Álgebra

Ver artigo principal: Álgebra elementar

A álgebra elementar, também chamada de álgebra escolar, álgebra universitária e álgebra clássica,^[22] é a forma mais antiga e básica de álgebra. É uma generalização da aritmética que se baseia em variáveis e examina como as sentenças matemáticas podem ser transformadas.^[23]

A aritmética é o estudo das operações numéricas e investiga como os números são combinados e transformados usando as operações aritméticas de adição, subtração, multiplicação, divisão, exponenciação, extração de raízes e logaritmo. Por exemplo, a operação de adição combina dois números, chamados de parcelas, num terceiro número, chamado de soma, como em ${\displaystyle 2+5=7}$.^[9]

A álgebra elementar baseia-se nas mesmas operações, ao mesmo tempo em que permite variáveis além dos números regulares. As variáveis são símbolos para quantidades não especificadas ou desconhecidas. Elas possibilitam enunciar relações para as quais não se sabe os valores exatos e expressar leis gerais que são verdadeiras, independentemente de quais números sejam usados. Por exemplo, a equação ${\displaystyle 2\times 3=3\times 2}$ pertence à aritmética e expressa uma igualdade apenas para estes números específicos. Ao substituir os números por variáveis, é possível expressar uma lei geral que se aplica a qualquer combinação possível de números, como a propriedade comutativa da multiplicação, que é expressa na equação ${\displaystyle a\times b=b\times a}$.^[23]

As expressões algébricas são formadas usando operações aritméticas para combinar variáveis e números. Por convenção, as letras minúsculas ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ representam variáveis. Em alguns casos, são adicionados subscritos para distinguir as variáveis, como em ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ e ${\displaystyle x_{3}}$. As letras minúsculas ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ são geralmente usadas para constantes e coeficientes.^{[nota 5]} A expressão ${\displaystyle 5x+3}$ é uma expressão algébrica criada multiplicando-se o número 5 pela variável ${\displaystyle x}$ e adicionando o número 3 ao resultado. Outros exemplos de expressões algébricas são ${\displaystyle 32xyz}$ e ${\displaystyle 64x_{1}^{2}+7x_{2}-c}$.^[25]

Algumas expressões algébricas assumem a forma de sentenças que relacionam duas expressões entre si. Uma equação é uma sentença formada pela comparação de duas expressões, afirmando que elas são iguais. Isto pode ser expresso usando o sinal de igual (${\displaystyle =}$), como em ${\displaystyle 5x^{2}+6x=3y+4}$. As inequações envolvem um tipo diferente de comparação, afirmando que os dois lados são diferentes. Isso pode ser expresso usando símbolos como o sinal de menor que (${\displaystyle <}$), o sinal de maior que (${\displaystyle >}$) e o sinal de desigualdade (${\displaystyle \neq }$). Diferentemente de outras expressões, as sentenças podem ser verdadeiras ou falsas, e o seu valor de verdade geralmente depende dos valores das variáveis. Por exemplo, a sentença ${\displaystyle x^{2}=4}$ é verdadeira se ${\displaystyle x}$ for 2 ou −2, e falsa caso contrário.^[26] As equações com variáveis podem ser divididas em equações de identidade e equações condicionais. As equações de identidade são verdadeiras para todos os valores que podem ser atribuídos às variáveis, como a equação ${\displaystyle 2x+5x=7x}$. As equações condicionais são verdadeiras apenas para alguns valores. Por exemplo, a equação ${\displaystyle x+4=9}$ só é verdadeira se ${\displaystyle x}$ for 5.^[27]

O principal objetivo da álgebra elementar é determinar os valores para os quais uma sentença é verdadeira. Isto pode ser alcançado transformando e manipulando sentenças de acordo com certas regras. Um princípio chave que orienta este processo é o de que qualquer operação que seja aplicada a um lado de uma equação também precisa ser feita ao outro lado. Por exemplo, se subtrairmos 5 do lado esquerdo de uma equação, também precisaremos de subtrair 5 do lado direito para equilibrar ambos os lados. O objetivo destas etapas geralmente é o de isolar a variável de interesse de um lado, um processo conhecido como resolver a equação para essa variável. Por exemplo, a equação ${\displaystyle x-7=4}$ pode ser resolvida para ${\displaystyle x}$ adicionando-se 7 a ambos os lados, o que isola o ${\displaystyle x}$ no lado esquerdo e resulta na equação ${\displaystyle x=11}$.^[28]

Existem muitas outras técnicas usadas para resolver equações. A simplificação é empregada para substituir uma expressão complicada por uma equivalente mais simples. Por exemplo, a expressão ${\displaystyle 7x-3x}$ pode ser substituída pela expressão ${\displaystyle 4x}$, visto que ${\displaystyle 7x-3x=(7-3)x=4x}$ pela propriedade distributiva.^[29] Para sentenças com várias variáveis, a substituição é uma técnica comum para substituir uma variável por uma expressão equivalente que não usa essa variável. Por exemplo, se soubermos que ${\displaystyle y=3x}$, então podemos simplificar a expressão ${\displaystyle 7xy}$ para chegar a ${\displaystyle 21x^{2}}$. De forma semelhante, se o valor de uma variável for conhecido, ele poderá ser usado para determinar o valor de outras variáveis.^[30]

As equações algébricas podem ser interpretadas geometricamente para descrever figuras espaciais na forma de um gráfico. Para fazer isso, as diferentes variáveis na equação são entendidas como coordenadas e os valores que resolvem a equação são interpretados como pontos de um gráfico. Por exemplo, se ${\displaystyle x}$ for definido como zero na equação ${\displaystyle y=0,5x-1}$, então ${\displaystyle y}$ deve ser −1 para que a equação seja verdadeira. Isto significa que o par ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (0,-1)}$ faz parte do gráfico da equação. O par ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (0,7)}$, por outro lado, não resolve a equação e, portanto, não faz parte do gráfico. O gráfico engloba a totalidade de pares ${\displaystyle (x,y)}$ que resolvem a equação.^[31]

Polinômios

Ver artigo principal: Polinômio

Um polinômio é uma expressão constituída por um ou mais termos que são adicionados ou subtraídos uns dos outros, como ${\displaystyle x^{4}+3xy^{2}+5x^{3}-1}$. Cada termo é uma constante, uma variável ou um produto de uma constante por variáveis. Cada variável pode ser elevada a uma potência inteira positiva. Um monômio é um polinômio com um termo, enquanto polinômios de dois e três termos são chamados de binômios e trinômios. O grau de um polinômio é o valor máximo (entre os seus termos) da soma dos expoentes das variáveis (4 no exemplo acima).^[32] Polinômios de grau um são chamados de polinômios lineares. A álgebra linear estuda sistemas de polinômios lineares.^[33] Diz-se que um polinômio é univariado ou multivariado, dependendo se ele utiliza uma ou mais variáveis.^[34]

A fatoração é um método utilizado para simplificar polinômios, tornando mais fácil analisá-los e determinar os valores para os quais eles são avaliados como zero. A fatoração consiste em reescrever um polinômio como um produto de vários fatores. Por exemplo, o polinômio ${\displaystyle x^{2}-3x-10}$ pode ser fatorado como ${\displaystyle (x+2)(x-5)}$. O polinômio como um todo é zero se e somente se um de seus fatores for zero, isto é, se ${\displaystyle x}$ for −2 ou 5.^[35] Antes do século XIX, grande parte da álgebra dedicava-se às equações polinomiais, isto é, às equações obtidas igualando-se um polinômio a zero. As primeiras tentativas de resolver equações polinomiais foram para expressar as soluções em termos de raízes enésimas. A solução de uma equação polinomial de segundo grau da forma ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ é dada pela fórmula quadrática^[36] $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.}$$

As soluções para os graus 3 e 4 são dadas pelas fórmulas cúbica e quártica. Não existem soluções gerais para graus mais elevados, conforme comprovado no século XIX pelo teorema de Abel-Ruffini.^[37] Mesmo quando não existem soluções gerais, é possível encontrar soluções aproximadas por meio de ferramentas numéricas como o método de Newton-Raphson.^[38]

O teorema fundamental da álgebra assevera que toda equação polinomial univariada de grau positivo com coeficientes reais ou complexos possui pelo menos uma solução complexa. Consequentemente, todo polinômio de grau positivo pode ser fatorado em polinômios lineares. Este teorema foi provado no início do século XIX, mas isto não encerra o problema, uma vez que o teorema não fornece nenhum método para calcular as soluções.^[39]

Ver artigo principal: Álgebra linear

A álgebra linear começa com o estudo de sistemas de equações lineares.^[40] Uma equação é linear se puder ser expressa na forma ${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=b}$, onde ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, ..., ${\displaystyle a_{n}}$ e ${\displaystyle b}$ são constantes. Exemplos são ${\displaystyle x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0}$ e ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{4}}x-y=4}$. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares para as quais se tem interesse nas soluções comuns.^[41]

Matrizes são matrizes retangulares (ou arranjos retangulares) de valores que foram originalmente introduzidas para se ter uma notação compacta e sintética para sistemas de equações lineares.^[42] Por exemplo, o sistema de equações $${\displaystyle {\begin{aligned}9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}&=0\\2,3x_{1}+7x_{3}&=9\\-5x_{1}-17x_{2}&=-3\end{aligned}}}$$ pode ser escrito como $${\displaystyle AX=B,}$$ onde ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle B}$ são as matrizes $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&3&-13\\2,3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}},\quad X={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}.}$$

Sob algumas condições no número de linhas e colunas, as matrizes podem ser somadas, multiplicadas e às vezes invertidas. Todos os métodos para resolver sistemas lineares podem ser expressos como manipulações de matrizes usando essas operações. Por exemplo, a resolução do sistema acima consiste no cálculo de uma matriz invertida ${\displaystyle A^{-1}}$ tal que ${\displaystyle A^{-1}A=I,}$ onde ${\displaystyle I}$ é a matriz identidade. Em seguida, multiplicando-se à esquerda ambos os membros da equação matricial acima por ${\displaystyle A^{-1},}$ obtém-se a solução do sistema de equações lineares como^[43] $${\displaystyle X=A^{-1}B.}$$

Os métodos de resolução de sistemas de equações lineares variam desde os mais introdutórios, como a substituição^[44] e a eliminação,^[45] a técnicas mais avançadas utilizando matrizes, tais como a regra de Cramer, a eliminação gaussiana e a decomposição LU.^[46] Alguns sistemas de equações são inconsistentes (ou incompatíveis), o que significa que não existem soluções porque as equações se contradizem.^{[47][nota 6]} Sistemas consistentes têm uma única solução ou um número infinito de soluções.^{[48][nota 7]}

O estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares forma uma grande parte da álgebra linear. Um espaço vetorial é uma estrutura algébrica formada por um conjunto com uma adição que o torna um grupo abeliano e uma multiplicação escalar que é compatível com a adição (veja espaço vetorial para obter detalhes). Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que é compatível com a adição e a multiplicação escalar. No caso de espaços vetoriais de dimensão finita, os vetores e as transformações lineares podem ser representados por matrizes. Disto resulta que as teorias de matrizes e de espaços vetoriais de dimensão finita são essencialmente as mesmas. Em particular, os espaços vetoriais fornecem uma terceira forma de expressar e manipular sistemas de equações lineares.^[49] A partir desta perspetiva, uma matriz é uma representação de uma transformação linear: se escolhermos uma base particular para descrever os vetores sendo transformados, então as entradas na matriz fornecem os resultados da aplicação da transformação linear aos vetores da base.^[50]

Os sistemas de equações podem ser interpretados como figuras geométricas. Para sistemas com duas variáveis, cada equação representa uma reta num espaço bidimensional. O ponto onde as duas retas se cruzam é a solução de todo o sistema porque este é o único ponto que resolve tanto a primeira quanto a segunda equação. Em sistemas inconsistentes, as duas retas são paralelas, o que significa que não há solução, uma vez que elas nunca se cruzam. Se duas equações não são independentes, então elas descrevem a mesma reta, o que significa que toda solução de uma equação é também solução da outra equação. Estas relações tornam possível buscar soluções graficamente plotando-se as equações e determinando onde elas se interceptam.^[51] Os mesmos princípios também se aplicam a sistemas de equações com mais variáveis, com a diferença de que as equações não descrevem retas, mas sim figuras de dimensões superiores. Por exemplo, equações com três variáveis correspondem a planos no espaço tridimensional, e os pontos onde todos os planos se interceptam resolvem o sistema de equações.^[52]

Ver artigo principal: Álgebra abstrata

A álgebra abstrata, também chamada de álgebra moderna,^[53] é o estudo das estruturas algébricas. Uma estrutura algébrica é uma estrutura (ou *framework*) para se entender as operações sobre objetos matemáticos, como a adição de números. Enquanto a álgebra elementar e a álgebra linear trabalham dentro dos limites de estruturas algébricas específicas, a álgebra abstrata adota uma abordagem mais geral que compara como as estruturas algébricas diferem umas das outras e quais os tipos de estruturas algébricas que existem, como grupos, anéis e corpos.^[54] A principal diferença entre esses tipos de estruturas algébricas reside no número de operações que elas usam e nas leis a que obedecem.^[55] Na educação matemática, a álgebra abstrata refere-se a um curso avançado de graduação que os estudantes de matemática realizam depois de completarem os cursos de álgebra linear.^[56]

A um nível formal, uma estrutura algébrica é um conjunto^{[nota 8]} de objetos matemáticos, chamado de conjunto subjacente, juntamente com uma ou várias operações.^{[nota 9]} A álgebra abstrata interessa-se principalmente pelas operações binárias,^{[nota 10]} que recebem quaisquer dois objetos do conjunto subjacente como entradas e os mapeiam num outro objeto deste conjunto como saída.^[60] Por exemplo, a estrutura algébrica ${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$ possui os números naturais (${\displaystyle \mathbb {N} }$) como o conjunto subjacente e a adição (${\displaystyle +}$) como a sua operação binária.^[58] O conjunto subjacente pode conter objetos matemáticos que não sejam números, e as operações não estão restritas às operações aritméticas regulares.^[61] Por exemplo, o conjunto subjacente do grupo de simetria de um objeto geométrico é composto de transformações geométricas, como rotações, sob as quais o objeto permanece inalterado. A sua operação binária é a composição de funções, que toma duas transformações como entrada e tem como saída a transformação resultante da aplicação da primeira transformação seguida da segunda.^[62]

Teoria dos grupos

Ver artigo principal: Teoria dos grupos

A álgebra abstrata classifica as estruturas algébricas com base nas leis ou axiomas a que as suas operações obedecem e no número de operações que utiliza. Um dos tipos mais básicos é um grupo, que tem uma operação e exige que esta operação seja associativa e tenha um elemento neutro e elementos inversos. Uma operação é associativa se a ordem de diversas aplicações não importar, isto é, se ${\displaystyle (a\circ b)\circ c}$^{[nota 11]} for igual a ${\displaystyle a\circ (b\circ c)}$ para todos os elementos. Uma operação tem um elemento de identidade ou um elemento neutro se existir um elemento e que não altera o valor de qualquer outro elemento, ou seja, se ${\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}$. Uma operação tem elementos inversos se, para qualquer elemento ${\displaystyle a}$, existir um elemento recíproco ${\displaystyle a^{-1}}$ que desfaz o ${\displaystyle a}$. Se um elemento opera sobre o seu inverso, o resultado é o elemento neutro e, expresso formalmente como ${\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}$. Toda estrutura algébrica que cumpra estes requisitos é um grupo.^[64] Por exemplo, ${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$ é um grupo formado pelo conjunto dos inteiros em conjunto com a operação de adição. O elemento neutro é 0 e o elemento inverso de qualquer número ${\displaystyle a}$ é ${\displaystyle -a}$.^[65] Os números naturais com adição, por outro lado, não formam um grupo, pois contêm apenas números inteiros positivos e, portanto, não possuem elementos inversos.^[66]

A teoria dos grupos examina a natureza dos grupos, com teoremas básicos como o teorema fundamental dos grupos abelianos finitos e o teorema de Feit-Thompson.^[67] O último foi um passo inicial essencial numa das realizações matemáticas mais importantes do século XX: o esforço colaborativo, ocupando mais de 10 000 páginas de periódicos e publicado principalmente entre 1960 e 2004, que culminou em uma completa classificação dos grupos simples finitos.^[68]

Teoria dos anéis e teoria dos corpos

Ver artigos principais: Teoria dos anéis e Corpo (matemática)

Um anel é uma estrutura algébrica com duas operações que funcionam de forma semelhante à adição e multiplicação de números e são nomeadas e geralmente denotadas de forma semelhante. Um anel é um grupo comutativo sob a adição: a adição do anel é associativa, comutativa, e tem um elemento identidade e elementos inversos. A multiplicação é associativa e distributiva com respeito à adição; isto é, ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$ e ${\displaystyle (b+c)a=ba+ca}$. Além disso, a multiplicação é associativa e tem um elemento de identidade geralmente denotado por 1.^{[69][nota 12]} A multiplicação não precisa ser comutativa; se o for, tem-se um anel comutativo.^[71] O anel de inteiros (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) é um dos anéis comutativos mais simples.^[72]

Um corpo é um anel comutativo tal que ${\displaystyle 1\neq 0}$^{[nota 13]} e cada elemento não nulo possui um inverso multiplicativo.^[74] O anel dos inteiros não forma um corpo porque carece de inversos multiplicativos. Por exemplo, o inverso multiplicativo de ${\displaystyle 7}$ é ${\displaystyle {\tfrac {1}{7}}}$, que não é um número inteiro. Os números racionais, os números reais e os números complexos formam, cada um, um corpo com as operações de adição e multiplicação.^[75]

A teoria dos anéis é o estudo dos anéis, explorando conceitos como subanéis, anéis quocientes, anéis de polinômios e ideais, além de teoremas como o teorema da base de Hilbert.^[76] A teoria dos corpos ocupa-se dos corpos, examinando as extensões de corpos, os fechos algébricos e os corpos finitos.^[77] A teoria de Galois explora a relação entre a teoria dos corpos e a teoria dos grupos, baseando-se no teorema fundamental da teoria de Galois.^[78]

Teorias de inter-relações entre estruturas

Além dos grupos, anéis e corpos, existem muitas outras estruturas algébricas estudadas pela álgebra. Elas incluem magmas, semigrupos, monoides, grupos abelianos, anéis comutativos, módulos, reticulados, espaços vetoriais, álgebras sobre um corpo e álgebras associativas e não associativas. Elas diferem umas das outras no que diz respeito aos tipos de objetos que descrevem e aos requisitos que as suas operações cumprem. Muitas estão relacionadas entre si no sentido de que uma estrutura básica pode ser transformada em uma estrutura mais especializada através da adição de restrições.^[55] Por exemplo, um magma torna-se um semigrupo se a sua operação for associativa.^[79]

Os homomorfismos são ferramentas para examinar características estruturais por intermédio da comparação de duas estruturas algébricas.^[80] Um homomorfismo é uma função do conjunto subjacente de uma estrutura algébrica para o conjunto subjacente de outra estrutura algébrica que preserva certas características estruturais. Se as duas estruturas algébricas usarem operações binárias e tiverem a forma ${\displaystyle \langle A,\circ \rangle }$ e ${\displaystyle \langle B,\star \rangle }$, então a função ${\displaystyle h:A\to B}$ é um homomorfismo se ela preencher o seguinte requisito: ${\displaystyle h(x\circ y)=h(x)\star h(y)}$. A existência de um homomorfismo revela que a operação ${\displaystyle \star }$ na segunda estrutura algébrica desempenha o mesmo papel que a operação ${\displaystyle \circ }$ na primeira estrutura algébrica.^[81] Os isomorfismos são um tipo especial de homomorfismo que indica um elevado grau de similaridade entre duas estruturas algébricas. Um isomorfismo é um homomorfismo bijetivo, o que significa que ele estabelece uma relação biunívoca entre os elementos das duas estruturas algébricas. Isso implica que todo elemento da primeira estrutura algébrica é mapeado para um único elemento na segunda estrutura, não havendo elementos não mapeados na segunda estrutura.^[82]

Outra ferramenta de comparação é a relação entre uma estrutura algébrica e a sua subálgebra.^[83] A estrutura algébrica e a sua subálgebra usam as mesmas operações,^{[nota 14]} que seguem os mesmos axiomas. A única diferença é que o conjunto subjacente da subálgebra é um subconjunto do conjunto subjacente da estrutura algébrica.^{[nota 15]} Exige-se que todas as operações na subálgebra sejam fechadas em seu conjunto subjacente, o que significa que elas só produzem elementos que pertencem a este conjunto.^[83] Por exemplo, o conjunto dos inteiros pares juntamente com a adição é uma subálgebra do conjunto completo de inteiros com adição. Isto ocorre porque a soma de dois números pares é novamente um número par. No entanto, o conjunto de números inteiros ímpares com a adição não é uma subálgebra porque não é fechado: adicionar dois números ímpares produz um número par, que não faz parte do subconjunto escolhido.^[84]

A álgebra universal é o estudo das estruturas algébricas em geral. Como parte de sua perspetiva geral, ela não se preocupa com os elementos específicos que compõem os conjuntos subjacentes e considera operações com mais de duas entradas, como as operações ternárias. Ela fornece uma estrutura metodológica (framework) para investigar as características estruturais que diferentes estruturas algébricas têm em comum.^{[86][nota 16]} Uma dessas características estruturais diz respeito às identidades que são verdadeiras em diferentes estruturas algébricas. Neste contexto, uma identidade é uma equação universal ou uma equação que é verdadeira para todos os elementos do conjunto subjacente. Por exemplo, a comutatividade é uma equação universal que afirma que ${\displaystyle a\circ b}$ é idêntico a ${\displaystyle b\circ a}$ para todos os elementos.^[88] Uma variedade é uma classe de todas as estruturas algébricas que satisfazem certas identidades. Por exemplo, se duas estruturas algébricas satisfazem a comutatividade, então ambas fazem parte da variedade correspondente.^{[89][nota 17][nota 18]}

A teoria das categorias examina de que modo os objetos matemáticos se relacionam entre si valendo-se do conceito de categorias. Uma categoria é uma coleção de objetos acompanhada de uma coleção de morfismos ou "setas" entre esses objetos. Estas duas coleções devem satisfazer certas condições. Por exemplo, os morfismos podem ser unidos ou compostos: se existir um morfismo do objeto ${\displaystyle a}$ para o objeto ${\displaystyle b}$, e outro morfismo do objeto ${\displaystyle b}$ para o objeto ${\displaystyle c}$, então também deve existir um do objeto ${\displaystyle a}$ para o objeto ${\displaystyle c}$. A composição de morfismos é obrigada a ser associativa e deve haver um "morfismo identidade" para cada objeto.^[93] As categorias são amplamente usadas na matemática contemporânea, uma vez que elas fornecem um arcabouço unificador para descrever e analisar muitos conceitos matemáticos fundamentais. Por exemplo, os conjuntos podem ser descritos por meio da categoria de conjuntos, e qualquer grupo pode ser considerado como os morfismos de uma categoria com apenas um objeto.^[94]