Matriz adjunta

Em álgebra linear uma matriz adjunta de uma matriz quadrada é a transposta de sua matriz dos cofatores.^[1]

A é a matriz transposta da matriz que se obtém substituindo cada termo ${\displaystyle {A}_{i,j}}$ pelo determinante da matriz resultante de retirar de A a linha ${\displaystyle i}$ e a coluna ${\displaystyle j}$ (isso é, o determinante menor) multiplicado por ${\displaystyle {(-1)}^{i+j}}$ (isso é, alternando os sinais).

Para toda matriz de ordem 2:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\mbox{adj}}(\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}}$^[2]

Vamos deduzir a adjunta da matriz representada abaixo:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

Primeiro calculamos a matriz dos determinantes menores, tradicionalmente representada por "${\displaystyle \mathbf {M} }$".

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}\det {d}&\det {c}\\\det {b}&\det {a}\end{bmatrix}}}$

Agora multiplicamos todo ${\displaystyle \mathbf {M} _{i,j}}$ por ${\displaystyle (-1)^{i+j}}$ para obter a matriz dos cofactores, tradicionalmente representada por "${\displaystyle \mathbf {C} }$". Em termos mais simples, invertemos os sinais de todos aqueles termos cuja soma "${\displaystyle i+j}$" é ímpar.

${\displaystyle {\mbox{C}}(\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-c\\-b&a\end{bmatrix}}}$

Em seguida, transpomos a matriz para chegar a matriz adjunta:

${\displaystyle {\mbox{adj}}(\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}}$

Para toda matriz na forma:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}$^[3]

Fazendo a matriz dos cofatores de A, temos que:

${\displaystyle {\mbox{cof}}(A)={\begin{bmatrix}+\left|{\begin{matrix}e&f\\h&i\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}d&f\\g&i\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}d&e\\g&h\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}b&c\\h&i\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a&c\\g&i\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a&b\\g&h\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}b&c\\e&f\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a&c\\d&f\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a&b\\d&e\end{matrix}}\right|\end{bmatrix}}}$

e, transpondo, temos a matriz adjunta de A:

${\displaystyle {\mbox{adj}}(A)={\begin{bmatrix}+\left|{\begin{matrix}e&f\\h&i\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}b&c\\h&i\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}b&c\\e&f\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}d&f\\g&i\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a&c\\g&i\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a&c\\d&f\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}d&e\\g&h\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a&b\\g&h\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a&b\\d&e\end{matrix}}\right|\end{bmatrix}}}$

Onde as barras verticais simbolizam determinante.

As seguintes propriedades são válidas para todas as matrizes ${\displaystyle K^{n\times n}}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (I)=I}$, em que ${\displaystyle I}$ é a matriz identidade.

${\displaystyle \operatorname {adj} (0)=0}$, em que 0 é a matriz nula.

${\displaystyle \operatorname {adj} (AB)=\operatorname {adj} (B)\cdot \operatorname {adj} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (A^{T})=\operatorname {adj} (A)^{T}}$

${\displaystyle A\cdot \operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)\cdot A=\det(A)\cdot I}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (\lambda A)=\lambda ^{n-1}\operatorname {adj} (A)}$ em que ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \det(\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-1}}$

${\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=(\det A)^{n-2}A}$, para o caso particular de ${\displaystyle A}$ ser ${\displaystyle 2\times 2}$ resulta em ${\displaystyle \operatorname {adj} (\operatorname {adj} (A))=A}$

Com a matriz adjunta pode-se calcular a inversa de uma matriz de uma maneira diferente da tradicional, embora não mais rápida. A forma mais eficiente de obter a matriz inversa é através da eliminação de Gauss-Jordan. Para toda matriz invertível A:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )}{\det(\mathbf {A} )}}.}$

Logo, para toda matriz invertível de ordem 2:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.}$

Observação: Alguns matemáticos desaconselham a notação acima em favor da seguinte:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\cdot {\mbox{adj}}(\mathbf {A} ).}$

Vale reforçar que só é invertível a matriz que é quadrada e cujo determinante é diferente de zero.

• Teorema de Laplace (simplificação de determinantes)
• Regra de Cramer
• Fórmula de Jacobi (diferenciação de determinantes)

Referências