Teste da série alternada

Em matemática, o teste da série alternada ou série alternante ou, ainda, teste de Leibniz ou critério de Leibniz, proposto por Gottfried Leibniz é um método para determinar a convergência e estimar o erro de truncamento de séries numéricas da seguinte forma:

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}\,}$, onde ${\displaystyle a_{n}\geq 0}$

O teste diz que a série é convergente se:

• ${\displaystyle |a_{n+1}|\leq |a_{n}|}$ (os termos da sucessão ${\displaystyle a_{n}}$ é monotonamente decrescente)
• ${\displaystyle a_{n}\to 0,~~n\to \infty }$ (O limite do termo geral da sucessão ${\displaystyle a_{n}}$ for 0).

E ainda o erro assumido ao truncar a série não supera o último termo considerado.

Defina as somas parciais ${\displaystyle S_{N}}$ da seguinte forma:

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}a_{n}\,}$

Agora considere as somas parciais de ordem par e ímpar:

${\displaystyle S_{2N}=\sum _{n=1}^{2N}(-1)^{n}a_{n}=\left(a_{2}-a_{1}\right)+\left(a_{4}-a_{3}\right)+\ldots +\left(a_{2N}-a_{2N-1}\right)\,}$

${\displaystyle S_{2N+1}=\sum _{n=1}^{2N+1}(-1)^{n}a_{n}=-a_{1}+\left(a_{2}-a_{3}\right)+\left(a_{4}-a_{5}\right)+\ldots +\left(a_{2N}-a_{2N+1}\right)\,}$

Observe que cada termo entre parênteses é menor ou igual a zero em ${\displaystyle S_{2N}}$ e maior ou igual a zero em ${\displaystyle S_{2N+1}}$, assim o primeiro é não-crescente e o segundo é não-decrescente.

Ainda temos:

${\displaystyle S_{2N+1}-S_{2N}=(-1)^{2N+1}a_{2N+1}=-a_{2N+1}\leq 0\,}$

Portanto ${\displaystyle S_{2N+1}\leq S_{2N}\,}$ Da monotonicidade podemos acrescentar:

${\displaystyle S_{2k+1}\leq S_{2N+1}\leq S_{2N}\leq S_{2k},~~k<N\,}$

Agora considere o limite ${\displaystyle N\to \infty }$:

• A seqüência de ordem ímpar é não-decrescente e limitada superiormente, portanto converge para um limite ${\displaystyle L_{0}}$.
• A seqüência de ordem par é não-crescente e limitada inferiormente, portanto converge para um limite ${\displaystyle L_{1}}$.

Assim, a passagem ao limite está justificada e vale:

${\displaystyle S_{2k+1}\leq L_{1}\leq L_{0}\leq S_{2k},\,}$

Para provar que a série converge, reste mostrar que ${\displaystyle L_{0}=L_{1}}$, para tal faça:

${\displaystyle |L_{0}-L_{1}|=L_{0}-L_{1}\leq S_{2k}-S_{2k+1}=a_{2k+1}\to 0,k\to \infty }$

Denotando este limite por ${\displaystyle L=L_{0}=L_{1}}$, temos:

${\displaystyle S_{2k+1}\leq L\leq S_{2k},\,}$ o que é equivalente a:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{lcccl}S_{2k+1}-S_{2k}&\leq &L-S_{2k}&\leq &0\\0&\leq &L-S_{2k+1}&\leq &S_{2k}-S_{2k+1}\end{array}}\right.\,}$,

De onde se pode concluir a estimativa:

${\displaystyle \left|S_{n}-L\right|\leq a_{n},~~\forall n>0}$

Exemplo: Teste a convergência da série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)}$

Pelo critério de Leibniz, a série tem que satisfazer as duas condições para convergir.

${\displaystyle |a_{n+1}|\leq |a_{n}|}$, para todo n>N e ${\displaystyle a_{n}\to 0,~~n\to \infty }$, O limite do termo geral da sucessão ${\displaystyle a_{n}}$ for 0.

Assim,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)=\lim(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)=sen\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{n}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)=sen0=0}$

Logo ${\displaystyle \lim(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)=0}$.

Para a condição ${\displaystyle |a_{n+1}|\leq |a_{n}|}$, resolve-se por comparação:

${\displaystyle n<n+1}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)>\left({\frac {1}{n+1}}\right)}$

${\displaystyle sen\left({\frac {1}{n}}\right)>sen\left({\frac {1}{n+1}}\right)}$

${\displaystyle a_{n}>a_{n+1}}$,portanto a série é decrescente.

E desta forma ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}(-1)^{n}sen\left({\frac {1}{n}}\right)}$converge.

Observe que este teste não assegura convergência absoluta, o que pode ser demonstrado pela série harmônica alternada:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}}$

que converge por esse teste, mas:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1^{n}}{n}}=\infty }$

O teste da serie alternada, consiste em um caso particular do criterio de Dirichlet onde bk = (-1)^n