3-variedade

Um espaço topológico ${\displaystyle M}$ é uma 3-variedade se for um espaço de Hausdorff segundo-enumerável e se cada ponto em ${\displaystyle M}$ tiver uma vizinhança que seja homeomorfa ao espaço euclidiano tridimensional.

As categorias topológica, linear por partes e suave são todas equivalentes em três dimensões, de modo que pouca distinção é feita se estamos a lidar, digamos, com 3-variedades topológicas ou 3-variedades suaves.

Os fenômenos em três dimensões podem ser surpreendentemente diferentes dos fenômenos noutras dimensões e, portanto, há uma prevalência de técnicas muito especializadas que não se generalizam para dimensões maiores que três. Esse papel especial levou à descoberta de conexões estreitas com uma diversidade de outros campos, como a teoria dos nós, a teoria geométrica de grupos, a geometria hiperbólica, a teoria dos números, a teoria de Teichmüller, a teoria quântica de campos topológica, a teoria de gauge, a homologia de Floer e as equações diferenciais parciais. A teoria das 3-variedades é considerada uma parte da topologia de baixa dimensão ou da topologia geométrica.

Uma ideia-chave na teoria é estudar uma 3-variedade considerando superfícies especiais mergulhadas nela. Pode-se escolher que a superfície seja bem posicionada na 3-variedade, o que leva à ideia de uma superfície incompressível e à teoria das variedades de Haken, ou pode-se escolher que as peças complementares sejam as mais agradáveis possíveis, levando a estruturas como as divisões de Heegaard, que são úteis mesmo no caso não-Haken.

As contribuições de William Thurston para a teoria permitem também considerar, em muitos casos, a estrutura adicional dada por uma geometria modelo particular de Thurston (das quais existem oito). A geometria mais prevalente é a geometria hiperbólica. O uso de uma geometria em adição a superfícies especiais costuma ser frutífero.

Os grupos fundamentais das 3-variedades refletem fortemente a informação geométrica e topológica pertencente a uma 3-variedade. Assim, existe uma interação entre a teoria dos grupos e os métodos topológicos.

As 3-variedades são um caso especial interessante da topologia de baixa dimensão porque os seus invariantes topológicos dão muita informação sobre a sua estrutura em geral. Se considerarmos ${\displaystyle M}$ como uma 3-variedade e ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}$ como o seu grupo fundamental, então muita informação pode ser derivada deles. Por exemplo, usando a dualidade de Poincaré e o teorema de Hurewicz, temos os seguintes grupos de homologia:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}(M)&=H^{3}(M)=&\mathbb {Z} \\H_{1}(M)&=H^{2}(M)=&\pi /[\pi ,\pi ]\\H_{2}(M)&=H^{1}(M)=&{\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\\H_{3}(M)&=H^{0}(M)=&\mathbb {Z} \end{aligned}}}$

onde os dois últimos grupos são isomorfos à homologia e coomologia de grupos de ${\displaystyle \pi }$, respetivamente; isto é,

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}(\pi$ ;\mathbb {Z} )&\cong \pi /[\pi ,\pi ]\\H^{1}(\pi ;\mathbb {Z} )&\cong {\text{Hom}}(\pi ,\mathbb {Z} )\end{aligned}}}

A partir desta informação, pode ser encontrada uma classificação básica da teoria de homotopia das 3-variedades.^[1] Note que da torre de Postnikov existe um mapa canônico

${\displaystyle q:M\to B\pi }$

Se tomarmos o pushforward da classe fundamental ${\displaystyle [M]\in H_{3}(M)}$ em ${\displaystyle H_{3}(B\pi )}$, obteremos um elemento ${\displaystyle \zeta _{M}=q_{*}([M])}$. Verifica-se que o grupo ${\displaystyle \pi }$, juntamente com a classe de homologia do grupo ${\displaystyle \zeta _{M}\in H_{3}(\pi ,\mathbb {Z} )}$, fornece uma descrição algébrica completa do tipo de homotopia de ${\displaystyle M}$.

Ver artigo principal: Espaço euclidiano

O espaço euclidiano 3D é o exemplo mais importante de uma 3-variedade, pois todos os outros são definidos em relação a ele. Este é apenas o espaço vetorial tridimensional padrão sobre os números reais.

Ver artigo principal: 3-esfera

Uma 3-esfera é um análogo de dimensão superior de uma esfera. Ela consiste no conjunto de pontos equidistantes de um ponto central fixo no espaço euclidiano de 4 dimensões. Assim como uma esfera comum (ou 2-esfera) é uma superfície bidimensional que forma a fronteira de uma bola em três dimensões, uma 3-esfera é um objeto com três dimensões que forma a fronteira de uma bola em quatro dimensões. Muitos exemplos de 3-variedades podem ser construídos tomando quocientes da 3-esfera por um grupo finito ${\displaystyle \pi }$ atuando livremente em ${\displaystyle S^{3}}$ através de um mapa ${\displaystyle \pi \to {\text{SO}}(4)}$, de modo que ${\displaystyle M=S^{3}/\pi }$.^[3]

O espaço projetivo real 3D, ou RP³, é o espaço topológico de retas que passam pela origem 0 em R⁴. É uma variedade suave compacta de dimensão 3, e é um caso especial Gr(1, R⁴) de um espaço Grassmanniano.

RP³ é (difeomorfo a) SO(3), portanto, admite uma estrutura de grupo; o mapa de recobrimento S³ → RP³ é um mapa de grupos Spin(3) → SO(3), onde Spin(3) é um grupo de Lie que é o recobrimento universal de SO(3).

Ver artigo principal: Toro (topologia) § Toro de n dimensões

O toro tridimensional é o produto de 3 círculos. Isto é:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{3}=S^{1}\times S^{1}\times S^{1}.}$

O 3-toro, T³, pode ser descrito como um quociente de R³ sob deslocamentos inteiros em qualquer coordenada. Isto é, o 3-toro é R³ módulo a ação do reticulado de inteiros Z³ (sendo a ação tomada como adição de vetores). De forma equivalente, o 3-toro é obtido a partir do cubo tridimensional colando as faces opostas.

Um 3-toro, neste sentido, é um exemplo de uma variedade compacta tridimensional. É também um exemplo de um grupo de Lie abeliano compacto. Isto decorre do facto de que o círculo unitário é um grupo de Lie abeliano compacto (quando identificado com os números complexos unitários com multiplicação). A multiplicação de grupo no toro é então definida por multiplicação coordenada a coordenada.

Ver artigo principal: Espaço hiperbólico

O espaço hiperbólico é um espaço homogêneo que pode ser caracterizado por uma curvatura negativa constante. É o modelo da geometria hiperbólica. Distingue-se dos espaços euclidianos com curvatura zero que definem a geometria euclidiana, e dos modelos de geometria elíptica (como a 3-esfera) que têm uma curvatura positiva constante. Quando mergulhado num espaço euclidiano (de uma dimensão superior), todos os pontos de um espaço hiperbólico são um ponto de sela. Outra propriedade distintiva é a quantidade de espaço coberta pela 3-bola no espaço hiperbólico 3D: ela aumenta exponencialmente em relação ao raio da bola, em vez de polinomialmente.

A esfera de homologia de Poincaré (também conhecida como espaço dodecaédrico de Poincaré) é um exemplo particular de uma esfera de homologia. Sendo uma 3-variedade esférica, é a única 3-esfera de homologia (além da própria 3-esfera) com um grupo fundamental finito. O seu grupo fundamental é conhecido como o grupo icosaédrico binário e tem ordem 120. Isto mostra que a conjectura de Poincaré não pode ser formulada apenas em termos de homologia.

Em 2003, a falta de estrutura nas maiores escalas (acima de 60 graus) na radiação cósmica de fundo em micro-ondas, conforme observado durante um ano pela sonda espacial WMAP, levou à sugestão, por Jean-Pierre Luminet do Observatório de Paris e colegas, de que a forma do universo é uma esfera de Poincaré.^[4][5] Em 2008, astrônomos encontraram a melhor orientação no céu para o modelo e confirmaram algumas das previsões do mesmo, usando três anos de observações da sonda WMAP.^[6] Contudo, ainda não há um forte suporte para a correção do modelo.

Na matemática, o espaço de Seifert-Weber (introduzido por Herbert Seifert e Constantin Weber) é uma 3-variedade hiperbólica fechada. Também é conhecido como espaço dodecaédrico de Seifert-Weber e espaço dodecaédrico hiperbólico. É um dos primeiros exemplos descobertos de 3-variedades hiperbólicas fechadas.

É construído colando cada face de um dodecaedro à sua oposta de forma a produzir uma 3-variedade fechada. Existem três maneiras de fazer essa colagem consistentemente. As faces opostas estão desalinhadas por 1/10 de uma volta, então, para combiná-las, elas devem ser giradas por 1/10, 3/10 ou 5/10 de uma volta; uma rotação de 3/10 fornece o espaço de Seifert-Weber. Uma rotação de 1/10 fornece a esfera de homologia de Poincaré e uma rotação de 5/10 fornece o espaço projetivo real tridimensional.

Com o padrão de colagem de 3/10 de volta, as arestas do dodecaedro original são coladas umas às outras em grupos de cinco. Assim, no espaço de Seifert-Weber, cada aresta é rodeada por cinco faces pentagonais, e o ângulo diedro entre esses pentágonos é de 72°. Isto não corresponde ao ângulo diedro de 117° de um dodecaedro regular no espaço euclidiano, mas no espaço hiperbólico existem dodecaedros regulares com qualquer ângulo diedro entre 60° e 117°, e o dodecaedro hiperbólico com ângulo diedro de 72° pode ser usado para dar ao espaço de Seifert-Weber uma estrutura geométrica como uma variedade hiperbólica. É um espaço quociente do favo de mel dodecaédrico de ordem 5, uma tesselação regular do espaço hiperbólico 3D por dodecaedros com este ângulo diedro.

Na matemática, a variedade de Gieseking é uma 3-variedade hiperbólica com cúspides de volume finito. É não-orientável e tem o menor volume entre as variedades hiperbólicas não-compactas, com um volume de aproximadamente 1,01494161. Foi descoberta por Hugo Gieseking (1912).

A variedade de Gieseking pode ser construída removendo os vértices de um tetraedro e, em seguida, colando as faces aos pares usando mapas afim-lineares. Rotule os vértices como 0, 1, 2, 3. Cole a face com os vértices 0,1,2 à face com os vértices 3,1,0 nessa ordem. Cole a face 0,2,3 à face 3,2,1 nessa ordem. Na estrutura hiperbólica da variedade de Gieseking, este tetraedro ideal é a decomposição poliédrica canônica de David B. A. Epstein e Robert C. Penner.^[7] Além disso, o ângulo formado pelas faces é ${\displaystyle \pi /3}$. A triangulação possui um tetraedro, duas faces, uma aresta e nenhum vértice, portanto todas as arestas do tetraedro original são coladas umas às outras.

Um enlace hiperbólico é um enlace na 3-esfera cujo complemento possui uma métrica riemanniana completa de curvatura negativa constante, ou seja, possui uma geometria hiperbólica. Um nó hiperbólico é um enlace hiperbólico com uma única componente.

Os seguintes exemplos são particularmente bem conhecidos e estudados:

• Nó figura oito
• Enlace de Whitehead
• Anéis borromeanos

As classes não são necessariamente mutuamente exclusivas.

A geometria de contato é o estudo de uma estrutura geométrica em variedades suaves dada por uma distribuição de hiperplanos no fibrado tangente e especificada por uma 1-forma, ambas as quais satisfazem uma condição de 'não degenerescência máxima' chamada de 'não integrabilidade completa'. A partir do teorema de Frobenius, reconhece-se a condição como o oposto da condição de que a distribuição seja determinada por uma folheação de codimensão um na variedade ('integrabilidade completa').

A geometria de contato é, de muitas maneiras, uma contraparte de dimensão ímpar da geometria simplética, que pertence ao mundo das dimensões pares. Tanto a geometria de contato quanto a simplética são motivadas pelo formalismo matemático da mecânica clássica, onde se pode considerar tanto o espaço de fase de dimensão par de um sistema mecânico quanto o espaço de fase estendido de dimensão ímpar que inclui a variável de tempo.

Uma variedade de Haken é uma 3-variedade compacta e P²-irredutível que é suficientemente grande, o que significa que contém uma superfície incompressível bilateral propriamente mergulhada. Por vezes, consideram-se apenas as variedades de Haken orientáveis, caso em que uma variedade de Haken é uma 3-variedade compacta, orientável e irredutível que contém uma superfície orientável e incompressível.

Uma 3-variedade coberta finitamente por uma variedade de Haken é dita ser virtualmente de Haken. A conjectura virtualmente de Haken afirma que toda 3-variedade compacta e irredutível com grupo fundamental infinito é virtualmente de Haken.

As variedades de Haken foram introduzidas por Wolfgang Haken. Haken provou que as variedades de Haken possuem uma hierarquia, onde podem ser divididas em 3-bolas ao longo de superfícies incompressíveis. Haken também mostrou que havia um procedimento finito para encontrar uma superfície incompressível se a 3-variedade possuísse uma. Jaco e Oertel forneceram um algoritmo para determinar se uma 3-variedade era de Haken.

Uma laminação essencial é uma laminação onde cada folha é incompressível e incompressível nas extremidades, se as regiões complementares da laminação forem irredutíveis e se não houver folhas esféricas.

As laminações essenciais generalizam as superfícies incompressíveis encontradas nas variedades de Haken.

Uma divisão de Heegaard é uma decomposição de uma 3-variedade orientada compacta que resulta da sua divisão em dois corpos com alças.

Toda 3-variedade fechada e orientável pode ser assim obtida; isso decorre de resultados profundos sobre a triangulabilidade das 3-variedades devidos a Moise. Isto contrasta fortemente com as variedades de dimensões superiores, que não precisam de admitir estruturas suaves ou lineares por partes. Assumindo a suavidade, a existência de uma divisão de Heegaard também decorre do trabalho de Smale sobre decomposições em alças a partir da teoria de Morse.

Uma folheação tensa é uma folheação de codimensão 1 de uma 3-variedade com a propriedade de que existe um único círculo transversal intersectando todas as folhas. Por círculo transversal, entende-se um laço fechado que é sempre transversal ao campo tangente da folheação. Equivalentemente, por um resultado de Dennis Sullivan, uma folheação de codimensão 1 é tensa se existir uma métrica riemanniana que torne cada folha uma superfície mínima.

As folheações tensas ganharam destaque devido ao trabalho de William Thurston e David Gabai.

Na topologia geométrica, o teorema de Moise, provado por Edwin E. Moise, afirma que qualquer 3-variedade topológica tem uma estrutura linear por partes e uma estrutura suave essencialmente únicas.

Como corolário, toda 3-variedade compacta possui uma divisão de Heegaard.

O teorema da decomposição prima para 3-variedades afirma que toda 3-variedade compacta e orientável é a soma conexa de uma coleção única (a menos de homeomorfismo) de 3-variedades primas.

Uma variedade é prima se não puder ser apresentada como uma soma conexa de mais de uma variedade, nenhuma das quais seja a esfera da mesma dimensão.

A finitude de Kneser-Haken diz que para cada 3-variedade compacta, existe uma constante C tal que qualquer coleção de superfícies incompressíveis disjuntas mergulhadas de cardinalidade maior que C deve conter elementos paralelos.

O teorema do laço é uma generalização do lema de Dehn e deveria mais propriamente ser chamado de "teorema do disco". Foi provado pela primeira vez por Christos Papakyriakopoulos em 1956, juntamente com o lema de Dehn e o teorema da esfera.

Uma versão simples e útil do teorema do laço afirma que se existe um mapa

${\displaystyle f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)\,}$

com ${\displaystyle f|\partial D^{2}}$ não nulomotópico em ${\displaystyle \partial M}$, então existe um mergulho com a mesma propriedade.

O teorema da esfera de  ([[#CITEREF|]]) fornece as condições para que elementos do segundo grupo de homotopia de uma 3-variedade sejam representados por esferas mergulhadas.

Um exemplo é o seguinte:

Seja ${\displaystyle M}$ uma 3-variedade orientável tal que ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$ não seja o grupo trivial. Então existe um elemento não nulo de ${\displaystyle \pi _{2}(M)}$ que possui um representante que é um mergulho ${\displaystyle S^{2}\to M}$.

O teorema do anel afirma que se um par de curvas fechadas simples disjuntas na fronteira de uma 3-variedade forem livremente homotópicas, então elas co-limitam um anel propriamente mergulhado. Isso não deve ser confundido com o teorema de dimensões superiores com o mesmo nome.

O teorema do toro é o seguinte: Seja M uma 3-variedade compacta e irredutível com fronteira não vazia. Se M admite um mapa essencial de um toro, então M admite um mergulho essencial quer de um toro quer de um anel.^[8]

A decomposição JSJ, também conhecida como decomposição toral, é uma construção topológica dada pelo seguinte teorema:

As 3-variedades fechadas (isto é, compactas e sem fronteira), orientáveis e irredutíveis possuem uma coleção mínima única (a menos de isotopia) de toros incompressíveis mergulhados de forma disjunta, de tal modo que cada componente da 3-variedade obtida pelo corte ao longo dos toros é ou atoroidal ou fibrada de Seifert.

O acrônimo JSJ refere-se a William Jaco, Peter Shalen e Klaus Johannson. Os dois primeiros trabalharam juntos e o terceiro trabalhou de forma independente.^[9][10]

O teorema do núcleo de Scott é um teorema sobre a apresentabilidade finita de grupos fundamentais de 3-variedades devido a G. Peter Scott.^[11] A afirmação precisa é a seguinte:

Dada uma 3-variedade (não necessariamente compacta) com um grupo fundamental finitamente gerado, existe uma subvariedade tridimensional compacta, chamada de núcleo compacto ou núcleo de Scott, tal que o seu mapa de inclusão induz um isomorfismo nos grupos fundamentais. Em particular, isto significa que o grupo de uma 3-variedade finitamente gerada é finitamente apresentável.

Uma prova simplificada é dada em,^[12] e uma afirmação de unicidade mais forte é provada em.^[13]

O teorema de Lickorish-Wallace afirma que qualquer 3-variedade fechada, orientável e conexa pode ser obtida realizando-se uma cirurgia de Dehn num enlace emoldurado na 3-esfera com coeficientes de cirurgia ${\displaystyle \pm 1}$. Além disso, pode-se assumir que cada componente do enlace seja desatada (unknotted).

Os teoremas de rigidez topológica de Friedhelm Waldhausen afirmam que certas 3-variedades (tais como aquelas com uma superfície incompressível) são homeomorfas se houver um isomorfismo de grupos fundamentais que respeite a fronteira.

Waldhausen conjecturou que toda 3-variedade orientável fechada possui apenas um número finito de divisões de Heegaard (a menos de homeomorfismo) de qualquer gênero dado.

A conjectura de Smith (agora provada) afirma que se f é um difeomorfismo da 3-esfera de ordem finita, então o conjunto de pontos fixos de f não pode ser um nó não-trivial.

O teorema da cirurgia cíclica afirma que, para uma 3-variedade M compacta, conexa, orientável e irredutível cuja fronteira é um toro T, se M não é um espaço fibrado de Seifert e r, s são inclinações em T tais que os seus preenchimentos de Dehn possuem grupo fundamental cíclico, então a distância entre r e s (o número mínimo de vezes que duas curvas fechadas simples em T representando r e s devem se interceptar) é no máximo 1. Consequentemente, existem no máximo três preenchimentos de Dehn de M com um grupo fundamental cíclico.

O teorema da cirurgia hiperbólica de Dehn de Thurston afirma: ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$ é hiperbólica contanto que um conjunto finito de inclinações excepcionais ${\displaystyle E_{i}}$ seja evitado para a i-ésima cúspide para cada i. Além disso, ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$ converge para M em H quando todos os ${\displaystyle p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty }$ para todos os ${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$ correspondentes a preenchimentos de Dehn não vazios ${\displaystyle u_{i}}$.

Este teorema é devido a William Thurston e é fundamental para a teoria das 3-variedades hiperbólicas. Ele mostra que limites não-triviais existem em H. O estudo da topologia geométrica de Troels Jørgensen mostra ainda que todos os limites não-triviais surgem pelo preenchimento de Dehn como no teorema.

Outro resultado importante de Thurston é que o volume diminui sob o preenchimento hiperbólico de Dehn. De fato, o teorema afirma que o volume diminui sob o preenchimento topológico de Dehn, assumindo, claro, que a variedade preenchida por Dehn seja hiperbólica. A prova baseia-se em propriedades básicas da norma de Gromov.

Jørgensen também mostrou que a função de volume neste espaço é uma função contínua e própria. Assim, pelos resultados anteriores, os limites não-triviais em H são levados a limites não-triviais no conjunto de volumes. De fato, pode-se ainda concluir, como fez Thurston, que o conjunto de volumes de 3-variedades hiperbólicas de volume finito tem um tipo ordinal ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$. Este resultado é conhecido como o teorema de Thurston-Jørgensen. Trabalhos adicionais na caracterização deste conjunto foram feitos por Gromov.

Além disso, Gabai, Meyerhoff e Milley mostraram que a variedade de Weeks possui o menor volume de qualquer 3-variedade hiperbólica orientável fechada.

Uma forma do teorema de geometrização de Thurston afirma: Se M é uma variedade de Haken compacta, irredutível e atoroidal cuja fronteira possui característica de Euler zero, então o interior de M possui uma estrutura hiperbólica completa de volume finito.

O teorema da rigidez de Mostow implica que, se uma variedade de dimensão pelo menos 3 possui uma estrutura hiperbólica de volume finito, então ela é essencialmente única.

As condições de que a variedade M deva ser irredutível e atoroidal são necessárias, pois as variedades hiperbólicas possuem essas propriedades. No entanto, a condição de que a variedade seja de Haken é desnecessariamente forte. A conjectura da hiperbolização de Thurston afirma que uma 3-variedade fechada, irredutível e atoroidal com grupo fundamental infinito é hiperbólica, e isto decorre da prova de Perelman para a conjectura de geometrização de Thurston.

O teorema da mansidão (tameness) afirma que toda 3-variedade hiperbólica completa com um grupo fundamental finitamente gerado é topologicamente mansa, por outras palavras, homeomorfa ao interior de uma 3-variedade compacta.

O teorema da mansidão foi conjecturado por Marden. Foi provado por Agol e, de forma independente, por Danny Calegari e David Gabai. É uma das propriedades fundamentais das 3-variedades hiperbólicas geometricamente infinitas, juntamente com o teorema da densidade para grupos kleinianos e o teorema da laminação final. Ele também implica a conjectura da medida de Ahlfors.

O teorema da laminação final, originalmente conjecturado por William Thurston e posteriormente provado por Jeffrey Brock, Richard Canary e Yair Minsky, afirma que as 3-variedades hiperbólicas com grupos fundamentais finitamente gerados são determinadas pela sua topologia em conjunto com certos "invariantes de extremidade" (end invariants), que são laminações geodésicas em algumas superfícies na fronteira da variedade.

Ver artigo principal: Conjectura de Poincaré

A 3-esfera é uma 3-variedade especialmente importante devido à agora provada conjectura de Poincaré. Originalmente conjecturada por Henri Poincaré, o teorema diz respeito a um espaço que localmente se assemelha ao espaço tridimensional comum, mas é conexo, de tamanho finito e não possui nenhuma fronteira (uma 3-variedade fechada). A conjectura de Poincaré afirma que, se tal espaço tiver a propriedade adicional de que cada laço no espaço pode ser continuamente contraído até um ponto, então ele é necessariamente uma esfera tridimensional. Um resultado análogo é conhecido em dimensões superiores há algum tempo.

Após quase um século de esforços por parte dos matemáticos, Grigori Perelman apresentou uma prova da conjectura em três artigos disponibilizados em 2002 e 2003 no arXiv. A prova seguiu o programa de Richard S. Hamilton de usar o fluxo de Ricci para atacar o problema. Perelman introduziu uma modificação do fluxo de Ricci padrão, chamada de fluxo de Ricci com cirurgia para extirpar sistematicamente as regiões singulares à medida que se desenvolvem, de forma controlada. Várias equipes de matemáticos verificaram que a prova de Perelman está correta.

A conjectura de geometrização de Thurston afirma que certos espaços topológicos tridimensionais possuem cada um uma estrutura geométrica única que lhes pode ser associada. É um análogo do teorema da uniformização para superfícies bidimensionais, que afirma que a toda superfície de Riemann simplesmente conexa pode ser atribuída uma de três geometrias (euclidiana, esférica ou hiperbólica).

Em três dimensões, nem sempre é possível atribuir uma única geometria a um espaço topológico inteiro. Em vez disso, a conjectura da geometrização afirma que toda 3-variedade fechada pode ser decomposta de forma canônica em pedaços que possuem, cada um, um de oito tipos de estrutura geométrica. A conjectura foi proposta por William Thurston (1982) e implica várias outras conjecturas, como a conjectura de Poincaré e a conjectura de eliptização de Thurston.

O teorema da hiperbolização de Thurston implica que as variedades de Haken satisfazem a conjectura de geometrização. Thurston anunciou uma prova na década de 1980 e, desde então, várias provas completas foram publicadas.

Grigori Perelman esboçou uma prova da conjectura de geometrização completa em 2003 usando o fluxo de Ricci com cirurgia. Existem agora vários manuscritos diferentes (ver abaixo) com os detalhes da prova. A conjectura de Poincaré e a conjectura da forma espacial esférica são corolários da conjectura de geometrização, embora existam provas mais curtas da primeira que não levam à conjectura de geometrização.

A conjectura virtualmente fibrada, formulada pelo matemático norte-americano William Thurston, afirma que toda 3-variedade fechada, irredutível e atoroidal com grupo fundamental infinito possui um recobrimento finito que é um fibrado de superfícies sobre o círculo.

A conjectura virtualmente de Haken afirma que toda variedade tridimensional compacta, orientável e irredutível com grupo fundamental infinito é virtualmente de Haken. Ou seja, ela tem um recobrimento finito (um espaço de recobrimento com um mapa de recobrimento finito-para-um) que é uma variedade de Haken.

Numa publicação no arXiv em 25 de agosto de 2009,^[14] Daniel Wise implicou implicitamente (referindo-se a um manuscrito mais longo então não publicado) que tinha provado a conjectura virtualmente fibrada para o caso em que a 3-variedade é fechada, hiperbólica e de Haken. Isto foi seguido por um artigo de revisão no Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences.^[15]

Vários outros preprints^[16] se seguiram, incluindo o já mencionado manuscrito mais longo de Wise.^[17] Em março de 2012, durante uma conferência no Institut Henri Poincaré em Paris, Ian Agol anunciou que conseguiria provar a conjectura virtualmente de Haken para 3-variedades hiperbólicas fechadas.^[18] A prova baseou-se nos resultados de Kahn e Markovic^[19][20] em sua prova da conjectura do subgrupo de superfície, e nos resultados de Wise na prova do Teorema do Quociente Especial Malnormal^[17] e nos resultados de Bergeron e Wise para a cubulação de grupos.^[14] Tomados em conjunto com os resultados de Wise, isto implica a conjectura virtualmente fibrada para todas as 3-variedades hiperbólicas fechadas.

Se ${\displaystyle f\colon S\rightarrow T}$ é um mapa de superfícies conexas fechadas tal que ${\displaystyle f_{\star }\colon \pi _{1}(S)\rightarrow \pi _{1}(T)}$ não é injetivo, então existe uma curva fechada simples não-contrátil ${\displaystyle \alpha \subset S}$ tal que ${\displaystyle f|_{a}}$ é homotopicamente trivial. Esta conjectura foi provada por David Gabai.

A conjectura do subgrupo de superfície de Friedhelm Waldhausen afirma que o grupo fundamental de toda 3-variedade fechada e irredutível com grupo fundamental infinito possui um subgrupo de superfície. Por "subgrupo de superfície" entende-se o grupo fundamental de uma superfície fechada que não seja a 2-esfera. Esse problema está listado como o Problema 3.75 na lista de problemas de Kirby.^[21]

Assumindo a conjectura de geometrização, o único caso em aberto era o das 3-variedades hiperbólicas fechadas. Uma prova desse caso foi anunciada no verão de 2009 por Jeremy Kahn e Vladimir Markovic e delineada numa palestra em 4 de agosto de 2009 na Conferência FRG (Focused Research Group) sediada pela Universidade de Utah. Um preprint surgiu no arXiv em outubro de 2009.^[22] O seu artigo foi publicado na revista Annals of Mathematics em 2012.^[23] Em junho de 2012, Kahn e Markovic receberam os prêmios Clay Research Award pelo Instituto de Matemática Clay numa cerimônia em Oxford.^[24]

A conjectura do cabeamento afirma que se a cirurgia de Dehn num nó na 3-esfera produzir uma 3-variedade redutível, então esse nó é um ${\displaystyle (p,q)}$-cabeamento sobre algum outro nó, e a cirurgia deve ter sido realizada usando a inclinação ${\displaystyle pq}$.