Coomologia etal

Em matemática, a coomologia etal de grupos de uma variedade algébrica ou esquema são análogos algébricos da usual coomologia de grupos com finitos coeficientes de um espaço topológico, introduzido por Alexander Grothendieck de maneira a provar as conjecturas de Weil. A teoria da coomologia etal pode ser usada para construir coomologia ℓ-ádica, a qual é um exemplo de uma teoria da coomologia de Weil em geometria algébrica. Isto tem muitas aplicações, tais como a demonstração das conjecturas de Weil e a construção de conjecturas e construção de representações de grupos finitos do tipo Lie.^[1]^[2]^[3]^[4]

História

A coomologia étale foi introduzida por Alexander Grothendieck (1960), com base em algumas sugestões de Jean-Pierre Serre, e foi motivada pela tentativa de construir uma teoria de coomologia de Weil para provar as conjecturas de Weil. Os fundamentos foram elaborados pouco depois por Grothendieck em conjunto com Michael Artin e publicados em (Artin 1962) e no SGA 4. Grothendieck utilizou a coomologia étale para provar algumas das conjecturas de Weil (Bernard Dwork já havia conseguido provar, em 1960, a parte da racionalidade da conjectura usando métodos p-ádicos), e a conjectura restante, o análogo da hipótese de Riemann, foi provada por Pierre Deligne (1974) usando coomologia ℓ-ádica.^[5]^[6]^[7]^[8]

Um contato adicional com a teoria clássica foi encontrado na forma da versão de Grothendieck do grupo de Brauer; isso foi logo aplicado à geometria diofantina, por Yuri Manin. O peso e o sucesso da teoria geral consistiram certamente tanto em integrar toda essa informação quanto em provar resultados gerais como a dualidade de Poincaré e o teorema do ponto fixo de Lefschetz nesse contexto.

Grothendieck desenvolveu originalmente a coomologia étale em um quadro extremamente geral, trabalhando com conceitos como topos de Grothendieck e universo de Grothendieck. Em retrospecto, grande parte desse aparato mostrou-se desnecessária para a maioria das aplicações práticas da teoria étale, e Deligne (1977) apresentou uma exposição simplificada da teoria da coomologia étale. O uso desses universos por Grothendieck (cuja existência não pode ser provada na teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel) levou a alguma especulação de que a coomologia étale e suas aplicações (como a prova do Último teorema de Fermat) exigiriam axiomas além de ZFC. Contudo, na prática, a coomologia étale é usada principalmente no caso de feixes construtíveis sobre esquemas de tipo finito sobre os inteiros, e isso não requer axiomas profundos de teoria dos conjuntos: com o devido cuidado, os objetos necessários podem ser construídos sem o uso de quaisquer conjuntos incontáveis, e isso pode ser feito em ZFC, e até mesmo em teorias muito mais fracas.

A coomologia étale rapidamente encontrou outras aplicações; por exemplo, Deligne e George Lusztig a utilizaram para construir representações de grupos finitos de tipo de Lie; veja teoria de Deligne–Lusztig.

Motivação

Para variedades algébricas complexas, invariantes da topologia algébrica, como o grupo fundamental e os grupos de coomologia, são muito úteis, e seria desejável ter análogos deles para variedades sobre outros corpos, como corpos finitos. (Uma das razões para isso é que Weil sugeriu que as conjecturas de Weil poderiam ser provadas usando tal teoria de coomologia.) No caso da coomologia de feixes coerentes, Serre mostrou que se podia obter uma teoria satisfatória apenas usando a topologia de Zariski da variedade algébrica, e no caso das variedades complexas isso dá os mesmos grupos de coomologia (para feixes coerentes) que a topologia complexa, muito mais fina. Contudo, para feixes constantes, como o feixe dos inteiros, isso não funciona: os grupos de coomologia definidos usando a topologia de Zariski comportam-se mal. Por exemplo, Weil imaginava uma teoria de coomologia para variedades sobre corpos finitos com poder semelhante ao da coomologia singular usual de espaços topológicos, mas, na realidade, qualquer feixe constante sobre uma variedade irredutível tem coomologia trivial (todos os grupos de coomologia superiores se anulam).

A razão pela qual a topologia de Zariski não funciona bem é que ela é grosseira demais: tem muito poucos abertos. Parece não haver uma boa maneira de corrigir isso usando uma topologia mais fina sobre uma variedade algébrica geral. A percepção-chave de Grothendieck foi notar que não há razão para que os abertos mais gerais tenham de ser subconjuntos da variedade algébrica: a definição de um feixe funciona perfeitamente bem para qualquer categoria, e não apenas para a categoria dos subconjuntos abertos de um espaço. Ele definiu a coomologia étale substituindo a categoria dos subconjuntos abertos de um espaço pela categoria dos morfismos étales para um espaço: grosso modo, estes podem ser vistos como subconjuntos abertos de recobrimentos finitos não ramificados do espaço. Estes acabam por fornecer (após bastante trabalho) exatamente abertos suficientes para que se possam obter grupos de coomologia razoáveis para alguns coeficientes constantes, em particular para coeficientes Z/nZ quando n é coprimo com a característica do corpo sobre o qual se está trabalhando.^[9]^[10]

Algumas intuições básicas da teoria são estas:

A condição étale é a condição que permitiria aplicar o teorema da função implícita se ele valesse em geometria algébrica (mas não vale — funções algébricas implícitas eram chamadas de algebroid na literatura mais antiga).
Há certos casos básicos, de dimensão 0 e 1, e também o caso de uma variedade abeliana, em que as respostas com feixes constantes de coeficientes podem ser previstas (via coomologia de Galois e módulos de Tate).

Definições

Para qualquer esquema X, a categoria Et(X) é a categoria de todos os morfismos étales de um esquema para X. Ela é um análogo da categoria dos subconjuntos abertos de um espaço topológico, e seus objetos podem ser pensados informalmente como "subconjuntos abertos étales" de X. A interseção de dois abertos de um espaço topológico corresponde ao produto fibrado de dois morfismos étales para X. Há aqui um problema seteórico relativamente menor, pois Et(X) é uma categoria "grande": seus objetos não formam um conjunto.

Um pré-feixe sobre um espaço topológico X é um funtor contravariante da categoria dos subconjuntos abertos para a categoria dos conjuntos. Por analogia, definimos um pré-feixe étale sobre um esquema X como um funtor contravariante de Et(X) para a categoria dos conjuntos.

Um pré-feixe F sobre um espaço topológico é chamado de feixe se satisfaz a condição de feixe: sempre que um subconjunto aberto U é coberto por abertos U_i, e são dados elementos de F(U_i) para todo i, cujas restrições a U_i ∩ U_j coincidem para todos i, j, então eles são imagens de um único elemento de F(U). Por analogia, um pré-feixe étale é chamado de feixe se satisfaz a mesma condição (com as interseções de abertos substituídas por produtos fibrados de morfismos étales, e onde se diz que um conjunto de morfismos étales para U cobre U se o espaço topológico subjacente a U for a união de suas imagens). Mais geralmente, pode-se definir um feixe de modo semelhante para qualquer topologia de Grothendieck sobre uma categoria.

A categoria dos feixes de grupos abelianos sobre um esquema possui objetos injetivos suficientes, de modo que se podem definir os funtores derivados à direita de funtores exatos à esquerda. Os grupos de coomologia étale Hⁱ(F) do feixe F de grupos abelianos são definidos como os funtores derivados à direita do funtor de seções,

F\to \Gamma (F)

(onde o espaço de seções Γ(F) de F é F(X)). As seções de um feixe podem ser pensadas como Hom(Z, F), em que Z é o feixe que devolve os inteiros como um grupo abeliano. A ideia de funtor derivado aqui é que o funtor de seções não respeita sequências exatas, já que não é exato à direita; de acordo com os princípios gerais da álgebra homológica, haverá uma sequência de funtores H⁰, H¹, ... que representam as "compensações" que precisam ser feitas para restaurar alguma medida de exatidão (sequências exatas longas provenientes de curtas). O funtor H⁰ coincide com o funtor de seções Γ.

Mais geralmente, um morfismo de esquemas f : X → Y induz uma aplicação f_∗ dos feixes étales sobre X para os feixes étales sobre Y, e seus funtores derivados à direita são denotados por R^qf_∗, para q inteiro não negativo. No caso especial em que Y é o espectro de um corpo algebricamente fechado (um ponto), R^qf_∗(F) é o mesmo que H^q(F).

Suponha que X seja um esquema noetheriano. Um feixe étale abeliano F sobre X é chamado de finito localmente constante se for representado por uma cobertura étale de X. Ele é chamado de construtível se X puder ser coberto por uma família finita de subesquemas, em cada um dos quais a restrição de F é finita localmente constante. Ele é chamado de de torção se F(U) for um grupo de torção para toda cobertura étale U de X. Feixes finitos localmente constantes são construtíveis, e feixes construtíveis são de torção. Todo feixe de torção é um limite indutivo filtrante de feixes construtíveis.

Grupos de coomologia ℓ-ádica

Em aplicações à geometria algébrica sobre um corpo finito F_q de característica p, o principal objetivo era encontrar um substituto para os grupos de coomologia singular com coeficientes inteiros (ou racionais), que não estão disponíveis da mesma forma que na geometria de uma variedade algébrica sobre o corpo dos números complexos. A coomologia étale funciona bem para coeficientes Z/nZ com n coprimo a p, mas dá resultados insatisfatórios para coeficientes não de torção. Para obter grupos de coomologia sem torção a partir da coomologia étale, é preciso tomar um limite inverso de grupos de coomologia étale com certos coeficientes de torção; isso é chamado de coomologia ℓ-ádica, em que ℓ representa qualquer número primo diferente de p. Consideram-se, para esquemas V, os grupos de coomologia^[11]^[12]

H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )

e define-se o grupo de coomologia ℓ-ádica

H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })=\varprojlim H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )

como o seu limite inverso. Aqui Z_ℓ denota os inteiros ℓ-ádicos, mas a definição é feita por meio do sistema de feixes "constantes" com coeficientes finitos Z/ℓ^kZ. (Há aqui uma armadilha notória: a coomologia não comuta com a passagem a limites inversos, e o grupo de coomologia ℓ-ádica, definido como limite inverso, não é a coomologia com coeficientes no feixe étale Z_ℓ; este último grupo de coomologia também existe, mas dá os grupos de coomologia "errados".)

Mais geralmente, se F é um sistema inverso de feixes étales F_i, então a coomologia de F é definida como o limite inverso da coomologia dos feixes F_i

H^{q}(X,F)=\varprojlim H^{q}(X,F_{i}),

e, embora exista uma aplicação natural

H^{q}(X,\varprojlim F_{i})\to \varprojlim H^{q}(X,F_{i}),

esta não é, em geral, um isomorfismo. Um feixe ℓ-ádico é um tipo especial de sistema inverso de feixes étales F_i, em que i percorre os inteiros positivos, F_i é um módulo sobre Z/ℓⁱ Z, e a aplicação de F_i₊₁ para F_i é simplesmente a redução módulo Z/ℓⁱ Z.

Quando V é uma curva algébrica não singular de gênero g, H¹ é um módulo livre sobre Z_ℓ de posto 2g, dual ao módulo de Tate da variedade jacobiana de V. Como o primeiro número de Betti de uma superfície de Riemann de gênero g é 2g, isto é isomorfo à coomologia singular usual com coeficientes em Z_ℓ para curvas algébricas complexas. Isso também mostra uma das razões pelas quais a condição ℓ ≠ p é necessária: quando ℓ = p, o posto do módulo de Tate é no máximo g.

Podem ocorrer subgrupos de torção, e isso foi aplicado por Michael Artin e David Mumford a questões geométricas^[^{carece de fontes?]}. Para remover qualquer subgrupo de torção dos grupos de coomologia ℓ-ádica e obter grupos de coomologia que sejam espaços vetoriais sobre corpos de característica 0, define-se

H^{i}(V,\mathbf {Q} _{\ell })=H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }.

Essa notação é enganosa: o símbolo Q_ℓ à esquerda não representa nem um feixe étale nem um feixe ℓ-ádico. A coomologia étale com coeficientes no feixe étale constante Q_ℓ também existe, mas é bastante diferente de $H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }$ . Confundir esses dois grupos é um erro comum.

Propriedades

Em geral, os grupos de coomologia ℓ-ádica de uma variedade tendem a ter propriedades semelhantes às dos grupos de coomologia singular de variedades complexas, exceto pelo fato de serem módulos sobre os inteiros ℓ-ádicos (ou números ℓ-ádicos), em vez de sobre os inteiros (ou racionais). Eles satisfazem uma forma de dualidade de Poincaré em variedades projetivas não singulares, e os grupos de coomologia ℓ-ádica de uma "redução módulo p" de uma variedade complexa tendem a ter o mesmo posto que os grupos de coomologia singular. Uma fórmula de Künneth também vale.

Por exemplo, o primeiro grupo de coomologia de uma curva elíptica complexa é um módulo livre de posto 2 sobre os inteiros, enquanto o primeiro grupo de coomologia ℓ-ádica de uma curva elíptica sobre um corpo finito é um módulo livre de posto 2 sobre os inteiros ℓ-ádicos, desde que ℓ não seja a característica do corpo em questão, e é dual ao seu módulo de Tate.

Há um aspecto em que os grupos de coomologia ℓ-ádica são melhores que os grupos de coomologia singular: eles tendem a admitir uma ação de grupos de Galois. Por exemplo, se uma variedade complexa é definida sobre os números racionais, então seus grupos de coomologia ℓ-ádica são munidos de uma ação do grupo de Galois absoluto dos números racionais: eles fornecem representações de Galois.

Elementos do grupo de Galois dos racionais, distintos da identidade e da conjugação complexa, em geral não agem continuamente sobre uma variedade complexa definida sobre os racionais, e por isso não agem sobre os grupos de coomologia singular. Esse fenômeno das representações de Galois está relacionado ao fato de que o grupo fundamental de um espaço topológico age sobre os grupos de coomologia singular, porque Grothendieck mostrou que o grupo de Galois pode ser encarado como uma espécie de grupo fundamental. (Ver também Teoria de Galois de Grothendieck.)

Cálculo de grupos de coomologia étale para curvas algébricas

O principal passo inicial no cálculo dos grupos de coomologia étale de uma variedade é calculá-los para curvas algébricas completas, conexas e suaves X sobre corpos algebricamente fechados k. Os grupos de coomologia étale de variedades arbitrárias podem então ser controlados usando análogos do maquinário usual da topologia algébrica, como a sequência espectral de uma fibração. Para curvas, o cálculo ocorre em várias etapas, como segue (Artin 1962). Seja G_m o feixe das funções não nulas.

Cálculo de H¹(X, G_m)

A sequência exata de feixes étales

1\to \mathbf {G} _{m}\to j_{*}\mathbf {G} _{m,K}\to \bigoplus _{x\in |X|}i_{x*}\mathbf {Z} \to 1

fornece uma sequência exata longa de grupos de coomologia

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{0}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{1}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to \cdots \end{aligned}}

Aqui, j é a inclusão do ponto genérico, i_x é a inclusão de um ponto fechado x, G_m,K é o feixe G_m em Spec K (o ponto genérico de X), e Z_x é uma cópia de Z para cada ponto fechado de X. Os grupos Hⁱ(i_x* Z) anulam-se se i > 0 (porque i_x* Z é um feixe arranha-céu), e para i = 0 eles são iguais a Z, de modo que sua soma é exatamente o grupo dos divisores de X. Além disso, o primeiro grupo de coomologia H¹(X, j_∗G_m,K) é isomorfo ao grupo de coomologia de Galois H¹(K, K*), que se anula pelo teorema 90 de Hilbert. Portanto, a sequência exata longa de grupos de coomologia étale fornece uma sequência exata

K\to \operatorname {Div} (X)\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to 1

em que Div(X) é o grupo dos divisores de X e K é o seu corpo de funções. Em particular, H¹(X, G_m) é o grupo de Picard Pic(X) (e os primeiros grupos de coomologia de G_m são os mesmos para as topologias étale e de Zariski). Esta etapa funciona para variedades X de qualquer dimensão (com pontos substituídos por subvariedades de codimensão 1), e não apenas para curvas.

Cálculo de Hⁱ(X, G_m)

A mesma sequência exata longa acima mostra que, se i ≥ 2, então o grupo de coomologia Hⁱ(X, G_m) é isomorfo a Hⁱ(X, j_*G_m,K), que é isomorfo ao grupo de coomologia de Galois Hⁱ(K, K*). O teorema de Tsen implica que o grupo de Brauer de um corpo de funções K em uma variável sobre um corpo algebricamente fechado se anula. Isso, por sua vez, implica que todos os grupos de coomologia de Galois Hⁱ(K, K*) se anulam para i ≥ 1, de modo que todos os grupos de coomologia Hⁱ(X, G_m) se anulam se i ≥ 2.

Cálculo de Hⁱ(X, μ_n)

Se μ_n é o feixe das raízes n-ésimas da unidade e n e a característica do corpo k são inteiros coprimos, então:

H^{i}(X,\mu _{n})={\begin{cases}\mu _{n}(k)&i=0\\\operatorname {Pic} _{n}(X)&i=1\\\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} &i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}

em que Pic_n(X) é o grupo dos pontos de n-torção de Pic(X). Isso decorre dos resultados anteriores, usando a sequência exata longa

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,\mu _{n})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{1}(X,\mu _{n})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{2}(X,\mu _{n})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to \cdots \end{aligned}}

da sequência exata de Kummer para feixes étales

1\to \mu _{n}\to \mathbf {G} _{m}{\xrightarrow {(\cdot )^{n}}}\mathbf {G} _{m}\to 1.

e inserindo os valores conhecidos

H^{i}(X,\mathbf {G} _{m})={\begin{cases}k^{*}&i=0\\\operatorname {Pic} (X)&i=1\\0&i\geqslant 2\end{cases}}

Em particular, obtemos uma sequência exata

1\to H^{1}(X,\mu _{n})\to \operatorname {Pic} (X)\xrightarrow {\times n} \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mu _{n})\to 1.

Se n é divisível por p, esse argumento falha porque as raízes p-ésimas da unidade comportam-se de maneira estranha sobre corpos de característica p. Na topologia de Zariski, a sequência de Kummer não é exata à direita, pois uma função não nula em geral não possui uma raiz n-ésima localmente para a topologia de Zariski; este é, portanto, um dos pontos em que o uso da topologia étale em vez da topologia de Zariski é essencial.

Cálculo de Hⁱ(X, Z/nZ)

Fixando uma raiz n-ésima primitiva da unidade, podemos identificar o grupo Z/nZ com o grupo μ_n das raízes n-ésimas da unidade. O grupo étale Hⁱ(X, Z/nZ) é então um módulo livre sobre o anel Z/nZ, e seu posto é dado por:

\operatorname {rank} (H^{i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ))={\begin{cases}1&i=0\\2g&i=1\\1&i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}

em que g é o gênero da curva X. Isso decorre do resultado anterior, usando o fato de que o grupo de Picard de uma curva é o conjunto de pontos de sua variedade jacobiana, uma variedade abeliana de dimensão g; e, se n é coprimo à característica, então os pontos de ordem que divide n numa variedade abeliana de dimensão g sobre um corpo algebricamente fechado formam um grupo isomorfo a (Z/nZ)^2g. Esses valores para o grupo étale Hⁱ(X, Z/nZ) são os mesmos que os grupos de coomologia singular correspondentes quando X é uma curva complexa.

Cálculo de H ⁱ(X, Z/pZ)

É possível calcular de maneira semelhante grupos de coomologia étale com coeficientes constantes de ordem divisível pela característica, usando a sequência de Artin–Schreier

0\to \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \to K\ {\xrightarrow {{} \atop x\mapsto x^{p}-x}}\ K\to 0

em vez da sequência de Kummer. (Para coeficientes em Z/pⁿZ, há uma sequência semelhante envolvendo vetores de Witt.) Os grupos de coomologia resultantes em geral têm postos menores do que os dos grupos correspondentes em característica 0.

Exemplos de grupos de coomologia étale

Se X é o espectro de um corpo K com grupo de Galois absoluto G, então os feixes étales sobre X correspondem a conjuntos contínuos (ou grupos abelianos) sobre os quais o grupo (profínito) G age, e a coomologia étale do feixe é a mesma que a coomologia de grupo de G, isto é, a coomologia de Galois de K.
Se X é uma variedade complexa, então a coomologia étale com coeficientes finitos é isomorfa à coomologia singular com coeficientes finitos. (Isso não vale para coeficientes inteiros.) De modo mais geral, a coomologia com coeficientes em qualquer feixe construtível é a mesma.
Se F é um feixe coerente (ou G_m), então a coomologia étale de F é a mesma que a coomologia de feixes coerentes de Serre calculada com a topologia de Zariski (e, se X é uma variedade complexa, esta coincide com a coomologia de feixes calculada com a topologia complexa usual).
Para variedades abelianas e curvas, há uma descrição elementar da coomologia ℓ-ádica. Para variedades abelianas, o primeiro grupo de coomologia ℓ-ádica é o dual do módulo de Tate, e os grupos de coomologia superiores são dados por suas potências exteriores. Para curvas, o primeiro grupo de coomologia é o primeiro grupo de coomologia de sua variedade jacobiana. Isso explica por que Weil pôde dar uma prova mais elementar das conjecturas de Weil nesses dois casos: em geral, espera-se encontrar uma prova elementar sempre que houver uma descrição elementar da coomologia ℓ-ádica.

Dualidade de Poincaré e coomologia com suporte compacto

Os grupos de coomologia étale com suporte compacto de uma variedade X são definidos por

H_{c}^{q}(X,F)=H^{q}(Y,j_{!}F)

em que j é uma imersão aberta de X numa variedade própria Y, e j_! denota a extensão por zero do feixe étale F a Y. Essa definição não depende da escolha da imersão j. Se X tem dimensão no máximo n e F é um feixe de torção, então os grupos $H_{c}^{q}(X,F)$ anulam-se para q > 2n. Além disso, se X é afim de tipo finito sobre um corpo separavelmente fechado, então os grupos $H^{q}(X,F)$ anulam-se para q > n.

De forma mais geral, se f é um morfismo separado de tipo finito de X para S (com X e S noetherianos), definem-se as imagens diretas superiores com suporte compacto R^qf_! por

R^{q}f_{!}(F)=R^{q}g_{*}(j_{!}F)

para qualquer feixe de torção F. Aqui, j é uma imersão aberta qualquer de X em um esquema Y munido de um morfismo próprio g para S tal que f = gj. Como antes, a definição independe da escolha de j e de Y. A coomologia com suporte compacto corresponde ao caso particular em que S é um ponto. Se f é um morfismo separado de tipo finito, então R^qf_! leva feixes construtíveis sobre X em feixes construtíveis sobre S. Se, além disso, as fibras de f têm dimensão no máximo n, então R^qf_! se anula em feixes de torção para q > 2n. Quando X é uma variedade complexa, R^qf_! coincide, para feixes de torção, com a imagem direta superior usual com suporte compacto na topologia complexa.

Se X é uma variedade algébrica suave de dimensão N e n é coprimo à característica, existe uma aplicação traço

\operatorname {Tr} :H_{c}^{2N}(X,\mu _{n}^{N})\rightarrow \mathbf {Z} /n\mathbf {Z}

A forma bilinear Tr(a ∪ b), com valores em Z/nZ, identifica mutuamente os grupos

H_{c}^{i}(X,\mu _{n}^{N})

e

H^{2N-i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )

como duais um do outro. Esse resultado é o análogo, na coomologia étale, da dualidade de Poincaré.

Uma aplicação a curvas

A teoria pode ser aplicada à função zeta local de uma curva algébrica.

Teorema. Seja $X$ uma curva de gênero $g$ definida sobre $F p$ , o corpo finito com $p$ elementos. Então, para $n \geq 1$ ,

\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=p^{n}+1-\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}^{n},

em que $α i$ são certos números algébricos tais que $|\alpha _{i}|={\sqrt {p}}$ .

Esse resultado é compatível com o caso de $P 1 (F p n)$ , que é uma curva de gênero 0 com $p n + 1$ pontos. Ele também mostra que o número de pontos de qualquer curva fica bastante próximo do da reta projetiva, com diferença limitada por $2 gp n / 2$ . Em particular, isso generaliza o teorema de Hasse sobre curvas elípticas.

Ideia da demonstração

Pelo teorema do ponto fixo de Lefschetz, o número de pontos fixos de um morfismo $f : X \to X$ é dado pela soma

\sum _{i=0}^{2\dim(X)}(-1)^{i}\operatorname {Tr} \left(f|_{H^{i}(X)}\right).

Essa fórmula vale para variedades topológicas usuais com sua topologia ordinária. Para a maioria das topologias algébricas, ela não é válida nessa forma; porém, ela continua válida no contexto da coomologia étale.

Os pontos de $X$ definidos sobre $F p n$ são precisamente os pontos fixos de $F n$ , em que $F$ é o automorfismo de Frobenius em característica $p$ .

Para uma curva, os números de Betti étales nas dimensões 0, 1 e 2 são, respectivamente, 1, 2g e 1. Assim,

\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{0}(X)}\right)-\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{1}(X)}\right)+\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{2}(X)}\right).

Disso se obtém a forma geral do teorema.

A afirmação sobre os valores absolutos dos $α i$ corresponde ao caso unidimensional da hipótese de Riemann nas conjecturas de Weil.

Toda essa ideia também pode ser interpretada no quadro dos motivos: formalmente, [X] = [ponto] + [reta] + [parte de dimensão 1], e essa parte de dimensão 1 comporta-se, em certo sentido, como se tivesse cerca de $\sqrt p$ pontos.

Referências

↑ Milne, James S. (1980). Étale Cohomology. Col: Princeton Mathematical Series. 33. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 1–6. ISBN 978-0691082387
↑ Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Col: Graduate Texts in Mathematics. 52. [S.l.]: Springer. pp. 417–420. ISBN 978-0387902449
↑ Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988). Étale Cohomology and the Weil Conjectures. Col: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. [S.l.]: Springer. pp. 1–5. ISBN 978-3540175742
↑ Deligne, Pierre; Lusztig, George (1976). «Representations of reductive groups over finite fields». Annals of Mathematics. 103 (1): 103–161. doi:10.2307/1971021
↑ Artin, Michael; Grothendieck, Alexander; Verdier, Jean-Louis (1972–1973). Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4). Col: Lecture Notes in Mathematics. 269, 270, 305. [S.l.]: Springer
↑ Milne, James S. (1980). Étale Cohomology. Col: Princeton Mathematical Series. 33. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 1–7. ISBN 978-0691082387
↑ Deligne, Pierre (1974). «La conjecture de Weil. I». Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43: 273–307
↑ Dwork, Bernard (1960). «On the rationality of the zeta function of an algebraic variety». American Journal of Mathematics. 82: 631–648. doi:10.2307/2372974
↑ Milne, James S. (1980). Étale Cohomology. Col: Princeton Mathematical Series. 33. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 1–9. ISBN 978-0691082387
↑ Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Col: Graduate Texts in Mathematics. 52. [S.l.]: Springer. pp. 91–94. ISBN 978-0387902449
↑ Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988). Étale Cohomology and the Weil Conjectures. Col: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. [S.l.]: Springer. pp. 12–18. ISBN 978-3540175742
↑ Milne, James S. (2013). «Lectures on Étale Cohomology» (PDF). University of Michigan. pp. 1–5

[1] Milne, James S. (1980). Étale Cohomology. Col: Princeton Mathematical Series. 33. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 1–6. ISBN 978-0691082387

[2] Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Col: Graduate Texts in Mathematics. 52. [S.l.]: Springer. pp. 417–420. ISBN 978-0387902449

[3] Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988). Étale Cohomology and the Weil Conjectures. Col: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. [S.l.]: Springer. pp. 1–5. ISBN 978-3540175742

[4] Deligne, Pierre; Lusztig, George (1976). «Representations of reductive groups over finite fields». Annals of Mathematics. 103 (1): 103–161. doi:10.2307/1971021

[5] Artin, Michael; Grothendieck, Alexander; Verdier, Jean-Louis (1972–1973). Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4). Col: Lecture Notes in Mathematics. 269, 270, 305. [S.l.]: Springer

[6] Milne, James S. (1980). Étale Cohomology. Col: Princeton Mathematical Series. 33. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 1–7. ISBN 978-0691082387

[7] Deligne, Pierre (1974). «La conjecture de Weil. I». Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43: 273–307

[8] Dwork, Bernard (1960). «On the rationality of the zeta function of an algebraic variety». American Journal of Mathematics. 82: 631–648. doi:10.2307/2372974

[9] Milne, James S. (1980). Étale Cohomology. Col: Princeton Mathematical Series. 33. [S.l.]: Princeton University Press. pp. 1–9. ISBN 978-0691082387

[10] Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Col: Graduate Texts in Mathematics. 52. [S.l.]: Springer. pp. 91–94. ISBN 978-0387902449

[11] Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988). Étale Cohomology and the Weil Conjectures. Col: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. [S.l.]: Springer. pp. 12–18. ISBN 978-3540175742

[12] Milne, James S. (2013). «Lectures on Étale Cohomology» (PDF). University of Michigan. pp. 1–5

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]