Matriz idempotente

Em álgebra, uma matriz idempotente é uma matriz que, ao ser multiplicada por si mesma, resulta em si mesma. ^[1][2] Em outras palavras, a matriz A, é idempotente se e somente se ${\displaystyle AA=A}$^[3]. Para que este produto AA seja possível, A deve necessariamente ser uma matriz quadrada.

• Matrizes idempotentes são sempre positivas semi-definidas.^[4]
• Com exceção da matriz identidade, uma matriz idempotente A é sempre singular, ou seja, não admite inversa:

  ${\displaystyle I=AA^{-1}=A^{2}A^{-1}=A\left(AA^{-1}\right)=A}$

• Se uma matriz A é idempotente, a matriz ${\displaystyle I-A}$ também é.^[3]

É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas.^[5] Seja ${\displaystyle X}$ uma matriz de dimensão ${\displaystyle n\times k}$ com posto ${\displaystyle rank(A)=k}$ . A Matriz de projeção é uma matriz quadrada, idempotente e hermitiana que se encaixa nessa categoria:

${\displaystyle P\equiv X\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}}$, onde ${\displaystyle X^{T}}$ denota a matriz transposta de X e ${\displaystyle \left(X^{T}X\right)^{-1}}$ denota a matriz inversa da matriz ${\displaystyle X^{T}X}$. Esta matriz é chamada de matriz de projeção porque sempre é verdade que ${\displaystyle PX=X}$ ^[6].

• Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a matriz X de dimensão nXk em duas matrizes ${\displaystyle X_{1}}$ e ${\displaystyle X_{1}}$ de tal forma que ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{1}&X_{2}\end{bmatrix}}}$, então

${\displaystyle PX_{1}=X_{1}}$:^[7]

Por exemplo, sejam as matrizes ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}},X_{1}={\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}},X_{2}={\begin{bmatrix}{b}\\{d}\end{bmatrix}}}$. Então,

${\displaystyle PX_{1}=}$${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {X\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}} \\P\end{matrix}}*{\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}{a}&{c}\\{b}&{d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}{a}&{c}\\{b}&{d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}}=}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}{a}^{2}+{c}^{2}&{a}{b}+{c}{d}\\{a}{b}+{c}{d}&{b}^{2}+{d}^{2}\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}{a}^{2}+{c}^{2}\\{a}{b}+{c}{d}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle ={\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}}}$

• A matriz de projeção é largamente utilizadas em econometria. Na estimação por mínimos quadrados ordinários, por exemplo, a matriz P gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (hat matrix, em inglês)^[7]:

${\displaystyle Py=\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}y=X{\hat {\beta }}={\hat {y}}}$

• P é sempre positiva semi-definida.
• Toda matriz de projeção é idempotente, mas o contrário não é verdadeiro. Apenas as matrizes idempotentes que são simétricas (ou seja, cuja transposta é igual a ela mesma) e hermitianas são matrizes de projeção.

• Matriz de aniquilação: ${\displaystyle M\equiv I_{n}-P\equiv I_{n}-X\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}}$. Esta matriz é chamada de matriz de aniquilação porque sempre é verdade que ${\displaystyle MX=0}$.^[6]

A matriz aniquiladora também é bastante útil em econometria. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de mínimos quadrados ordinários

${\displaystyle y=X\beta +\varepsilon =X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+\varepsilon }$, sendo ${\displaystyle X_{1},X_{2},\beta _{1},\beta _{2}}$ matrizes, poderemos definir

${\displaystyle M_{1}\equiv I_{n}-X_{1}\left(X_{1}^{T}X_{1}\right)^{-1}X_{1}^{T}}$ e

${\displaystyle M_{2}\equiv I_{n}-X_{2}\left(X_{1}^{T}X_{2}\right)^{-1}X_{2}^{T}}$

E então podemos estimar os coeficientes separadamente^[8]:

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}=\left(X_{1}^{T}M_{2}X_{1}\right)^{-1}\left(X_{1}^{T}M_{2}y\right)}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}=\left(X_{2}^{T}M_{1}X_{2}\right)^{-1}\left(X_{2}^{T}M_{1}y\right)}$

• CHEN, Mei Yuan. Matrix Algebra for econometrics. Julho de 2003. National Chung Hsing University. Disponível em: <http://web.nchu.edu.tw/~finmyc/MAT-ALG1.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011. Seção 5.4: Idempotent Matrices.
• Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw–Hill, 3rd edition, 1984: p. 80.
• Greene, William H., Econometric Analysis, Prentice–Hall, 5th edition, 2003: pp. 808–809.
• WOOLDRIDGE. Introdução à Econometria. Editora Thomson. Apêndice D - Resumo de álgebra matricial. Disponível em: <http://www.netofeitosa.com.br/caen_arquivos/econometria/wooldridge_d.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.
• HAYASHI, Fumio. Econometrics. Princeton University Press. 2000. ISBN-10: 0-691-01018-8. Página 18.
• HANSEN, Bruce. Econometrics. Janeiro de 2011. Disponível em: <http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf>. Acesso em 24 de junho de 2011.