Espaço tridimensional

Ver artigo principal: Sistema de coordenadas

Na matemática, a geometria analítica (também chamada de geometria cartesiana) descreve cada ponto no espaço tridimensional por meio de três coordenadas. São dados três eixos de coordenadas, cada um perpendicular aos outros dois na origem, o ponto em que se cruzam. Eles são geralmente rotulados como ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$. Em relação a esses eixos, a posição de qualquer ponto no espaço tridimensional é dada por uma tripla ordenada de números reais, cada número dando a distância daquele ponto até a origem medida ao longo do eixo dado, que é igual à distância daquele ponto até o plano determinado pelos outros dois eixos.^[21]

Outros métodos populares para descrever a localização de um ponto no espaço tridimensional incluem as coordenadas cilíndricas e as coordenadas esféricas, embora haja um número infinito de métodos possíveis.^[22][23] Para mais, veja Espaço euclidiano.

Abaixo estão imagens dos sistemas mencionados acima.

• 
  Sistema de coordenadas cartesianas
• 
  Sistema de coordenadas cilíndricas
• 
  Sistema de coordenadas esféricas

Dois pontos distintos sempre determinam uma reta. Três pontos distintos ou são colineares ou determinam um único plano. Por outro lado, quatro pontos distintos podem ser colineares, coplanares ou determinar todo o espaço.^[24]

Duas retas distintas podem se interceptar, ser paralelas ou ser reversas. Duas retas paralelas, ou duas retas concorrentes, situam-se em um único plano, portanto, retas reversas são retas que não se encontram e não estão em um plano comum.^[25]

Dois planos distintos podem se encontrar em uma reta comum ou ser paralelos (ou seja, não se encontram).^[25] Três planos distintos, nenhum par dos quais seja paralelo, podem se encontrar em uma reta comum, encontrar-se em um único ponto comum ou não ter nenhum ponto em comum. No último caso, as três retas de interseção de cada par de planos são mutuamente paralelas.^[26]

Uma reta pode estar contida em um plano dado, interceptar esse plano em um único ponto ou ser paralela ao plano.^[25] No último caso, retas podem ser formadas no plano que são paralelas à reta dada.

Um hiperplano é um subespaço de uma dimensão a menos que a dimensão do espaço total. Os hiperplanos de um espaço tridimensional são os subespaços bidimensionais, ou seja, os planos. Em termos de coordenadas cartesianas, os pontos de um hiperplano satisfazem uma única equação linear, de modo que os planos neste espaço 3D são descritos por equações lineares. Uma reta pode ser descrita por um par de equações lineares independentes — cada uma representando um plano que tem essa reta como uma interseção comum.^[27]

O teorema de Varignon afirma que os pontos médios de qualquer quadrilátero em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ formam um paralelogramo e, portanto, são coplanares.^[28]

Ver artigo principal: Esfera

Uma esfera no espaço 3D (também chamada de 2-esfera porque é um objeto bidimensional) consiste no conjunto de todos os pontos no espaço 3D a uma distância fixa ${\displaystyle r}$ de um ponto central ${\displaystyle P}$. O sólido delimitado pela esfera é chamado de bola (ou, mais precisamente, uma 3-bola).^[29]

O volume da bola é dado por^[30] $${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3},}$$ e a área da superfície da esfera é^[30] $${\displaystyle A=4\pi r^{2},}$$

Outro tipo de esfera surge de uma 4-bola, cuja superfície tridimensional é a 3-esfera: pontos equidistantes à origem do espaço euclidiano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$. Se um ponto tem coordenadas ${\displaystyle P(x,y,z,w)}$, então ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}=1}$ caracteriza esses pontos na 3-esfera unitária centrada na origem.^[31]

Esta 3-esfera é um exemplo de uma 3-variedade: um espaço que 'se parece localmente' com o espaço 3D.^[32] Em termos topológicos precisos, cada ponto da 3-esfera tem uma vizinhança que é homeomorfa a um subconjunto aberto do espaço 3D.

Ver artigo principal: Poliedro

Em três dimensões, existem nove politopos regulares: os cinco sólidos platônicos convexos e os quatro poliedros de Kepler-Poinsot não convexos.^[33]

Politopos regulares em três dimensões

Classe	Sólidos platônicos					Poliedros de Kepler-Poinsot
Simetria	Td	Oh		Ih
Grupo de Coxeter	A3, [3,3]	B3, [4,3]		H3, [5,3]
Ordem	24	48		120
Poliedro regular	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}	{3,5/2}

Ver artigo principal: Superfície de revolução

Uma superfície gerada pela revolução de uma curva plana em torno de uma reta fixa em seu plano como eixo é chamada de superfície de revolução. A curva plana é chamada de geratriz da superfície. Uma seção da superfície, feita pela interseção da superfície com um plano que é perpendicular (ortogonal) ao eixo, é um círculo.^[34][35]

Exemplos simples ocorrem quando a geratriz é uma reta. Se a reta geratriz intercepta a reta do eixo, a superfície de revolução é um cone circular reto com o vértice (ápice) no ponto de interseção. No entanto, se a geratriz e o eixo forem paralelos, então a superfície de revolução é um cilindro circular.^[34][35]

Ver artigo principal: Quádrica

Em analogia com as seções cônicas, o conjunto de pontos cujas coordenadas cartesianas satisfazem a equação geral do segundo grau, a saber, $${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,}$$ onde ${\displaystyle A,B,C,F,G,H,J,K,L}$ e ${\displaystyle M}$ são números reais e nem todos os ${\displaystyle A,B,C,F,G}$ e ${\displaystyle H}$ são zero, é chamado de superfície quádrica (ou simplesmente quádrica).^[36]

Existem seis tipos de superfícies quádricas não degeneradas:^[36]

1. Elipsoide
2. Hiperboloide de uma folha
3. Hiperboloide de duas folhas
4. Cone elíptico
5. Paraboloide elíptico
6. Paraboloide hiperbólico

As superfícies quádricas degeneradas são o conjunto vazio, um único ponto, uma única reta, um único plano, um par de planos ou um cilindro quadrático (uma superfície que consiste em uma seção cônica não degenerada em um plano ${\displaystyle \pi }$ e todas as retas de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ através dessa cônica que são normais a ${\displaystyle \pi }$).^[36] Os cones elípticos às vezes também são considerados superfícies quádricas degeneradas.^{[carece de fontes?]}

Tanto o hiperboloide de uma folha quanto o paraboloide hiperbólico são superfícies regradas, o que significa que podem ser formados por uma família de retas. De fato, cada um possui duas famílias de retas geradoras, os membros de cada família são disjuntos e cada membro de uma família intercepta, com apenas uma exceção, todos os membros da outra família.^[36] Cada família é chamada de regulus.^[37]

Ver artigo principal: Produto escalar

Um vetor pode ser imaginado como uma seta. A magnitude do vetor é o seu comprimento, e a sua direção é a direção para a qual a seta aponta. Um vetor em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ pode ser representado por um terno ordenado (ou tripla ordenada) de números reais. Esses números são chamados de componentes do vetor.

O produto escalar de dois vetores ${\displaystyle \mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]}$ e ${\displaystyle \mathbf {B} =[B_{1},B_{2},B_{3}]}$ é definido como:^[39]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}B_{i}.}$

A magnitude de um vetor ${\displaystyle \mathbf {A} }$ é denotada por ${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$. O produto escalar de um vetor ${\displaystyle \mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]}$ por si mesmo é

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},}$

o que fornece^[39]

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}},}$

a fórmula para o comprimento euclidiano do vetor.

Sem fazer referência às componentes dos vetores, o produto escalar de dois vetores euclidianos não nulos ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ é dado por^[39]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

onde ${\displaystyle \theta }$ é o ângulo entre ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$.

Para um exemplo físico, considere um bloco num plano inclinado que está sendo puxado para baixo por uma força gravitacional. O produto escalar pode ser usado para calcular o trabalho ${\displaystyle W}$ realizado pelo vetor força constante ${\displaystyle \mathbf {g} }$ que é aplicado a um ângulo ${\displaystyle \theta }$ em relação à direção do movimento encosta abaixo ${\displaystyle \mathbf {d} }$. Ou seja:^[40]

${\displaystyle W=\mathbf {g} \cdot \mathbf {d} =\|\mathbf {g} \|\,\|\mathbf {d} \|\cos \theta }$

Ver artigo principal: Produto vetorial

O produto vetorial é uma operação binária sobre dois vetores no espaço euclidiano tridimensional e é denotado pelo símbolo ${\displaystyle \times }$. O produto vetorial ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} }$ dos vetores ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ é um vetor que é perpendicular a ambos e, portanto, normal ao plano que os contém. Ele tem muitas aplicações na matemática, na física e na engenharia.^[41] Por exemplo, pode ser usado para calcular a quantidade de torque num parafuso sendo girado por uma chave de boca, ou a força de Lorentz sobre um elétron que viaja através de um campo magnético.^[42]

Na linguagem de funções, o produto vetorial é uma função ${\displaystyle \times$ :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} .^[43]

As componentes do produto vetorial são ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =[A_{2}B_{3}-B_{2}A_{3},A_{3}B_{1}-B_{3}A_{1},A_{1}B_{2}-B_{1}A_{2}]}$ e também podem ser escritas em componentes, usando a convenção de soma de Einstein, como ${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )_{i}=\varepsilon _{ijk}A_{j}B_{k}}$, onde ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ é o símbolo de Levi-Civita.^[44] Ele tem a propriedade de que ${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$.^[41]

A sua magnitude está relacionada com o ângulo ${\displaystyle \theta }$ entre ${\displaystyle \mathbf {A} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$ pela identidade^[41] $${\displaystyle \left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|=\left\|\mathbf {A} \right\|\cdot \left\|\mathbf {B} \right\|\cdot \left|\sin \theta \right|.}$$

O espaço e o produto formam uma álgebra sobre um corpo, que não é comutativa nem associativa, mas é uma álgebra de Lie com o produto vetorial sendo o colchete de Lie.^[45] Especificamente, o espaço juntamente com o produto, ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )}$, é isomorfo à álgebra de Lie das rotações tridimensionais, denotada por ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$.^[43] A fim de satisfazer os axiomas de uma álgebra de Lie, em vez da associatividade, o produto vetorial satisfaz a identidade de Jacobi. Para quaisquer três vetores ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$ e ${\displaystyle \mathbf {C} }$^[45]

$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0}$$

Pode-se, em n dimensões, tomar o produto de ${\displaystyle n-1}$ vetores para produzir um vetor perpendicular a todos eles. Mas se o produto se limitar a produtos binários não triviais com resultados vetoriais, ele existe apenas em três e sete dimensões.^[46]

Pode ser útil descrever o espaço tridimensional como um espaço vetorial tridimensional ${\displaystyle V}$ sobre os números reais. Isso difere de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ de uma maneira sutil. Por definição, existe uma base ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$ para ${\displaystyle V}$. Isso corresponde a um isomorfismo entre ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$:^[38] a construção para o isomorfismo é encontrada aqui. No entanto, não há 'base preferencial' ou 'base canônica' para ${\displaystyle V}$.

Por outro lado, há uma base preferencial para ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, que se deve à sua descrição como um produto cartesiano de cópias de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, isto é, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$, o espaço euclidiano tridimensional.^[47] Isso permite a definição de projeções canônicas, ${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$, onde ${\displaystyle 1\leq i\leq 3}$. Por exemplo, ${\displaystyle \pi _{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}}$. Isso então permite a definição da base padrão (ou base canônica) ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Padrão}}=\{E_{1},E_{2},E_{3}\}}$ definida por $${\displaystyle \pi _{i}(E_{j})=\delta _{ij}}$$ onde ${\displaystyle \delta _{ij}}$ é o delta de Kronecker. Escrita por extenso, a base padrão é^[48]

$${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},E_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},E_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$$

Portanto, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ pode ser visto como o espaço vetorial abstrato, juntamente com a estrutura adicional de uma escolha de base. Reciprocamente, ${\displaystyle V}$ pode ser obtido começando com ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ e 'esquecendo' a estrutura de produto cartesiano, ou equivalentemente, a escolha de base padrão.

Em oposição a um espaço vetorial geral ${\displaystyle V}$, o espaço ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ é às vezes referido como um espaço de coordenadas.^[49]

Fisicamente, é conceitualmente desejável usar o formalismo abstrato a fim de assumir a menor estrutura possível se esta não for dada pelos parâmetros de um problema específico. Por exemplo, num problema com simetria rotacional, trabalhar com a descrição mais concreta do espaço tridimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ pressupõe uma escolha de base, correspondendo a um conjunto de eixos. Mas na simetria rotacional, não há razão para que um conjunto de eixos seja preferido em relação, digamos, ao mesmo conjunto de eixos que tenha sido rodado arbitrariamente. Dito de outra forma, uma escolha preferencial de eixos quebra a simetria rotacional do espaço físico.

Computacionalmente, é necessário trabalhar com a descrição mais concreta ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ a fim de fazer cálculos concretos.

O gradiente indica a direção de maior aumento de uma função e a sua magnitude. Um exemplo é um fluxo de partículas, em que o gradiente é a magnitude e a direção do fluxo num determinado local.^[53] Num sistema de coordenadas retangulares, o gradiente de uma função diferenciável ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$ é dado por^[54]

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

onde i, j e k são os vetores unitários para os eixos x, y e z, respectivamente. Na notação de índices, escreve-se^[55]

$${\displaystyle (\nabla f)_{i}=\partial _{i}f.}$$

O divergente indica o fluxo líquido de um campo vetorial em torno de um ponto, tal como um aumento ou diminuição da densidade de partículas. Ou seja, se o local é uma fonte ou um sumidouro.^[56] O divergente de um campo vetorial (diferenciável) F = U i + V j + W k, isto é, uma função ${\displaystyle \mathbf {F}$ :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} , é igual à função de valor escalar:^[54]

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

Na notação de índices, com a convenção de soma de Einstein, isto é^[55] $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\partial _{i}F_{i}.}$$

O rotacional (ou rotor) é um vetor que indica a circulação rotacional de um campo vetorial. Expandido em coordenadas cartesianas (veja Nabla em coordenadas cilíndricas e esféricas para representações de coordenadas esféricas e cilíndricas), o rotacional ∇ × F é, para um F composto por [F_x, F_y, F_z]:^[57]

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

Isto expande-se da seguinte forma:^[54]

${\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$

Na notação de índices, com a convenção de soma de Einstein, isto é^[55] $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k},}$$ onde ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ é o símbolo totalmente antissimétrico, o símbolo de Levi-Civita.

Uma integral de linha de uma função ao longo de uma curva pode ser pensada como uma soma contínua do valor da função ao longo de cada incremento infinitesimal dessa curva. Para um campo escalar f : U ⊆ Rⁿ → R, a integral de linha ao longo de uma curva suave por partes C ⊂ U é definida como^[58]

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

onde r: [a, b] → C é uma parametrização bijetiva (correspondência biunívoca) arbitrária da curva C tal que r(a) e r(b) fornecem as extremidades de C e ${\displaystyle a<b}$.

Para um campo vetorial F : U ⊆ Rⁿ → Rⁿ, a integral de linha ao longo de uma curva suave por partes C ⊂ U, na direção de r, é definida como^[58]

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

onde ${\displaystyle \cdot }$ é o produto escalar e r: [a, b] → C é uma parametrização bijetiva da curva C tal que r(a) e r(b) fornecem as extremidades de C. Um subtipo de integral de linha encontrado na física é o laço fechado plano, que determina a circulação da função em torno do laço^[59]

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} .}$

Uma integral de superfície é uma generalização das integrais múltiplas para a integração sobre superfícies. Pode ser pensada como o análogo em integral dupla da integral de linha. Para encontrar uma fórmula explícita para a integral de superfície, precisamos parametrizar a superfície de interesse, S, considerando um sistema de coordenadas curvilíneas em S, como a latitude e a longitude numa esfera. Seja tal parametrização x(s, t), onde (s, t) varia em alguma região T no plano. Então, a integral de superfície é dada por

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

onde a expressão entre barras do lado direito é a magnitude do produto vetorial das derivadas parciais de x(s, t), e é conhecida como o elemento de superfície. Dado um campo vetorial v em S, isto é, uma função que atribui a cada x em S um vetor v(x), a integral de superfície pode ser definida componente por componente de acordo com a definição da integral de superfície de um campo escalar; o resultado é um vetor.

Uma integral de volume é uma integral sobre um domínio ou região tridimensional. Quando o integrando é trivial (unidade), a integral de volume é simplesmente o volume da região.^[60][1] Também pode significar uma integral tripla dentro de uma região D em R³ de uma função ${\displaystyle f(x,y,z),}$ e é geralmente escrita como:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

Ver artigo principal: Teorema do gradiente

O teorema do gradiente (ou teorema fundamental das integrais de linha) afirma que uma integral de linha através de um campo gradiente pode ser avaliada avaliando-se o campo escalar original nas extremidades da curva.^[61]

Seja ${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. Então

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

Ver artigo principal: Teorema de Stokes

O teorema de Stokes relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F sobre uma superfície Σ no espaço tridimensional euclidiano à integral de linha do campo vetorial sobre a sua fronteira ∂Σ:^[62]

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$

Ver artigo principal: Teorema da divergência

Suponha que V seja um subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (no caso de ${\displaystyle n=3}$, V representa um volume no espaço 3D) que é compacto e tem uma fronteira suave por partes S (também indicada com ∂V = S). Se F for um campo vetorial continuamente diferenciável definido numa vizinhança de V, então o teorema da divergência (ou teorema de Gauss) afirma que:^[63]

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$

O lado esquerdo é uma integral de volume sobre o volume V, o lado direito é a integral de superfície sobre a fronteira do volume V. A variedade fechada ∂V é muito geralmente a fronteira de V orientada por normais que apontam para fora, e n é o campo normal unitário da fronteira ∂V que aponta para fora. (dS pode ser usado como uma abreviatura para n dS).