Matriz de Hurwitz

Em matemática uma matriz de Hurwitz (em inglês: Hurwitz matrix), ou matriz de Routh–Hurwitz, em engenharia matriz de estabilidade, é uma matriz quadrada real estruturada construída com coeficientes de um polinômio real.

Dado um polinômio real

${\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}}$

a matriz quadrada ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

é denominada matriz de Hurwitz correspondente ao polinômio ${\displaystyle p}$. Adolf Hurwitz estabeleceu em 1895 que um polinômio real é estável (isto é, todas suas raízes tem parte real estritamente negativa) se e somente se todos os determinantes dos menores da matriz ${\displaystyle H(p)}$ são positivos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}}$

e assim por diante. Os menores ${\displaystyle \Delta _{k}(p)}$ são denominados determinantes de Hurwitz.

Em engenharia e teoria da estabilidade, uma matriz quadrada ${\displaystyle A}$ é denominada matriz estável se todo autovalor de ${\displaystyle A}$ tem parte real estritamente negativa, isto é,

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Re} } [\lambda _{i}]<0\,}$

para cada autovalor ${\displaystyle \lambda _{i}}$. ${\displaystyle A}$ é também denominada uma matriz estabilidade, porque então a equação diferencial ordinária

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$

é assintoticamente estável, isto é, ${\displaystyle x(t)\to 0}$ com ${\displaystyle t\to \infty .}$

Se ${\displaystyle G(s)}$ é uma função de transferência, então ${\displaystyle G}$ é denominada Hurwitz se os polos de todos os elementos de ${\displaystyle G}$ tem parte real negativa. Notar que não é necessário que ${\displaystyle G(s),}$ para um argumento específico ${\displaystyle s,}$ seja uma matriz Hurwitz. A conexão é que se ${\displaystyle A}$ é uma matriz de Hurwitz, então o sistema dinâmico

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$

tem uma função de transferência de Hurwitz.

• Hurwitz, A. (1895). «Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt». Mathematische Annalen, Leipzig (Nr. 46): 273–284 
• Gantmacher, F.R. (1959). «Applications of the Theory of Matrices». Interscience, New York. 641 (9): 1–8 
• Hassan K. Khalil (2002). Nonlinear Systems. Prentice Hall.
• Siegfried H. Lehnigk, On the Hurwitz matrix, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), May 1970
• Bernard A. Asner, Jr., On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
• Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña, Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials, Journal of Approximation Theory, Volume 132, Issue 2 (February 2005)

Este artigo incorpora material de Hurwitz matrix do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.

• Hurwitz matrix, PlanetMath.org.