicas da holomorfia, pode provar-se que toda a função holomorfa em todos os números complexos e que seja globalmente limitada, tem de ser necessariamente constante. Curiosamente, a afirmação análoga nos números reais é falsa. A título de exemplo, a função $x\mapsto {\tfrac {1}{x^{2}+1}}$ é diferenciável em todo o $\mathbb {R}$ e, além disso, é limitada (uma vez que o denominador nunca é menor que 1 e o numerador nunca é maior que 1), mas não é manifestamente uma função constante $x\mapsto c$ . Funções limitadas para entradas reais, como o seno, que são complexamente diferenciáveis em todo o lado, têm, por consequência, de crescer para além de quaisquer limites se introduzirmos valores complexos arbitrários. Por exemplo, $\sin(2+10i)=10014{,}30435528\ldots +4583{,}12202096\dots i.$

Com a ajuda desta afirmação, pode justificar-se logicamente que toda a equação da forma

a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=0

com $a_{n}\not =0$ e $n\in \mathbb {N}$ , tem uma solução complexa. O argumento pode ser ilustrado com o exemplo

z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20=0

.

A função $f(z)=z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20$ , sendo um polinómio, é holomorfa para todos os números complexos. Por causa da Regra do quociente, o seu inverso $z\mapsto {\tfrac {1}{f(z)}}$ é também complexamente diferenciável em pontos $z$ onde $f(z)\not =0$ , dado que caso contrário estar-se-ia a dividir por 0. Se se assumir que a equação $z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20=0$ não tem solução, então

z\mapsto {\frac {1}{f(z)}}={\frac {1}{z^{4}-z^{3}+2z^{2}+17z+20}}

é de igual modo holomorfa em todo o $\mathbb {C}$ . No entanto, como $f(z)$ , enquanto polinómio, cresce indefinidamente a longo prazo em qualquer direção à medida que $z$ aumenta, pode deduzir-se que ${\tfrac {1}{f(z)}}$ é limitada. Logo, como função globalmente holomorfa, seria constante. Isto é manifestamente falso, o que implica que se encontrou uma contradição e, assim, a equação tem de ter solução sobre os números complexos.^[15]

Este resultado é também designado por Teorema fundamental da álgebra.

Na física teórica

As funções holomorfas também surgem na Física teórica. Uma área de aplicação concerne a chamada Teoria das cordas. A ideia subjacente a esta teoria deriva da Teoria quântica de campos (TQC) "clássica". Na TQC, os objetos fundamentais são partículas. À medida que estas se propagam pelo espaço e interagem entre si, descrevem um grafo, conhecido como Diagrama de Feynman. Estes diagramas servem assim para a ilustração de interações entre partículas que constituem o nosso mundo conhecido. Na teoria das cordas, os objetos fundamentais são unidimensionais (linhas ou cordas) e não zero-dimensionais (pontos ou partículas). Eles podem propagar-se pelo espaço e interagir, tal como partículas pontuais, mas em vez de desdobrarem um grafo, desdobram uma superfície.^[16] Estas superfícies podem ser descritas com a ajuda da teoria das superfícies de Riemann. Estas são estruturas bidimensionais no espaço que, localmente, se assemelham a um plano liso, cujas coordenadas podem, portanto, ser descritas através de números complexos $x+iy$ . Nestes planos podem definir-se funções holomorfas. Estas ajudam a caracterizar todas as superfícies possíveis de um determinado tipo, sendo que apenas interessam "superfícies fechadas com asas" (buracos).

Uma Esfera: género 0, logo sem buracos ou "asas".
Um toro: género 1.
Género 2.
Género 3.
Numa perspetiva puramente topológica, todo o toro parece o mesmo. É até possível uma transformação contínua para uma caneca.
Ilustração da interação de duas cordas num toro.

Embora diferentes toros (donuts), superfícies de género 1, não possam ser distinguidos sob a perspetiva da Topologia ("teoria das formas"), enquanto superfícies de Riemann podem ser divididos num grande número de classes diferentes. Superfícies de Riemann "distintas" neste sentido podem, genericamente, ser diferenciadas através dos chamados moduli. De um modo intuitivo, moduli são parâmetros, tal como números, que listam sem repetições todas as superfícies de Riemann de um mesmo género, a não ser no que concerne à "equivalência holomorfa". A construção de todas as superfícies de Riemann com os seus moduli associados é um problema matemático complexo. No entanto, as investigações das interações de cordas fornecem indícios claros de que as chamadas world-sheets (em português: "folhas de universo" ou "folhas-mundo") das cordas interagentes reproduzem com precisão esta construção.^[17] As world-sheets consubstanciam imersões de cordas no Espaço-tempo.

História do termo

A expressão "holomorfa num (conjunto aberto) $U$ " para significar "complexamente diferenciável em todos os pontos em $U$ " consolidou-se na literatura alemã apenas nas últimas décadas. Ainda em autores como Marvin Knopp, por exemplo, o uso dos termos "regular" ou "analítica" era o habitual. Este último, contudo, continua a ser utilizado de forma consistente nalguns manuais até aos dias de hoje, como por exemplo por Eberhard Freitag. A palavra "holomorfa" foi introduzida no ano de 1875 pelos matemáticos Charles Briot e Jean-Claude Bouquet no âmbito da sua obra Théorie des fonctions elliptiques.^[18] Trata-se do primeiro manual didático sobre análise complexa (teoria das funções).^[19] Contudo, o termo "holomorfa" apenas surgiu na segunda edição; na primeira edição, eles ainda utilizavam a designação "sinética" (do francês synectique), que remonta a Cauchy.^[18]

Notação

São utilizadas as seguintes notações ao longo de todo o artigo:

$\mathbb {N}$ , $\mathbb {Z}$ , $\mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ e $\mathbb {C}$ designam os números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, respetivamente. Adicionalmente, $\mathbb {E$ denota o disco unitário aberto (relativo ao círculo unitário).
$\mathrm {Re} (z)$ e $\mathrm {Im} (z)$ denotam a parte real e imaginária, respetivamente, do número complexo $z$ .
$U\subset \mathbb {C}$ é um conjunto aberto (não vazio); em particular, $D\subset \mathbb {C}$ é um domínio e $B_{r}(c):=\{z\in \mathbb {C} \colon |z-c|<r\}$ é o disco aberto centrado em $c$ com raio $r>0$ .
${\mathcal {O}}(U)$ designa o anel das funções holomorfas no conjunto aberto $U\subseteq \mathbb {C}$ .
O símbolo $\partial M$ denota a fronteira (ou bordo) do conjunto (aberto) $M$ .
O símbolo $\textstyle \oint _{\gamma }$ designa um integral de contorno fechado, ou seja, um integral calculado ao longo de uma curva fechada $\gamma$ .
$f^{(n)}$ denota a $n$ -ésima derivada (complexa) da função (holomorfa) $f$ . Nos casos $n=1$ , $n=2$ e $n=3$ são também utilizadas as notações abreviadas $f',f''$ e $f'''$ , respetivamente.

Diferenciabilidade complexa

ℂ como espaço topológico

A Norma euclidiana induz uma topologia nos números complexos. De forma análoga a $\mathbb {R} ^{2}$ , aplica-se à norma a relação $|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ . Um conjunto $U\subset \mathbb {C}$ diz-se aberto se cada ponto $z_{0}\in U$ for um ponto interior. Para cada $z_{0}\in U$ existe, portanto, um $\varepsilon >0$ tal que o disco (círculo) aberto $B_{\varepsilon }(z_{0})$ está totalmente contido em $U$ . Tem-se assim

B_{\varepsilon }(z):=\{w\in \mathbb {C} \mid |w-z|<\varepsilon \}\subset U.

Para a definição da diferenciabilidade complexa, o conceito de conjunto aberto é essencial. Este assegura que, para cada ponto do domínio, o comportamento da função pode ser estudado numa vizinhança desse ponto.

Definição

Seja $U\subseteq \mathbb {C}$ um subconjunto aberto do plano complexo e $z_{0}\in U$ um ponto desse subconjunto. Uma função $f\colon U\to \mathbb {C}$ diz-se complexamente diferenciável no ponto $z_{0}$ se o limite

\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}

existir. Este é então designado por $f'(z_{0})$ .^[20] Nesta definição, deve notar-se que o limite $\textstyle \lim _{h\to 0}$ representa uma aproximação a partir de qualquer direção no plano complexo. De forma equivalente, isto significa que para qualquer sucessão nula complexa $h_{n}$ , com $h_{n}\not =0$ para todo o $n$ , o valor

\lim _{n\to \infty }{\frac {f(z_{0}+h_{n})-f(z_{0})}{h_{n}}}

existe e o resultado é independente da sucessão $h_{n}$ escolhida.

De notar que o quociente diferencial (razão incremental) pode ser formado a partir de todas as direções, uma vez que $U$ é aberto e, assim, em torno de cada ponto de $U$ existe um disco envolvente que ainda está contido em $U$ . Se $h$ for suficientemente pequeno, então $z+h$ situa-se em $U$ , independentemente do argumento complexo que $h$ possua.

Comparação com a diferenciabilidade real e as equações de Cauchy-Riemann

Toda a função a valores complexos $f$ pode ser escrita na forma $f(z)=\operatorname {Re} (f(z))+i\operatorname {Im} (f(z))=u(x,y)+i\ v(x,y)$ . Nisto, $u,v\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ são aplicações a valores reais. Diz-se que $f$ é realmente diferenciável (ou diferenciável no sentido real) num ponto $z_{0}=x_{0}+i\ y_{0}$ se e só se

u(x,y)=u(x_{0},y_{0})+a\Delta x+b\Delta y+o(\Delta x,\Delta y),

v(x,y)=v(x_{0},y_{0})+c\Delta x+d\Delta y+o(\Delta x,\Delta y),

onde os termos de erro $o$ , veja-se a notação pequeno-o de Landau, tendem para 0 à medida que $\Delta x,\Delta y$ se tornam menores. Aplica-se portanto^[21]

{\frac {o(\Delta x,\Delta y)}{\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}\rightarrow 0

para

(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}\rightarrow 0.

Aqui, $a,b,c,d$ tratam-se de números reais que podem ser determinados através das derivadas parciais das funções $u$ e $v$ . Mais precisamente, formam a chamada Matriz jacobiana de $f$ entendida como uma aplicação de $\mathbb {R} ^{2}$ em si mesmo, através de

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.

A diferenciabilidade real implica, entre outras coisas, que os quocientes diferenciais existam quando as diferenças das variáveis reais $\Delta x$ e $\Delta y$ são consideradas separadamente em $f(x_{0}+iy_{0}+i\Delta y)$ e $f(x_{0}+\Delta x+iy_{0})$ , respetivamente. As derivadas direcionais podem, no entanto, diferir dependendo da ponderação de $\Delta x$ e $\Delta y$ .

Na diferenciabilidade complexa, verifica-se em particular a diferenciabilidade real, mas com a exigência adicional de que todas as derivadas direcionais têm de ser idênticas. Portanto, as componentes $\Delta x$ e $\Delta y$ são "esquecidas" em favor de uma componente unificadora $\Delta z$ . No caso da diferenciabilidade complexa num ponto $z_{0}$ , aplica-se então

f(z)=f(z_{0})+\omega \Delta z+o(\Delta z),

com

\Delta z:=z-z_{0}

.

A estrutura de corpo de $\mathbb {C}$ permite que esta circunstância seja convertida, através dos procedimentos de cálculo habituais, na equação

{\frac {f(z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\omega +{\frac {o(\Delta z)}{\Delta z}}

, onde

\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {o(\Delta z)}{\Delta z}}=0

.

Se dividirmos agora isto retroativamente para o caso real, obtém-se com $\Delta z=\Delta x+i\Delta y$ e $\omega =\operatorname {Re} (\omega )+i\operatorname {Im} (\omega )$ a igualdade:

\omega \Delta z=(\operatorname {Re} (\omega )+i\operatorname {Im} (\omega ))(\Delta x+i\Delta y)=(\operatorname {Re} (\omega )\Delta x-\operatorname {Im} (\omega )\Delta y)+i(\operatorname {Im} (\omega )\Delta x+\operatorname {Re} (\omega )\Delta y)

.

Daqui resulta imperativamente para a matriz jacobiana a igualdade

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (\omega )&-\operatorname {Im} (\omega )\\\operatorname {Im} (\omega )&\operatorname {Re} (\omega )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.

Isto implica

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}

e

{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}

o que corresponde às equações diferenciais de Cauchy-Riemann. Uma função $f\colon U\rightarrow \mathbb {C}$ é, portanto, complexamente diferenciável num ponto $z_{0}\in U$ se e só se for continuamente diferenciável no sentido real nesse ponto e, adicionalmente, satisfizer as equações de Cauchy-Riemann.^[22] Resulta daqui que a função $f=u+iv$ é holomorfa em $U$ se e só se tanto a parte real $u$ como a parte imaginária $v$ forem continuamente parcialmente diferenciáveis em todo o $U$ e satisfizerem as equações de Cauchy-Riemann.

Holomorfia

A diferenciabilidade complexa num único ponto ainda não oferece muita estrutura. Importante para a teoria das funções (análise complexa) é o caso em que uma função é complexamente diferenciável na sua totalidade. A função $f$ diz-se holomorfa em $U$ caso seja complexamente diferenciável em cada ponto $z\in U$ .^[23] Se, além disso, se verificar $U=\mathbb {C}$ , então $f$ é chamada de função inteira.^[24]

Na literatura da especialidade, os termos holomorfo e analítico são frequentemente utilizados como sinónimos. Isto tem o pano de fundo, de forma alguma trivial, de que uma função holomorfa em $U$ é uma função analítica em $U$ , e vice-versa.^[25]

O conjunto das funções holomorfas num conjunto aberto $U$ é frequentemente designado na literatura por ${\mathcal {O}}(U)$ . Esta notação tem sido utilizada, aproximadamente desde 1952, pela escola francesa em torno de Henri Cartan, sobretudo na teoria das funções de várias variáveis complexas. Alegações de que o ${\mathcal {O}}$ seria uma homenagem ao matemático japonês Kiyoshi Oka, ou um reflexo da pronúncia francesa da palavra holomorph (holomorfo), não estão confirmadas. Pelo contrário, segundo Reinhold Remmert, a notação terá sido "puramente acidental", lendo-se numa carta de Cartan a Remmert, datada de 22 de março de 1982:

Inspirei-me simplesmente numa notação utilizada van der Waerden no seu clássico tratado 'Moderne Algebra'

— Henri Cartan

Regras de derivação

Se $f,g\colon U\to \mathbb {C}$ forem complexamente diferenciáveis num ponto $z\in U$ , também o são $f+g$ , $f-g$ e $f\cdot g$ . Isto também é válido para ${\tfrac {f}{g}}$ , desde que $z$ não seja um zero (raiz) de $g$ . Aplicam-se ainda a regra da soma, a regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia.^[26]

Preservação de ângulos e orientação

Uma aplicação complexa preserva os ângulos (é isogonal) se mapear dois segmentos de reta que se intersetam num ponto em dois novos segmentos de reta que se intersetam com o mesmo ângulo.^[27] Por exemplo, as rotações são aplicações que preservam os ângulos. Funções holomorfas que não são localmente constantes preservam os ângulos em todos os pontos do seu domínio, à exceção de um subconjunto discreto. Na sua essência, as funções holomorfas são inclusivamente caracterizadas por esta propriedade. Se se exigir adicionalmente a preservação da orientação (conformidade), isto é, que para $f=u+iv$ o determinante jacobiano

\operatorname {det} {\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}

seja positivo em todos os pontos (salvo num conjunto discreto), então $f$ já é holomorfa.^[28]

A preservação de ângulos de funções holomorfas num ponto também pode ser explicada através da sua matriz jacobiana no ponto correspondente. Para tal, deve saber-se que a aplicação

\Phi \colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{2\times 2}

\Phi (a+ib):={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}

induz um isomorfismo de corpos, após a restrição do seu contradomínio à sua imagem. Devido à fórmula de Euler, é também válida para $r>0$ e $0\leq \theta <2\pi$ a relação

\Phi (r\mathrm {e} ^{i\theta })=r{\begin{pmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}.

Um número complexo pode, consequentemente, ser interpretado como uma aplicação linear, nomeadamente como uma roto-homotetia (rotação e dilatação), tal como evidenciado pela forma da direita como composição de uma matriz de escala e uma matriz de rotação.^[29] As equações de Cauchy-Riemann exigem nada mais do que a matriz jacobiana ter esta estrutura, verificando-se então $Df(x,y)=\Phi (f'(z))$ com $z=x+iy$ . Nisto reside a ligação às aplicações conformes: a preservação de ângulos significa simplesmente que a matriz jacobiana é uma roto-homotetia não nula.^[30]

Em pontos nos quais a derivada de uma função holomorfa se anula, não há preservação de ângulos, como se pode constatar pelo exemplo da função $f(z)=z^{n}$ com $n\geq 2$ . Na origem, os ângulos são multiplicados por $n$ .^[31]

Análogos à análise real

Alguns resultados clássicos da análise real possuem equivalentes no domínio complexo.

Teorema do valor médio

Seja $f\colon D\to \mathbb {C}$ uma função holomorfa num domínio convexo $D$ , e $a,b\in D$ com $a\not =b$ . Então existem^[32]

z_{1},z_{2}\in (a,b):=\{z=at+b(1-t)\colon t\in (0,1)\}\subset D

de modo que

\operatorname {Re} \left({\frac {f(a)-f(b)}{a-b}}\right)=\operatorname {Re} (f'(z_{1}))

e

\operatorname {Im} \left({\frac {f(a)-f(b)}{a-b}}\right)=\operatorname {Im} (f'(z_{2})).

De certo modo, isto pode ser estendido ao plano complexo, embora se deva prescindir de estruturas em forma de intervalo. Se $f$ for holomorfa num subconjunto aberto $U\subseteq \mathbb {C}$ e $z_{0}\in U$ for um ponto (interior), então em qualquer vizinhança $z_{0}\in V\subseteq U$ existe um par $z_{2}\not =z_{1}$ tal que^[33]

{\frac {f(z_{2})-f(z_{1})}{z_{2}-z_{1}}}=f'(z_{0}).

Para que seja garantido que estes se encontrem numa reta com $z_{0}$ , é em geral suficiente, mas também necessário, que $f$ seja uma função constante, linear ou quadrática.

Teorema de Rolle

Seja $f\colon D\to \mathbb {C}$ uma função holomorfa num domínio convexo $D$ , e $a,b\in D$ com $a\not =b$ , de tal forma que $f(a)=f(b)=0$ . Então existem^[32]

z_{1},z_{2}\in (a,b):=\{z=at+b(1-t)\colon t\in (0,1)\}\subset D

de modo que $\operatorname {Re} (f'(z_{1}))=\operatorname {Im} (f'(z_{2}))=0.$

Regra de L'Hôpital

Sejam $f,g\colon U\to \mathbb {C}$ funções holomorfas e $a\in U$ com $f(a)=f'(a)=\cdots =f^{(n-1)}(a)=0$ e $g(a)=g'(a)=\cdots =g^{(n-1)}(a)=0$ , bem como $f^{(n)}(a)\not =0\not =g^{(n)}(a)$ para algum $n\in \mathbb {N}$ . Então tem-se^[34]

\lim _{z\to a}{\frac {f(z)}{g(z)}}={\frac {f^{(n)}(a)}{g^{(n)}(a)}}.

Teoria da integração

Integrais de contorno complexos

A teoria da integração no domínio complexo difere da do domínio real nalguns aspetos. A característica principal é o problema de que, num plano, existem infinitas formas de se "mover" de um ponto $a$ para um ponto $b$ . Nos números reais (se ignorarmos movimentos nulos para trás) existe sempre apenas uma possibilidade ao longo da reta numérica. O elevado número de caminhos de integração entre $a$ e $b$ obriga a expandir o conceito de integral para o chamado integral de linha (ou integral de contorno). Isto significa que um integral depende inicialmente não só dos pontos inicial e final, mas também da escolha da curva.

Nos reais, devido à reta numérica unidimensional, só há uma forma de ir de a para b.
Para curvas em domínios planos, existem muitas formas de ir de a para b.
$No caso de a = b, fala-se de uma curva fechada. O integral também é aqui designado por ∮ {\displaystyle \textstyle \oint } .$
No caso de a = b, fala-se de uma curva fechada. O integral também é aqui designado por $\textstyle \oint$ .

Se $D\subset \mathbb {C}$ for um domínio, $f\colon D\to \mathbb {C}$ contínua e $\gamma \colon [0,1]\to D$ uma curva infinitamente diferenciável (ou seja, suave), define-se^[35]

\int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z:=\int _{0}^{1}\!f(\gamma (t))\gamma '(t)\,\mathrm {d} t.

O integral à direita pode agora ser calculado de forma análoga à dos números reais, por exemplo, decompondo-o nas componentes, também contínuas, $\operatorname {Re} (f)+i\operatorname {Im} (f)$ . Por trás da diferencial $\gamma '(t)\mathrm {d} t$ esconde-se a transformação $\mathrm {d} \gamma (t)$ , que já indicia que o caminho de integração é subdividido em pequenos intervalos $\gamma ({\tfrac {1}{n}})-\gamma (0),\gamma ({\tfrac {2}{n}})-\gamma ({\tfrac {1}{n}}),\ldots ,\gamma (1)-\gamma ({\tfrac {n-1}{n}})$ com $n\to \infty$ , o que fecha o arco intuitivo para o cálculo integral clássico.

Cálculo integral

O valor de um integral

\int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z

com pontos extremos $\gamma (0)=a$ e $\gamma (1)=b$ dependerá, de uma forma geral, não só de $f$ , mas também da escolha da curva $\gamma$ . Este é o caso quando a função $f$ não possui uma primitiva complexa $F$ . Se, por outro lado, esta existir, tem-se^[36]

\int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z=F(\gamma (1))-F(\gamma (0))=F(b)-F(a),

Em domínios estrelados existe um "centro da estrela" $x_{0}$ , que pode ser ligado a todos os outros pontos através de um segmento de reta contido no domínio. Em particular, o integral $\textstyle x\mapsto \int _{x_{0}}^{x}$ está definido em tais domínios.

e a última igualdade mostra que o valor do integral já não depende de $\gamma$ . De forma análoga ao domínio real, demonstra-se que o conceito de primitiva pode ser novamente entendido como o inverso da derivação. No entanto, como o ponto de partida é um domínio $D$ , ou seja, uma "superfície", a função primitiva $F$ tem de ser complexamente diferenciável em todo o $D$ , logo, holomorfa. Com isto, $F$ já é infinitamente diferenciável no sentido complexo, e conclui-se que, necessariamente, também a sua derivada $f$ teve de ser uma função holomorfa em $D$ . Revela-se mais uma vez a força do conceito de holomorfia. Devido à existência "independente da direção" do quociente de diferenças, o cálculo de um integral de linha devolve sempre o mesmo valor, independentemente da direção escolhida. Pode-se então escrever

\int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}\!f(z)\,\mathrm {d} z

.

Embora para a existência de uma primitiva a função $f$ tenha de ser necessariamente holomorfa, a holomorfia não é suficiente para a existência de uma primitiva. Se escolhermos, por exemplo, $D=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ e $f(z)={\tfrac {1}{z}}$ , então não é possível encontrar nenhuma primitiva para $f$ .^[37] A razão para tal é que existe um "buraco" em $D$ , no qual $f$ não é holomorfa e, portanto, dependendo da situação, pode causar dificuldades. De facto, a função logarítmica não possui um equivalente globalmente holomorfo nos números complexos. Sob condições adicionais em $D$ , no entanto, a implicação inversa também é correta. De um modo muito geral, se $D$ for um domínio elementar (domínio simplesmente conexo), toda a função holomorfa $f\colon D\to \mathbb {C}$ possui uma primitiva holomorfa. Por exemplo, todo o domínio estrelado é um domínio elementar, isto é, existe um ponto central $z_{0}\in D$ a partir do qual cada ponto $z\in D$ pode ser alcançado através de uma linha reta, sem sair de $D$ . Um exemplo de um domínio estrelado é o interior de um círculo com qualquer um dos seus pontos como centro. Uma primitiva pode então ser determinada através de

F(z):=\int _{z_{0}}^{z}\!f(w)\,\mathrm {d} w

onde se escolhe como curva de integração a linha reta que liga $z_{0}$ e $z$ .

Também se aplicam no domínio complexo as regras de cálculo conhecidas da análise real, tais como a integração por partes e a integração por substituição.^[38]

Teorema integral de Cauchy

Se $D\subseteq \mathbb {C}$ for simplesmente conexo, ou seja, um domínio elementar, e $\gamma$ for um ciclo em $D$ , então aplica-se o teorema integral de Cauchy^[39]

\int _{\gamma }\!f(z)\,\mathrm {d} z=0.

O teorema aplica-se, portanto, em particular quando $D$ é um domínio estrelado e $\gamma$ é um caminho fechado.

Teorema de Morera

Nem toda a função holomorfa num conjunto aberto possui uma primitiva. No entanto, toda a função holomorfa possui uma primitiva local. Este é simultaneamente um critério suficiente para a holomorfia global. Constitui ainda uma inversão do teorema integral de Cauchy, embora de forma atenuada.^[40] Se $D\subset \mathbb {C}$ for aberto e $f\colon D\to \mathbb {C}$ contínua, e se para qualquer caminho triangular $\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle$ cuja área triangular $\Delta$ esteja totalmente contida em $D$ , se verificar

\oint _{\langle z_{1},z_{2},z_{3}\rangle }\!f(z)\,\mathrm {d} z=0,

então $f$ é holomorfa.^[41]

Corolários elementares

Com a ajuda da teoria da integração de funções holomorfas, é possível fazer afirmações sobre a estrutura das funções holomorfas em domínios elementares. Se $f\colon D\to \mathbb {C}$ for, por exemplo, holomorfa e não tiver zeros no domínio elementar $D$ , existe uma função holomorfa $g\colon D\to \mathbb {C}$ com a propriedade $f=e^{g}$ . Um tal $g$ é também designado por ramo analítico do logaritmo de $f$ .^[42]

Um corolário direto é a afirmação de que $f$ possui de igual modo uma $n$ -ésima raiz, com $n\in \mathbb {N}$ , em $D$ , havendo portanto um $h\colon D\to \mathbb {C}$ holomorfo com $f=h^{n}$ .^[43]

Fórmula integral de Cauchy

No ano de 1831, Augustin-Louis Cauchy encontrou no seu exílio em Turim^[44] uma fórmula integral que permite reconstruir uma função holomorfa com a ajuda dos "valores de fronteira do seu domínio". Ela é de grande importância na teoria das funções holomorfas.

Formulação

Seja $U$ aberto, $B_{r}(a)$ o disco aberto de raio $r$ centrado no ponto $a\in U$ e $f\colon U\to \mathbb {C}$ uma função holomorfa. Se o fecho de $B_{r}(a)$ estiver ainda totalmente contido em $U$ , então aplica-se a todos os $z\in D$ a fórmula integral de Cauchy^[45]

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(a)}\!{\frac {f(w)}{w-z}}\,\mathrm {d} w.

Neste caso, a curva de integração é percorrida de forma simples no sentido matematicamente positivo, ou seja, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. A versão (mais forte), que abrange todas as derivadas, afirma que para todos os $k\in \mathbb {N} _{0}$ ^[46]

f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(a)}\!{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,\mathrm {d} w.

Nisto, $k!$ representa o fatorial de $k$ . O valor da função (e de qualquer uma das suas derivadas) num ponto de um domínio depende, assim, apenas dos valores da função na fronteira (bordo) desse domínio.

Consequências

Um corolário da fórmula integral de Cauchy é que no plano complexo o conceito de analiticidade é equivalente à holomorfia: Toda a função holomorfa em $z_{0}$ é analítica em $z_{0}$ .^[47] Inversamente, toda a função analítica em $z_{0}$ representa uma função holomorfa em $z_{0}$ .^[48]

Outro corolário é a equação do valor médio

f(a)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!f(a+re^{i\varphi })\,\mathrm {d} \varphi ,

que é válida sob as premissas anteriores. Desta decorre, através da estimativa padrão para integrais de linha,

|f(a)|\leq \sup _{|z-a|=r}|f(z)|

,

uma precursora do princípio do máximo na análise complexa.^[49] Ela desempenha ainda um papel importante nas demonstrações de teoremas mais profundos da análise complexa, como por exemplo do teorema de Liouville ou do Teorema dos resíduos.

Variantes

A fórmula integral de Cauchy pode ser reformulada de diversas maneiras. Se, por exemplo, $f$ for holomorfa numa vizinhança de ${\overline {B_{r}(0)}}$ , então já se verifica para todo o $z\in B_{r}(0)$

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(0)}\!{\frac {f(w)}{w}}{\frac {r^{2}-|z|^{2}}{|w-z|^{2}}}\,\mathrm {d} w,

onde a curva circular contorna a origem de forma simples no sentido matematicamente positivo. Esta versão é também conhecida como a fórmula integral de Schwarz.^[50] Além disso, aplica-se a fórmula

f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(0)}\!{\frac {\operatorname {Re} (f(w))}{w}}{\frac {w+z}{w-z}}\,\mathrm {d} w+i\operatorname {Im} (f(0))

sob as mesmas premissas anteriores. Mais uma vez, deve notar-se que a origem foi escolhida como o centro do disco circular.^[51]

Estes integrais também podem ser escritos na forma polar. Se $f$ for holomorfa em ${\overline {B_{R}(0)}}$ , então para $0<r<R$ aplica-se a fórmula de Poisson^[52]

f(re^{i\theta })={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(Re^{i\Theta }){\frac {R^{2}-r^{2}}{R^{2}-2Rr\cos(\Theta -\theta )+r^{2}}}\mathrm {d} \Theta .

Esta fórmula enfatiza a relação entre a teoria da integração de Cauchy e a análise harmónica.

Séries de potências no contexto de funções holomorfas

Holomorfia e analiticidade

Um resultado central da análise complexa é que as funções holomorfas são analíticas. Isso significa que em cada ponto do seu domínio (aberto) de definição, elas podem ser desenvolvidas numa série de potências que converge num disco circular aberto e aí representa a função.^[53] De forma mais precisa, aplica-se o teorema da expansão de Cauchy: Se $c\in U$ com $U$ aberto, se $B_{r}(c)$ for o maior disco circular em torno de $c$ contido em $U$ e se $f\colon U\to \mathbb {C}$ for holomorfa, então $f$ pode ser desenvolvida em torno de $c$ numa série de Taylor $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ , a qual converge de forma absoluta e uniforme em subconjuntos compactos de $B_{r}(c)$ . Os coeficientes são dados por^[53]

a_{n}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{d}(c)}{\frac {f(w)}{(w-c)^{n+1}}}\mathrm {d} w

, onde

0<d<r.

Neste caso, o caminho de integração é percorrido uma vez no sentido matematicamente positivo. É digno de nota o facto de que para a demonstração do teorema de expansão apenas são necessárias as expansões em série das funções $z\mapsto (z-c)^{-k-1}$ (ver também série geométrica), bem como a permutabilidade entre o somatório e a integração. Para o caso $k=0$ isto foi já realizado por Cauchy em 1831.^[54]

Como toda a função holomorfa é analítica e vice-versa, as propriedades das séries de potências podem ser transferidas diretamente para as funções holomorfas. Isto constitui simultaneamente a abordagem de Weierstrass à análise complexa, que tem como ponto de partida a possibilidade de representar funções como séries de potências.^[55]

Dado que as séries de potências são infinitamente diferenciáveis no sentido complexo (nomeadamente através da derivação termo a termo), obtém-se em particular que as funções holomorfas são infinitamente diferenciáveis^[56] e que todas as suas derivadas são, por sua vez, funções holomorfas. Por aqui reconhecem-se diferenças evidentes em relação ao cálculo diferencial real.

Cálculo do raio de convergência

O raio de convergência de uma série de potências $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ , convergente algures fora do seu centro de desenvolvimento, define-se como o número $R>0$ tal que $f(z)$ converge para todo o $|z-c|<R$ e diverge para todo o $|z-c|>R$ .^[57] O número $R$ não pode fornecer qualquer informação sobre o comportamento de convergência na fronteira do disco circular, podendo este variar significativamente. Nos exemplos seguintes, todas as séries de potências têm raio de convergência 1, mas comportamentos diferentes na fronteira do domínio de convergência:

A série geométrica $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$ não converge em nenhum ponto $|z|=1$ .
A série $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}$ converge em qualquer ponto $|z|=1$ com $z\not =1$ (ver série harmónica).
A série $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}$ converge em todo o ponto $|z|=1$ .

Aplica-se o Teorema de Cauchy-Hadamard^[57]

R={\frac {1}{\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}}}.

Pelo critério da razão (d'Alembert), no caso de $a_{n}\not =0$ para quase todos os $n\in \mathbb {N}$ , tem-se:^[58]

\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|\leq R\leq \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|.

Neste contexto, o valor $+\infty$ também pode ser assumido pelos limites. Nos casos de $R=\infty$ ou $\infty \leq R$ , a função em causa é inteira.

Estimativa do termo complementar (Resto)

No caso de funções holomorfas, o teorema de Taylor pode ser tornado "efetivo". Se $f$ for holomorfa dentro de um conjunto aberto que contenha o disco circular ${\overline {B_{R}(0)}}$ , então para todo o $|z|<R$ aplica-se^[59]

f(z)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}z^{k}+{\frac {z^{N}}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{R}(0)}{\frac {f(w)}{w^{N}(w-z)}}\mathrm {d} w.

Daí decorre para $|z|<R$ a estimativa do termo complementar

\left|\sum _{k=N}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}z^{k}\right|\leq {\frac {|z|^{N}}{2\pi }}\oint _{\partial B_{R}(0)}\left|{\frac {f(w)}{w^{N}(w-z)}}\mathrm {d} w\right|\leq \left({\frac {|z|}{R}}\right)^{N}R\max _{|w|=R}\left|{\frac {f(w)}{w-z}}\right|

.

Se $z$ for suficientemente pequeno, por exemplo $|z|<{\tfrac {R}{2}}$ , isto pode ser simplificadamente expresso por^[59]

\left|\sum _{k=N}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}z^{k}\right|\ll _{R,N}z^{N}\max _{|w|=R}|f(w)|

onde a constante implícita depende de $R$ e $N$ , mas não de $z$ nem de $f$ .

Convergência e domínio de holomorfia

Limites de representabilidade

Embora as séries de potências correspondentes convirjam de forma "ampla", não representam em todo o lado a função logarítmica, pois não existe nenhum ramo fechado e uniforme à volta da singularidade no ponto 0. Ao contornar a origem surge sempre um $2\pi i$ adicional.

A localidade significa que não é obrigatório que a série de potências represente a função em todo o seu domínio de definição. Por exemplo, consideremos

f(z):={\frac {1}{1-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n},

com centro de desenvolvimento em 0, mas a série apenas converge para valores $|z|<1$ . Na verdade, a função à esquerda possui uma singularidade em $z=1$ e, de resto, é holomorfa em $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ , razão pela qual o raio de convergência da série é exatamente $R=1$ . Portanto, embora $f(2)=-1$ esteja definida, a série já não representará a função no ponto $z=2$ . Devido a esta propriedade das séries de potências, deve-se sempre prestar atenção à regra exata da função. Só porque a série converge para os valores $z$ que estão suficientemente perto do centro de desenvolvimento, isso não significa que aí a função ainda esteja definida pela sua regra (holomorfa) original. Por exemplo, para a função $f\colon B_{1}(0)\cup B_{1}(3)\to \mathbb {C}$ dada por

f(z)={\begin{cases}e^{z},&\quad z\in B_{1}(0)\\0,&\quad z\in B_{1}(3)\end{cases}}

a série

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}

representa a função holomorfa $f$ unicamente no domínio $B_{1}(0)$ , mas não em $z=3$ , ainda que aí convirja. Outro exemplo é $f\colon \mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}\to \mathbb {C}$ com $f(z):=\mathrm {Log} (z)$ .^[60]^[61] Apesar de a série de potências correspondente centrada em $z_{0}=-5+i$ convergir com um raio de $R={\sqrt {26}}$ , ela já não representa a função, por exemplo, no ponto $-5-i$ , muito embora $|-5+i-(-5-i)|=2<{\sqrt {26}}$ . O motivo subjacente é a fixação no valor principal do logaritmo, o qual se torna descontínuo ao longo do semieixo real negativo (ver imagem).

Pontos singulares

Consideremos uma série de potências

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}

com raio de convergência $0<R<\infty$ . Um ponto de fronteira $w\in \partial B_{R}(c)$ denomina-se ponto singular, se não existir nenhuma vizinhança $W$ de $w$ acompanhada de uma função holomorfa ${\widehat {f}}\colon W\to \mathbb {C}$ tal que $f|_{B_{R}(c)\cap W}={\widehat {f}}|_{B_{R}(c)\cap W}$ . O conjunto dos pontos singulares sobre $\partial B_{R}(c)$ no tocante a $f$ é sempre fechado. Se cada ponto em $\partial B_{R}(c)$ for um ponto singular relativamente a $f$ , então $B_{R}(c)$ corresponde ao Domínio de holomorfia de $f$ .^[62] Adicionalmente, o conjunto dos pontos singulares na fronteira do disco de convergência nunca é vazio; existindo, portanto, sempre pelo menos um ponto singular.^[63] Importa reter que a série de potências pode perfeitamente convergir em qualquer ponto na fronteira do seu domínio de convergência. Apenas não é possível um prolongamento holomorfo em torno de todos os pontos da fronteira.

O teorema da lacuna (Lückensatz)

O teorema da lacuna (ou dos espaços vazios) fornece um critério suficiente para que o disco circular aberto de convergência de uma série de potências seja o domínio de holomorfia da função holomorfa nele representada. A série de potências

f(z)=\sum _{\nu =0}^{\infty }b_{\nu }z^{\lambda _{\nu }}

, sendo

0\leq \lambda _{0}<\lambda _{1}<\cdots ,

tem o raio de convergência $0<R<\infty$ . Pressupõe-se a existência de um número fixo $\delta >0$ , por forma a que a condição da lacuna

\lambda _{\nu +1}-\lambda _{\nu }\geq \delta \lambda _{\nu }

esteja satisfeita para todo o $\nu \in \mathbb {N} _{0}$ . Em tal caso, $B_{R}(0)$ constitui o domínio de holomorfia de $f$ .^[64] Este teorema foi demonstrado primeiramente por Jacques Hadamard no ano de 1892, tendo a demonstração sido consideravelmente simplificada por Louis Mordell em 1927. Atualmente existe abundante literatura e diversas generalizações relativas ao teorema da lacuna.^[64] De forma surpreendente, cada série de potências

\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}

com raio de convergência $R=1$ detém a "aptidão" para ser convertida numa função holomorfa dotada do domínio de holomorfia $\mathbb {E}$ . Segundo um teorema conjeturado por Pierre Fatou e demonstrado por Adolf Hurwitz, existe sempre uma sucessão $\varepsilon _{n}\in \{-1,1\}$ , de tal forma que

z\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}z^{n}

possua o domínio de holomorfia $\mathbb {E}$ .^[65]

Séries de Laurent e de Fourier

Teorema da expansão de Laurent

A série de Laurent generaliza o conceito de série de potências na medida em que expoentes negativos também são permitidos. Pode demonstrar-se, utilizando o teorema integral de Cauchy para domínios estrelados, que as funções holomorfas em domínios anelares (coroas circulares) podem ser desenvolvidas em séries de Laurent.^[66] Toda a função holomorfa $f$ num domínio anelar

{\mathcal {R}}=\{z\in \mathbb {C} \mid 0\leq r<|z|<R\leq \infty \}

admite uma decomposição

f(z)=g(z)+h\left({\frac {1}{z}}\right)

,

A propriedade da função exponencial complexa de mapear periodicamente faixas horizontais em domínios anelares, aliada à teoria das séries de Laurent, constitui o alicerce para as séries de Fourier de funções holomorfas periódicas.

onde $g\colon B_{R}(0)\to \mathbb {C}$ e $\textstyle h\colon B_{\frac {1}{r}}(0)\to \mathbb {C}$ são funções holomorfas. Com a exigência $h(0)=0$ , esta decomposição torna-se única.^[67] Em particular, as funções holomorfas em domínios anelares com raios $0\leq r<R\leq \infty$ e centro $c$ podem ser desenvolvidas em séries de Laurent:

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.

A série converge de forma absoluta e localmente uniforme. O cálculo dos coeficientes é possível através da fórmula

a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{\rho }(c)}{\frac {f(w)}{(w-c)^{n+1}}}\mathrm {d} w,\qquad r<\rho <R.

^[68]

Séries de Fourier complexas

Um caso particular ocorre quando uma função holomorfa é, em simultâneo, uma função periódica. Para isso, é suficiente considerar o período 1. Se $f$ for holomorfa na faixa aberta

D=\{z\in \mathbb {C} \mid a<\operatorname {Im} (z)<b\},

e periódica de período 1, ou seja, aplicando-se sempre $f(z+1)=f(z)$ , então $f$ possui um desenvolvimento de Fourier

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi izn}.

Esta série é convergente de forma absoluta e localmente uniforme em todo o $D$ . O cálculo dos coeficientes, para cada $a<y<b$ , é possível através de

a_{n}=\int _{0}^{1}f(x+iy)e^{-2\pi in(x+iy)}\mathrm {d} x.

^[69] Crucial para a dedução da existência de uma série de Fourier em faixas horizontais é o comportamento de mapeamento da função exponencial complexa

z\mapsto e^{2\pi iz}

, bem como a existência da série de Laurent.^[70] O desenvolvimento em séries de Fourier desempenha um papel de grande importância na teoria das formas modulares.^[71]

Exemplos

Exemplos de funções holomorfas são os polinómios, dado que estes são obtidos através de operações algébricas simples (adição e multiplicação). Por exemplo, para a função $f(z)=z^{2}$ , o quociente diferencial é

\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(z+h)^{2}-z^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {2zh+h^{2}}{h}}=\lim _{h\to 0}(2z+h)=2z=f'(z).

Seguindo este princípio, todos os polinómios são funções holomorfas. No entanto, coloca-se a questão de saber se existem, para além destes, outras funções holomorfas e que aspeto têm. Muitas funções diferenciáveis no domínio real, como a função módulo (exceto no ponto 0), não são holomorfas. Por exemplo, tem-se

\lim _{h\to 0 \atop h\in \mathbb {R} }{\frac {|1+h|-1}{h}}\not =\lim _{h\to 0 \atop h\in \mathbb {R} }{\frac {|1+ih|-1}{ih}},

uma vez que o lado direito, se existir, não é um número real, enquanto o lado esquerdo o é.

Toda a Função polinomial $p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$ é uma função holomorfa em todo o $\mathbb {C}$ . As funções polinomiais são precisamente as séries de potências cujos coeficientes, com a exceção de um número finito deles (Quase todos), se anulam. Como tal, elas são também as únicas funções inteiras que, se não forem constantes, possuem no ponto no infinito um polo e não uma Singularidade essencial.^[72]

Função exponencial

A função exponencial natural $x\mapsto e^{x}$ , inicialmente definida nos números reais, possui um prolongamento holomorfo em todo o $\mathbb {C}$ . Aí, ela pode ser definida, tal como nos números reais, através da sua série de potências:

e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}=1+z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{6}}+\cdots .

Ela satisfaz, para todos os $z,w\in \mathbb {C}$ , a equação funcional $e^{z+w}=e^{z}e^{w}$ ^[73] e verifica-se $(e^{z})'=e^{z}$ , ou seja, é igual à sua própria derivada.^[74]

Só no domínio dos números complexos é que a relação estreita entre a função exponencial e as funções trigonométricas se torna visível. Esta relação pode ser deduzida por meio dos desenvolvimentos em série de potências e de uma comparação dos coeficientes, acarretando consequências importantes para a geometria dos números complexos e para a matemática em geral. A relação, descoberta pela primeira vez por Leonhard Euler e também designada por Fórmula de Euler, é expressa por

e^{iw}=\cos(w)+i\sin(w),

onde $w$ é, em muitas aplicações, um número real, mas pode assumir quaisquer valores complexos.^[73] Disto decorre, em particular, que enquanto função ela é $2\pi i$ -periódica. Portanto, para todo o $z\in \mathbb {C}$ tem-se

e^{z+2\pi i}=e^{z}

.

Logaritmo

A função exponencial complexa $z\mapsto \exp(z)$ , vista globalmente, não é injetiva, razão pela qual, enquanto função inteira, não é invertível. Contudo, ao restringi-la ao domínio $-\pi <\operatorname {Im} (z)\leq \pi$ , a injetividade pode ser restabelecida. Como este domínio não é aberto – por exemplo, $z=\pi i$ não é um ponto interior –, é conveniente transitar para a faixa aberta

S:=\{z\in \mathbb {C} \mid -\pi <\operatorname {Im} (z)<\pi \}

.

Aplica-se então^[75]

\exp(S)=\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}=:\mathbb {C} _{-},

ou seja, a imagem da restrição corresponde exatamente ao plano complexo com exceção dos números reais não positivos. Sendo uma função holomorfa bijetiva entre dois conjuntos abertos, a sua função inversa, conhecida como o ramo principal do logaritmo, é de novo holomorfa. Esta é denotada como $\mathrm {Log} \colon \mathbb {C} _{-}\rightarrow S$ , e aplica-se $\exp(\mathrm {Log} (z))=z$ em todo o domínio $\mathbb {C} _{-}$ . A utilização do termo ramo principal baseia-se no facto de que a escolha da faixa $S$ é óbvia, mas de forma alguma única. Poder-se-ia, por exemplo, ter escolhido a faixa $\pi <\operatorname {Im} (z)<3\pi$ – isto justifica-se pela periodicidade $2\pi i$ da função exponencial complexa. Devido à fórmula de Euler, o logaritmo complexo está relacionado com o valor principal do argumento $\mathrm {Arg} (z)$ através da relação^[76]

\mathrm {Log} (z)=\log |z|+i\mathrm {Arg} (z)

.

Nisto, $\log(x)$ designa o logaritmo natural real. Disso decorre, em especial, para os números reais $a<0$

\lim _{z\to a \atop \operatorname {sgn}(\operatorname {Im} (z))=\pm 1}\mathrm {Log} (z)=\log |a|\pm \pi i,

e a Função sinal $\operatorname {sgn}(x)$ indica se o limite se aproxima por cima ou por baixo.^[77] Em todo o $\mathbb {C} _{-}$ aplica-se a fórmula de derivação^[78]

\mathrm {Log} '(z)={\frac {1}{z}}.

Funções trigonométricas e hiperbólicas

Sendo composições de funções exponenciais, as funções Seno e cosseno e as funções seno e cosseno hiperbólicos são funções inteiras.^[79]^[80] A título de exemplo, aplica-se

\sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}

e esta é uma função inteira. Em contraste, as funções Tangente e cotangente e tangente e cotangente hiperbólicas não são funções inteiras, mas sim funções meromorfas em todo o $\mathbb {C}$ , ou seja, holomorfas à exceção de um conjunto discreto de polos. Por exemplo, a tangente hiperbólica no domínio complexo tem o conjunto de polos $\{{\tfrac {2k+1}{2}}\pi i\mid k\in \mathbb {Z} \}$ .

Funções trigonométricas inversas e funções de área

As funções trigonométricas inversas podem ser prolongadas holisticamente para o disco unitário aberto, consideradas em torno do ponto $z=0$ . Por exemplo, define-se^[81]

\arcsin(z):=\int _{0}^{z}{\frac {\mathrm {d} w}{\sqrt {1-w^{2}}}},\qquad |z|<1.

O integrando é uma função holomorfa no disco unitário aberto, razão pela qual o integral representa novamente uma função holomorfa.

Funções de potência arbitrárias

As funções de potência arbitrárias também podem ser compreendidas no plano complexo através do logaritmo complexo. No entanto, estas, de um modo geral, não constituem funções inteiras.

Seja $s\in \mathbb {C}$ arbitrário, define-se para $z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}$

z^{s}:=e^{s\operatorname {Log} (z)}.

Enquanto composição de funções holomorfas, esta representa uma função holomorfa no domínio elementar $\mathbb {C} \setminus \mathbb {R} _{\leq 0}$ . Nalgumas aplicações, todavia, afigura-se mais vantajoso eleger o semieixo real positivo como sendo a linha de descontinuidade. Opta-se, então, em alternativa, por fixar

z^{s}=e^{s(\pi i+\operatorname {Log} (-z))}.

Funções não complexamente diferenciáveis em parte alguma

Não são diferenciáveis no sentido complexo em nenhum $z\in \mathbb {C}$ e, por isso, em lado nenhum são holomorfas, por exemplo:

a função módulo $z\mapsto |z|$ ,
as projeções sobre a parte real $z\mapsto \operatorname {Re} (z)$ ou sobre a parte imaginária $z\mapsto \operatorname {Im} (z)$ ,
a conjugação complexa $z\mapsto {\overline {z}}$ .

A função $z\mapsto |z|^{2}$ é complexamente diferenciável unicamente no ponto $z=0$ , mas aí não é holomorfa, uma vez que não é complexamente diferenciável em toda uma vizinhança de $0$ .

Caracterizações do conceito de holomorfia

Se $U\subseteq \mathbb {C}$ for aberto, então as seguintes propriedades de funções complexas $f\colon U\to \mathbb {C}$ são equivalentes:^[82]

A função é complexamente diferenciável uma vez em todo o $U$ .
A função é infinitamente diferenciável no sentido complexo em todo o $U$ .
A parte real e a parte imaginária satisfazem as equações diferenciais de Cauchy-Riemann e são, pelo menos, uma vez continuamente diferenciáveis no sentido real.
A função pode ser desenvolvida localmente numa série de potências complexa em qualquer ponto de $U$ .
A função é contínua e o integral de linha da função ao longo de qualquer caminho fechado contrátil anula-se.
A função possui localmente uma função primitiva, ou seja, para cada $a\in U$ existe uma vizinhança $U(a)\subset U$ tal que $f|_{U(a)}$ possui uma primitiva.
Os valores da função no interior de um disco circular, cujo fecho está contido em $U$ , podem ser determinados a partir dos valores da função na fronteira com a ajuda da fórmula integral de Cauchy.
A função $f$ é diferenciável no sentido real e verifica-se

\quad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,

onde

{\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}

é o operador de Cauchy-Riemann, que é definido por

{\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}:={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}+i{\tfrac {\partial }{\partial y}}\right)

.^[83]

Zeros

Em contraste com funções reais diferenciáveis arbitrárias, as funções holomorfas têm um comportamento de zeros muito controlado. O pano de fundo é o chamado teorema da identidade para funções holomorfas, que assegura que uma função holomorfa não constante num domínio $D$ não pode acumular valores no seu interior. Em particular, aplica-se: se $a\in \mathbb {C}$ e $f\colon D\to \mathbb {C}$ for holomorfa e não constante, então cada uma das pré-imagens designadas por fibras

f^{-1}(\{a\}):=\{z\in D\mid f(z)=a\}

é localmente finita em $D$ , e deduz-se que $f$ possui apenas, no máximo, um número enumerável dos chamados pontos $a$ .^[84] De particular interesse é o caso $a=0$ , ou seja, exatamente os zeros de $f$ .

Teorema de Rouché

Sejam $f,g$ funções holomorfas num domínio elementar $D$ e $\gamma$ uma curva fechada seccionalmente suave em $D$ , de tal modo que esta contorne cada ponto no seu interior exatamente uma vez no sentido positivo. Suponhamos que se verifica $|g(z)|<|f(z)|$ para todo o $z\in \gamma ([0,1])$ . Então, as funções $f$ e $f+g$ não têm zeros em $\gamma ([0,1])$ e, contadas as multiplicidades, possuem o mesmo número de zeros no interior da curva.^[85]

O teorema de Rouché também pode ser estendido a funções meromorfas.

Fórmula de Jensen

A fórmula de Jensen estabelece uma relação entre o crescimento de uma função holomorfa nas fronteiras de discos circulares e a distribuição dos seus zeros. Se $f\not =0$ for uma função holomorfa num domínio $D$ , de tal forma que $D$ contenha o disco circular ${\overline {B_{r}(0)}}$ , e se $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$ forem os zeros de $f$ em $B_{r}(0)$ (repetidos de acordo com a sua multiplicidade), então, com $f(0)\not =0$ , já se verifica^[86]

\log |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left({\frac {r}{|z_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\mathrm {d} \theta .

Uma generalização é constituída pela fórmula de Poisson-Jensen, que é aplicável sob as premissas acima para cada $|z|<r$ com $f(z)\not =0$ :^[86]

\log |f(z)|=-\sum _{k=1}^{n}\log \left|{\frac {r^{2}-{\overline {z_{k}}}z}{r(z-z_{k})}}\right|+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\operatorname {Re} \left({\frac {re^{i\theta }+z}{re^{i\theta }-z}}\right)\log |f(re^{i\theta })|\mathrm {d} \theta .

Esta desempenha um papel importante na demonstração do teorema do produto de Hadamard para funções holomorfas, por exemplo, no contexto das funções L.^[87]

Singularidades

A holomorfia de uma função num conjunto aberto é uma propriedade forte e acarreta muitas consequências relativamente à teoria da integração ou às propriedades de mapeamento. Assim, a analiticidade num ponto irradia sempre para os pontos circundantes. Pode colocar-se a questão sobre o que se pode afirmar a partir de um determinado ponto $a\in U$ de um conjunto aberto acerca do comportamento de uma função holomorfa $f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C}$ . Neste caso, $a$ encontra-se no interior de $U$ e está, portanto, isolado num conjunto contínuo de pontos, nos quais $f$ tem um comportamento muito forte do ponto de vista analítico. Um tal $a$ é também designado por singularidade isolada.^[88]

É um resultado importante o facto de a função holomorfa $f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C}$ só poder apresentar três tipos diferentes de comportamento "em torno de $a$ ". A título de exemplo, as funções

z\mapsto {\frac {\sin(z)}{z}}

,

z\mapsto {\frac {1}{z}}

e

z\mapsto \exp \left({\frac {1}{z}}\right)

são todas holomorfas em $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ , mas apresentam um comportamento muito diferente em redor da origem.^[88]

O tipo de uma singularidade pode ser deduzido inequivocamente a partir dos coeficientes da série de Laurent da função $f$ nela desenvolvida.^[89]

Singularidade removível

Existe uma singularidade removível num ponto $a\in U$ quando a função holomorfa $f\colon U\setminus \{a\}\to \mathbb {C}$ é limitada em torno de $a$ , ou seja, quando apresenta um comportamento "completamente normal". Verifica-se então $|f(z)|\leq M$ para todo o $z$ numa vizinhança perfurada (reduzida) suficientemente pequena de $a$ em $U$ . De acordo com o teorema de Riemann sobre singularidades removíveis, num caso como este, $f$ pode ser sempre continuada de forma contínua, ou mesmo holomorfa, em todo o $U$ .^[90] Existe, portanto, uma função holomorfa ${\widehat {f}}\colon U\rightarrow \mathbb {C}$ que concorda com $f$ em todo o $U\setminus \{a\}$ .^[88]

Exemplos de funções com singularidades removíveis são

f(z)={\frac {z^{2}-1}{z-1}}

no ponto

a=1

, cujo prolongamento holomorfo é

{\widehat {f}}(z)=z+1

,

ou também

f(z)={\frac {\sin(z)}{z}}

no ponto

a=0

, cujo prolongamento holomorfo é o Seno cardinal, com o desenvolvimento em série de potências

1-{\tfrac {z^{2}}{6}}+{\tfrac {z^{4}}{120}}-\cdots

.

Polo

Uma função holomorfa $f\colon U\setminus \{a\}\rightarrow \mathbb {C}$ tem um polo de ordem $m\in \mathbb {N}$ em $a$ , caso possa ser escrita numa vizinhança de $a$ como o quociente

f(z)={\frac {h(z)}{(z-a)^{m}}}

com um $h$ holomorfo tendo $h(a)\not =0$ .^[92] Além disso, um polo de qualquer ordem pode ser caracterizado pelo comportamento de mapeamento local de $f$ . A função $f$ tem um polo em $a$ se e só se se verificar

\lim _{z\to a}|f(z)|=\infty

.

A caraterística de um polo é, portanto, que os pontos numa vizinhança não se comportam de forma caótica, mas convergem, num certo sentido, uniformemente para o infinito.^[93]

Se $a$ for um polo de ordem $m$ de $f(z)$ , então o desenvolvimento de Laurent de $f$ em torno do mesmo tem necessariamente a forma

f(z)={\frac {a_{-m}}{(z-a)^{m}}}+{\frac {a_{-m+1}}{(z-a)^{m-1}}}+\cdots =\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n},\qquad a_{-m}\not =0.

Uma tal expansão é também suficiente para a existência de um polo de ordem $m$ .^[89]

Por exemplo, a função $f(z)={\tfrac {e^{z}}{z^{4}}}$ holomorfa em $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ tem um polo de quarta ordem em $z=0$ .

Singularidade essencial

Uma singularidade é classificada como essencial quando não é removível nem se trata de um polo.^[93] Esta pode ser caraterizada através do Teorema de Casorati-Weierstrass, o qual estipula que uma função holomorfa em qualquer vizinhança perfurada (reduzida) de uma singularidade essencial se aproxima arbitrariamente de qualquer número complexo. Logo, para qualquer vizinhança perfurada $V\setminus \{a\}$ no domínio de $f$ e para qualquer $\varepsilon >0$ , existe para todo o $v\in \mathbb {C}$ um $w\in V\setminus \{a\}$ com $|f(w)-v|<\varepsilon$ .^[94]

Como alternativa, é possível identificar uma singularidade essencial $a$ a partir dos coeficientes da série de Laurent. O ponto $a$ é uma singularidade essencial se e só se $f$ possuir em torno de $a$ a série de Laurent

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}

com $a_{n}\not =0$ para um número infinito de $n<0$ .^[89]

Funções meromorfas

Formalmente define-se o símbolo ${\displaystyle \infty$ . Uma aplicação $f\colon D\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ denomina-se função meromorfa se o conjunto $S(f):=f^{-1}(\{\infty \})$ for discreto em $D$ , se a restrição $f_{0}\colon D\setminus S(f)\to \mathbb {C}$ for holomorfa e se cada um dos pontos de $S(f)$ for um polo de $f$ .^[95]

Por conseguinte, se se integrarem os polos isolados de uma função holomorfa "no domínio de definição", fala-se também em termos gerais de uma função meromorfa. A união de todas as funções meromorfas num domínio forma um corpo.^[95] Nesse contexto, os polos são considerados como os inversos dos zeros, sendo que o valor infinito pode ser interpretado como "Polo Norte" através da projeção estereográfica na esfera de Riemann.^[96]^[97]

Em determinadas aplicações, o pressuposto da holomorfia afigura-se demasiado restritivo. Por exemplo, todas as funções elípticas holomorfas relativamente a uma malha (reticulado) arbitrária já são, por si só, constantes.^[98] Só quando se transita para funções elípticas meromorfas em todo o $\mathbb {C}$ é que se logram obter exemplos não triviais, tais como as funções p de Weierstrass.^[99] Do mesmo modo, outras funções de grande relevo, como a função zeta de Riemann e a função gama, não são holomorfas em $\mathbb {C}$ , mas puramente meromorfas.

Adicionalmente, para funções meromorfas $0\not \equiv f\colon D\to {\overline {\mathbb {C} }}$ num domínio $D$ , ou seja, aquelas que apresentam apenas singularidades não essenciais, podem ser especificadas ordens em cada ponto do domínio. Existe sempre o número inteiro mais pequeno, tal que $g(z):=(z-a)^{k}f(z)$ é removível em $a$ . A ordem de $f$ em $a\in D$ é então definida por^[92]

\mathrm {ord} (f;a):=-k.

A título exemplificativo, se $f$ tiver um zero de grau três em $a=1$ , como por exemplo com $f(z)={\tfrac {z(z-1)^{3}}{(z+i)^{5}}}$ , então isto corresponde à ordem 3 em $a=1$ . As ordens negativas provêm de polos. Como ilustração, utilizando ainda o mesmo exemplo fornecido, também se aplica

\mathrm {ord} (f;-i)=-5.

Tome-se em linha de conta que não suscita equívocos a igualmente acertada designação "polo de quinta ordem" (por conseguinte, se uma função detiver a ordem $m<0$ em $a$ , versa sobre um polo de ordem $|m|$ em $a$ ). No corpo das funções meromorfas ${\mathcal {M}}(D)$ vigoram, subsequentemente, para todos os $f,g\in {\mathcal {M}}(D)^{\times }$ , as normas de cálculo^[100]

{\begin{aligned}\mathrm {ord} (f+g;a)&\geq \min\{\mathrm {ord} (f;a),\mathrm {ord} (g;a)\},\\\mathrm {ord} (fg;a)&=\mathrm {ord} (f;a)+\mathrm {ord} (g;a),\\\mathrm {ord} \left({\frac {f}{g}};a\right)&=\mathrm {ord} (f;a)-\mathrm {ord} (g;a).\end{aligned}}

Relativamente à função nula constante, estipula-se ocasionalmente de modo formal

\mathrm {ord} (0;a):=\infty

.^[100]

Cálculo de resíduos

O resíduo

Se a função $f$ for holomorfa num disco circular perfurado (vizinhança reduzida) ${\dot {U}}_{\delta }(c)$ , então pode ser desenvolvida em torno de $c$ numa série de Laurent

f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}

.

O resíduo refere-se ao termo nesta série que não possui uma função primitiva em ${\dot {U}}_{\delta }(c)$ , nomeadamente ${\tfrac {a_{-1}}{z-c}}.$ No entanto, não define este termo, mas apenas o coeficiente correspondente, escrevendo-se^[101]

\mathrm {Res} (f;c):=a_{-1}.

O resíduo é um Funcional, ou seja, uma aplicação linear do espaço das funções holomorfas nos números complexos.

Teorema dos resíduos

O integral de uma curva fechada (simples no sentido matematicamente positivo) dentro de $U$ depende apenas das singularidades $a_{k}$ no seu interior, sendo a função $f$ holomorfa no restante domínio.

O teorema dos resíduos pertence aos teoremas centrais da teoria das funções (análise complexa). Este postula que o integral de contorno fechado de uma função holomorfa num domínio elementar, excluindo um conjunto discreto de singularidades, depende apenas das singularidades isoladas do integrando e dos índices de rotação da curva de integração. Com isto, ele generaliza a fórmula integral de Cauchy. Dado que em muitos casos o tratamento das singularidades isoladas é descomplicado, ele pode contribuir para um cálculo rápido de integrais, mesmo quando não é possível encontrar uma primitiva.

Precisamente, o teorema dos resíduos postula que, se $D$ for um domínio elementar, $\{a_{1},\dots ,a_{n}\}\subset D$ um subconjunto de $n$ elementos, $f\colon D\setminus \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\to \mathbb {C}$ holomorfa, e $\gamma \colon [0,1]\to D\setminus \{a_{1},\dots ,a_{n}\}$ uma curva fechada seccionalmente suave, então aplica-se a fórmula dos resíduos^[101]

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=\sum _{j=1}^{n}\chi (\gamma ;a_{j})\operatorname {Res} (f;a_{j}),

onde $\chi (\gamma ;a_{j})$ designa o índice de rotação de $\gamma$ em torno de $a_{j}$ . O valor do integral depende, portanto, apenas dos resíduos da função $f$ e do seu índice de rotação.

Importância

O teorema dos resíduos acarreta algumas consequências importantes para a teoria das funções. São apresentadas algumas aplicações comuns na literatura.

Integral contador de zeros e polos

Se $f$ for uma função meromorfa num domínio elementar $D$ e a curva fechada seccionalmente suave $\gamma$ circundar todos os zeros e polos de $f$ exatamente uma vez no sentido matematicamente positivo, então aplica-se ao número de zeros e polos $N(0)$ e $N(\infty )$ , respetivamente, a fórmula exata^[102]

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z=N(0)-N(\infty ).

Cálculo explícito de integrais

O teorema dos resíduos pode servir, nalguns casos, para o cálculo de integrais, por exemplo, sobre funções racionais. Um exemplo é a fórmula válida para números inteiros $0\leq k<n$ ^[103]

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {t^{2k}}{1+t^{2n}}}\mathrm {d} t={\frac {\pi }{n\sin \left({\frac {(2k+1)\pi }{2n}}\right)}}.

Também pode ser utilizado para o cálculo da decomposição em frações parciais da cotangente,^[104] para a resolução do Problema de Basileia^[105] e para a demonstração da fórmula^[106]

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}\mathrm {d} t={\sqrt {\pi }}

.

O cálculo explícito dos integrais de Fresnel também é possível com o teorema dos resíduos.^[107]

Propriedades de mapeamento

Teorema da identidade

Demonstra-se que uma função holomorfa é univocamente determinada por muito pouca informação. Deste modo, basta que duas funções $f$ e $g$ , holomorfas num domínio $D$ , coincidam num subconjunto que tenha um ponto de acumulação em $D$ , para se deduzir globalmente que $f=g$ . Nisto, um $z\in D$ é um ponto de acumulação do subconjunto $M\subset D$ se, em qualquer vizinhança aberta de $z$ , por mais pequena que seja, existirem infinitos elementos de $M$ . Importa realçar aqui a condição de que o ponto de acumulação se deve encontrar dentro do domínio. Se tal não for exigido, a afirmação anterior é, de uma forma geral, falsa.

De forma mais precisa, pode demonstrar-se que as seguintes afirmações são equivalentes:^[108]

$f=g$ .
O conjunto de coincidência $\{z\in D\mid f(z)=g(z)\}$ tem um ponto de acumulação em $D$ .
Existe um ponto $z_{0}\in D$ tal que, para todos os números inteiros $n\geq 0$ , se verifica a igualdade $f^{(n)}(z_{0})=g^{(n)}(z_{0})$ .

No teorema da identidade, a condição de $D$ ser um domínio é essencial, uma vez que a holomorfia é uma propriedade local. Por exemplo, as duas funções holomorfas

f(z)={\begin{cases}0,&\quad z\in B_{1}(0)\\1,&\quad z\in B_{1}(42)\end{cases}}

e

g(z)={\begin{cases}0,&\quad z\in B_{1}(0)\\2,&\quad z\in B_{1}(42)\end{cases}}

coincidem inclusivamente em todo o $B_{1}(0)$ , no entanto, do ponto de vista global, não são iguais, dado que $f(42)\not =g(42)$ . Acontece que $D=B_{1}(0)\cup B_{1}(42)$ não é um domínio, pois pode ser expresso como a união disjunta de conjuntos abertos não vazios. É igualmente crucial que o ponto de acumulação seja parte do domínio. Por exemplo, a função $z\mapsto \sin \left({\tfrac {\pi }{z}}\right)$ é holomorfa em $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ e assume o valor 0 para todo o $z=1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\dots ,{\tfrac {1}{n}},\dots$ , mas não coincide com a função nula. Há que ter em atenção que o ponto de acumulação 0 da sucessão $n\mapsto {\tfrac {1}{n}}$ não faz parte de $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ .^[109] Contudo, se se exigir $f(z_{j})=g(z_{j})$ para uma família não enumerável de pontos distintos aos pares $z_{j}\in D$ , a condição de um ponto de acumulação em $D$ pode ser omitida (visto que se deduz de forma automática).

Teorema da aplicação aberta (Teorema da invariância do domínio)

Em termos simples, o teorema da aplicação aberta estipula que uma função holomorfa não constante definida num domínio mapeia conjuntos abertos em conjuntos abertos, ou seja, de forma particular, domínios em domínios.

Se $D\subseteq \mathbb {C}$ for um domínio e $f\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ for holomorfa e não constante, então $f(D)\subseteq \mathbb {C}$ é novamente um domínio. Desta forma, $f$ é um mapeamento aberto. Este princípio da abertura não é genericamente válido para funções contínuas, para as quais unicamente as pré-imagens (imagens inversas) de conjuntos abertos têm de ser abertas. Por exemplo, isto já falha em funções diferenciáveis nos números reais, onde o seno tem o contradomínio não aberto $\sin(\mathbb {R} )=[-1,1]$ .^[110]

Na demonstração do teorema da aplicação aberta, entra como passo intermédio importante o comportamento local de mapeamento de funções holomorfas não constantes, ver abaixo. No domínio real falha a afirmação de que $z\mapsto z^{n}$ mapeia uma vizinhança de 0 numa vizinhança de 0; por exemplo, aqui tem-se sempre $x^{2}\geq 0$ .

Como consequências simples do teorema da aplicação aberta resulta que uma função $f$ holomorfa num domínio, para a qual quer $z\mapsto \operatorname {Re} (f(z))$ , $z\mapsto \operatorname {Im} (f(z))$ ou $z\mapsto |f(z)|$ seja constante, já tem de ser constante.^[111]

Existe também uma versão quantitativa do teorema da aplicação aberta.^[112]

Comportamento de mapeamento local

Toda a função holomorfa não constante $f$ comporta-se, na sua essência, como uma potência. Mais rigorosamente: Se $f$ for não constante e holomorfa num domínio em torno de 0 e se se verificar $f(0)=0$ , então existe um número natural $n$ , uma pequena vizinhança $U$ em torno de 0 e uma aplicação biholomorfa $\varphi \colon U\to V$ com $\varphi (0)=0$ , de tal modo que

f(z)=\varphi (z)^{n}

para todo o $z\in U$ .^[111] Daqui decorre, nomeadamente após a mudança de variável $z=\varphi ^{-1}(w)$ , a identidade

f(\varphi ^{-1}(w))=w^{n}

para todo o $w\in V$ . O número $n$ fica assim univocamente determinado. Em particular, $f$ é localmente biholomorfa se e só se $n=1$ .^[113]

Princípio do máximo e teoremas relacionados

Princípio do máximo e do mínimo

Uma corolário do teorema da aplicação aberta é o chamado princípio do máximo. Este assevera que uma função $f$ holomorfa num domínio $D$ , que assuma um máximo local em $z$ no interior de $D$ , tem logo de ser constante. Se, portanto, para $z\in D$ existir uma vizinhança aberta $U$ tal que $|f(a)|\leq |f(z)|$ para todo o $a\in U$ , então $f$ é constante. Este princípio também pode ser formulado de outra forma: Toda a função holomorfa não constante num domínio limitado $D$ com extensão contínua para a fronteira $\partial D$ assume o seu máximo nessa mesma fronteira. Neste ponto, o facto de o domínio ser limitado reveste-se de importância fulcral. Se $D$ for de facto ilimitado, a afirmação nesta forma deixa de ser válida. Analisando-se, por exemplo, a função $g(z)=e^{e^{z}}$ , verifica-se que

\left|e^{e^{z}}\right|=e^{\operatorname {Re} (e^{x+iy})}=e^{e^{x}\cdot \cos(y)},

onde $z=x+iy$ . Com isto constata-se que $g(z)$ , apesar de ser limitada na fronteira da faixa $\{z\in \mathbb {C} \mid -{\tfrac {\pi }{2}}<\operatorname {Im} (z)<{\tfrac {\pi }{2}}\}$ , cresce indefinidamente para além de quaisquer limites no seu interior quando $\operatorname {Re} (z)\to \infty$ . Como demonstração do princípio do máximo, basta o conhecimento de que, de acordo com o teorema da aplicação aberta, cada ponto $f(z)$ em $f(D)$ é um ponto interior, o que significa que na sua vizinhança existem sempre pontos cujo módulo é superior a $|f(z)|$ .^[114]

Relacionado com o princípio do máximo está o princípio do mínimo. Se $f$ for, como acima, não constante e tiver um mínimo em módulo (valor absoluto) $z$ em $D$ , então $z$ terá necessariamente de ser um zero de $f$ .^[115]

Teorema de Phragmén-Lindelöf

O teorema de Phragmén-Lindelöf, publicado por Lars Phragmén e Ernst Lindelöf no ano de 1908,^[116] pode ser perspetivado como uma extensão do princípio do máximo. Fornece agora um critério com cuja ajuda pode ser inferida a limitação da função dentro do seu domínio de definição ilimitado. Seja $D$ um domínio elementar e $f\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ holomorfa. Suponha-se que existe uma função holomorfa $\varphi \colon D\rightarrow \mathbb {C}$ desprovida de zeros e que, além do mais, é limitada. A fronteira, englobando um ponto no infinito $\infty$ , desmembra-se em componentes $\partial _{\infty }D=A\cup B$ , estipulando-se que, para uma constante $M>0$ , vigore:

Para todo o $a\in A$ tem-se $\limsup _{z\to a}|f(z)|\leq M$ .
Para todo o $b\in B$ e um dado $\mu >0$ fixo, tem-se $\limsup _{z\to b}|f(z)||\varphi (z)|^{\mu }\leq M$ .

Daqui decorre desde logo que $|f(z)|\leq M$ para todo o $z\in D$ .^[117] O símbolo $\limsup$ denota o limite superior.

Outra variante do teorema estabelece que: Seja $f$ contínua na faixa $-{\tfrac {\pi }{2}}\leq \operatorname {Re} (z)\leq {\tfrac {\pi }{2}}$ e holomorfa no seu interior. Admita-se que se verifica $|f(z)|\leq 1$ para todos os valores de fronteira $z$ , ou seja, com $\operatorname {Re} (z)={\tfrac {\pi }{2}}$ ou $\operatorname {Re} (z)=-{\tfrac {\pi }{2}}$ , e que existem constantes $0<\alpha <1$ e $C>0$ tais que

|f(z)|\leq \exp \left(Ce^{\alpha |z|}\right).

Então tem-se que $|f(z)|\leq 1$ também no interior da faixa.^[118] A ineficácia do teorema para $\alpha =1$ é ilustrada pelo exemplo $z\mapsto e^{e^{z}}$ aludido anteriormente.

Subsiste uma variante do teorema aplicável a setores circulares. Considere-se, para esse desiderato, $f$ holomorfa no setor circular $S:=\{z\in \mathbb {C} \colon -{\tfrac {\pi }{4}}<\mathrm {Arg} (z)<{\tfrac {\pi }{4}}\}$ , provida de extensão contínua para ${\overline {S}}$ . Assuma-se adicionalmente que se tem $|f(z)|\leq 1$ na fronteira de $S$ e que existem constantes $c,C>0$ com as quais vigora $|f(z)|\leq Ce^{c|z|}$ em relação a todo o $z\in S$ . Logo, decorre liminarmente que $|f(z)|\leq 1$ abrange todo o $z\in S$ .^[119]

O teorema de Phragmén-Lindelöf tem aplicabilidade, entre outras vertentes, na teoria das funções L. Sustentado no mesmo, torna-se viável proceder à análise do seu comportamento atinente ao crescimento na apelidada faixa crítica, como por exemplo no âmbito do teorema recíproco de Hecke.^[120]

Teorema dos três círculos de Hadamard

O comportamento dos máximos dos módulos de uma função holomorfa sobre circunferências no interior de um domínio anelar pauta-se por ser convexo em relação aos logaritmos dos raios. Donde se infere que, sendo $f$ holomorfa no domínio anelar fechado $0<\alpha \leq |z|\leq \beta$ , centrada na origem, e estabelecendo-se

M(r):=\sup _{|z|=r}|f(z)|,

aplica-se invariavelmente^[121]

\log \left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)\log M(r)\leq \log \left({\frac {\beta }{r}}\right)\log M(\alpha )+\log \left({\frac {r}{\alpha }}\right)\log M(\beta ).

Esta postulação, outorgada com a designação de teorema dos três círculos de Hadamard, tem afinidade com teoremas respeitantes a funções holomorfas em faixas. Se $f$ for holomorfa e limitada numa faixa $a\leq \operatorname {Re} (z)\leq b$ , sucede que a função

M(\sigma ):=\sup _{t\in \mathbb {R} }|f(\sigma +it)|

é convexa.^[122] A validade desta observação consubstancia a sua transposição no atinente ao cenário focado a deparo e estipulação em limite associada e balizada na pauta a funções de crescimento não superior a polinomial. Aja-se no pressuposto de que $f$ , no âmago desta conjuntura, se encontra refreada por um polinómio, e que $\psi (\sigma )$ para com todo e cada $a\leq \sigma \leq b$ designe o número mais diminuto cumprindo

|f(\sigma +it)|\ll |t|^{\psi (\sigma )+\varepsilon }

para a totalidade de $\varepsilon >0$ . Por conseguinte, $\psi (\sigma )$ firma-se como uma função convexa e notoriamente contínua em $[a,b]$ , desde que se dê por salvaguardado que $f$ detém ordem finita sobre a referenciada faixa.^[121]

Tais afiançamentos afiguram-se relevantes, a título de corolário, na órbita de estipulação e dotação da conjetura de Lindelöf tangente à estirpe premente com a matriz afeta à função zeta de Riemann.^[123]

Distribuição de valores

Funções inteiras

Teorema de Liouville

O teorema de Liouville afirma que toda a função inteira limitada é constante. Inversamente, isto significa que toda a função inteira não constante tem de ser ilimitada, ou seja, a longo prazo, considerada em valor absoluto $|f|$ , crescerá para além de quaisquer limites. Embora, por exemplo, a função $z\mapsto \cos(z)$ seja limitada nos reais, quando considerada em todo o $\mathbb {C}$ crescerá arbitrariamente. O teorema foi demonstrado pela primeira vez por Joseph Liouville no ano de 1847, embora na altura apenas no âmbito dos teoremas de Liouville no caso especial para funções elípticas.^[124]

O teorema de Liouville é um corolário da fórmula integral de Cauchy generalizada. Se se verificar $\textstyle \sup _{z\in \mathbb {C} }|f(z)|\leq C$ , então decorre através da estimativa padrão para integrais para todos os $z\in \mathbb {C}$ e raios $R>|z|$ :

|f'(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|w-z|=R}{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\mathrm {d} w\right|\leq {\frac {2\pi R}{2\pi }}{\frac {C}{R^{2}}}={\frac {C}{R}}.

Neste contexto, o termo $2\pi R$ provém do comprimento de arco do caminho de integração circular. Através da escolha arbitrariamente grande de $R>0$ , resulta imediatamente $f'\equiv 0$ e, como $\mathbb {C}$ é um domínio, $f$ é constante.^[125]

Um corolário simples do teorema de Liouville é o Teorema fundamental da álgebra. Este afirma que todo o polinómio não constante sobre os números complexos tem um zero (uma raiz). Nos reais isto não se aplica, dado que, por exemplo, $x\mapsto x^{2}+1$ nunca se anula nesse domínio. Para a demonstração, sob o pressuposto de que um polinómio não constante $P$ não tem nenhum zero, deduz-se que $z\mapsto {\tfrac {1}{P(z)}}$ é uma função inteira limitada, logo, constante. Isto gera assim uma contradição.^[126]

Uma variante do teorema de Liouville afirma que toda a função holomorfa $f\colon {\overline {\mathbb {C} }}\rightarrow \mathbb {C}$ é constante. Nisto, ${\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ designa a Esfera de Riemann.^[127] A condição de limitação também pode ser atenuada. Se se aplicar sempre $|f(z)|\leq 1+|z|^{\frac {1}{2}}$ para uma função inteira $f$ , então $f$ é constante.^[128] O teorema de Liouville pode ainda ser generalizado para polinómios. Uma variante de Hadamard necessita apenas da parte real da função considerada. Se $f$ for inteira e existirem números reais $R,B$ e $K$ com

\operatorname {Re} (f(z))\leq B|z|^{K}

para todo o $|z|\geq R>0$ , então $f$ é um polinómio cujo grau não ultrapassa $K$ .^[129]

Um corolário do teorema de Liouville é que a imagem $f(\mathbb {C} )$ de uma função inteira não constante $f$ é sempre densa em $\mathbb {C}$ .^[130]

Pequeno teorema de Picard

O pequeno teorema de Picard constitui um reforço extremamente forte do teorema de Liouville. Ele afirma que toda a função inteira não constante $f\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ tem de assumir todos os valores complexos, com uma possível exceção.^[131] Para uma função inteira qualquer aplica-se, portanto, $f(\mathbb {C} )=\mathbb {C}$ , $f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \setminus \{a\}$ ou $f(\mathbb {C} )=\{a\}$ com um número $a\in \mathbb {C}$ . Neste contexto, não se pode prescindir do caso de uma exceção, uma vez que, por exemplo, a função exponencial $z\mapsto e^{z}$ não é constante e nunca se anula.

Embora o teorema seja de longe mais forte do que o teorema de Liouville, este último pode ser utilizado como passo intermédio para a demonstração do pequeno teorema de Picard.

Discos circulares e domínios anelares

Lema de Schwarz

Uma aplicação útil do princípio do máximo é a demonstração do lema de Schwarz: Se $f\colon \mathbb {E} \rightarrow \mathbb {E}$ for um auto-mapeamento (endomorfismo) holomorfo do disco unitário aberto $\mathbb {E}$ com a fixação da origem $f(0)=0$ , então aplica-se $|f(z)|\leq |z|$ para todo o $z\in \mathbb {E}$ e, em particular, $|f'(0)|\leq 1$ .^[132]

Uma generalização do lema de Schwarz é o Lema de Schwarz-Pick.^[133]

Mapeamentos convexos, a conjectura de Pólya-Schoenberg e o teorema de Study

Uma função holomorfa $f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ com $f(0)=0$ e $f'(0)=1$ diz-se convexa se mapear $\mathbb {E}$ de forma injetiva para um domínio convexo. Se a sua imagem for inclusivamente um domínio estrelado, então $f$ é dita estrelada (starlike). A função $f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ é convexa se e só se $z\mapsto zf'(z)$ for estrelada, ou se para todo o $z\in \mathbb {E}$ a desigualdade

\operatorname {Re} \left(1+{\frac {zf''(z)}{f'(z)}}\right)>0

for satisfeita. Se $\textstyle f(z)=\sum _{n\geq 1}a_{n}z^{n}$ e $\textstyle g(z)=\sum _{n\geq 1}b_{n}z^{n}$ forem ambas convexas, então uma conjectura de Pólya-Schoenberg assevera que também $\textstyle (f*g)(z):=\sum _{n\geq 1}a_{n}b_{n}z^{n}$ é convexa. Esta conjectura foi demonstrada em 1973 por Ruscheweyh e Sheil-Small.^[134] John L. Lewis utilizou-a para demonstrar que qualquer polilogaritmo $\operatorname {Li} _{\alpha }(z)$ para $\alpha \geq 0$ é uma função convexa.^[135] De modo algum uma função estrelada $f$ tem de mapear todas as curvas fechadas $\gamma \subset \mathbb {E}$ que circundam domínios estrelados noutras que também circundem domínios estrelados. Contraexemplos provêm de A. W. Goodman. Goodman demonstrou, porém, que uma função estrelada $f$ possui esta propriedade, designada por uniformemente estrelada (uniformly starlike), se e só se

\operatorname {Re} \left({\frac {f(z)-f(\zeta )}{(z-\zeta )f'(z)}}\right)\geq 0

para todo o $(z,\zeta )\in \mathbb {E} \times \mathbb {E}$ .^[136]

Uma aplicação pouco conhecida do lema de Schwarz a funções convexas conduz ao Teorema de Study. Se $f\colon \mathbb {E} \to D$ for biholomorfa e o domínio $D$ for convexo, então cada um dos domínios $D_{r}:=f(B_{r}(0))$ é convexo, com $0<r<1$ . Se, além disso, $D$ for um domínio estrelado com centro $f(0)$ , então, para todo o $0<r<1$ , também $D_{r}$ é um domínio estrelado com centro $f(0)$ .^[137]

Se $f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ for holomorfa, com $f(0)=0$ e $|f'(0)|\geq 1$ , e se $f(\mathbb {E} )$ for convexo, aplica-se desde logo $B_{\frac {1}{2}}(0)\subset f(\mathbb {E} )$ .^[138]

Teorema de Bloch

O teorema de Bloch, demonstrado em 1925 por André Bloch, estabelece um limite para a complexidade do domínio imagem de funções holomorfas.

Na versão demonstrada por Bloch, o teorema afirma que, se o conjunto aberto $U\subset \mathbb {C}$ contiver o disco unitário fechado $\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}$ e $f\colon U\rightarrow \mathbb {C}$ for uma função holomorfa com as propriedades $f(0)=0$ e $f'(0)=1$ , então existe um disco circular $S\subset U$ tal que a restrição $f|_{S}\colon S\rightarrow \mathbb {C}$ é injetiva e a imagem $f(S)$ contém um disco circular com raio de pelo menos ${\tfrac {1}{72}}$ .^[139]

Para reforçar o teorema relativamente a uma função holomorfa sob os pressupostos acima, pode definir-se o supremo $\beta (f)$ de todos os raios $r$ , de tal forma que $f|_{S}\colon S\rightarrow \mathbb {C}$ seja injetiva para um disco circular $S\subset U$ e $f(S)$ contenha um disco circular de raio $r$ . Se agora se formar o ínfimo de todos estes números $\beta (f)$ , quando $f$ possui as propriedades acima mencionadas, pode definir-se a Constante de Bloch por

B:=\inf\{\beta (f)\mid f\in {\mathcal {O}}(V),\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}\subset V\}.

O teorema de Bloch implica $B\geq {\tfrac {1}{72}}$ , mas a função $f(z)=z$ mostra que se tem igualmente $B\leq 1$ . Já foi provado que

0{,}43\leq B\leq {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\frac {11}{12}}\right)}{{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}}=0{,}47186165\ldots

se verifica. Nisto, $\Gamma (s)$ designa a Função gama. A estimativa superior provém de Lars Ahlfors e Helmut Grunsky do ano de 1937.^[140] Ambos conjeturaram adicionalmente que a sua estimativa superior corresponde mesmo ao valor verdadeiro de $B$ , algo que, contudo, permanece por provar.^[141]

Teorema de Schottky

O teorema de Schottky enuncia uma asserção acerca da distribuição de valores de uma função holomorfa que omite dois valores no seu contradomínio.

O teorema postula que para todos os valores $0<\alpha <\infty$ e $0\leq \beta \leq 1$ existe uma constante $C(\alpha ,\beta )$ , com a seguinte propriedade: Se $D\subset \mathbb {C}$ for um domínio elementar que contenha o disco circular fechado $\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}$ , e $f\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ uma função holomorfa qualquer que não assuma os valores 0 e 1 e que satisfaça $|f(0)|\leq \alpha$ , então aplica-se $|f(z)|\leq C(\alpha ,\beta )$ para todo o $|z|\leq \beta$ .^[142]

Disto pode ser deduzida uma proposição com discos circulares fechados ${\overline {B_{R}(0)}}=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq R\}$ com raio arbitrário $R>0$ . Se o domínio elementar $D$ contiver o conjunto ${\overline {B_{R}(0)}}$ e a função holomorfa $f\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ omitir os valores 0 e 1, então, no caso de $|f(0)|\leq \alpha$ , aplica-se, para a constante $C(\alpha ,\beta )$ proveniente do teorema de Schottky, a estimativa $|f(z)|\leq C(\alpha ,\beta )$ para todo o $|z|\leq \beta R$ .^[143]

Teorema de Koebe

Para funções holomorfas e injetivas $f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ com $f(0)=0$ e $f'(0)=1$ , o teorema de Koebe postula que invariavelmente $B_{\frac {1}{4}}(0)\subset f(\mathbb {E} )$ .^[144] Nisto, o valor ${\tfrac {1}{4}}$ é o melhor possível, tal como o exemplo $f(z)={\tfrac {z}{(1-z)^{2}}}$ demonstra.

Volumes de imagens

Seja $\textstyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}z^{n}$ holomorfa e injetiva na fronteira do círculo $|z|=r$ . Seja esta mapeada numa curva fechada $L$ . A área do domínio circundado por $L$ é então^[145]

\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }n|a_{n}|^{2}r^{2n}.

A área é contabilizada de forma positiva ou negativa, consoante se, ao percorrer o círculo $|z|=r$ no sentido positivo, o ponto imagem móvel $w=f(z)$ deixar a região circundada por $L$ à esquerda ou à direita.

Para coroas circulares $r\leq |z|\leq R$ , no referente à área da sua imagem (contabilizando múltiplas vezes as partes multiplamente recobertas), aplica-se correspondentemente

\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }n|a_{n}|^{2}(R^{2n}-r^{2n}).

Monotonia

A fim de investigar os módulos de funções holomorfas em circunferências quanto à monotonia, o conceito de diferenças de sucessões reveste-se de relevância. Para números reais $a_{1},a_{2},...$ estipula-se $\Delta ^{1}(a_{n}):=a_{n}-a_{n+1}$ , $\Delta ^{2}(a_{n}):=\Delta ^{1}(\Delta ^{1}(a_{n}))$ , e assim por diante. Em geral, aplica-se a fórmula

\Delta ^{r}(a_{n})=\sum _{j=0}^{r}{\binom {r}{j}}(-1)^{j}a_{n+j}.

Uma sucessão nula monotonicamente decrescente $b_{n}$ é classificada como $k$ vezes monótona se $\Delta ^{r}(b_{n})\geq 0$ for válido para todo o $n$ e $1\leq r\leq k$ . Se $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{n}$ for holomorfa no disco unitário $\mathbb {E}$ , convergir adicionalmente para $|z|=1$ e $b_{n}$ for quatro vezes monótona, então $g(\theta )=|f(e^{i\theta })|^{2}$ é uma função decrescente no intervalo $[0,\pi ]$ .^[146]

Raio de Bohr

No ano de 1914, Harald Bohr conseguiu provar que, caso a série de potências $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ convirja no disco unitário $\mathbb {E}$ e a função holomorfa satisfaça $|f(z)|<1$ em $\mathbb {E}$ , então já se verifica

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a_{n}|}{6^{n}}}\leq 1

.^[147]

O facto de que inclusivamente $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a_{n}|}{3^{n}}}\leq 1$ é válido e que $r={\tfrac {1}{3}}$ é o maior raio de Bohr possível, foi passível de ser demonstrado de forma independente por Friedrich Wilhelm Wiener, Marcel Riesz e Issai Schur.

Em torno de singularidades essenciais

Teorema de Casorati-Weierstrass

Seja $z_{0}$ um ponto do domínio $D$ . Então $z_{0}$ é uma singularidade essencial da função $f$ holomorfa em $D\setminus \{z_{0}\}$ se e só se, para qualquer vizinhança $U$ de $z_{0}$ contida em $D$ , a imagem $f(U\setminus \{z_{0}\})$ for densa em $\mathbb {C}$ .

Dito de outra forma: Uma função holomorfa tem uma singularidade essencial em $z_{0}$ se e só se, em qualquer vizinhança de $z_{0}$ , qualquer número complexo puder ser aproximado com qualquer precisão desejada como uma imagem de $f$ .^[148]

Grande teorema de Picard

Seja $U$ aberto e $c\in U$ uma singularidade essencial da função holomorfa $f\colon U\setminus \{c\}\rightarrow \mathbb {C}$ . O grande teorema de Picard assevera que então só dois casos são possíveis:

Para cada vizinhança perfurada (reduzida) ${\dot {V}}\subset U$ de $c$ aplica-se $f({\dot {V}})=\mathbb {C}$ .
Para cada vizinhança perfurada ${\dot {V}}\subset U$ de $c$ aplica-se $f({\dot {V}})=\mathbb {C} \setminus \{a\}$ com um $a\in \mathbb {C}$ apropriado.

Consequentemente, a função, perto da sua singularidade essencial, não só se aproxima arbitrariamente de qualquer valor, mas também assume, à exceção de uma possível omissão, qualquer valor um número infinito de vezes.^[149]

Sucessões e séries de funções holomorfas

Teorema da convergência de Weierstrass

Seja $U\subset \mathbb {C}$ aberto e $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sucessão de funções holomorfas em $U$ . Assumindo que $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente em subconjuntos compactos $K\subset U$ para uma função $f$ , o teorema de Weierstrass postula que a função limite $f$ é novamente holomorfa e que se pode permutar o cálculo do limite com a derivação. Ou seja, a sucessão $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge igualmente de forma compacta para $f'$ .^[150]

A demonstração do teorema decorre imediatamente do facto de a diferenciabilidade complexa, segundo o Teorema de Morera, se poder expressar através de um critério integral e de o integral de linha envolvido ser estável sob convergência uniforme. A afirmação sobre a sucessão $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ resulta da fórmula integral de Cauchy.^[150]

O teorema pode ser ainda mais reforçado. Seja $D$ um domínio limitado e $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sucessão de funções holomorfas em $D$ com prolongamento contínuo para $\partial D$ , de modo que a restrição $(f_{n}|_{\partial D})_{n\in \mathbb {N} }$ em $\partial D$ convirja uniformemente. Então $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge uniformemente para uma função holomorfa em $D$ que se prolonga continuamente para $\partial D$ .^[151]

A afirmação análoga no domínio real é falsa. De acordo com o Teorema de aproximação de Weierstrass, toda a função contínua $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ é o limite de uma sucessão de polinómios uniformemente convergente. No entanto, existe também um teorema de estabilidade nos reais, que é verdadeiro sob condições impostas à sucessão $(f'_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ .^[150]

Séries infinitas

O teorema de Weierstrass pode ser aplicado a séries infinitas. Se $f_{n}\colon U\to \mathbb {C}$ for uma sucessão de funções holomorfas, então $\textstyle f=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}$ converge para uma função holomorfa $f\colon U\to \mathbb {C}$ caso convirja normalmente em $U$ , ou seja, se para cada ponto $z\in U$ existir uma vizinhança $z\in V\subset U$ tal que^[152]

\sum _{n=1}^{\infty }\sup _{w\in V}|f_{n}(w)|<\infty .

Sucessões de integrais

Algumas funções holomorfas surgem sob a forma de integrais. Aplica-se neste contexto o seguinte: Seja $a<b$ e $(z,t)\mapsto F(z,t)$ uma função a valores complexos contínua em $U\times [a,b]$ , onde $U\subset \mathbb {C}$ designa um conjunto aberto. Além disso, assuma-se que $z\mapsto F(z,t)$ é uma função holomorfa para cada $t$ fixado. Então a função

f(z)=\int _{a}^{b}F(z,t)\mathrm {d} t

é holomorfa em $U$ .^[153] Em combinação com o teorema da convergência de Weierstrass, também podem ser tratados integrais com limites infinitos. Um exemplo importante é a Função gama. Os integrais

\Gamma _{n}(z):=\int _{\frac {1}{n}}^{n}e^{-t}t^{z-1}\mathrm {d} t

representam uma sucessão de funções holomorfas de acordo com o critério acima referido. Pode demonstrar-se que em conjuntos compactos contidos em $\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}$ ocorre convergência uniforme para $n\to \infty$ . Consequentemente, a função limite

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z-1}\mathrm {d} t

é uma função holomorfa em todo o $\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)>0\}$ .^[154]

Teorema de Hurwitz

O teorema de Hurwitz estabelece uma afirmação sobre o comportamento local dos zeros de uma sucessão de funções holomorfas cuja função limite é novamente holomorfa.

Seja $D$ um domínio e $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sucessão de funções holomorfas $f_{n}\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ com uma função limite holomorfa não constante $f$ . Suponha-se também que $f(z_{0})=0$ para um $z_{0}\in D$ . Então, para cada disco circular $B_{r}(z_{0})\subset D$ , existe um $N$ tal que cada uma das funções $f_{n}$ com $n\geq N$ possui um zero em $B_{r}(z_{0})$ .^[155]

Por outras palavras, se uma sucessão de funções holomorfas num domínio convergir para uma função limite holomorfa com um zero, então quase todos os termos da sucessão anular-se-ão de forma arbitrariamente próxima do zero.^[155]

Uma corolário importante do teorema de Hurwitz incide sobre sucessões de funções holomorfas injetivas. Se a sucessão convergente $f_{n}\colon D\rightarrow \mathbb {C}$ for constituída por funções holomorfas injetivas e se a função limite holomorfa não for constante, então esta volta a ser injetiva.^[156] Esta afirmação pode, num certo sentido, ser invertida: Se as funções holomorfas $f_{n}\colon D\to \mathbb {C}$ convergirem de forma localmente uniforme para uma função (holomorfa) injetiva $f\colon D\to \mathbb {C}$ , então existe, para cada conjunto compacto $K\subset D$ , um índice $N$ tal que para todos os $n\geq N$ as restrições $f_{n}|_{K}$ são injetivas.^[157]

De salientar que, em determinados casos, até mesmo a continuidade dos termos da sucessão basta para se poder afirmar algo sobre a imagem da função limite. Se $D$ for um domínio e $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sucessão de funções contínuas $f_{n}\colon D\to Z\subset \mathbb {C}$ que convergem de forma localmente uniforme para uma função limite holomorfa em $D$ . Então, ou $f$ é constante, ou $f(D)\subseteq Z$ .^[158]

Teorema de Montel

Se uma sucessão $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ de funções holomorfas em $U$ for localmente limitada, então existe uma subsucessão compactamente convergente. A demonstração deste teorema é conduzida com a ajuda do teorema de Bolzano-Weierstrass e é utilizada na demonstração do teorema da aplicação de Riemann.^[159]

O seguinte lema também se revela útil para a demonstração. Se $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ for uma sucessão limitada de funções holomorfas em $U$ que converge pontualmente num subconjunto denso $S\subset U$ , então ela converge efetivamente em todo o $U$ , e fá-lo de forma localmente uniforme.^[160]

Sucessões pontualmente convergentes

Teorema de Vitali

As seguintes afirmações acerca de uma sucessão $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ de funções holomorfas localmente limitadas no domínio $D$ são equivalentes:^[161]

A sucessão é compactamente convergente em $D$ .
Existe um ponto $c\in D$ , tal que para todos os $k\in \mathbb {N} _{0}$ a sucessão numérica $f_{1}^{(k)}(c),f_{2}^{(k)}(c),f_{3}^{(k)}(c),\dots$ converge.
O conjunto $A:=\{z\in D\mid \lim _{n\to \infty }f_{n}(z)\in \mathbb {C} \}$ dos pontos de convergência possui um ponto de acumulação em $D$ .

Certas informações sobre os zeros dos termos da sucessão $f_{n}$ também comportam fortes vantagens, uma vez que permitem que a convergência pontual em apenas um ponto seja suficiente. Se $D$ for um domínio e $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sucessão de funções holomorfas, localmente uniformemente limitadas e desprovidas de zeros em $D$ , então de $\lim _{n\to \infty }f_{n}(z_{0})=0$ num ponto $z_{0}\in D$ decorre imediatamente $f_{n}\to 0$ em $D$ com convergência localmente uniforme.^[162]

A questão de saber se no teorema de Vitali o pressuposto da limitação local pode ser substituído pela convergência pontual em todos os pontos pode ser respondida de forma negativa. Os contraexemplos estão longe de ser evidentes, mas podem ser produzidos, por exemplo, através da teoria de Runge.^[163] Contudo, William Fogg Osgood demonstrou que, no caso de convergência pontual em todos os pontos e sem premissas adicionais, tem de se verificar pelo menos holomorfia da função limite num subconjunto denso do domínio. Se $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ for, pois, uma sucessão de funções holomorfas num domínio $D$ que converge pontualmente para uma função limite $f$ , então $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ é compactamente convergente num subconjunto denso e aberto $D'\subset D$ . Em particular, a função limite $f$ é holomorfa em $D'$ .^[164] No caso de as funções $f_{n}$ serem, além disso, injetivas, havendo apenas convergência pontual, constata-se de novo a presença de holomorfia da função limite $f$ em todo o domínio.^[165]

Teorema de Blaschke

Sob determinados pressupostos suplementares, a convergência pontual, inclusivamente apenas em pontos específicos, é novamente suficiente para a obtenção de uma função limite holomorfa. O Teorema de Blaschke, datado do ano de 1915, afirma que, caso $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ seja uma sucessão de funções holomorfas uniformemente limitada no disco unitário $\mathbb {E}$ e $(z_{j})_{j\in \mathbb {N} }$ uma sucessão de pontos distintos dois a dois em $\mathbb {E}$ com

\sum _{j=1}^{\infty }(1-|z_{j}|)=\infty ,

tal que $\lim _{n\to \infty }f_{n}(z_{j})$ exista para cada $j\in \mathbb {N}$ , então $f_{n}$ converge uniformemente em subconjuntos compactos de $\mathbb {E}$ , e a função limite é, muito em particular, holomorfa.^[166]

Teorema de Carathéodory-Landau

Sejam $a,b\in \mathbb {C}$ com $a\not =b$ e $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ uma sucessão de funções holomorfas $f_{n}\colon D\to \mathbb {C} \setminus \{a,b\}$ . Suponha-se que existe o limite $\lim _{n\to \infty }f_{n}(w)$ para um conjunto de pontos $w$ em $D$ o qual possui um ponto de acumulação em $D$ . Então a sucessão $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge compactamente em $D$ , possuindo por conseguinte uma função limite holomorfa.^[167]

Relação com funções harmónicas

Uma função $u(x,y)$ duas vezes continuamente parcialmente diferenciável num domínio $D$ com a propriedade

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0

em todo o $D$ denomina-se harmónica. Sendo $\Delta ={\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\tfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}$ o chamado Operador de Laplace na dimensão 2, aplica-se alternativamente a notação abreviada $\Delta u=0$ . Entre as funções harmónicas e as funções holomorfas existem ligações estreitas. Devido ao facto de a parte real e a parte imaginária de uma função holomorfa satisfazerem as equações diferenciais de Cauchy-Riemann, pode-se demonstrar que estas já são, por si só, funções harmónicas.^[168] A implicação inversa também é válida localmente: Para cada função harmónica $u$ num domínio elementar, existe uma função holomorfa $f$ nesse domínio que a tem como parte real. Isto constata-se novamente com o auxílio das equações diferenciais de Cauchy-Riemann: A função auxiliar $g(z):={\tfrac {\partial u}{\partial x}}-i{\tfrac {\partial u}{\partial y}}$ é holomorfa. Como o domínio de definição é um domínio elementar, existe para $g$ uma função primitiva holomorfa, cuja parte real coincide com $u$ a menos de uma constante.^[169] A função harmónica $v$ pertencente à parte real $u$ em $f=u+iv$ é designada como harmónica conjugada de $u$ . Esta é determinada de forma única, a menos de uma constante aditiva.^[170]

Construção, aproximação e teoremas de existência

Teorema da fatorização de Weierstrass

Pode questionar-se se, para uma dada distribuição de zeros, existe uma função inteira que a satisfaça. Por exemplo, $z\mapsto \sin(\pi z)$ satisfaz a distribuição de zeros $\mathbb {Z}$ . O teorema da fatorização de Weierstrass, demonstrado em 1876, responde a esta questão. Se $S\subset \mathbb {C}$ for um subconjunto discreto, e seja dada uma aplicação $m\colon S\to \mathbb {N}$ com $s\mapsto m_{s}$ , então existe uma função inteira $f$ com as seguintes propriedades:^[171]

$S=N(f):=\{z\in \mathbb {C} \mid f(z)=0\}$
$m_{s}=\operatorname {ord} (f;s)$ para todo o $s\in S$ .

Por outras palavras, para cada conjunto discreto $S$ e cada "ponderação" dos pontos $s\in S$ por números naturais, existe uma função inteira $f$ que tem os seus zeros exatamente nos pontos $s\in S$ e cuja multiplicidade corresponde também à respetiva ponderação.

Um exemplo notável é o produto do seno, já descoberto por Leonhard Euler no ano de 1734,

\sin(\pi z)=\pi z\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}\right),

que converge em todo o $\mathbb {C}$ .^[172]

O teorema da fatorização pode ser estendido a domínios arbitrários. Se $D$ for um domínio, $z_{1},z_{2},...$ uma sucessão de pontos distintos aos pares em $D$ , que não possua ponto de acumulação em $D$ , e $m_{1},m_{2},...$ uma sucessão de números inteiros positivos, então existe sempre uma função holomorfa $f\colon D\to \mathbb {C}$ que tem os seus zeros exatamente em $z_{n}$ , onde a ordem de $z_{n}$ é precisamente $m_{n}$ .^[173] Um corolário importante deste facto é que toda a função meromorfa $h\colon D\to {\overline {\mathbb {C} }}$ pode ser escrita como o quociente de duas funções holomorfas em $D$ .^[174]

Teorema de Mittag-Leffler

Seja $S\subset \mathbb {C}$ um conjunto discreto. O teorema de Mittag-Leffler garante a existência de uma função holomorfa em todo o $\mathbb {C} \setminus S$ que possui determinados desenvolvimentos de Laurent nos pontos $s\in S$ . Em rigor, se para cada $s\in S$ for prescrita uma função inteira $h_{s}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ com $h_{s}(0)=0$ , então existe uma função holomorfa $f\colon \mathbb {C} \setminus S\to \mathbb {C}$ cuja parte principal em $s\in S$ é dada por $h_{s}$ , isto é,

z\mapsto f(z)-h_{s}\left({\frac {1}{z-s}}\right)

tem uma singularidade removível em $z=s$ . Se $S$ for finito, então

f(z)=\sum _{s\in S}h_{s}\left({\frac {1}{z-s}}\right)

é uma solução para o problema de Mittag-Leffler. Para $S$ infinito, uma tal série, no entanto, em geral não convergerá mais. De forma análoga ao teorema da fatorização de Weierstrass, a convergência pode contudo ser forçada aqui através de termos que geram convergência.^[175]

Teorema de Runge

O teorema de Taylor estipula que funções holomorfas dentro de discos circulares podem ser aproximadas por polinómios uniformemente em conjuntos compactos. O teorema de Runge generaliza este resultado para subconjuntos compactos arbitrários, sendo que a aproximação é pelo menos conseguida através de funções racionais. Se $K\subset \mathbb {C}$ for um subconjunto compacto e $f$ uma função holomorfa num conjunto aberto que contenha $K$ na íntegra, então é possível aproximar $f$ uniformemente por funções racionais $(r_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ no interior de $K$ . Nisto, todos os polos de $r_{n}$ encontram-se fora de $K$ .^[176]

O teorema de Runge existe também numa versão para polinómios. Seja $U\subset \mathbb {C}$ aberto. Então o facto de o complemento ${\overline {\mathbb {C} }}\setminus U$ ser conexo (com a topologia usual na esfera de Riemann ${\overline {\mathbb {C} }}$ ) é condição necessária e suficiente para a seguinte afirmação: Para toda a função holomorfa $f$ em $U$ , para todo o $\varepsilon >0$ e para todo o subconjunto compacto $K\subset U$ existe um polinómio $p$ , de tal forma que

|f(z)-p(z)|<\varepsilon

para todo o $z\in K$ .^[177]

Decomposições em frações parciais

Se $f$ for uma função inteira que satisfaça sempre a desigualdade

|f(z)|<Ce^{\varrho |\operatorname {Im} (z)|}

para as constantes $C,\varrho >0$ , então aplica-se desde já^[178]

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left({\frac {f(z)}{\sin(\varrho z)}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\varrho (-1)^{n+1}f\left({\frac {\pi n}{\varrho }}\right)}{(\varrho z-n\pi )^{2}}}.

Se $f$ for, adicionalmente, uma função ímpar, ou seja, se se verificar sempre $f(-z)=-f(z)$ , aplica-se

{\frac {f(z)}{2\varrho z\cos(\varrho z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}f\left({\frac {\pi (n+{\frac {1}{2}})}{\varrho }}\right)}{(\pi (n+{\frac {1}{2}}))^{2}-\varrho ^{2}z^{2}}}.

Para $f(z)=\sin(\varrho z)$ isto conduz, após um desfasamento no argumento, à decomposição em frações parciais da cotangente.

Uma fonte de decomposições em frações parciais são produtos de Weierstrass ou também de Hadamard logaritmicamente derivados. Estes podem servir também para uma aproximação: Seja $f$ uma função holomorfa no disco circular fechado ${\overline {B_{R}(0)}}$ com $f(0)=1$ , de tal forma que $|f(z)|\leq M$ para todo o $|z|=R$ . Seja $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}$ a lista dos zeros de $f$ (contados com a sua multiplicidade), no disco circular ${\overline {B_{\tfrac {R}{2}}(0)}}$ . Então para todo o $z$ com $|z|<{\tfrac {R}{2}}$ aplica-se^[179]

\left|{\frac {f'(z)}{f(z)}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{z-z_{j}}}\right|\leq {\frac {4R\log(M)}{(R-2|z|)^{2}}}.

Interpolação

Sejam $z_{1},z_{2},...,z_{n}$ números complexos arbitrários, distintos entre si, $L$ uma curva contínua injetiva fechada que contém todos os pontos $z_{1},z_{2},...,z_{n}$ no seu interior. Seja a função $f$ holomorfa no interior de $L$ e em $L$ . Definindo $\textstyle \omega (z)=\prod _{j=1}^{n}(z-z_{j})$ , então

P(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{L}{\frac {f(\zeta )}{\omega (\zeta )}}{\frac {\omega (\zeta )-\omega (z)}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta

representa o polinómio único de grau $n-1$ que coincide com $f(z)$ nos pontos $z=z_{1},...,z_{n}$ .^[180] Neste caso, a curva de integração é, como habitualmente, percorrida uma única vez no sentido matematicamente positivo.

Desigualdades

Desigualdade de Cauchy

Se $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$ for uma série de potências com raio de convergência $R$ e, para um $r$ com $0<r<R$ , se definir a constante $\textstyle M(r):=\max _{|z-c|=r}|f(z)|$ , então para os coeficientes aplica-se a estimativa

|a_{n}|=\left|{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}\right|\leq {\frac {M(r)}{r^{n}}}.

Esta é uma consequência direta da fórmula integral de Cauchy.^[181] Esta asserção pode ser estendida a um princípio de estimativa para derivadas em conjuntos compactos. Se $U$ for aberto e $K\subset D$ um conjunto compacto, então para qualquer vizinhança compacta $K\subsetneq L\subset U$ (existe em torno de cada $z\in \partial K$ uma vizinhança que se encontra integralmente em $L$ ) e para cada $k\in \mathbb {N}$ existe uma constante $M_{k,L}>0$ tal que

||f^{(k)}||_{K}\leq M_{k,L}||f||_{L},

para todas as

f\in {\mathcal {O}}(U)

.

Neste caso, $||.||$ é a norma do supremo. De notar que não se pode escolher $K=L$ , tal como é ilustrado pelo exemplo $K=L={\overline {\mathbb {E} }}$ conjuntamente com $f_{n}(z):=z^{n}$ .^[181]

Pode ser explícito o caso para derivadas de ordem arbitrária, e isso para quaisquer pontos dentro de discos. Se $f\colon B_{R}(c)\rightarrow \mathbb {C}$ for holomorfa e limitada, logo existindo $M:=\sup _{z\in B_{R}(c)}|f(z)|$ , então para todos os $z\in B_{R}(c)$ e $k\in \mathbb {N}$ verifica-se:^[182]

|f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!MR}{(R-|z-c|)^{k+1}}}.

A desigualdade de Cauchy demonstra que o crescimento dos coeficientes de Taylor não pode assumir proporções arbitrariamente acentuadas. Assim sendo, não existe, por exemplo, qualquer função holomorfa em torno de 0 com a propriedade

f^{(n)}(0)=n!^{2}

.

Pelo contrário, para qualquer sucessão real $r_{0},r_{1},r_{2},\dots$ existe uma função real infinitamente diferenciável $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ com $f^{(n)}(0)=r_{n}$ para todo o $n\in \mathbb {N} _{0}$ .^[183]

Lema de Borel-Carathéodory

Seja $f$ uma função holomorfa num domínio $D$ tal que ${\overline {B_{R}(a)}}\subset D$ , e

A(r):=\max _{|z-a|=r}\operatorname {Re} (f(z)).

Aplica-se então

|f(z)|\leq {\frac {2|z-a|}{R-|z-a|}}A(R)+{\frac {R+|z-a|}{R-|z-a|}}|f(a)|

e

|f^{(n)}(z)|\leq {\frac {2^{n+2}n!R}{(R-|z-a|)^{n+1}}}(A(R)+|f(a)|)

para $n\in \mathbb {N}$ e $0\leq |z-a|<R$ .^[184]

Desigualdade de Gutzmer

Se $f$ for uma função holomorfa numa vizinhança $U$ de $0$ com série de potências $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ de raio de convergência $r>0$ , então para qualquer $0<\varrho <r$ com $B_{\varrho }(0)\subset U$ vigora a desigualdade

\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}\varrho ^{2n}\leq \left(\max _{|z|=\varrho }|f(z)|\right)^{2}.

A desigualdade deve-se a August Gutzmer, do ano de 1888.^[185]

Quociente de diferenças

Seja $f$ uma função holomorfa em $U$ e ${\overline {B_{r}(c)}}\subset U$ com $r>0$ . Então aplica-se uniformemente para todos os $z_{1}\not =z_{2}$ de $B_{r}(c)$ ^[186]

\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{z_{1}-z_{2}}}\right|\leq \max _{|z-c|=r}|f'(z)|.

Isto decorre da estimativa padrão para integrais:

|f(z_{1})-f(z_{2})|=\left|\int _{z_{2}}^{z_{1}}f'(z)\mathrm {d} z\right|\leq |z_{1}-z_{2}|\max _{z\in [z_{1},z_{2}]}|f'(z)|\leq |z_{1}-z_{2}|\max _{|z-c|=r}|f'(z)|.

No último passo foi empregue o princípio do máximo. De uma forma geral, a constante $\max _{|z-c|=r}|f'(z)|$ não pode ser otimizada, facto evidenciado pelo exemplo $f(z)=az+b$ . No entanto, é viável omitir o derradeiro passo, abdicando, nessa eventualidade, da uniformidade. Ainda de forma mais abrangente, caso a função revele atributo de holomorfia na vizinhança de $[z_{1},z_{2}]$ por si só, vigora incontornavelmente a postulação

\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{z_{1}-z_{2}}}\right|\leq \max _{z\in [z_{1},z_{2}]}|f'(z)|.

Desigualdade de Fejér-Riesz e de Hilbert

Se $\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ for holomorfa no disco unitário fechado ${\overline {\mathbb {E} }}$ , então vigora a relação

\int _{-1}^{1}|f(x)|\mathrm {d} x\leq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }|f(e^{it})|\mathrm {d} t.

Isto mantém-se válido caso a função $f$ figure única e exclusivamente no espaço de Hardy $H^{1}(\mathbb {E} )$ . Em concreto, aplica-se, neste encadeamento de pressupostos, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty$ , em concomitância com a desigualdade de Hilbert^[187]

\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|a_{m}||a_{n}|}{m+n+1}}\leq \pi \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}.

Desigualdades de Grunsky

Seja $f$ uma função holomorfa injetiva no disco unitário aberto, com $f(0)=0$ e $f'(0)=1$ . Defina-se

g(z)={\frac {1}{f\left({\frac {1}{z}}\right)}}.

Esta possui um desenvolvimento de Laurent em torno de $z=\infty$ :

g(z)=z+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}z^{-n},

que converge para $|z|>1$ . Agora definem-se os números $c_{m,n}$ através de

\mathrm {Log} \left({\frac {g(\zeta )-g(z)}{\zeta -z}}\right)=-\sum _{m,n>0}{\frac {c_{n,m}}{n}}z^{-m}\zeta ^{-n},\qquad |z|,|\zeta |\gg 1.

Então as desigualdades fortes de Grunsky afirmam que, para qualquer sucessão finita de números complexos $\lambda _{1},...,\lambda _{N}$ , se tem

\sum _{n=1}^{\infty }n\left|\sum _{m=1}^{N}c_{m,n}\lambda _{m}\right|^{2}\leq \sum _{n=1}^{N}n|\lambda _{n}|^{2}.

As desigualdades fracas de Grunsky asseveram ainda que

\left|\sum _{1\leq m,n\leq N}nc_{m,n}\lambda _{m}\lambda _{n}\right|\leq \sum _{n=1}^{N}n|\lambda _{n}|^{2}

é válido.^[188]

Desigualdades de Lebedev-Milin

Seja $\textstyle \varphi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}z^{n}$ uma função holomorfa num disco circular $B_{r}(0)$ com $\varphi (0)=0$ . Então a composição com a função exponencial $\psi (z)=\exp(\varphi (z))$ é novamente holomorfa em $B_{r}(0)$ e possui aí um desenvolvimento em série de potências

\psi (z)=\sum _{k=0}^{\infty }\beta _{k}z^{k}.

Aplicam-se então as três desigualdades de Lebedev-Milin:^[189]

1. Se $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }k|\alpha _{k}|^{2}<\infty$ , então

\sum _{k=0}^{\infty }|\beta _{k}|^{2}\leq \exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }k|\alpha _{k}|^{2}\right),

onde a igualdade se verifica se e só se $\alpha _{k}={\tfrac {\omega ^{k}}{k}}$ para todo o $k\in \mathbb {N}$ com um número complexo $|\omega |<1$ .

2. Para $n=1,2,...$ tem-se

\sum _{k=0}^{n}|\beta _{k}|^{2}\leq (n+1)\exp \left({\frac {1}{n+1}}\sum _{m=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}\left(k|\alpha _{k}|^{2}-{\frac {1}{k}}\right)\right),

onde a igualdade se verifica se e só se $\alpha _{k}={\tfrac {\omega ^{k}}{k}}$ para todo o $1\leq k\leq n$ com um número complexo $|\omega |=1$ .

3. Para $n=1,2,...$ tem-se

|\beta _{n}|^{2}\leq \exp \left(\sum _{k=1}^{n}\left(k|\alpha _{k}|^{2}-{\frac {1}{k}}\right)\right),

onde a igualdade se verifica se e só se $\alpha _{k}={\tfrac {\omega ^{k}}{k}}$ para todo o $1\leq k\leq n$ com um número complexo $|\omega |=1$ .

Critérios para constância

Devido às suas fortes propriedades, as funções holomorfas são, de certa forma, "raras". Consequentemente, podem ser elaborados alguns critérios para forçar que uma função holomorfa tenha de ser constante.

Critérios clássicos

As funções inteiras limitadas são constantes de acordo com o teorema de Liouville. Mais ainda, se uma função inteira omitir dois valores no seu contradomínio, então já é constante segundo o pequeno teorema de Picard.

Além disso, se uma função holomorfa não mapear um subconjunto aberto do seu domínio conexo num domínio, ela é constante. De forma correspondente, se $\operatorname {Re} (f)$ , $\operatorname {Im} (f)$ ou $|f|$ forem constantes, $f$ também o é.

Crescimento e zeros

Seja $f$ uma função holomorfa no semiplano superior fechado $\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} (z)\geq 0\}$ com as seguintes propriedades:

Existem duas constantes $A,B>0$ com $|f(z)|<Ae^{B|z|}$ para todo o $z$ com $\operatorname {Re} (z)\geq 0$ .
Existem duas constantes $C,\gamma >0$ , de tal modo que $|f(\pm ir)|\leq Ce^{(\pi -\gamma )r}$ para todo o $r\geq 0$ .
Aplica-se $f(n)=0$ para todo o $n\in \mathbb {N} _{0}$ .

Então tem-se já $f\equiv 0$ . Neste sentido, $f(z)=\sin(\pi z)$ é a "menor" função inteira que se anula em valores inteiros (não negativos).^[190] Omitindo a condição 3, se a condição 2 for modificada para $|f(\pm ir)|\leq Ce^{-\gamma r}$ para $r\geq 0$ , pode-se igualmente deduzir $f\equiv 0$ .^[191]

Comportamento na fronteira do disco unitário

Seja $f$ uma função holomorfa no disco unitário $\mathbb {E}$ , tal que para todo o $k\in \mathbb {N} _{0}$ :

\lim _{t\to 1^{-} \atop t\in \mathbb {R} }f^{(k)}(t)=0.

Se, além disso, $z=1$ não for um ponto singular de $f$ , então já se verifica $f\equiv 0$ .^[192] O pressuposto de que $z=1$ não é um ponto singular pode ser substituído por:

\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}|}{\sqrt {n}}}<0

.^[193]

A seguinte afirmação do ano de 1913 remonta a Paul Koebe: Se $f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ for holomorfa e limitada, e forem dados pontos de fronteira $a\not =b$ com $|a|=|b|=1$ , bem como $\gamma _{n}$ uma coleção de curvas em $\mathbb {E}$ com pontos extremos $a_{n}\to a$ e $b_{n}\to b$ com

\sup |f(\gamma _{n})|\to 0

então resulta imediatamente $f\equiv 0$ .^[194]

Tibor Radó demonstrou em 1924 que uma função holomorfa limitada $f\colon \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ com a propriedade

\lim _{z\to z'}f(z)=0

para todo o

z'\in V\cap \partial \mathbb {E}

para uma vizinhança aberta $V$ de um $|z_{0}|=1$ , satisfaz desde logo $f\equiv 0$ .^[195]

Semiplano superior

Invariantes

Suponhamos que uma função holomorfa $f$ no semiplano superior $\mathbb {H$ possui as seguintes propriedades:

Aplica-se $f(z+2)=f(z)$ para todo o $z\in \mathbb {H}$ ,
Aplica-se $f(-{\tfrac {1}{z}})=f(z)$ para todo o $z\in \mathbb {H}$ ,
A função $f$ é limitada em $\mathbb {H}$ .

Então $f$ é constante.^[196] Esta afirmação pode ser obtida com o auxílio do princípio do máximo e do facto de que o grupo $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ opera no semiplano superior através de transformações de Möbius. Mais genericamente, esta decorre da teoria das formas modulares ou da teoria das superfícies de Riemann compactas.

As aplicações da asserção acima dizem respeito a demonstrações analíticas do teorema dos dois quadrados e do teorema dos quatro quadrados.^[197]

Localização de zeros

Seja $f$ uma função holomorfa no semiplano superior $\mathbb {H$ que satisfaz as seguintes propriedades:

Tem-se $f(z_{k})=0$ , onde $z_{k}=x_{k}+iy_{k}$ com $|x_{k}|\leq 1$ e $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }y_{k}=\infty$ .
A função $f$ é limitada.

Então tem-se já $f\equiv 0$ .^[198]

Outras propriedades das funções inteiras

Ordem de uma função inteira

A ordem (no sentido de uma "ordem de crescimento") de uma função inteira, caso exista, é definida pelo número real $\alpha$ com^[199]

\alpha =\operatorname {inf} \{c\in \mathbb {R} \mid |f(z)|\ll _{c}\exp(|z|^{c})\}.

Existem funções de ordem finita que não se anulam, por exemplo $e^{z},e^{-3z^{2}},\dots$ etc. Num certo sentido, estes já são os exemplos mais gerais, pois se $f$ não tiver zeros (raízes), então $\log(f)$ é novamente inteira e verifica-se $\operatorname {Re} (\log(f(z)))\ll C|z|^{\alpha +\varepsilon }$ com um $\varepsilon >0$ . Por conseguinte, toda a função inteira sem zeros e de ordem finita já é da forma $e^{g}$ com um polinómio $g$ .^[200]

Uma lei de crescimento também pode ser deduzida a partir dos coeficientes da série de Taylor. Se se verificar $\textstyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}z^{k}$ e

\limsup _{n\to \infty }n|c_{n}|^{\frac {1}{n}}\leq ce

,

então aplica-se desde logo que $f(z)^{-(c+\varepsilon )|z|}$ é globalmente limitada por uma constante dependente de $f$ e $\varepsilon >0$ . Se, no caso de $f\not =0$ , se definir adicionalmente $M(r):=\sup\{|f(z)|\colon |z|=r\}$ para cada $r\geq 0$ , então decorre^[201]

\limsup _{r\to \infty }{\frac {\log(M(r))}{r}}=\limsup _{n\to \infty }\left({\frac {n}{e}}\right)|c_{n}|^{\frac {1}{n}}=\limsup _{n\to \infty }\left|f^{(n)}(0)\right|^{\frac {1}{n}}

.

Teorema da fatorização de Hadamard

O teorema da fatorização de Hadamard (ou teorema do produto de Hadamard) constitui um reforço do teorema da fatorização de Weierstrass para o caso de funções inteiras com ordem finita $\alpha$ . Sejam $(z_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ os zeros de $f$ ordenados por módulo crescente, onde $z_{n}\not =0$ . Define-se $P_{1}\equiv 0$ e, para $k>1$ ,

P_{k}(z)=z+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{k-1}}{k-1}}.

Se agora $k$ for o menor número inteiro com $k>\alpha$ , então existe um polinómio $h$ de grau não superior a $\alpha$ , tal que

f(z)=z^{m}e^{h(z)}\prod \left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)e^{P_{k}\left({\tfrac {z}{z_{n}}}\right)}.

Nisto, $m$ é a ordem do zero de $f$ em 0. O produto estende-se, no caso de um número finito de zeros, apenas sobre um número finito de valores.^[202]

Aproximação de funções contínuas

A riqueza do conjunto ${\mathcal {O}}({\mathcal {\mathbb {C} }})$ das funções inteiras, em contraste com o anel de polinómios $\mathbb {C} [z]\subset {\mathcal {O}}({\mathcal {\mathbb {C} }})$ , torna-se evidente, entre outros, através do seguinte teorema de Torsten Carleman do ano de 1927: Seja $\varepsilon \colon \mathbb {R} \to (0,\infty )$ uma função contínua ("função de erro"). Então, para cada função contínua $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ , existe uma função inteira $g$ , tal que para todo o $x\in \mathbb {R}$ se verifica^[203]

|f(x)-g(x)|<\varepsilon (x).

Para tal força de aproximação, a seleção de polinómios não é suficiente. Por exemplo, a função real $x\to \sin(x)$ de forma alguma pode ser aproximada em todo o $\mathbb {R}$ por polinómios com a precisão de uma função de erro arbitrária. Segundo um teorema de Weierstrass (teorema de Stone-Weierstrass), no entanto, isto é perfeitamente possível em intervalos compactos.^[203]

Funções transcendentes

Para o caso de ordem finita, o conjunto dos pontos racionais que duas funções inteiras algebricamente independentes podem assumir é limitado. Sejam $f_{1},\dots ,f_{n}$ funções inteiras com a propriedade $|f(z)|\leq C^{|z|^{\alpha }}$ para um $C>1$ (em inglês, strict order $\alpha$ ). Nisto, pelo menos duas delas são algebricamente independentes (ou seja, não derivam uma da outra através das quatro operações aritméticas básicas). Adicionalmente, exige-se que o anel $\mathbb {Q} [f_{1},\dots ,f_{n}]$ seja fechado em relação ao operador diferencial ${\displaystyle \partial$ (mapeia-se em si mesmo), isto é, existe sempre um polinómio $P_{j}$ com coeficientes racionais, de modo que

\partial f_{j}=P_{j}(f_{1},\dots ,f_{n}).

Se agora $w_{1},\dots ,w_{N}$ forem números complexos distintos dois a dois com $f_{j}(w_{\ell })\in \mathbb {Q}$ para $j=1,\dots ,n$ e $\ell =1,\dots ,N$ , aplica-se liminarmente $N\leq 4\alpha$ .^[204] Uma aplicação clássica deste teorema diz respeito ao anel $\mathbb {Q} [z,e^{z}]$ , que é fechado sob $\partial$ . O teorema assevera então que nenhum dos valores $e^{w}$ com números inteiros $w\not =0$ pode ser racional, dado que, caso contrário, também o seriam todos os valores $e^{w},e^{2w},e^{3w},\dots$ . Resultados análogos existem para o caso de números algébricos e não meramente racionais.^[205] Uma aplicação importante desta teoria é o Teorema de Gelfond-Schneider.^[204]

Prolongamento analítico

Se $f$ for holomorfa num domínio $D$ e se $f$ for desenvolvida numa série de Taylor em torno de um ponto $c\in D$ , então o seu raio de convergência $R>0$ será, pelo menos, igual à distância de $c$ à fronteira de $D$ , podendo no entanto ser maior. Neste caso, diz-se que $f$ foi "analiticamente prolongada" para lá de $D$ .^[206]

Prolongamento de funções reais

Se $f\colon I\to \mathbb {R}$ for uma função real num intervalo próprio $I=(a,b)$ , então $f$ possui um prolongamento analítico para um domínio $D\supset I$ se e só se $f$ for analítica real.^[207]

Unicidade do prolongamento analítico

Seja $D\subset \mathbb {C}$ um domínio, $M\subset D$ um conjunto com pelo menos um ponto de acumulação em $D$ e $f\colon M\to \mathbb {C}$ uma função. Se existir uma função holomorfa ${\widetilde {f}}\colon D\to \mathbb {C}$ que prolongue $f$ , ou seja, ${\widetilde {f}}|_{M}=f$ , então esta é unicamente determinada. Este resultado é uma consequência simples, mas de grande importância, do teorema da identidade para funções holomorfas.^[208] Se, por exemplo, $M=\mathbb {R}$ , $D=\mathbb {C}$ e $f(x)=e^{x}$ , isto significa que a função exponencial possui apenas um único prolongamento para uma função holomorfa em todo o $\mathbb {C}$ . Ter-se-á então

{\widetilde {(e^{z})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.

Teorema da monodromia

Ilustração do prolongamento analítico ao longo de uma curva.

Uma abordagem importante para estender uma função inicialmente localmente holomorfa a domínios mais alargados é o princípio do prolongamento analítico ao longo de uma curva. Se $f$ for holomorfa num ponto $z_{0}$ , então poderá aí ser desenvolvida numa série de Taylor. Se nos afastarmos do centro de desenvolvimento, todas as derivadas de $f$ podem ser determinadas na fronteira do domínio de convergência, o que possibilita um novo desenvolvimento de Taylor, cujo domínio de convergência pode eventualmente estender-se para lá do domínio do desenvolvimento original. Prosseguindo desta forma, $f$ pode, eventualmente, ser prolongada ao longo de um caminho até um ponto $z_{1}$ que se encontre possivelmente muito distante de $z_{0}$ . O teorema da monodromia enuncia que, se $z_{0}$ e $z_{1}$ estiverem ligados por dois caminhos $\gamma _{0}$ e $\gamma _{1}$ que possam ser continuamente transformados um no outro por uma aplicação $t\mapsto \gamma _{t}$ com $0\leq t\leq 1$ , de forma a que $f$ possa ser analiticamente prolongada ao longo de cada um dos caminhos $\gamma _{t}$ , então os prolongamentos $f_{0}$ e $f_{1}$ de $f$ ao longo de $\gamma _{0}$ e $\gamma _{1}$ coincidem ambos em $z_{1}$ .^[209]

Princípio de reflexão de Schwarz

O princípio de reflexão de Schwarz permite um prolongamento analítico sob determinadas condições de simetria. Seja $D\not =\emptyset$ um domínio simétrico em relação a $\mathbb {R}$ , ou seja, $z\in D\implies {\overline {z}}\in D$ , e defina-se

D_{\pm }:=\{z\in D\mid \pm \operatorname {Im} (z)>0\}

, e

D_{0}:=D\cap \mathbb {R}

.

Então, verifica-se: Se $f\colon D_{+}\cup D_{0}\to \mathbb {C}$ for contínua, $f|_{D_{+}}\colon D_{+}\to \mathbb {C}$ for holomorfa e $f(D_{0})\subset \mathbb {R}$ , a função ${\widetilde {f}}\colon D\to \mathbb {C}$ definida por

{\widetilde {f}}(z):={\begin{cases}f(z),&\qquad z\in D_{+}\cup D_{0},\\{\overline {f({\overline {z}})}},&\qquad z\in D_{-}\end{cases}}

é holomorfa. Nisto, $z\mapsto {\overline {z}}$ denota a conjugação complexa.^[210]

Domínios de holomorfia

Um domínio $D$ chama-se o domínio de holomorfia de uma função $f$ holomorfa em $D$ , se para cada ponto $c\in D$ o disco de convergência da série de Taylor de $f$ em torno de $c$ se encontrar contido em $D$ . Daqui resulta imediatamente: Se $D$ for o domínio de holomorfia de $f$ , então $D$ é o "domínio máximo de existência" de $f$ , o que equivale a dizer que qualquer domínio $D'\supseteq D$ no qual exista uma função ${\widehat {f}}\in {\mathcal {O}}(D')$ com ${\widehat {f}}|_{D}=f$ coincide com $D$ .^[211] Consequentemente, uma função holomorfa (num domínio) nunca pode ser analiticamente prolongada para além do seu domínio de holomorfia. Genericamente, no entanto, o domínio de holomorfia significa mais do que o domínio máximo de existência. O plano cortado $\mathbb {C} _{-}$ é, por exemplo, o domínio máximo de existência das funções $z\mapsto {\sqrt {z}}$ e $z\mapsto \log(z)$ nele holomorfas, mas não o seu domínio de holomorfia: as séries de Taylor de $z\mapsto {\sqrt {z}}$ e $z\mapsto \log(z)$ centradas em $c\in \mathbb {C} _{-}$ têm $B_{|c|}(c)$ como círculo de convergência, e aplica-se $B_{|c|}(c)\not \subset \mathbb {C} _{-}$ caso $\operatorname {Re} (c)<0$ . As funções $z\mapsto {\sqrt {z}}$ e $z\mapsto \log(z)$ são analiticamente prolongáveis "por cima e por baixo" em cada ponto sobre o semieixo real negativo, mas todos os pontos de fronteira em $\mathbb {C} _{-}$ são "singulares" para $z\mapsto {\sqrt {z}}$ e $z\to \log(z)$ no sentido de que nenhum possui uma vizinhança $U$ com uma função $f\in {\mathcal {O}}(U)$ que coincida em $U\cap \mathbb {C} _{-}$ com $z\mapsto {\sqrt {z}}$ ou $z\to \log(z)$ .^[212]

Os domínios $\mathbb {C}$ , $\mathbb {C} ^{\times }$ e $\mathbb {E}$ são respetivamente os domínios de holomorfia das funções $z\mapsto z$ , $z\mapsto {\tfrac {1}{z}}$ e

z\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }z^{2^{n}}

.

O teorema de existência para domínios de holomorfia estipula que todo o domínio $D$ constitui o domínio de holomorfia de alguma função nele holomorfa.^[213]

Funções biholomorfas e univalentes

Uma função que é holomorfa, bijetiva e cuja função inversa é holomorfa, denomina-se biholomorfa. Na literatura, em vez de biholomorfa, utiliza-se ocasionalmente o termo conforme.^[214] Do Teorema da função implícita resulta para funções holomorfas de uma variável que uma função bijetiva e holomorfa possui sempre uma aplicação inversa holomorfa.^[214]

Também no caso de várias variáveis, o teorema de Osgood garante a propriedade de que a bijetividade e a holomorfia implicam automaticamente a holomorfia da aplicação inversa. Consequentemente, pode afirmar-se que as aplicações bijetivas e holomorfas são biholomorfas.

Função inversa

Se $f\colon U\rightarrow \mathbb {C}$ for uma função holomorfa e se se verificar $f'(a)\not =0$ para um $a\in U$ , então $f$ é localmente biholomorfa nesse ponto. Isto significa que existe uma vizinhança $a\in V\subset U$ tal que a restrição $f|_{V}\colon V\rightarrow f(V)$ é biholomorfa.^[215] É de notar a localidade da biholomorfia. Por exemplo, a derivada da função exponencial complexa – ela própria – não se anula em nenhum ponto, mas ela não é injetiva, uma vez que, por exemplo, $e^{0}=e^{2\pi i}=1$ . Inversamente, a derivada de uma função holomorfa injetiva não se anula em nenhum ponto do seu domínio.^[216] Apesar desta restrição, é por vezes possível quantificar num certo sentido, com um limite inferior, quais os discos circulares que são mapeados de forma localmente injetiva. Se $f$ for holomorfa em $\mathbb {E}$ , $f(0)=0$ e $f'(0)=1$ , e o

\sup _{|z|<1}|f'(z)|<M<\infty

existir, $f$ mapeia o disco circular $B_{\frac {1}{M}}(0)$ de forma biholomorfa num conjunto que contém o disco $B_{\frac {1}{2M}}(0)$ .^[217]

Para a função inversa de uma função biholomorfa, pode ser deduzida uma representação localmente válida com recurso ao teorema dos resíduos. Se $D$ for um domínio, $f\colon D\rightarrow f(D)$ biholomorfa e ${\overline {B_{r}(a)}}\subset D$ um disco circular fechado, então para todo o $w\in f(B_{r}(a))$ vigora a fórmula:^[218]

f^{-1}(w)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial B_{r}(a)}{\frac {\zeta f'(\zeta )}{f(\zeta )-w}}\mathrm {d} \zeta .

Esta abordagem pode ser utilizada para inverter localmente séries de potências. Se a função biholomorfa $f$ – admitindo-se, sem perda de generalidade, $f(0)=0$ – possuir em torno de $0$ o desenvolvimento local

f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n},

com

a_{1}=f'(0)\not =0

,

então Philip M. Morse e Herman Feshbach indicam a seguinte série para a função inversa:^[219]

f^{-1}(w)=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}w^{k}

com

b_{k}={\frac {1}{ka_{1}^{k}}}\sum _{\ell _{1},\ell _{2},\ell _{3},\dots \geq 0 \atop \ell _{1}+2\ell _{2}+3\ell _{3}+\cdots =k-1}(-1)^{\ell _{1}+\ell _{2}+\ell _{3}+\cdots }{\frac {k(k+1)\cdots (k-1+\ell _{1}+\ell _{2}+\cdots )}{\ell _{1}!\ell _{2}!\ell _{3}!\cdots }}\left({\frac {a_{2}}{a_{1}}}\right)^{\ell _{1}}\left({\frac {a_{3}}{a_{1}}}\right)^{\ell _{2}}\cdots .

Neste caso, o símbolo ${\displaystyle$ denota o fatorial. Os primeiros valores são^[220]

b_{1}={\frac {1}{a_{1}}}

,

b_{2}=-{\frac {a_{2}}{a_{1}^{3}}}

,

b_{3}={\frac {2a_{2}^{2}-a_{1}a_{3}}{a_{1}^{5}}}

e

b_{4}={\frac {5a_{1}a_{2}a_{3}-a_{1}^{2}a_{4}-5a_{2}^{3}}{a_{1}^{7}}}

.

A inversão local de séries de potências é também o objeto do teorema da inversão de Lagrange.

Teorema do mapeamento de Riemann

Uma classificação de todos os domínios elementares é fornecida pelo teorema do mapeamento de Riemann (teorema da aplicação de Riemann). Este afirma que, entre dois domínios elementares que não abranjam a totalidade de $\mathbb {C}$ , existe sempre uma aplicação biholomorfa. Por conseguinte, todo o domínio elementar que não seja exatamente $\mathbb {C}$ é biholomorficamente equivalente ao disco unitário.^[221] Do ponto de vista das aplicações analíticas, existem, portanto, apenas "dois tipos" de domínios elementares, nomeadamente $\mathbb {C}$ e $\mathbb {E}$ . Deve notar-se, contudo, que $\mathbb {C}$ e $\mathbb {E}$ , enquanto espaços topológicos, são homeomorfos através da aplicação não holomorfa $h\colon \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {E}$ com^[221]^[222]

h(z)={\frac {z}{1+|z|}}.

Numa generalização – o teorema da uniformização –, o teorema do mapeamento de Riemann afirma que todo o domínio elementar em ${\overline {\mathbb {C} }}$ é biholomorficamente equivalente a $\mathbb {E}$ , $\mathbb {C}$ ou a todo o ${\overline {\mathbb {C} }}$ .^[223]

Teorema de Carathéodory

Através do chamado lema de prolongamento, pode ser feita uma afirmação sobre a fronteira para funções biholomorfas $f\colon \mathbb {E} \to D$ definidas no disco unitário com imagem num domínio $D$ . A função $f$ pode ser prolongada para uma função contínua em todo o ${\overline {\mathbb {E} }}$ com contradomínio ${\overline {D}}$ se e só se a fronteira de $D$ for um caminho fechado, isto é, se existir uma aplicação contínua $\varphi \colon \partial \mathbb {E} \to \mathbb {C}$ com $\varphi (\partial E)=\partial D$ . Constantin Carathéodory conseguiu precisar esta afirmação: A função $f$ pode ser prolongada para um homeomorfismo de ${\overline {\mathbb {E} }}$ para ${\overline {D}}$ se e só se $\partial D$ for uma curva de Jordan fechada, ou seja, se $\varphi$ mapear a fronteira de $\mathbb {E}$ homeomorficamente na fronteira de $D$ .^[224]

Automorfismos

No contexto das funções holomorfas, os grupos de automorfismos são coleções de auto-aplicações biholomorfas. Para um conjunto aberto $U\subset \mathbb {C}$ , $\operatorname {Aut} (U)$ designa o conjunto de todas as aplicações biholomorfas $f\colon U\rightarrow U$ .^[225] A operação do grupo é aqui dada pela composição. Por exemplo, o grupo $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} )$ contém como elementos todas as funções inteiras biholomorfas.

O grupo de automorfismos de um domínio $D$ contém informações importantes sobre a sua teoria de funções. Assim, dois domínios só podem ser biholomorficamente equivalentes se os seus grupos de automorfismos forem isomorfos.^[226]

Plano complexo

Cada automorfismo de $\mathbb {C}$ corresponde a uma aplicação afim-linear não constante, tendo, portanto, a forma $f(z)=az+b$ com $a\not =0$ . Inversamente, toda a função com esta forma é um automorfismo.^[227] Logo, aplica-se

\operatorname {Aut} (\mathbb {C} )=\{f(z)=az+b\mid a,b\in \mathbb {C} ,a\not =0\}.

A demonstração da classificação utiliza o facto de que cada automorfismo $f$ tem de ser uma função inteira, mas não pode ter uma singularidade essencial em $\infty$ , dado que, caso contrário, de acordo com o teorema de Casorati-Weierstrass, a função inversa $f^{-1}$ não seria contínua em $0$ (alternativamente, pode mostrar-se diretamente com o grande teorema de Picard que $f$ não poderia ser injetiva). Deste modo, $f$ possui um polo em $\infty$ e é um polinómio, que tem de ter grau 1, uma vez que qualquer polinómio de grau superior, pelo teorema fundamental da álgebra, não é injetivo como função inteira.^[227]

Plano complexo perfurado

Definindo $\mathbb {C} ^{\times }:=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ , aplica-se

\operatorname {Aut} (\mathbb {C} ^{\times })=\{f(z)=az\mid a\in \mathbb {C} ^{\times }\}\cup \{f(z)=az^{-1}\mid a\in \mathbb {C} ^{\times }\}.

O grupo $\operatorname {Aut} (\mathbb {C} ^{\times })$ não é abeliano: divide-se em duas componentes conexas isomorfas a $\mathbb {C} ^{\times }$ .^[228]

Disco unitário

O grupo de automorfismos do disco unitário tem a forma^[229]

\operatorname {Aut} (\mathbb {E} )=\left\{f(z)=\zeta {\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}\colon |a|<1,|\zeta |=1\right\}.

Considerando o subgrupo de todas as aplicações $f\in \operatorname {Aut} (\mathbb {E} )$ com a propriedade $f(0)=0$ , resulta que estas são exatamente da forma $f(z)=\zeta z$ com um $|\zeta |=1$ . Trata-se, portanto, de todas as rotações. Esta afirmação pode servir como preparação para a determinação da totalidade de $\operatorname {Aut} (\mathbb {E} )$ .^[230]

Disco unitário perfurado

Para $\mathbb {E} ^{\times }:=\mathbb {E} \setminus \{0\}$ tem-se

\operatorname {Aut} (\mathbb {E} ^{\times })=\{f(z)=az\ \colon |a|=1\}

.

Deste modo, $\operatorname {Aut} (\mathbb {E} ^{\times })$ é isomorfo ao grupo circular.^[231]

Semiplano superior

Embora o semiplano superior dos números complexos seja biholomorficamente equivalente ao disco unitário, especificamente através da aplicação $\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {E} ,z\mapsto {\tfrac {z-i}{z+i}}$ ,^[232] é de interesse indicar o seu grupo de automorfismos separadamente. A razão para tal é a ligação à geometria hiperbólica, bem como à teoria das funções modulares.

O grupo de automorfismos é

\operatorname {Aut} (\mathbb {H} )=\left\{f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}\ \colon a,b,c,d\in \mathbb {R} ,ad-bc=1\right\}.

Cada $f\in \operatorname {Aut} (\mathbb {H} )$ corresponde, portanto, a uma matriz

M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )

e para dois $f,g\in \operatorname {Aut} (\mathbb {H} )$ aplica-se $f=g$ se e só se, para as matrizes correspondentes $M_{f}$ e $M_{g}$ , se verificar $M_{f}=\pm M_{g}$ .^[233] Nisto, $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ designa o grupo linear especial das matrizes reais $2\times 2$ . Além disso, os grupos $\operatorname {Aut} (\mathbb {H} )$ e $\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )/\{\pm E_{2}\}$ são inclusivamente isomorfos entre si através da aplicação $f\mapsto [M_{f}]$ .^[234]^[235] Aqui, $E_{2}$ designa a matriz identidade $2\times 2$ .

Domínios rígidos

Os domínios rígidos $D$ são domínios com a propriedade $\operatorname {Aut} (D)=\{\mathrm {id} \colon D\to D\}$ .^[231] O grupo de automorfismos de $D$ é, portanto, trivial. Um exemplo de um domínio rígido é $\mathbb {E} \setminus \{0,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\}$ .^[236]

Análise assintótica de funções holomorfas

Definições e propriedades elementares

Uma série de potências formal $\Sigma \ a_{n}z^{n}$ denomina-se desenvolvimento assintótico de uma função holomorfa $f\colon D\to \mathbb {C}$ num domínio com $0\in \partial D$ , se para todo o $k\in \mathbb {N} _{0}$ se verificar

\lim _{z\to 0 \atop z\in D}z^{-k}\left(f(z)-\sum _{n=0}^{k}a_{n}z^{n}\right)=0.

Um tal $f$ tem sempre, no máximo, um desenvolvimento assintótico. A existência de um desenvolvimento assintótico depende sensivelmente da natureza do domínio. Assim, a função $f(z)=\exp({\tfrac {1}{z}})$ não possui qualquer desenvolvimento assintótico para $D=\mathbb {C} ^{\times }$ , possuindo-o, contudo, para qualquer setor circular $D=S_{\varepsilon }:=\{z\in \mathbb {C} \mid {\tfrac {\pi }{2}}+\varepsilon <\mathrm {arg} (z)<{\tfrac {3\pi }{2}}-\varepsilon \}$ com $0<\varepsilon <{\tfrac {\pi }{2}}.$ Se $f\in {\mathcal {O}}(D)$ tiver um prolongamento holomorfo ${\widehat {f}}\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ para um domínio ${\widehat {D}}$ com $0\in {\widehat {D}}\supset D$ , então o desenvolvimento assintótico da função $f$ corresponde ao desenvolvimento de Taylor de ${\widehat {f}}$ em torno de 0.^[237]

Se $f$ for holomorfa e $\textstyle f(z)\sim \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ para $z\to 0$ de forma uniforme num setor circular $S=\{z\in \mathbb {C} \colon \alpha \leq \mathrm {Arg} (z)\leq \beta ,0<|z|<R\}$ , decorre imediatamente que

f'(z)\sim \sum _{n=1}^{\infty }na_{n}z^{n-1}

em $S$ .^[238] Uniformemente significa, neste contexto, que

f(z)-\sum _{n=0}^{N}a_{n}z^{n}=O_{N}(z^{N+1})

para $z\to 0$ em $S$ e $N\in \mathbb {N}$ , sendo que a constante $O$ não depende da escolha do caminho de $z$ .

Existência de desenvolvimentos assintóticos

O seguinte critério é suficiente para a existência de desenvolvimentos assintóticos. Seja $D$ um domínio com $0\in \partial D$ , tal que para cada ponto $z\in D$ exista uma sucessão nula $c_{\nu }$ com a propriedade de que cada segmento de reta $[c_{\nu },z]$ se encontre em $D$ . Se então $f$ for uma função holomorfa em $D$ para a qual todos os limites $f^{(n)}(0):=\lim _{z\to 0}f^{(n)}(z)$ existam, $f$ tem o desenvolvimento assintótico^[239]

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}z^{n}.

De notar que as premissas exigidas a $D$ são satisfeitas para todos os setores circulares em torno de 0.^[240]

Teorema de Ritt

A questão sobre quais as condições que as séries de potências devem satisfazer para surgirem como desenvolvimento assintótico de funções holomorfas tem uma resposta simples para setores circulares em redor de 0: Não existem tais condições.^[241] Mais especificamente, vigora o teorema de Ritt: Se $S$ for um setor circular próprio em torno de 0, existe para qualquer série de potências formal $\Sigma \ a_{n}z^{n}$ uma função $f$ holomorfa em $S$ , de tal modo que se verifica:^[242]

f\sim _{S}\sum a_{\nu }z^{\nu }.

Fórmulas de soma

Em certas aplicações, é necessário compreender somas da forma $\textstyle g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }f(nz)$ para $z\to 0^{+}$ (numa região angular). Caso $f$ satisfaça determinadas propriedades, entre elas a holomorfia, isto pode ser levado a cabo. No que se segue, considere-se invariavelmente $D_{\theta }:=\{re^{i\alpha }\colon r\geq 0,|\alpha |\leq \theta \}$ com um $0\leq \theta <{\tfrac {\pi }{2}}$ .

Seja agora $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ uma função que é holomorfa numa vizinhança de $D_{\theta }$ , em particular na origem. Suponha-se ainda que, para cada $k\in \mathbb {N} _{0}$ , existe um $\varepsilon >0$ , de modo a que $f(w)=O(w^{-1-\varepsilon })$ quando $|w|\to \infty$ em $D_{\theta }$ . Então aplica-se a todos os $a\in \mathbb {R}$ e $N\in \mathbb {N} _{0}$ :

\sum _{m=0}^{\infty }f(w(m+a))={\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }f(x)\mathrm {d} x-\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {B_{n+1}(a)f^{(n)}(0)}{(n+1)!}}w^{n}+O_{N}(w^{N})

uniformemente, conquanto que $w\to 0$ em $D_{\theta }$ .^[243] Nisto, $B_{n}(x)$ designam os polinómios de Bernoulli. A afirmação pode até ser generalizada para o caso em que $f$ tem um polo simples na origem com resíduo $b_{-1}$ . Se todas as restantes premissas se mantiverem como acima, verifica-se nesta situação para $a\in \mathbb {R} \setminus (-\mathbb {N} _{0})$

\sum _{m=0}^{\infty }f(w(m+a))={\frac {b_{-1}\operatorname {Log} ({\frac {1}{w}})}{w}}+{\frac {b_{-1}(1-a)}{w}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{(m+a)(m+1)}}+{\frac {1}{w}}\int _{0}^{\infty }\left(f(x)-{\frac {b_{-1}e^{-x}}{x}}\right)\mathrm {d} x-\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {B_{n+1}(a)f^{(n)}(0)}{(n+1)!}}w^{n}+O_{N}(w^{N})

uniformemente, contanto que $w\to 0$ em $D_{\theta }$ .^[244] O $O$ indica a notação de Landau.

Holomorfia como condição em teoremas tauberianos

Os teoremas tauberianos utilizam propriedades de séries de potências ou de Dirichlet com o fim de obter informações sobre o comportamento de determinadas sumas. No entanto, estes aplicam-se amiúde apenas sob condições técnicas na função que está relacionada com a soma a ser estudada. A holomorfia pode coadjuvar na satisfação das condições de um teorema tauberiano. Isto abrange, por exemplo, um teorema tauberiano de Donald Newman, que diz respeito a séries de Dirichlet: Se

F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},

com

\operatorname {Re} (s)>1

,

tiver $|a_{n}|\leq C$ para todos os $n\in \mathbb {N}$ , e se $F(s)$ puder ser prolongada de forma holomorfa para a reta $\operatorname {Re} (s)=1$ , então já se verifica

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n}}=F(1).

Este teorema pode ser empregue para demonstrar o Teorema do número primo socorrendo-se de métodos simples da análise complexa.^[245] Afirmações idênticas vigoram sob condições mais frouxas, nomeadamente sem holomorfia na fronteira, como no Teorema de Wiener-Ikehara, mas este é, do ponto de vista analítico, mais moroso de demonstrar.^[246]

Digno de realce é o facto de a afirmação análoga para séries de potências se verificar trivialmente. Se $\textstyle z\mapsto \sum \ a_{n}z^{n}$ for convergente para $|z|<1$ e detiver um prolongamento holomorfo na fronteira $\partial \mathbb {E}$ , então $\textstyle \sum \ a_{n}$ chega mesmo a ser absolutamente convergente.

Transformações integrais

Nalgumas aplicações referentes a funções holomorfas surgem transformações integrais. Estas apresentam a forma

f(z)=\int _{C}k(w,z)g(w)\mathrm {d} w,

onde $C$ é um determinado caminho no plano complexo e $g$ é uma função apropriada a ser transformada. O termo $k$ representa o núcleo do operador integral, característico do tipo de transformação.

Proposições gerais de holomorfia

Em muitos casos, o caminho de integração numa transformação integral é infinitamente longo, razão pela qual, para além da regra de Leibniz, se afigura necessário estabelecer critérios para garantir que a transformada seja uma função holomorfa. Para tal, considera-se: Seja $a\in \mathbb {C}$ , $U$ um conjunto aberto e $f\colon [a,\infty )\times U\to \mathbb {C}$ uma função contínua. O integral

F(z):=\int _{a}^{\infty }f(t,z)\mathrm {d} t

é designado como uniformemente convergente em compactos de $U$ , caso $\textstyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(t,z)\mathrm {d} t$ exista e convirja uniformemente em subconjuntos compactos de $U$ . Se isto se verificar, e se adicionalmente $z\mapsto f(t,z)$ for holomorfa para cada $t\in (a,\infty )$ , então $F$ é holomorfa em $U$ , e aplica-se

F^{(k)}(z)=\int _{a}^{\infty }{\frac {\partial ^{k}}{\partial z^{k}}}f(t,z)\mathrm {d} t

para todo o $k\in \mathbb {N}$ .^[247]

Holomorfia no contexto de transformações integrais notáveis

Transformação de Fourier

Para o caso em que uma função $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ satisfaz condições adequadas no que concerne à continuidade e ao crescimento para $|x|\to \infty$ , a sua transformada de Fourier ${\hat {f}}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C}$ pode ser definida por

{\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\mathrm {d} x

.

Aplica-se então a transformação inversa

f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi i\xi x}\mathrm {d} \xi .

Se ${\hat {f}}$ satisfizer a condição de crescimento $|{\hat {f}}(\xi )|\leq Ae^{-2\pi a|\xi |}$ para as constantes $a,A>0$ , então $f$ é a restrição a $\mathbb {R}$ de uma função holomorfa na faixa $\{z\in \mathbb {C} \colon |\operatorname {Im} (z)|<a\}$ .^[248] O Teorema de Paley-Wiener postula ainda que, se $f$ for contínua e $|f(x)|\leq {\tfrac {B}{1+x^{1+\varepsilon }}}$ para $B,\varepsilon >0$ e para todo o $x\in \mathbb {R}$ (isto é, decresce moderadamente), $f$ prolonga-se para uma função inteira com $|f(z)|\leq Ae^{2\pi M|z|}$ para $A,M>0$ e todo o $z\in \mathbb {C}$ , se e só se o suporte de ${\hat {f}}$ estiver contido no intervalo $[-M,M]$ .^[249] Se ambas, $f$ e ${\hat {f}}$ , decrescerem moderadamente, então ${\hat {f}}(\xi )=0$ para todo o $\xi <0$ se e só se $f$ se prolongar continuamente para o semiplano superior fechado $\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} (z)\geq 0\}$ , aí for limitada e, adicionalmente, for holomorfa no seu interior.^[250]

Tirando partido do facto de que $x\mapsto e^{-\pi x^{2}}$ é a sua própria transformada de Fourier, pode ainda demonstrar-se o seguinte: Se $f$ for uma função inteira com $|f(x+iy)|\leq e^{-ax^{2}+by^{2}}$ com $a,b>0$ , então ${\hat {f}}$ também pode ser prolongada a uma função inteira, aplicando-se $|{\hat {f}}(\xi +i\eta )|\leq c'e^{-a'\xi ^{2}+b'\eta ^{2}}$ para quaisquer $a',b',c'>0$ .^[251]

Transformação de Mellin

Estreitamente relacionada com a transformação de Fourier está a transformação de Mellin, a qual é definida por

{\mathcal {M}}(f)(s):=\int _{0}^{\infty }f(t)t^{s-1}\mathrm {d} t.

Se $f$ for contínua por partes^[252] em $(0,\infty )$ , satisfizer $f(t)=O(t^{-\alpha })$ para $t\to 0^{+}$ e $f(t)=O(t^{-\beta })$ para $t\to \infty$ , então $s\mapsto {\mathcal {M}}(f)(s)$ é uma função holomorfa na faixa $\{s\in \mathbb {C} \colon \alpha <\operatorname {Re} (s)<\beta \}$ .^[253] Para o caso em que $f$ decresce rapidamente (por exemplo, exponencialmente) para $t\to \infty$ , e possui ainda um desenvolvimento assintótico da forma

f(t)\sim \sum _{n=0}^{\infty }t^{\alpha _{n}}\log ^{m_{n}}(t),\qquad \alpha _{1}<\alpha _{2}<\cdots \to \infty ,m_{n}\in \mathbb {N} _{0},

para $t\to 0^{+}$ , ${\mathcal {M}}(f)$ pode ser prolongada de forma holomorfa para todo o $\mathbb {C} \setminus \{-\alpha _{1},-\alpha _{2},-\alpha _{3},...\}$ com polos de ordem $m_{n}+1$ em $s=-\alpha _{n}$ e termo principal^[254]

{\frac {(-1)^{m_{n}}m_{n}!}{(s+\alpha _{n})^{m_{n}}}}.

É em particular esta propriedade que torna a transformação de Mellin numa ferramenta útil no prolongamento analítico de séries de Dirichlet (generalizadas).^[255]

Para uma transformada de Mellin ${\mathcal {M}}(f)$ holomorfa na faixa $\{s\in \mathbb {C} \colon \alpha <\operatorname {Re} (s)<\beta \}$ , aplica-se a fórmula de inversão para todo o $0<t<\infty$

f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\mathcal {M}}(f)(s)t^{-s}\mathrm {d} s,

onde $\alpha <c<\beta$ pode ser escolhido arbitrariamente.^[256]

Transformação de Laplace

Se $f\colon [0,\infty )\to \mathbb {C}$ for uma função contínua por partes, a sua transformada de Laplace é definida por

{\mathcal {L}}(f)(z):=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-zt}\mathrm {d} t.

Se para todo o $t\geq 0$ se verificar a estimativa $|f(t)|\leq Ae^{Bt}$ para um $A>0$ e um $B\in \mathbb {R}$ , então $z\mapsto {\mathcal {L}}(f)(z)$ é uma função holomorfa no semiplano $\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} (z)>B\}$ .^[257] Se, adicionalmente, for válido o desenvolvimento

f(t)=b_{0}+b_{1}t+{\frac {b_{2}}{2!}}t^{2}+\cdots +{\frac {b_{N-1}}{(N-1)!}}t^{N-1}+O(t^{N})

para $t\to 0^{+}$ , decorre imediatamente que

{\mathcal {L}}(f)(z)={\frac {b_{0}}{z}}+{\frac {b_{1}}{z^{2}}}+{\frac {b_{2}}{z^{3}}}+\cdots +{\frac {b_{N-1}}{z^{N}}}+O\left({\frac {1}{\operatorname {Re} (z)^{N+1}}}\right)

para $\operatorname {Re} (z)\to \infty$ .^[258] Este princípio revela-se útil, por exemplo, na demonstração da Fórmula de Stirling, que consiste numa aproximação do prolongamento holomorfo natural da função fatorial através de uma expressão funcional fechada.^[259]

Se $f\colon [0,\infty )\to \mathbb {C}$ for contínua por partes e, além disso, limitada, decorre logo da prolongabilidade holomorfa de ${\mathcal {L}}(f)$ a $\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} (z)\geq 0\}$ que^[260]

\int _{0}^{\infty }f(t)\mathrm {d} t={\mathcal {L}}(f)(0).

Se $f\colon [0,\infty )\to \mathbb {R}$ for não negativa e não decrescente, se ${\mathcal {L}}(f)$ for holomorfa em $\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} (z)>1\}$ , e se existir uma constante $C$ tal que

z\mapsto {\mathcal {L}}(f)(z)-{\frac {C}{z-1}}

possa ser prolongada de forma holomorfa a $\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Re} (z)\geq 1\}$ , deduz-se que^[261]

f(t)e^{-t}\,\,\,{\overset {t\to \infty }{\longrightarrow }}\,\,\,C.

Esta é uma "variante holomorfa" do Teorema de Wiener-Ikehara, que também funciona para prolongamentos contínuos, mas que nestas circunstâncias é muito mais difícil de demonstrar, tendo sido fornecidas demonstrações mais curtas no caso holomorfo por Donald Newman e Jacob Korevaar, os quais recorrem à Fórmula integral de Cauchy disponibilizada pela estrutura holomorfa.^[262] Em muitos casos, a variante holomorfa já é suficiente. Com o seu auxílio, é possível demonstrar diretamente o Teorema do número primo.^[263]

Propriedades algébricas

O anel O(D) com domínio D

Através da adição e multiplicação componente a componente, o conjunto ${\mathcal {O}}(D)$ torna-se num anel comutativo com unidade (após a admissão de uma multiplicação escalar, inclusivamente numa álgebra sobre $\mathbb {C}$ ). Através do teorema da identidade, pode demonstrar-se que ${\mathcal {O}}(D)$ é um anel íntegro (desprovido de divisores de zero).^[264] O corpo das funções meromorfas ${\mathcal {M}}(D)$ é precisamente o corpo de frações (ou corpo de quocientes) de ${\mathcal {O}}(D)$ .^[265]

De uma perspetiva da teoria dos ideais, os anéis ${\mathcal {O}}(D)$ são mais difíceis de tratar do que, por exemplo, $\mathbb {Z}$ ou $\mathbb {Z} [i]$ . Se se definir, por exemplo, para um conjunto $A\subset D$ de cardinalidade infinita, mas localmente finito, o ideal

{\mathfrak {a}}:=\{f\in {\mathcal {O}}(D)\mid f\ {\text{anula-se em quase todo o lado em}}\ A\},

pode deduzir-se que ${\mathcal {O}}(D)$ não é noetheriano, ou seja, em particular, nunca é um anel de ideais principais.^[266] A partir do teorema da fatorização para domínios gerais, pode mesmo deduzir-se que ${\mathcal {O}}(D)$ não é fatorial (domínio de fatorização única).^[267] Não obstante, existem certas estruturas; por exemplo, de acordo com o lema de Wedderburn, a unidade (o 1) pode ser gerada:^[268] Se $u,v$ forem duas funções holomorfas coprimas entre si (isto é, não existe nenhum elemento não invertível $\omega \in {\mathcal {O}}(D)$ tal que $u\omega ^{-1},v\omega ^{-1}\in {\mathcal {O}}(D)$ ), então existem $a,b\in {\mathcal {O}}(D)$ com

au+bv=1.

Daqui pode concluir-se que, pelo menos, qualquer ideal finitamente gerado ${\mathfrak {b}}\subset {\mathcal {O}}(D)$ já é um ideal principal.^[269] De acordo com o teorema fundamental da teoria dos ideais em ${\mathcal {O}}(D)$ , para um ideal ${\mathfrak {b}}\subset {\mathcal {O}}(D)$ as seguintes afirmações são inclusivamente equivalentes:^[270]

${\mathfrak {b}}$ é finitamente gerado.
${\mathfrak {b}}$ é um ideal principal.
${\mathfrak {b}}$ é fechado.

Neste contexto, o facto de ser fechado significa que a função limite de qualquer sucessão compactamente convergente $f_{n}\in {\mathfrak {b}}$ se encontra novamente contida em ${\mathfrak {b}}$ .^[271]

Os teoremas de Bers e Iss'sa

O teorema de Bers caracteriza todos os homomorfismos de $\mathbb {C}$ -álgebras entre $\mathbb {C}$ -álgebras em domínios de funções holomorfas.

Sejam $D,{\widehat {D}}$ domínios. Então o teorema de Bers postula: Para cada homomorfismo de $\mathbb {C}$ -álgebras $\varphi \colon {\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ , existe exatamente uma aplicação $h\colon {\widehat {D}}\to D$ , tal que $\varphi (f)=f\circ h$ para todo o $f\in {\mathcal {O}}(D)$ . Aplica-se $h=\varphi (\mathrm {id} _{D})\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ e $\varphi$ é bijetivo se e só se $h$ for biholomorfa.^[272]

Por conseguinte, $D$ é biholomorficamente equivalente a ${\widehat {D}}$ se e só se ${\mathcal {O}}(D)\cong {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ (enquanto $\mathbb {C}$ -álgebras). Além disso, cada homomorfismo de $\mathbb {C}$ -álgebras $\varphi \colon {\mathcal {O}}(D)\to {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ é inerentemente contínuo no sentido de que, se $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {O}}(D)$ convergir de forma compacta, então desde logo $\varphi (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ converge de forma compacta.^[272]

Este resultado é expandido pelo teorema de Iss'sa, uma vez que aqui é inclusivamente considerado o corpo das funções meromorfas em $D$ e ${\widehat {D}}$ . Assim, se $\varphi \colon {\mathcal {M}}(D)\to {\mathcal {M}}({\widehat {D}})$ for um homomorfismo de $\mathbb {C}$ -álgebras, existe um $h\in {\mathcal {O}}({\widehat {D}})$ de tal modo que invariavelmente se tem $\varphi (f)=f\circ h$ .^[272]

Aplicações

As funções holomorfas são investigadas sistematicamente no âmbito da disciplina matemática da teoria das funções. Estas são adicionalmente aplicadas nas esferas da análise real, da física teórica, da geometria algébrica, da teoria das representações (no contexto das formas modulares), da combinatória, dos números transcendentes e da teoria analítica dos números.

Importância para a física

Na física teórica, as funções holomorfas surgem, entre outros, no contexto das superfícies de Riemann. Por exemplo, o espaço de todas as funções holomorfas de uma superfície de Riemann para uma variedade de Calabi-Yau de dimensão $n$ desempenha um papel importante na simetria especular (mirror symmetry), a qual encontra aplicação na teoria das cordas.^[273]

Aplicação na teoria dos números

Séries de Dirichlet

Se uma função aritmética $a_{n}$ não crescer demasiado depressa, isto é, $a_{n}=O(n^{A})$ para uma constante real $A$ , então, para todos os valores complexos $s$ com $\operatorname {Re} (s)>A+1$ , a série

F(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}

convergirá absolutamente. Este tipo de série é também designado por série de Dirichlet. Existe então uma constante $\sigma _{0}$ , a abcissa de convergência, tal que a série converge (condicionalmente) para todos os valores $\operatorname {Re} (s)>\sigma _{0}$ e diverge para $\operatorname {Re} (s)<\sigma _{0}$ . A série converge uniformemente em subconjuntos compactos, pelo que é uma função holomorfa no semiplano $\operatorname {Re} (s)>\sigma _{0}$ .

À semelhança das séries de potências, as séries de Dirichlet servem para investigar funções aritméticas. Por exemplo, a holomorfia das séries de Dirichlet pode ser utilizada para demonstrar as fórmulas de Perron, com o intuito de estudar funções somatórias $\textstyle \sum _{0<n\leq x}a_{n}$ . Enquanto as séries de potências encontram aplicação sobretudo na teoria aditiva dos números, as séries de Dirichlet surgem principalmente na teoria multiplicativa dos números. Um exemplo importante é a Função zeta de Riemann

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},\qquad \operatorname {Re} (s)>1,

que pode inclusivamente ser prolongada de forma holomorfa a todo o $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ . Através da sua ligação aos números primos (ver Produto de Euler), esta desempenha um papel fundamental na teoria analítica dos números. Devido à sua holomorfia, é possível deduzir informações exatas sobre números primos a partir do seu comportamento como função, como por exemplo a distribuição dos seus zeros. Isto diz respeito, por exemplo, ao Teorema do número primo, o qual, no entanto, pode ser significativamente melhorado assumindo a conjetura de Riemann.^[274] As muito mais gerais funções L são igualmente de grande importância na teoria dos números. Isto aplica-se, por exemplo, ao teorema de Shimura-Taniyama-Weil, mas também à conjetura de Birch e Swinnerton-Dyer.^[275]

Formas modulares e séries q

As formas modulares clássicas são funções holomorfas $f$ no semiplano superior $\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}$ , que satisfazem determinadas leis de transformação relativamente a subgrupos $\Gamma \subset \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ de índice finito e apresentam um "comportamento holomorfo" nos pontos de fronteira $\mathbb {Q} \cup \{i\infty \}$ , por exemplo, possuindo um desenvolvimento de Fourier da forma

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{\frac {n}{N}},\qquad q:=e^{2\pi iz}

com um número natural

N

.

A condição de holomorfia fornece aqui um ingrediente decisivo para a raridade das formas modulares, uma vez que entra na demonstração da fórmula de valência (na forma do integral que conta zeros e polos). Desta pode deduzir-se que o espaço de todas as formas modulares de um peso fixo $k\in \mathbb {Z}$ relativamente a um subgrupo de congruência é sempre de dimensão finita, o que acarreta consequências de grande alcance.^[276]

Método do círculo

O método do círculo pertence às aplicações mais importantes das funções holomorfas na teoria dos números. O ponto de partida é uma sucessão de números inteiros $a_{n}$ que não crescem demasiado rápido, e cujo comportamento de crescimento se pretende compreender. Considera-se então a função

F(q)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}q^{n},

devendo a série convergir para $|q|<1$ e divergir para $|q|>1$ . Isto verifica-se, por exemplo, quando os $a(n)$ crescem a uma velocidade polinomial ou são menores, a menos de uma constante, que $e^{n^{\delta }}$ para um $0<\delta <1$ . Através da fórmula integral de Cauchy, obtém-se

a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {F(q)}{q^{n+1}}}\mathrm {d} q,

quando o caminho fechado, por exemplo um círculo com raio $0<r<1$ , circunda o 0 de forma simples no sentido matematicamente positivo. Neste caso, é habitual escolher o raio da curva de integração em função de $n$ , ou seja, $r=r_{n}$ , e exigir $r_{n}\to 1$ para $n\to \infty$ com a velocidade de convergência correta. Se a sucessão $a_{n}$ for positiva e monotonamente crescente, é de presumir que $F(q)$ se torne infinitamente grande na vizinhança de $q=1$ e que este crescimento domine o comportamento em todos os outros pontos da fronteira. Por conseguinte, a secção de integração na proximidade de $q=1$ deverá também fornecer o contributo decisivo para o valor dos $a_{n}$ . Um estudo detalhado da função $F(q)$ nas imediações de $q=1$ , mas também eventualmente de outros valores de fronteira, pode assim conduzir a uma compreensão dos $a_{n}$ .

No método do círculo, tira-se partido das singularidades na fronteira do círculo de convergência, como ocorre, por exemplo, em funções modulares ou funções teta

O método do círculo foi aplicado pela primeira vez por Godfrey Harold Hardy e Srinivasa Ramanujan com o intuito de investigar a função de partição $p$ .^[277] Com a sua ajuda, lograram obter a estimativa assintótica^[278]

p(n)\sim {\frac {1}{4{\sqrt {3}}n}}\exp \left(\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}\right),\qquad n\to \infty .

Serviu como ponto de partida a identidade descoberta por Leonhard Euler, válida para todo o $|q|<1$ ,^[279]

\sum _{n=0}^{\infty }p(n)q^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.

Hans Rademacher conseguiu mesmo deduzir uma fórmula exata para $p(n)$ empregando métodos semelhantes.^[280] O seu método socorre-se da modularidade da função eta de Dedekind.^[281] Outras aplicações situam-se na esfera do Problema de Waring^[282] e, de um modo geral, na determinação do número de soluções de equações diofantinas.^[283]

Geometria complexa

Também na geometria complexa são consideradas as aplicações holomorfas. Assim, é possível definir aplicações holomorfas entre superfícies de Riemann ou entre variedades complexas de forma análoga a funções diferenciáveis entre variedades diferenciáveis.^[284] Para além disso, existe um equivalente importante para a teoria da integração face às formas diferenciais suaves, que toma a designação de forma diferencial holomorfa.^[285]

Funções holomorfas de várias variáveis

Seja $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ um subconjunto aberto. Uma aplicação $f\colon D\to \mathbb {C}$ denomina-se holomorfa se puder ser desenvolvida numa série de potências em torno de cada ponto do domínio de definição, ou seja, se para cada $w=(w_{1},\dotsc ,w_{n})\in D$ existir um polidisco $\Delta (w;r_{1},\dotsc ,r_{n})\subset D$ tal que

f(z)=\sum _{k_{1},\dotsc ,k_{n}=0}^{\infty }a_{k_{1},\dotsc ,k_{n}}(z_{1}-w_{1})^{k_{1}}\cdots (z_{n}-w_{n})^{k_{n}}

para todo o $z\in \Delta (w;r_{1},\dotsc ,r_{n})$ com coeficientes $a_{k_{1},\dotsc ,k_{n}}\in \mathbb {C}$ independentes de $z$ .^[286] Uma função $f\colon D\to \mathbb {C}$ diz-se holomorfa na $j$ -ésima variável se for holomorfa como função de $z_{j}$ mantendo-se fixas as restantes variáveis. Naturalmente, funções holomorfas são holomorfas em cada variável. Para a implicação recíproca, vejam-se as caracterizações equivalentes abaixo apresentadas.

Com as derivadas de Wirtinger (cálculo de Wirtinger) $\textstyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}$ e $\textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{j}}}$ , está disponível um cálculo com o qual as derivadas parciais de uma função complexa podem ser tratadas da mesma forma que em funções de uma variável.

Para uma função $f\colon D\to \mathbb {C}$ , com $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ aberto, as seguintes afirmações são equivalentes:^[287]

$f$ é holomorfa.
$f$ é contínua e holomorfa em cada variável (Lema de Osgood).
$f$ é holomorfa em cada variável (teorema de Hartogs).
$f$ é continuamente diferenciável e satisfaz as equações diferenciais de Cauchy-Riemann $\textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{j}}}f=0$ para $j=1,\dotsc ,n$ .

Para várias dimensões no contradomínio, a holomorfia é definida da seguinte forma: Uma aplicação $f=(f_{1},\dotsc ,f_{m})\colon D\to \mathbb {C} ^{m}$ , com $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ aberto, diz-se holomorfa se cada uma das funções componentes $f_{j}\colon D\to \mathbb {C}$ for holomorfa.^[288]

Muitas propriedades das funções holomorfas de uma variável podem ser transpostas, em parte de forma atenuada, para o caso de várias variáveis. Por exemplo, o teorema integral de Cauchy não se aplica a funções $f\colon D\to \mathbb {C} ^{m}$ e o teorema da identidade apenas permanece válido numa versão atenuada.^[289] No entanto, para funções holomorfas $f\colon U\to \mathbb {C}$ , a fórmula integral de Cauchy pode ser generalizada por indução matemática para $n$ dimensões.^[290] Em 1944, Salomon Bochner conseguiu até mesmo demonstrar uma generalização da fórmula integral de Cauchy $n$ -dimensional. Esta tem a designação de Fórmula de Bochner-Martinelli.

Ver também

Função antiholomorfa

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