Matriz jacobiana

A matriz jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela jacobiana, mas uma função não precisa ser diferenciável para a existência da jacobiana; basta que as derivadas parciais existam.

Seja ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, ou seja, uma função que denominaremos "F", com domínio e imagem no espaço euclidiano n e m dimensional, respectivamente. Tal função é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função ${\displaystyle F_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é denominada matriz jacobiana. Assim, a jacobiana é definida como:

Em linguagem matemática	Em Português
${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$	Matriz de m linhas e n colunas. A primeira linha representa as derivadas parciais da função ${\displaystyle F_{1}}$ em relação a todos os x (de x1 a xn). A segunda linha representa as derivadas parciais de ${\displaystyle F_{2}}$ (também em relação a todos os x), e assim por diante, até a linha de número m, que representa as derivadas parciais de ${\displaystyle F_{m}}$ em relação a todos os xs.

A jacobiana é representada por ${\displaystyle J_{F}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ou ${\displaystyle {\frac {\partial (F_{1},\ldots ,F_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$.

A k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de ${\displaystyle F_{k}}$.

O jacobiano é definido como sendo o determinante da jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de variáveis em integrais múltiplas e no teorema da função inversa.

Exemplo 1

Seja ${\displaystyle F(x,y)=(x^{2}+y^{2},xy)}$. Aqui, ${\displaystyle F_{1}=x^{2}+y^{2}}$ e ${\displaystyle F_{2}=xy}$. A matriz jacobiana de F é:

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{vmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2x&2y\\y&x\end{vmatrix}}}$

O determinante jacobiano é ${\displaystyle 2(x^{2}-y^{2})}$.

Exemplo 2

Vamos montar a matriz jacobiana da mudança de variáveis cartesianas para polares. A função que faz a transformação é:^[1]

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\cos \theta \\y=r\operatorname {sen} \theta \end{matrix}}\right.}$

A jacobiana é dada então por:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\operatorname {sen} \theta \\\operatorname {sen} \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}\\{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}&=r\cos ^{2}\theta +r\operatorname {sen} ^{2}\theta =r\end{aligned}}}$

Exemplo 3 (mudança de variáveis em Estatística, relacionado à distribuição de Erlang)^[2]

Seja (X,Y) um par aleatório absolutamente contínuo com densidade de probabilidade conjunta ${\displaystyle f_{x,y}\left(x,y\right)}$. Seja também G uma função ${\displaystyle G:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ injectiva (portanto com inversa) com dois componentes G(x,y) = (u,v). Cada um destes componentes é função de duas variáveis reais, tal que

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u=g_{1}(x,y)\\v=g_{2}(x,y)\end{matrix}}\right.}$, sendo que g₁ e g₂ possuem derivadas parciais em relação a x e a y

Portanto, podemos definir o par aleatório (U,V) = G(X,Y). Como determinar a densidade de probabilidade conjunta do par (U,V) a partir da densidade conjunta de (X,Y)?

Como G tem inversa, podemos escrever:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=h_{1}(u,v)\\y=h_{2}(u,v)\end{matrix}}\right.}$

A densidade conjunta de (U,V) será: ${\displaystyle f_{U,V}(u,v)=\left|J\right|f_{X,Y}h_{1}(u,v)h_{2}(u,v)}$, em que ${\displaystyle \left|J\right|}$ representa o módulo do determinante jacobiano, isto é, o módulo de ${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {\partial h_{1}(u,v)}{\partial u}}&{\frac {\partial h_{1}(u,v)}{\partial v}}\\{\frac {\partial h_{2}(u,v)}{\partial u}}&{\frac {\partial h_{2}(u,v)}{\partial v}}\end{vmatrix}}}$.

Assim, digamos que (U,V) = (X+Y, X-Y). Teremos então

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u=&x+y\\v=&x-y\end{matrix}}\right.\longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x=&{\color {Blue}u-y}\\y=&{\color {Red}x-v}\end{matrix}}\right.\longrightarrow \left\{{\begin{matrix}x=&u-({\color {Red}x-v})\\y=&({\color {Blue}u-y})-v\end{matrix}}\right.\longrightarrow }$ ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=&h_{1}(u,v)=&{\frac {u+v}{2}}\\y=&h_{2}(u,v)=&{\frac {u-v}{2}}\end{matrix}}\right.}$

O determinante jacobiano neste caso (chamado de jacobiano da transformação^[3]) será

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\frac {\partial h_{1}(u,v)}{\partial u}}&{\frac {\partial h_{1}(u,v)}{\partial v}}\\{\frac {\partial h_{2}(u,v)}{\partial u}}&{\frac {\partial h_{2}(u,v)}{\partial v}}\end{vmatrix}}}$ ${\displaystyle ={\begin{vmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{vmatrix}}=\left|-{\frac {1}{2}}\right|}$.

O módulo deste determinante é ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$. A função densidade de probabilidade conjunta é, portanto:

${\displaystyle f_{U,V}(u,v)=\left|J\right|f_{X,Y}h_{1}(u,v)h_{2}(u,v)={\frac {1}{2}}f_{X,Y}\left({\frac {u+v}{2}},{\frac {u-v}{2}}\right)}$

A Jacobiana representa a melhor aproximação linear de uma função diferenciável nas vizinhanças de um ponto. Semelhante à aproximação de funções de uma variável pela derivada, uma função vetorial F diferenciável num ponto ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ pode ser aproximada por:

${\displaystyle F(\mathbf {x} )\approx F(\mathbf {x_{0}} )+J_{F}(\mathbf {x_{0}} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )^{T}}$

sendo ${\displaystyle \mathbf {x} }$ um ponto próximo de ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$. Essa aproximação é de grande importância no cálculo numérico, onde a Jacobiana e o seu determinante são utilizados para resolver sistemas não-lineares pelo método de Newton (ou método do Gradiente Iterativo).

• Hessiano

Referências