K-teoria

Um exemplo ilustrativo a se observar é o completamento de Grothendieck de ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Podemos ver que ${\displaystyle G((\mathbb {N} ,+))=(\mathbb {Z} ,+).}$ Para qualquer par ${\displaystyle (a,b)}$ podemos encontrar um representante mínimo ${\displaystyle (a',b')}$ usando a invariância sob escala. Por exemplo, podemos ver da invariância de escala que

${\displaystyle (4,6)\sim (3,5)\sim (2,4)\sim (1,3)\sim (0,2)}$

Em geral, se ${\displaystyle k:=\min\{a,b\}}$ então

${\displaystyle (a,b)\sim (a-k,b-k)}$ que é da forma ${\displaystyle (c,0)}$ ou ${\displaystyle (0,d).}$

Isso mostra que devemos pensar nos ${\displaystyle (a,0)}$ como inteiros positivos e nos ${\displaystyle (0,b)}$ como inteiros negativos.

Dado um espaço de Hausdorff compacto ${\displaystyle X}$, considere o conjunto de classes de isomorfismo de fibrados vetoriais de dimensão finita sobre ${\displaystyle X}$, denotado por ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$, e seja a classe de isomorfismo de um fibrado vetorial ${\displaystyle \pi :E\to X}$ denotada por ${\displaystyle [E]}$. Como as classes de isomorfismo de fibrados vetoriais se comportam bem em relação às somas diretas, podemos escrever essas operações sobre as classes de isomorfismo por

${\displaystyle [E]\oplus [E']=[E\oplus E']}$

Deve ficar claro que ${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$ é um monoide abeliano onde a unidade é dada pelo fibrado vetorial trivial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{0}\times X\to X}$. Podemos então aplicar o completamento de Grothendieck para obter um grupo abeliano a partir desse monoide abeliano. Isso é chamado de teoria K de ${\displaystyle X}$ e é denotado por ${\displaystyle K^{0}(X)}$.

Podemos usar o Teorema de Serre-Swan e um pouco de álgebra para obter uma descrição alternativa de fibrados vetoriais sobre ${\displaystyle X}$ como módulos projetivos sobre o anel ${\displaystyle C^{0}(X;\mathbb {C} )}$ de funções de valores complexos contínuos. Então, estes podem ser identificados com matrizes idempotentes em algum anel de matrizes ${\displaystyle M_{n\times n}(C^{0}(X;\mathbb {C} ))}$. Podemos definir classes de equivalência de matrizes idempotentes e formar um monoide abeliano ${\displaystyle {\textbf {Idem}}(X)}$. Seu completamento de Grothendieck também é chamado de ${\displaystyle K^{0}(X)}$. Uma das principais técnicas para calcular o grupo de Grothendieck para espaços topológicos vem da Sequência espectral de Atiyah-Hirzebruch, que o torna muito acessível. Os únicos cálculos necessários para entender as sequências espectrais são os cálculos do grupo ${\displaystyle K^{0}}$ para as esferas ${\displaystyle S^{n}}$.^{[2]pg 51-110}

Existe uma construção análoga ao considerar fibrados vetoriais na geometria algébrica. Para um esquema noetheriano ${\displaystyle X}$, existe um conjunto ${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$ de todas as classes de isomorfismo de fibrados vetoriais algébricos em ${\displaystyle X}$. Então, como antes, a soma direta ${\displaystyle \oplus }$ de classes de isomorfismos de fibrados vetoriais é bem definida, fornecendo um monoide abeliano ${\displaystyle ({\text{Vect}}(X),\oplus )}$. Assim, o grupo de Grothendieck ${\displaystyle K^{0}(X)}$ é definido pela aplicação da construção de Grothendieck sobre esse monoide abeliano.

Na geometria algébrica, a mesma construção pode ser aplicada a fibrados vetoriais algébricos sobre um esquema liso. Mas, há uma construção alternativa para qualquer esquema noetheriano ${\displaystyle X}$. Se observarmos as classes de isomorfismo de feixes coerentes ${\displaystyle \operatorname {Coh} (X)}$, podemos fazer o quociente pela relação ${\displaystyle [{\mathcal {E}}]=[{\mathcal {E}}']+[{\mathcal {E}}'']}$ se houver uma sequência exata curta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {E}}''\to 0.}$

Isso resulta no grupo de Grothendieck ${\displaystyle K_{0}(X)}$, que é isomorfo a ${\displaystyle K^{0}(X)}$ se ${\displaystyle X}$ for liso. O grupo ${\displaystyle K_{0}(X)}$ é especial porque também possui uma estrutura de anel: nós a definimos como

${\displaystyle [{\mathcal {E}}]\cdot [{\mathcal {E}}']=\sum (-1)^{k}\left[\operatorname {Tor} _{k}^{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {E}},{\mathcal {E}}')\right].}$

Usando o Teorema de Grothendieck–Riemann–Roch, temos que

${\displaystyle \operatorname {ch} :K_{0}(X)\otimes \mathbb {Q} \to A(X)\otimes \mathbb {Q} }$

é um isomorfismo de anéis. Portanto, podemos usar ${\displaystyle K_{0}(X)}$ para a teoria da interseção.^[3]

O exemplo mais fácil do grupo de Grothendieck é o grupo de Grothendieck de um ponto ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {F} )}$ para um corpo ${\displaystyle \mathbb {F} }$. Como um fibrado vetorial sobre este espaço é apenas um espaço vetorial de dimensão finita, que é um objeto livre na categoria de feixes coerentes e, portanto, projetivo, o monoide de classes de isomorfismo é ${\displaystyle \mathbb {N} }$ correspondendo à dimensão do espaço vetorial. É um exercício fácil demonstrar que o grupo de Grothendieck é então ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Uma propriedade importante do grupo de Grothendieck de um esquema noetheriano ${\displaystyle X}$ é que ele é invariante sob redução, ou seja, ${\displaystyle K(X)=K(X_{\text{red}})}$.^[7] Consequentemente, o grupo de Grothendieck de qualquer ${\displaystyle \mathbb {F} }$-álgebra artiniana é uma soma direta de cópias de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, uma para cada componente conexo de seu espectro. Por exemplo, $${\displaystyle K_{0}\left({\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {F} [x]}{(x^{9})}}\times \mathbb {F} \right)\right)=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$$

Um dos cálculos mais frequentemente utilizados do grupo de Grothendieck é o cálculo de ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$ para um espaço projetivo sobre um corpo. Isso porque os números de interseção de um projetivo ${\displaystyle X}$ podem ser calculados através de um mergulho ${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{n}}$ e usando a fórmula de push-pull ${\displaystyle i^{*}([i_{*}{\mathcal {E}}]\cdot [i_{*}{\mathcal {F}}])}$. Isso torna possível fazer cálculos concretos com elementos em ${\displaystyle K(X)}$ sem ter que conhecer explicitamente sua estrutura, visto que^[8] $${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})={\frac {\mathbb {Z} [T]}{(T^{n+1})}}}$$ Uma técnica para determinar o grupo de Grothendieck de ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ decorre de sua estratificação como $${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\mathbb {A} ^{n}\coprod \mathbb {A} ^{n-1}\coprod \cdots \coprod \mathbb {A} ^{0}}$$ já que o grupo de Grothendieck de feixes coerentes sobre espaços afins é isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, e a interseção de ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}},\mathbb {A} ^{n-k_{2}}}$ é genericamente $${\displaystyle \mathbb {A} ^{n-k_{1}}\cap \mathbb {A} ^{n-k_{2}}=\mathbb {A} ^{n-k_{1}-k_{2}}}$$ para ${\displaystyle k_{1}+k_{2}\leq n}$.

Outra fórmula importante para o grupo de Grothendieck é a fórmula do fibrado projetivo:^[9] dado um fibrado vetorial ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ de posto r sobre um esquema noetheriano ${\displaystyle X}$, o grupo de Grothendieck do fibrado projetivo ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} ^{\bullet }({\mathcal {E}}^{\vee }))}$ é um ${\displaystyle K(X)}$-módulo livre de posto r com base ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{n-1}}$. Esta fórmula permite calcular o grupo de Grothendieck de ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{n}}$. Isso torna possível calcular o ${\displaystyle K_{0}}$ de superfícies de Hirzebruch. Além disso, isso pode ser usado para calcular o grupo de Grothendieck ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})}$ ao observar que ele é um fibrado projetivo sobre o corpo ${\displaystyle \mathbb {F} }$.

Uma técnica recente para calcular o grupo de Grothendieck de espaços com singularidades menores vem da avaliação da diferença entre ${\displaystyle K^{0}(X)}$ e ${\displaystyle K_{0}(X)}$, o que decorre do fato de que todo fibrado vetorial pode ser descrito de forma equivalente como um feixe coerente. Isso é feito usando o grupo de Grothendieck da Categoria de singularidade ${\displaystyle D_{sg}(X)}$^[10][11] da geometria algébrica não comutativa derivada. Ele fornece uma sequência exata longa começando com $${\displaystyle \cdots \to K^{0}(X)\to K_{0}(X)\to K_{sg}(X)\to 0}$$ onde os termos superiores vêm da teoria K superior. Note que os fibrados vetoriais em um ${\displaystyle X}$ singular são dados por fibrados vetoriais ${\displaystyle E\to X_{sm}}$ no locus liso ${\displaystyle X_{sm}\hookrightarrow X}$. Isso possibilita calcular o grupo de Grothendieck em espaços projetivos ponderados, uma vez que eles normalmente têm singularidades quocientes isoladas. Em particular, se essas singularidades tiverem grupos de isotropia ${\displaystyle G_{i}}$, então o mapa $${\displaystyle K^{0}(X)\to K_{0}(X)}$$ é injetivo e o conúcleo é aniquilado por ${\displaystyle {\text{mmc}}(|G_{1}|,\ldots ,|G_{k}|)^{n-1}}$ para ${\displaystyle n=\dim X}$.^{[11]pg 3}

Para uma curva projetiva lisa ${\displaystyle C}$, o grupo de Grothendieck é $${\displaystyle K_{0}(C)=\mathbb {Z} \oplus {\text{Pic}}(C)}$$ para o Grupo de Picard de ${\displaystyle C}$. Isso segue da sequência espectral de Brown-Gersten-Quillen^{[12]pg 72} da teoria K algébrica. Para um esquema regular de tipo finito sobre um corpo, existe uma sequência espectral convergente $${\displaystyle E_{1}^{p,q}=\coprod _{x\in X^{(p)}}K^{-p-q}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}(X)}$$ para ${\displaystyle X^{(p)}}$ o conjunto de pontos de codimensão ${\displaystyle p}$, ou seja, o conjunto de subesquemas ${\displaystyle x:Y\to X}$ de codimensão ${\displaystyle p}$, e ${\displaystyle k(x)}$ o corpo de funções algébricas do subesquema. Esta sequência espectral tem a propriedade^{[12]pg 80} $${\displaystyle E_{2}^{p,-p}\cong {\text{CH}}^{p}(X)}$$ para o anel de Chow de ${\displaystyle X}$, essencialmente fornecendo o cálculo de ${\displaystyle K_{0}(C)}$. Note que como ${\displaystyle C}$ não tem pontos de codimensão ${\displaystyle 2}$, as únicas partes não triviais da sequência espectral são ${\displaystyle E_{1}^{0,q},E_{1}^{1,q}}$, logo $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\infty }^{1,-1}\cong E_{2}^{1,-1}&\cong {\text{CH}}^{1}(C)\\E_{\infty }^{0,0}\cong E_{2}^{0,0}&\cong {\text{CH}}^{0}(C)\end{aligned}}}$$ A filtração de coniveau pode então ser usada para determinar ${\displaystyle K_{0}(C)}$ como a soma direta explícita desejada, já que ela fornece uma sequência exata $${\displaystyle 0\to F^{1}(K_{0}(X))\to K_{0}(X)\to K_{0}(X)/F^{1}(K_{0}(X))\to 0}$$ onde o termo à esquerda é isomorfo a ${\displaystyle {\text{CH}}^{1}(C)\cong {\text{Pic}}(C)}$ e o termo à direita é isomorfo a ${\displaystyle CH^{0}(C)\cong \mathbb {Z} }$. Uma vez que ${\displaystyle {\text{Ext}}_{\text{Ab}}^{1}(\mathbb {Z} ,G)=0}$, temos que a sequência de grupos abelianos acima cinde (se divide), fornecendo o isomorfismo. Note que se ${\displaystyle C}$ é uma curva projetiva lisa de gênero ${\displaystyle g}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$, então $${\displaystyle K_{0}(C)\cong \mathbb {Z} \oplus (\mathbb {C} ^{g}/\mathbb {Z} ^{2g})}$$ Além disso, as técnicas acima usando a categoria derivada de singularidades para singularidades isoladas podem ser estendidas para singularidades isoladas de Cohen-Macaulay, fornecendo técnicas para calcular o grupo de Grothendieck de qualquer curva algébrica singular. Isso ocorre porque a redução fornece uma curva genericamente lisa, e todas as singularidades são de Cohen-Macaulay.

Uma aplicação útil do grupo de Grothendieck é definir fibrados vetoriais virtuais. Por exemplo, se temos um mergulho de espaços lisos ${\displaystyle Y\hookrightarrow X}$, então existe uma sequência exata curta

${\displaystyle 0\to \Omega _{Y}\to \Omega _{X}|_{Y}\to C_{Y/X}\to 0}$

onde ${\displaystyle C_{Y/X}}$ é o fibrado conormal de ${\displaystyle Y}$ em ${\displaystyle X}$. Se temos um espaço singular ${\displaystyle Y}$ mergulhado num espaço liso ${\displaystyle X}$, definimos o fibrado conormal virtual como

${\displaystyle [\Omega _{X}|_{Y}]-[\Omega _{Y}]}$

Outra aplicação útil de fibrados virtuais é a definição de um fibrado tangente virtual de uma interseção de espaços: Sejam ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}$ subvariedades projetivas de uma variedade projetiva lisa. Então, podemos definir o fibrado tangente virtual de sua interseção ${\displaystyle Z=Y_{1}\cap Y_{2}}$ como

${\displaystyle [T_{Z}]^{vir}=[T_{Y_{1}}]|_{Z}+[T_{Y_{2}}]|_{Z}-[T_{X}]|_{Z}.}$

Kontsevich utiliza essa construção num de seus artigos.^[13]

As Classes de Chern podem ser usadas para construir um homomorfismo de anéis a partir da teoria K topológica de um espaço para (o completamento de) sua coomologia racional. Para um fibrado de linhas L, o caráter de Chern ch é definido por

${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$

Mais geralmente, se ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \dots \oplus L_{n}}$ é uma soma direta de fibrados de linhas, com primeiras classes de Chern ${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$ o caráter de Chern é definido aditivamente como

${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\dots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\dots +x_{n}^{m}).}$

O caráter de Chern é útil em parte porque facilita o cálculo da classe de Chern de um produto tensorial. O caráter de Chern é usado no Teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch.