Equação algébrica

Na matemática, uma equação algébrica ou equação polinomial é uma equação da forma $P=0$ , onde P é um polinômio, geralmente com números racionais como coeficientes.

Por exemplo, $x^{5}-3x+1=0$ é uma equação algébrica com coeficientes inteiros e

y^{4}+{\frac {xy}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+y^{2}+{\frac {1}{7}}=0

é uma equação polinomial multivariada sobre os racionais. Para muitos autores, o termo equação algébrica refere-se apenas ao caso univariado, ou seja, equações polinomiais que envolvem apenas uma variável. Por outro lado, uma equação polinomial pode envolver várias variáveis (o caso multivariado), caso em que o termo equação polinomial é geralmente preferido.

Algumas, mas não todas as equações polinomiais com coeficientes racionais, possuem uma solução que é uma expressão algébrica que pode ser encontrada usando um número finito de operações que envolvem apenas esses mesmos tipos de coeficientes (isto é, podem ser resolvidas algebricamente). Isso pode ser feito para todas essas equações de grau um, dois, três ou quatro; mas para grau cinco ou superior, isso só pode ser feito para algumas equações, não para todas. Uma grande quantidade de pesquisas tem sido dedicada a calcular com eficiência aproximações precisas das soluções reais ou complexas de uma equação algébrica univariada (veja Algoritmo de busca de raízes) e das soluções comuns de várias equações polinomiais multivariadas (veja Sistema de equações polinomiais).

Terminologia

O termo "equação algébrica" data da época em que o problema principal da álgebra era resolver equações polinomiais univariadas. Este problema foi completamente resolvido durante o século XIX; veja o teorema fundamental da álgebra, o teorema de Abel-Ruffini e a teoria de Galois.

Desde então, o escopo da álgebra foi drasticamente ampliado. Em particular, inclui o estudo de equações que envolvem raízes enésimas e, mais geralmente, expressões algébricas. Isso torna o termo equação algébrica ambíguo fora do contexto do problema antigo. Portanto, o termo equação polinomial é geralmente preferido quando essa ambiguidade pode ocorrer, especialmente ao considerar equações multivariadas.

História

O estudo das equações algébricas é provavelmente tão antigo quanto a própria matemática: os matemáticos babilônicos, já em 2000 a.C., conseguiam resolver alguns tipos de equações quadráticas (exibidas em tábuas de argila da Antiga Babilônia).

Equações algébricas univariadas sobre os racionais (isto é, com coeficientes racionais) têm uma história muito longa. Os matemáticos antigos queriam as soluções na forma de expressões com radicais, como $x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ para a solução positiva de $x^{2}-x-1=0$ . Os antigos egípcios sabiam como resolver equações de grau 2 desta maneira. O matemático indiano Brahmagupta (597–668 d.C.) descreveu explicitamente a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara) em seu tratado Brāhmasphuṭasiddhānta, publicado em 628 d.C., mas escrita em palavras em vez de símbolos. No século IX, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi e outros matemáticos islâmicos derivaram a fórmula quadrática, a solução geral de equações de grau 2, e reconheceram a importância do discriminante. Durante a Renascença, em 1545, Gerolamo Cardano publicou a solução de Scipione del Ferro e Niccolò Tartaglia para equações de grau 3 e a de Lodovico Ferrari para equações de grau 4. Finalmente, Niels Henrik Abel provou, em 1824, que equações de grau 5 e superior não possuem soluções gerais usando radicais. A teoria de Galois, nomeada em homenagem a Évariste Galois, mostrou que algumas equações de pelo menos grau 5 sequer possuem uma solução idiossincrática em radicais, e forneceu critérios para decidir se uma equação é, de fato, solúvel usando radicais.

Áreas de estudo

As equações algébricas são a base de uma série de áreas da matemática moderna: A teoria algébrica dos números é o estudo de equações algébricas (univariadas) sobre os racionais (isto é, com coeficientes racionais). A teoria de Galois foi introduzida por Évariste Galois para especificar critérios para decidir se uma equação algébrica pode ser resolvida em termos de radicais. Na teoria dos corpos, uma extensão algébrica é uma extensão tal que cada elemento é raiz de uma equação algébrica sobre o corpo base. A teoria dos números transcendentes é o estudo dos números reais que não são soluções para uma equação algébrica sobre os racionais. Uma equação diofantina é uma equação polinomial (geralmente multivariada) com coeficientes inteiros para a qual se está interessado nas soluções inteiras. A geometria algébrica é o estudo das soluções, num corpo algebricamente fechado, de equações polinomiais multivariadas.^[1]^[2]^[3]

Duas equações são equivalentes se tiverem o mesmo conjunto de soluções. Em particular, a equação $P=Q$ é equivalente a $P-Q=0$ . Conclui-se que o estudo de equações algébricas é equivalente ao estudo de polinômios.

Uma equação polinomial sobre os racionais sempre pode ser convertida para uma equivalente na qual os coeficientes são inteiros. Por exemplo, multiplicando tudo por 42 = 2·3·7 e agrupando seus termos no primeiro membro, a equação polinomial mencionada anteriormente $y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}$ torna-se:

42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.

Como o seno, a exponenciação e 1/T não são funções polinomiais,

e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy+\sin(T)z-2=0

não é uma equação polinomial nas quatro variáveis x, y, z e T sobre os números racionais. No entanto, é uma equação polinomial nas três variáveis x, y e z sobre o corpo das funções elementares na variável T.

Teoria

Polinômios

Dada uma equação na incógnita x

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

,

com coeficientes num corpo K, pode-se dizer de forma equivalente que as soluções de (E) em K são as raízes em K do polinômio

P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]

.

Pode-se mostrar que um polinômio de grau n num corpo possui no máximo n raízes. A equação (E), portanto, possui no máximo n soluções.

Se K é uma extensão de corpo de K, pode-se considerar (E) como uma equação com coeficientes em K e as soluções de (E) em K também são soluções em K (a recíproca não é verdadeira em geral). É sempre possível encontrar uma extensão de corpo de K conhecida como o corpo de ruptura do polinômio P, na qual (E) tem pelo menos uma solução.

Existência de soluções para equações reais e complexas

O teorema fundamental da álgebra afirma que o corpo dos números complexos é algebricamente fechado, ou seja, todas as equações polinomiais com coeficientes complexos e grau pelo menos um têm uma solução.^[4]^[5]^[6]

Segue-se que todas as equações polinomiais de grau 1 ou superior com coeficientes reais têm uma solução complexa. Por outro lado, uma equação como $x^{2}+1=0$ não possui solução em $\mathbb {R}$ (as soluções são as unidades imaginárias i e −i).

Embora as soluções reais de equações reais sejam intuitivas (são as coordenadas x dos pontos onde a curva y = P(x) intercepta o eixo x), a existência de soluções complexas para equações reais pode ser surpreendente e menos fácil de visualizar.

No entanto, um polinômio mônico de grau ímpar deve necessariamente ter uma raiz real. A função polinomial associada em x é contínua e tende a $-\infty$ à medida que x tende a $-\infty$ , e a $+\infty$ à medida que x tende a $+\infty$ . Pelo teorema do valor intermediário, ela deve, portanto, assumir o valor zero em algum x real, que é então uma solução da equação polinomial.

Conexão com a teoria de Galois

Existem fórmulas que dão as soluções de polinômios reais ou complexos de grau menor ou igual a quatro em função de seus coeficientes. Abel mostrou que não é possível encontrar tal fórmula em geral (usando apenas as quatro operações aritméticas e a extração de raízes) para equações de grau cinco ou superior. A teoria de Galois fornece um critério que permite determinar se a solução de uma dada equação polinomial pode ser expressa usando radicais.^[7]^[8]^[9]

Solução explícita de equações numéricas

Abordagem

A solução explícita de uma equação real ou complexa de grau 1 é trivial. A resolução de uma equação de grau superior n reduz-se à fatoração do polinômio associado, ou seja, à reescrita de (E) na forma

a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0

,

onde as soluções são então os $z_{1},\dots ,z_{n}$ . O problema então é expressar os $z_{i}$ em termos dos $a_{i}$ .

Esta abordagem se aplica de forma mais geral se os coeficientes e soluções pertencerem a um domínio de integridade.

Técnicas gerais

Fatoração

Se uma equação P(x) = 0 de grau n possui uma raiz racional α, o polinômio associado pode ser fatorado para dar a forma P(X) = (X − α)Q(X) (ao dividir P(X) por X − α ou ao escrever P(X) − P(α) como uma combinação linear de termos da forma X^k − α^k, e colocar X − α em evidência). Resolver P(x) = 0 reduz-se, portanto, a resolver a equação de grau n − 1 dada por Q(x) = 0. Veja, por exemplo, o caso n = 3.

Eliminação do termo subdominante

Para resolver uma equação de grau n,

(\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0

,

um passo preliminar comum é eliminar o termo de grau n − 1: fazendo $x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}$ , a equação (E) torna-se

a_{n}y^{n}+b_{n-2}y^{n-2}+\dots +b_{1}y+b_{0}=0

.

Leonhard Euler desenvolveu esta técnica para o caso n = 3, mas ela também é aplicável ao caso n = 4, por exemplo.

Equações quadráticas

Para resolver uma equação quadrática da forma $ax^{2}+bx+c=0$ , calcula-se o discriminante Δ definido por $\Delta =b^{2}-4ac$ .

Se o polinômio possuir coeficientes reais, ele tem:

duas raízes reais distintas se $\Delta >0$ ;
uma raiz real dupla se $\Delta =0$ ;
nenhuma raiz real se $\Delta <0$ , mas duas raízes complexas conjugadas.

Equações cúbicas

O método mais conhecido para resolver equações cúbicas, escrevendo as raízes em termos de radicais, é a fórmula de Cardano.

Equações quárticas

Para discussões detalhadas de alguns métodos de solução, veja:

Transformação de Tschirnhaus (método geral, sem garantia de sucesso);
Método de Bézout (método geral, sem garantia de sucesso);
Método de Ferrari (soluções para o grau 4);
Método de Euler (soluções para o grau 4);
Método de Lagrange (soluções para o grau 4);
Método de Descartes (soluções para o grau 2 ou 4);

Uma equação quártica $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ com $a\neq 0$ pode ser reduzida a uma equação quadrática por uma mudança de variável, desde que seja biquadrada (b = d = 0) ou quase-palindrômica (e = a, d = b).

Algumas equações cúbicas e quárticas podem ser resolvidas usando trigonometria ou funções hiperbólicas.

Equações de grau superior

Évariste Galois e Niels Henrik Abel mostraram independentemente que, em geral, um polinômio de grau 5 ou superior não é solúvel por radicais. Algumas equações particulares possuem soluções, como aquelas associadas aos polinômios ciclotômicos de graus 5 e 17.^[10]^[11]^[12]^[13]

Charles Hermite, por outro lado, mostrou que polinômios de grau 5 são solúveis usando funções elípticas.

Caso contrário, pode-se encontrar aproximações numéricas para as raízes usando algoritmos de busca de raízes, como o método de Newton.

Veja também

Função algébrica
Número algébrico
Algoritmo para encontrar raiz
Equação linear (grau = 1)
Equação quadrática (grau = 2)
Equação cúbica (grau = 3)
Equação quártica (grau = 4)
Equação quíntica (grau = 5)
Equação sêxtica (grau = 6)
Equação séptica (grau = 7)
Sistema de equações lineares
Sistema de equações polinomiais
Equação diofantina linear
Equação linear sobre um anel
Teorema de Cramer (curvas algébricas), sobre o número de pontos geralmente suficientes para determinar uma curva bivariada de grau n

Referências

↑ Lang, Serge (2002). Algebra. [S.l.]: Springer. pp. chap. VI, VII
↑ Marcus, Daniel A. (1977). Number Fields. [S.l.]: Springer
↑ Baker, Alan (1975). Transcendental Number Theory. [S.l.]: Cambridge University Press
↑ Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I. [S.l.]: Springer. pp. chap. VII
↑ Lang, Serge (2002). Algebra. [S.l.]: Springer. pp. chap. VI
↑ Ahlfors, Lars V. (1979). Complex Analysis. [S.l.]: McGraw-Hill. pp. chap. 3
↑ Stewart, Ian (2004). Galois Theory. [S.l.]: Chapman and Hall/CRC
↑ Lang, Serge (2002). Algebra. [S.l.]: Springer. pp. chap. VI
↑ van der Waerden, B. L. (2003). Algebra. [S.l.]: Springer. pp. chap. VII
↑ Abel, Niels Henrik (1826). «Mémoire sur les équations algébriques où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré». Journal für die reine und angewandte Mathematik
↑ Edwards, Harold M. (1984). Galois Theory. [S.l.]: Springer
↑ Artin, Emil (1998). Galois Theory. [S.l.]: Dover Publications
↑ Stewart, Ian (2004). Galois Theory. [S.l.]: Chapman and Hall/CRC

[1] Lang, Serge (2002). Algebra. [S.l.]: Springer. pp. chap. VI, VII

[2] Marcus, Daniel A. (1977). Number Fields. [S.l.]: Springer

[3] Baker, Alan (1975). Transcendental Number Theory. [S.l.]: Cambridge University Press

[4] Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I. [S.l.]: Springer. pp. chap. VII

[5] Lang, Serge (2002). Algebra. [S.l.]: Springer. pp. chap. VI

[6] Ahlfors, Lars V. (1979). Complex Analysis. [S.l.]: McGraw-Hill. pp. chap. 3

[7] Stewart, Ian (2004). Galois Theory. [S.l.]: Chapman and Hall/CRC

[8] Lang, Serge (2002). Algebra. [S.l.]: Springer. pp. chap. VI

[9] van der Waerden, B. L. (2003). Algebra. [S.l.]: Springer. pp. chap. VII

[10] Abel, Niels Henrik (1826). «Mémoire sur les équations algébriques où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré». Journal für die reine und angewandte Mathematik

[11] Edwards, Harold M. (1984). Galois Theory. [S.l.]: Springer

[12] Artin, Emil (1998). Galois Theory. [S.l.]: Dover Publications

[13] Stewart, Ian (2004). Galois Theory. [S.l.]: Chapman and Hall/CRC

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]