Espaço de Hilbert

Um dos exemplos mais familiares de um espaço de Hilbert é o espaço vetorial euclidiano que consiste em vetores tridimensionais, denotado por ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$, e equipado com o produto escalar. O produto escalar toma dois vetores x e y, e produz um número real x ⋅ y. Se x e y são representados em coordenadas cartesianas, então o produto escalar é definido por:^[1] $${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.}$$

O produto escalar satisfaz as propriedades:^[1]

1. É simétrico em x e y: x ⋅ y = y ⋅ x.
2. É linear no seu primeiro argumento: (ax₁ + bx₂) ⋅ y = a(x₁ ⋅ y) + b(x₂ ⋅ y) para quaisquer escalares a, b, e vetores x₁, x₂, e y.^{[nota 1]}
3. É positivo definido: para todos os vetores x, x ⋅ x ≥ 0 , com igualdade se e somente se x = 0.

Uma operação sobre pares de vetores que, tal como o produto escalar, satisfaz estas três propriedades é conhecida como um produto interno (real). Um espaço vetorial equipado com tal produto interno é conhecido como um espaço com produto interno (real). Todo espaço com produto interno de dimensão finita é também um espaço de Hilbert.^[2] A característica básica do produto escalar que o conecta com a geometria euclidiana é que ele está relacionado tanto com o comprimento (ou norma) de um vetor, denotado por ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|}$, quanto com o ângulo ${\displaystyle \theta }$ entre dois vetores ${\displaystyle \mathbf {x} }$ e ${\displaystyle \mathbf {y} }$ através da fórmula^[3] $${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.}$$

O cálculo multivariável no espaço euclidiano baseia-se na capacidade de calcular limites, e de ter critérios úteis para concluir que os limites existem. Uma série matemática $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}}$$ consistindo de vetores em R³ é absolutamente convergente contanto que a soma dos comprimentos convirja como uma série ordinária de números reais:^[4] $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty \,.}$$ Assim como numa série de escalares, uma série de vetores que converge absolutamente também converge para algum vetor limite L no espaço euclidiano, no sentido de que $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\|\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}\right\|=0.}$$ Esta propriedade expressa a completude do espaço euclidiano: que uma série que converge absolutamente também converge no sentido ordinário.^[5]

Os espaços de Hilbert são frequentemente considerados sobre os números complexos. O plano complexo denotado por C é equipado com uma noção de magnitude, o módulo complexo |z|, que é definido como a raiz quadrada do produto de z pelo seu complexo conjugado:^[6] $${\displaystyle |z|^{2}=z{\overline {z}}\,.}$$

Se z = x + iy é uma decomposição de z nas suas partes real e imaginária, então o módulo é o comprimento euclidiano bidimensional usual:^[6] $${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,.}$$

O produto interno de um par de números complexos z e w é o produto de z com o complexo conjugado de w:^[7] $${\displaystyle \langle z,w\rangle =z{\overline {w}}\,.}$$

Este tem valor complexo. A parte real de ⟨z, w⟩ fornece o produto escalar euclidiano bidimensional usual.^[7]

Um segundo exemplo é o espaço C² cujos elementos são pares de números complexos z = (z₁, z₂). Então um produto interno de z com outro vetor deste tipo w = (w₁, w₂) é dado por^[7] $${\displaystyle \langle z,w\rangle =z_{1}{\overline {w}}_{1}+z_{2}{\overline {w}}_{2}\,.}$$

A parte real de ⟨z, w⟩ é então o produto escalar euclidiano quadridimensional. Este produto interno é hermitiano simétrico, o que significa que o resultado da troca de z e w é o complexo conjugado:^[7] $${\displaystyle \langle w,z\rangle ={\overline {\langle z,w\rangle }}\,.}$$

Um espaço de Hilbert é um espaço com produto interno real ou complexo que é também um espaço métrico completo em relação à função de distância induzida pelo produto interno.^[8]

Dizer que um espaço vetorial complexo H é um espaço com produto interno complexo significa que existe um produto interno ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ associando um número complexo a cada par de elementos ${\displaystyle x,y}$ de H que satisfaz as seguintes propriedades:^[9]

1. O produto interno é conjugado simétrico; isto é, o produto interno de um par de elementos é igual ao complexo conjugado do produto interno dos elementos trocados: $${\displaystyle \langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,.}$$ Importante, isto implica que ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ é um número real.^[9]
2. O produto interno é linear no seu primeiro argumento.^{[nota 2]} Para todos os números complexos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b,}$^[9] $${\displaystyle \langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \,.}$$
3. O produto interno de um elemento consigo mesmo é positivo definido:^[9] $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,x\rangle >0&\quad {\text{ se }}x\neq 0,\\\langle x,x\rangle =0&\quad {\text{ se }}x=0\,.\end{alignedat}}}$$

Segue das propriedades 1 e 2 que um produto interno complexo é antilinear, também chamado de linear conjugado, no seu segundo argumento, significando que^[10] $${\displaystyle \langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.}$$

Um espaço com produto interno real é definido da mesma forma, exceto que H é um espaço vetorial real e o produto interno assume valores reais. Tal produto interno será uma aplicação bilinear e ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ formará um sistema dual.^[11]

A norma é a função de valor real^[12] $${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,,}$$ e a distância ${\displaystyle d}$ entre dois pontos ${\displaystyle x,y}$ em H é definida em termos da norma por $${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}\,.}$$ Aqui, ${\displaystyle d(x,y)}$ é uma função de distância^[13], significando primeiramente que é simétrica em ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y,}$ em segundo lugar que a distância entre ${\displaystyle x}$ e ele próprio é zero, e caso contrário a distância entre ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ deve ser positiva, e por fim que a desigualdade triangular se verifica, significando que o comprimento de um lado de um triângulo xyz não pode exceder a soma dos comprimentos dos outros dois lados:^[14] $${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,.}$$

Esta última propriedade é, em última análise, uma consequência da mais fundamental desigualdade de Cauchy-Schwarz, que afirma $${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|}$$ com igualdade se e somente se ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ forem linearmente dependentes.^[15]

Com uma função de distância definida desta forma, qualquer espaço com produto interno é um espaço métrico, e às vezes é conhecido como um espaço pré-Hilbert.^[15] Qualquer espaço pré-Hilbert que seja adicionalmente também um espaço completo é um espaço de Hilbert.^[16]

A completude de H é expressa usando uma forma do critério de Cauchy para sequências em H: um espaço pré-Hilbert H é completo se cada sequência de Cauchy converge em relação a esta norma para um elemento no espaço. A completude pode ser caracterizada pela seguinte condição equivalente: se uma série de vetores $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}$$ converge absolutamente no sentido de que $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty \,,}$$ então a série converge em H, no sentido de que as somas parciais convergem para um elemento de H.^[17]

Como um espaço normado completo, os espaços de Hilbert são por definição também espaços de Banach.^[18] Como tal, eles são espaços vetoriais topológicos, nos quais as noções topológicas como a abertura e o fechamento de subconjuntos estão bem definidas.^[19] De especial importância é a noção de um subespaço linear fechado de um espaço de Hilbert que, com o produto interno induzido por restrição, é também completo (sendo um conjunto fechado num espaço métrico completo) e, portanto, um espaço de Hilbert por direito próprio.^[20]

O espaço de sequências ${\textstyle \ell ^{2}}$ consiste em todas as sequências infinitas z = (z₁, z₂, ...) de números complexos tais que a série de suas normas ao quadrado converge:^[21] $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}}$$

O produto interno em l² é definido por:^[21] $${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w}}_{n}\,,}$$

A série para o produto interno converge como consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz e da convergência assumida das duas séries de normas ao quadrado.^[22]

A completude do espaço verifica-se desde que, sempre que uma série de elementos de ${\textstyle \ell ^{2}}$ convirja absolutamente (em norma), então ela convirja para um elemento de ${\textstyle \ell ^{2}}$. A prova é elementar na análise matemática, e permite que séries matemáticas de elementos do espaço sejam manipuladas com a mesma facilidade que as séries de números complexos (ou vetores num espaço euclidiano de dimensão finita).^[23]

Os espaços de Lebesgue são espaços de funções associados a espaços de medida (X, M, μ), onde X é um conjunto, M é uma σ-álgebra de subconjuntos de X, e μ é uma medida contavelmente aditiva em M. Seja L²(X, μ) o espaço daquelas funções mensuráveis de valor complexo em X para as quais o integral de Lebesgue do quadrado do valor absoluto da função é finito, isto é, para uma função f em L²(X, μ), $${\displaystyle \int _{X}|f|^{2}\,\mathrm {d} \mu <\infty \,,}$$ e onde as funções são identificadas se e somente se diferirem apenas num conjunto de medida nula.

O produto interno das funções f e g em L²(X, μ) é então definido como $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} \mu (t)}$$ ou $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\,\mathrm {d} \mu (t)\,,}$$

onde a segunda forma (conjugação do primeiro elemento) é comumente encontrada na literatura de física teórica. Para f e g em L², o integral existe por causa da desigualdade de Cauchy-Schwarz, e define um produto interno no espaço. Equipado com este produto interno, L² é de fato completo.^[44] O integral de Lebesgue é essencial para garantir a completude: em domínios de números reais, por exemplo, não há funções suficientes que sejam integráveis à Riemann.^[45]

Os espaços de Lebesgue aparecem em muitos contextos naturais.^[46] Os espaços L²(R) e L²([0,1]) de funções quadrado-integráveis em relação à medida de Lebesgue na reta real e no intervalo unitário, respetivamente, são domínios naturais nos quais se definem a transformada de Fourier e as séries de Fourier.^[47] Noutras situações, a medida pode ser algo diferente da medida de Lebesgue ordinária na reta real. Por exemplo, se w for qualquer função mensurável positiva, o espaço de todas as funções mensuráveis f no intervalo [0, 1] satisfazendo $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\bigl |}f(t){\bigr |}^{2}w(t)\,\mathrm {d} t<\infty }$$ é chamado de espaço L² ponderado L²
_w([0, 1]), e w é chamada de função peso. O produto interno é definido por $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(t){\overline {g(t)}}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

O espaço ponderado L²
_w([0, 1]) é idêntico ao espaço de Hilbert L²([0, 1], μ) onde a medida μ de um conjunto mensurável à Lebesgue A é definida por $${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}w(t)\,\mathrm {d} t\,.}$$

Espaços L² ponderados como este são frequentemente usados para estudar polinômios ortogonais, porque diferentes famílias de polinômios ortogonais são ortogonais em relação a diferentes funções de ponderação.^[48]

Os espaços de Sobolev, denotados por H^s ou W^s,2, são espaços de Hilbert. Estes são um tipo especial de espaço de funções no qual a diferenciação pode ser realizada, mas que (diferentemente de outros espaços de Banach como os espaços de Hölder) suportam a estrutura de um produto interno. Porque a diferenciação é permitida, os espaços de Sobolev são um cenário conveniente para a teoria das equações diferenciais parciais.^[49] Eles também formam a base da teoria dos métodos diretos no cálculo de variações.^[50]

Para s um inteiro não negativo e Ω ⊂ Rⁿ, o espaço de Sobolev H^s(Ω) contém funções L² cujas derivadas fracas de ordem até s também são L². O produto interno em H^s(Ω) é $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }Df(x)\cdot D{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\cdots +\int _{\Omega }D^{s}f(x)\cdot D^{s}{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x}$$ onde o ponto indica o produto escalar no espaço euclidiano das derivadas parciais de cada ordem. Os espaços de Sobolev também podem ser definidos quando s não é um inteiro.

Os espaços de Sobolev também são estudados do ponto de vista da teoria espetral, baseando-se mais especificamente na estrutura do espaço de Hilbert. Se Ω for um domínio adequado, então pode-se definir o espaço de Sobolev H^s(Ω) como o espaço de potenciais de Bessel;^[51] grosso modo, $${\displaystyle H^{s}(\Omega )=\left\{(1-\Delta )^{-s/2}f\mathrel {\Big |} f\in L^{2}(\Omega )\right\}\,.}$$

Aqui Δ é o laplaciano e (1 − Δ)^−s / 2 é entendido em termos do teorema do mapeamento espetral. Além de fornecer uma definição viável de espaços de Sobolev para s não inteiro, esta definição também possui propriedades particularmente desejáveis sob a transformada de Fourier que a tornam ideal para o estudo de operadores pseudo-diferenciais. Usando estes métodos numa variedade riemanniana compacta, pode-se obter por exemplo a decomposição de Hodge, que é a base da teoria de Hodge.^[52]

Na teoria das equações diferenciais ordinárias, os métodos espetrais num espaço de Hilbert adequado são usados para estudar o comportamento dos autovalores e das autofunções das equações diferenciais. Por exemplo, o problema de Sturm-Liouville surge no estudo dos harmônicos de ondas numa corda de violino ou num tambor, e é um problema central nas equações diferenciais ordinárias.^[58] O problema é uma equação diferencial da forma $${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y}$$ para uma função desconhecida y num intervalo [a, b], satisfazendo condições de contorno de Robin homogêneas gerais $${\displaystyle {\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)&=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)&=0\,.\end{cases}}}$$ As funções p, q e w são dadas antecipadamente, e o problema é encontrar a função y e as constantes λ para as quais a equação tem uma solução. O problema só tem soluções para certos valores de λ, chamados autovalores do sistema, e isto é uma consequência do teorema espetral para operadores compactos aplicado ao operador integral definido pela função de Green para o sistema. Além disso, outra consequência deste resultado geral é que os autovalores λ do sistema podem ser arranjados numa sequência crescente tendendo ao infinito.^{[59][nota 3]}

Os espaços de Hilbert formam uma ferramenta básica no estudo das equações diferenciais parciais.^[49] Para muitas classes de equações diferenciais parciais, tais como as equações elípticas lineares, é possível considerar uma solução generalizada (conhecida como solução fraca) ampliando a classe de funções. Muitas formulações fracas envolvem a classe das funções de Sobolev, que é um espaço de Hilbert. Uma formulação fraca adequada reduz-se a um problema geométrico, o problema analítico de encontrar uma solução ou, o que muitas vezes é mais importante, mostrar que uma solução existe e é única para os dados de contorno fornecidos. Para as equações elípticas lineares, um resultado geométrico que garante a solucionabilidade única para uma grande classe de problemas é o teorema de Lax-Milgram. Esta estratégia constitui o rudimento do método de Galerkin (um método dos elementos finitos) para a solução numérica de equações diferenciais parciais.^[60]

Um exemplo típico é a equação de Poisson −Δu = g com condições de contorno de Dirichlet num domínio limitado Ω em R². A formulação fraca consiste em encontrar uma função u tal que, para todas as funções continuamente diferenciáveis v em Ω que se anulam na fronteira: $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\int _{\Omega }gv\,.}$$

Isto pode ser reformulado em termos do espaço de Hilbert H¹
₀(Ω) que consiste nas funções u de tal modo que u, juntamente com as suas derivadas parciais fracas, são quadrado-integráveis em Ω, e se anulam na fronteira. A questão então reduz-se a encontrar u neste espaço de tal forma que para todo v neste espaço $${\displaystyle a(u,v)=b(v)}$$

onde a é uma forma bilinear contínua, e b é um funcional linear contínuo, dados respetivamente por $${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v,\quad b(v)=\int _{\Omega }gv\,.}$$

Como a equação de Poisson é elíptica, deduz-se da desigualdade de Poincaré que a forma bilinear a é coerciva. O teorema de Lax-Milgram garante então a existência e a unicidade das soluções desta equação.^[61]

Os espaços de Hilbert permitem que muitas equações diferenciais parciais elípticas sejam formuladas de forma semelhante, e o teorema de Lax-Milgram é então uma ferramenta básica na sua análise. Com modificações adequadas, técnicas semelhantes podem ser aplicadas às equações diferenciais parciais parabólicas e a certas equações diferenciais parciais hiperbólicas.^[62]

O campo da teoria ergódica é o estudo do comportamento a longo prazo de sistemas dinâmicos caóticos. O caso prototípico de um campo ao qual a teoria ergódica se aplica é a termodinâmica, na qual — embora o estado microscópico de um sistema seja extremamente complicado (é impossível entender o conjunto de colisões individuais entre partículas de matéria) — o comportamento médio ao longo de intervalos de tempo suficientemente longos é tratável. As leis da termodinâmica são asserções sobre tal comportamento médio. Em particular, uma formulação da lei zero da termodinâmica assevera que, ao longo de escalas de tempo suficientemente longas, a única medição funcionalmente independente que se pode fazer de um sistema termodinâmico em equilíbrio é a sua energia total, sob a forma de temperatura.^[63]

Um sistema dinâmico ergódico é aquele para o qual, além da energia — medida pelo hamiltoniano —, não existem outras quantidades conservadas funcionalmente independentes no espaço de fase. Mais explicitamente, suponha que a energia E é fixa, e seja Ω_E o subconjunto do espaço de fase que consiste em todos os estados de energia E (uma superfície de energia), e seja T_t o operador de evolução no espaço de fase. O sistema dinâmico é ergódico se toda função mensurável invariante em Ω_E for constante quase em toda parte.^[64] Uma função invariante f é aquela para a qual $${\displaystyle f(T_{t}w)=f(w)}$$ para todo w em Ω_E e todo o tempo t. O teorema de Liouville implica que existe uma medida μ na superfície de energia que é invariante sob a translação no tempo. Como resultado, a translação no tempo é uma transformação unitária do espaço de Hilbert L²(Ω_E, μ) que consiste em funções quadrado-integráveis na superfície de energia Ω_E em relação ao produto interno $${\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle _{L^{2}\left(\Omega _{E},\mu \right)}=\int _{\Omega _{E}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu \,.}$$

O teorema ergódico médio de von Neumann^[38] afirma o seguinte:

• Se U_t é um semigrupo (fortemente contínuo) a um parâmetro de operadores unitários num espaço de Hilbert H, e P é a projeção ortogonal no espaço dos pontos fixos comuns de U_t, {x ∈H | U_tx = x, ∀t > 0}, então $${\displaystyle Px=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}x\,\mathrm {d} t\,.}$$

Para um sistema ergódico, o conjunto fixo da evolução temporal consiste apenas nas funções constantes, então o teorema ergódico implica o seguinte: para qualquer função f ∈ L²(Ω_E, μ),^[65] $${\displaystyle {\underset {T\to \infty }{L^{2}-\lim }}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(T_{t}w)\,\mathrm {d} t=\int _{\Omega _{E}}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)\,.}$$

Isto é, a média de longo prazo de um observável f é igual ao seu valor esperado numa superfície de energia.^[66]

Um dos objetivos básicos da análise de Fourier é o de decompor uma função numa combinação linear (possivelmente infinita) de dadas funções de base: a série de Fourier associada. A série clássica de Fourier associada a uma função f definida no intervalo [0, 1] é uma série da forma $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }}$$ onde $${\displaystyle a_{n}=\int _{0}^{1}f(\theta )\;\!e^{-2\pi in\theta }\,\mathrm {d} \theta \,.}$$

O exemplo da adição dos primeiros termos de uma série de Fourier para uma função dente de serra é mostrado na figura. As funções de base são ondas senoidais com comprimentos de onda ⁠λ/n⁠ (para n inteiro) mais curtos do que o comprimento de onda λ do próprio dente de serra (exceto para n = 1, a onda fundamental).

Um problema significativo nas séries clássicas de Fourier indaga em que sentido a série de Fourier converge, se é que converge, para a função f. Os métodos do espaço de Hilbert fornecem uma resposta possível a esta questão.^[67] As funções e_n(θ) = e^2πinθ formam uma base ortogonal do espaço de Hilbert L²([0, 1]). Consequentemente, qualquer função quadrado-integrável pode ser expressa como uma série $${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n}a_{n}e_{n}(\theta )\,,\quad a_{n}=\langle f,e_{n}\rangle }$$ e, além disso, esta série converge no sentido do espaço de Hilbert (isto é, na média L²).

O problema também pode ser estudado do ponto de vista abstrato: todo espaço de Hilbert tem uma base ortonormal, e todo elemento do espaço de Hilbert pode ser escrito de uma forma única como uma soma de múltiplos desses elementos da base. Os coeficientes que aparecem nestes elementos da base são por vezes conhecidos abstratamente como os coeficientes de Fourier do elemento do espaço.^[68] A abstração é especialmente útil quando é mais natural usar diferentes funções de base para um espaço tal como L²([0, 1]). Em muitas circunstâncias, é desejável não decompor uma função em funções trigonométricas, mas sim em polinômios ortogonais ou wavelets por exemplo,^[69] e em dimensões superiores em harmônicos esféricos.^[70]

Por exemplo, se e_n são quaisquer funções de base ortonormal de L²[0, 1], então uma dada função em L²[0, 1] pode ser aproximada como uma combinação linear finita^[71] $${\displaystyle f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)\,.}$$

Os coeficientes ${\displaystyle \{a_{j}\}}$ são selecionados para tornar a magnitude da diferença ${\displaystyle \|f-f_{n}\|^{2}}$ o menor possível. Geometricamente, a melhor aproximação é a projeção ortogonal de ${\displaystyle f}$ no subespaço constituído por todas as combinações lineares dos ${\displaystyle \{e_{j}\}}$, e pode ser calculada por^[72] $${\displaystyle a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,\mathrm {d} x\,.}$$

O fato de esta fórmula minimizar a diferença ${\displaystyle \|f-f_{n}\|^{2}}$ é uma consequência da desigualdade de Bessel e da fórmula de Parseval.

Em várias aplicações a problemas físicos, uma função pode ser decomposta em autofunções fisicamente significativas de um operador diferencial (tipicamente o operador de Laplace): isto constitui o fundamento para o estudo espetral das funções, em referência ao espetro do operador diferencial.^[73] Uma aplicação física concreta envolve o problema de ouvir a forma de um tambor: dados os modos fundamentais de vibração que uma pele de tambor é capaz de produzir, pode-se inferir a forma do próprio tambor?^[74] A formulação matemática desta questão envolve os autovalores de Dirichlet da equação de Laplace no plano, que representam os modos fundamentais de vibração em analogia direta com os inteiros que representam os modos fundamentais de vibração da corda de violino.

A teoria espetral também fundamenta certos aspetos da transformada de Fourier de uma função. Ao passo que a análise de Fourier decompõe uma função definida num conjunto compacto no espetro discreto do laplaciano (que corresponde às vibrações de uma corda de violino ou de um tambor), a transformada de Fourier de uma função é a decomposição de uma função definida em todo o espaço euclidiano nas suas componentes no espetro contínuo do laplaciano. A transformação de Fourier também é geométrica, num sentido tornado preciso pelo teorema de Plancherel, que afirma que é uma isometria de um espaço de Hilbert (o "domínio do tempo") para outro (o "domínio da frequência"). Esta propriedade de isometria da transformação de Fourier é um tema recorrente na análise harmônica abstrata (uma vez que reflete a conservação de energia para a transformada contínua de Fourier), como evidenciado, por exemplo, pelo teorema de Plancherel para funções esféricas que ocorre na análise harmônica não comutativa.^[75]

Na formulação matematicamente rigorosa da mecânica quântica, desenvolvida por John von Neumann,^[76] os estados possíveis (mais precisamente, os estados puros) de um sistema mecânico quântico são representados por vetores unitários (chamados vetores de estado) que residem num espaço de Hilbert separável complexo, conhecido como o espaço de estados, bem definido até a um número complexo de norma 1 (o fator de fase). Por outras palavras, os estados possíveis são pontos na projetivização de um espaço de Hilbert, geralmente chamado de espaço projetivo complexo. A natureza exata deste espaço de Hilbert é dependente do sistema; por exemplo, os estados de posição e de momento para uma única partícula não-relativística de spin zero é o espaço de todas as funções quadrado-integráveis, enquanto os estados para o spin de um único próton são elementos unitários do espaço de Hilbert complexo bidimensional dos espinores. Cada observável é representado por um operador linear autoadjunto atuando no espaço de estados. Cada autoestado de um observável corresponde a um autovetor do operador, e o autovalor associado corresponde ao valor do observável nesse autoestado.^[77]

O produto interno entre dois vetores de estado é um número complexo conhecido como a amplitude de probabilidade. Durante uma medição ideal de um sistema mecânico quântico, a probabilidade de um sistema colapsar de um dado estado inicial para um autoestado particular é dada pelo quadrado do valor absoluto das amplitudes de probabilidade entre os estados inicial e final.^[78] Os resultados possíveis de uma medição são os autovalores do operador — o que explica a escolha de operadores autoadjuntos, pois todos os autovalores devem ser reais. A distribuição de probabilidade de um observável num dado estado pode ser encontrada calculando a decomposição espetral do operador correspondente.^[79]

Para um sistema geral, os estados tipicamente não são puros, mas são, em vez disso, representados como misturas estatísticas de estados puros, ou estados mistos, dados por matrizes de densidade: operadores autoadjuntos de traço um sobre um espaço de Hilbert.^[80] Além disso, para sistemas mecânicos quânticos gerais, os efeitos de uma única medição podem influenciar outras partes de um sistema de uma forma que é descrita, por sua vez, por uma medida com valor de operador positivo. Assim, a estrutura tanto dos estados quanto dos observáveis na teoria geral é consideravelmente mais complexa do que a idealização para os estados puros.^[81]

Na teoria das probabilidades, os espaços de Hilbert também têm diversas aplicações. Aqui, um espaço de Hilbert fundamental é o espaço das variáveis aleatórias num dado espaço de probabilidade, possuindo classe ${\displaystyle L^{2}}$ (primeiro e segundo momentos finitos). Uma operação comum na estatística é a de centrar uma variável aleatória subtraindo a sua esperança matemática. Assim, se ${\displaystyle X}$ é uma variável aleatória, então ${\displaystyle X-E(X)}$ é o seu centramento. Na perspetiva do espaço de Hilbert, esta é a projeção ortogonal de ${\displaystyle X}$ sobre o núcleo do operador de esperança matemática, que é um funcional linear contínuo no espaço de Hilbert (de facto, o produto interno com a variável aleatória constante 1), e por isso este núcleo é um subespaço fechado.^[82]

A esperança condicional tem uma interpretação natural no espaço de Hilbert.^[83] Suponha que seja dado um espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,P,{\mathcal {B}})}$, onde ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ é uma sigma-álgebra no conjunto ${\displaystyle \Omega }$, e ${\displaystyle P}$ é uma medida de probabilidade no espaço de medida ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {B}})}$. Se ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}}$ é uma sigma-subálgebra de ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, então a esperança condicional ${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {F}}]}$ é a projeção ortogonal de ${\displaystyle X}$ sobre o subespaço de ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$ constituído pelas funções mensuráveis em ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Se a variável aleatória ${\displaystyle X}$ em ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$ for independente da sigma-álgebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, então a esperança condicional ${\displaystyle E(X\mid {\mathcal {F}})=E(X)}$, isto é, a sua projeção sobre as funções mensuráveis em ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ é constante. Equivalentemente, a projeção do seu centramento é zero.

Em particular, se duas variáveis aleatórias ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ (em ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$) são independentes, então as variáveis aleatórias centradas ${\displaystyle X-E(X)}$ e ${\displaystyle Y-E(Y)}$ são ortogonais. (Isto significa que as duas variáveis têm covariância nula: são não correlacionadas.) Nesse caso, o teorema de Pitágoras no núcleo do operador de esperança implica que as variâncias de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ satisfazem a identidade: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y),}$$ por vezes chamada de teorema de Pitágoras da estatística, e é de importância na regressão linear.^[84] Como Stapleton (1995) o coloca, "a análise de variância pode ser vista como a decomposição do comprimento ao quadrado de um vetor na soma dos comprimentos ao quadrado de vários vetores, usando o Teorema de Pitágoras."

A teoria dos martingales pode ser formulada em espaços de Hilbert. Um martingale num espaço de Hilbert é uma sequência ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$ de elementos de um espaço de Hilbert de tal forma que, para cada n, ${\displaystyle x_{n}}$ é a projeção ortogonal de ${\displaystyle x_{n+1}}$ sobre o envoltório linear de ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$.^[85] Se os ${\displaystyle x_{k}}$ forem variáveis aleatórias, isto reproduz a definição habitual de um martingale (discreto): a esperança de ${\displaystyle x_{n+1}}$, condicionada a ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, é igual a ${\displaystyle x_{n}}$.

Os espaços de Hilbert também são usados ao longo dos fundamentos do cálculo de Itô.^[86] A qualquer martingale quadrado-integrável, é possível associar uma norma de Hilbert no espaço de classes de equivalência de processos progressivamente mensuráveis em relação ao martingale (usando a variação quadrática do martingale como medida). O integral de Itô pode ser construído definindo-o primeiro para os processos simples e explorando depois a sua densidade no espaço de Hilbert. Um resultado notável é então a isometria de Itô, que atesta que para qualquer martingale M com medida de variação quadrática ${\displaystyle d\langle M\rangle _{t}}$, e para qualquer processo progressivamente mensurável H:^[87] $${\displaystyle E\left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dM_{s}\right)^{2}\right]=E\left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right]}$$ sempre que a esperança matemática do lado direito seja finita.

Uma aplicação mais profunda dos espaços de Hilbert que é especialmente importante na teoria dos processos gaussianos é uma tentativa, devido a Leonard Gross e a outros, de dar sentido a certas integrais formais sobre espaços de dimensão infinita, como a integral de caminho de Feynman da teoria quântica de campos. O problema com integrais como esta é que não existe uma medida de Lebesgue em dimensão infinita. A noção de um espaço abstrato de Wiener permite construir uma medida num espaço de Banach B que contém um espaço de Hilbert H, chamado de espaço de Cameron-Martin, como um subconjunto denso, a partir de uma medida de conjunto de cilindros finitamente aditiva em H. A medida resultante em B é aditiva de forma enumerável e invariante sob a translação por elementos de H, e isto fornece uma maneira matematicamente rigorosa de pensar na medida de Wiener como uma medida gaussiana adaptada ao espaço de Sobolev ${\displaystyle H^{1}([0,\infty ))}$.^[88]

Qualquer cor física verdadeira pode ser representada por uma combinação de cores espetrais puras. Como as cores físicas podem ser compostas por qualquer número de cores espetrais, o espaço das cores físicas pode ser adequadamente representado por um espaço de Hilbert sobre as cores espetrais. Os seres humanos possuem três tipos de células cone para a perceção das cores, pelo que as cores percetíveis podem ser representadas pelo espaço euclidiano tridimensional. O mapeamento linear de muitos-para-um do espaço de Hilbert de cores físicas para o espaço euclidiano de cores percetíveis pelo ser humano explica a razão pela qual muitas cores físicas distintas podem ser percecionadas pelos seres humanos como sendo idênticas (por exemplo, luz amarela pura contra uma mistura de luz vermelha e verde, ver Metamerismo).^[89][90]

Dois vetores u e v num espaço de Hilbert H são ortogonais quando ⟨u, v⟩ = 0. A notação para isto é u ⊥ v. De forma mais geral, quando S é um subconjunto em H, a notação u ⊥ S significa que u é ortogonal a todo elemento de S.

Quando u e v são ortogonais, tem-se $${\displaystyle \|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\,.}$$

Por indução em n, isto é estendido para qualquer família u₁, ..., u_n de n vetores ortogonais, $${\displaystyle \left\|u_{1}+\cdots +u_{n}\right\|^{2}=\left\|u_{1}\right\|^{2}+\cdots +\left\|u_{n}\right\|^{2}.}$$

Embora a identidade pitagórica (ou teorema de Pitágoras) declarada seja válida em qualquer espaço com produto interno, a completude é necessária para a extensão da identidade pitagórica às séries.^[91] Uma série Σu_k de vetores ortogonais converge em H se e somente se a série de quadrados de normas convergir, e $${\displaystyle {\Biggl \|}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}{\Biggr \|}^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|u_{k}\right\|^{2}\,.}$$ Adicionalmente, a soma de uma série de vetores ortogonais é independente da ordem em que é tomada.

Por definição, todo espaço de Hilbert é também um espaço de Banach. Além disso, em todo espaço de Hilbert, verifica-se a seguinte identidade do paralelogramo:^[92] $${\displaystyle \|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2{\bigl (}\|u\|^{2}+\|v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

Por outro lado, todo espaço de Banach no qual a identidade do paralelogramo se verifica é um espaço de Hilbert, e o produto interno é inequivocamente determinado pela norma pela identidade de polarização.^[93] Para espaços de Hilbert reais, a identidade de polarização é $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

Para espaços de Hilbert complexos, ela é $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}{\bigr )}\,.}$$

A lei do paralelogramo implica que qualquer espaço de Hilbert é um espaço de Banach uniformemente convexo.^[94]

Esta subseção emprega o teorema da projeção de Hilbert. Se C é um subconjunto convexo fechado não vazio de um espaço de Hilbert H e x um ponto em H, existe um ponto único y ∈ C que minimiza a distância entre x e os pontos em C,^[95] $${\displaystyle y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min {\bigl \{}\|x-z\|\mathrel {\big |} z\in C{\bigr \}}\,.}$$

Isto é equivalente a dizer que existe um ponto com norma mínima no conjunto convexo transladado D = C − x. A prova consiste em mostrar que toda sequência minimizadora (d_n) ⊂ D é de Cauchy (usando a identidade do paralelogramo) e, portanto, converge (usando completude) para um ponto em D que tem norma mínima. Mais genericamente, isto verifica-se em qualquer espaço de Banach uniformemente convexo.^[96]

Quando este resultado é aplicado a um subespaço fechado F de H, pode-se mostrar que o ponto y ∈ F mais próximo de x é caracterizado por^[97] $${\displaystyle y\in F\,,\quad x-y\perp F\,.}$$

Este ponto y é a projeção ortogonal de x sobre F, e o mapeamento P_F : x → y é linear (veja Complementos ortogonais e projeções). Este resultado é especialmente significativo na matemática aplicada, especialmente na análise numérica, onde forma a base dos métodos dos mínimos quadrados.^[98]

Em particular, quando F não é igual a H, pode-se encontrar um vetor não-nulo v ortogonal a F (selecionando x ∉ F e v = x − y). Um critério muito útil é obtido aplicando-se esta observação ao subespaço fechado F gerado por um subconjunto S de H.

Um subconjunto S de H abrange (spans) um subespaço vetorial denso se (e somente se) o vetor 0 for o único vetor v ∈ H ortogonal a S.

O espaço dual contínuo H* é o espaço de todas as funções lineares contínuas do espaço H no corpo base. Ele carrega uma norma natural, definida por $${\displaystyle \|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.}$$ Esta norma satisfaz a lei do paralelogramo, e, portanto, o espaço dual é também um espaço com produto interno, onde este produto interno pode ser definido em termos desta norma dual usando a identidade de polarização. O espaço dual também é completo, pelo que é um espaço de Hilbert por direito próprio. Se e_• = (e_i)_{i ∈ I} é uma base ortonormal completa para H, então o produto interno no espaço dual de quaisquer dois ${\displaystyle f,g\in H^{*}}$ é $${\displaystyle \langle f,g\rangle _{H^{*}}=\sum _{i\in I}f(e_{i}){\overline {g(e_{i})}}}$$ onde todos os termos nesta série, exceto os contáveis, são zero.

O teorema da representação de Riesz proporciona uma descrição conveniente do espaço dual. A cada elemento u de H, há um elemento único φ_u de H*, definido por $${\displaystyle \varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle }$$ onde, além disso, ${\displaystyle \left\|\varphi _{u}\right\|=\left\|u\right\|.}$

O teorema da representação de Riesz afirma que o mapa de H para H* definido por u ↦ φ_u é sobrejetivo, o que faz deste mapa um isomorfismo antilinear isométrico.^[99] Então, para cada elemento φ do dual H* existe um e apenas um u_φ em H tal que $${\displaystyle \langle x,u_{\varphi }\rangle =\varphi (x)}$$ para todo x ∈ H. O produto interno no espaço dual H* satisfaz $${\displaystyle \langle \varphi ,\psi \rangle =\langle u_{\psi },u_{\varphi }\rangle \,.}$$

A inversão da ordem no lado direito restaura a linearidade em φ a partir da antilinearidade de u_φ. No caso real, o isomorfismo antilinear de H para o seu dual é, na verdade, um isomorfismo, de modo que os espaços de Hilbert reais são naturalmente isomorfos aos seus próprios duais.

O vetor representante u_φ é obtido da seguinte maneira. Quando φ ≠ 0, o núcleo F = Ker(φ) é um subespaço vetorial fechado de H, não igual a H, consequentemente existe um vetor não-nulo v ortogonal a F. O vetor u é um múltiplo escalar adequado λv de v. A exigência de que φ(v) = ⟨v, u⟩ produz $${\displaystyle u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v\,.}$$

Esta correspondência φ ↔ u é explorada pela notação bra-ket popular na física.^[100] É comum na física assumir que o produto interno, denotado por ${\displaystyle \langle x|y\rangle }$, é linear à direita, $${\displaystyle \langle x|y\rangle =\langle y,x\rangle \,.}$$ O resultado ${\displaystyle \langle x|y\rangle }$ pode ser visto como a ação do funcional linear ${\displaystyle \langle x|}$ (o bra) no vetor ${\displaystyle |y\rangle }$ (o ket).

O teorema da representação de Riesz não se baseia fundamentalmente apenas na presença de um produto interno, mas também na completude do espaço. De fato, o teorema implica que o dual topológico de qualquer espaço com produto interno pode ser identificado com a sua completude.^[101] Uma consequência imediata do teorema da representação de Riesz é também que um espaço de Hilbert H é reflexivo, o que significa que o mapa natural de H para o seu espaço bidual é um isomorfismo.

Num espaço de Hilbert H, uma sequência {x_n} é fracamente convergente para um vetor x ∈ H quando $${\displaystyle \lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle }$$ para todo v ∈ H.

Por exemplo, qualquer sequência ortonormal {f_n} converge fracamente para 0, como uma consequência da desigualdade de Bessel. Toda sequência fracamente convergente {x_n} é limitada, pelo teorema de Banach-Steinhaus (princípio da limitação uniforme).

Em contrapartida, toda sequência limitada num espaço de Hilbert admite subsequências fracamente convergentes (teorema de Banach-Alaoglu).^[102] Este facto pode ser usado para provar resultados de minimização para funcionais convexos contínuos, da mesma forma que o teorema de Bolzano-Weierstrass é usado para funções contínuas em R^d. Entre várias variantes, uma afirmação simples é a seguinte:^[103]

Se ${\displaystyle f:H\to \mathbb {R} }$ for uma função contínua convexa tal que ${\displaystyle f(x)}$ tende para ${\displaystyle +\infty }$ quando ${\displaystyle \|x\|}$ tende para ${\displaystyle \infty }$, então ${\displaystyle f}$ admite um mínimo em algum ponto ${\displaystyle x_{0}\in H}$.

Este fato (e as suas várias generalizações) é fundamental para os métodos diretos no cálculo de variações. Resultados de minimização para funcionais convexos são também uma consequência direta do fato ligeiramente mais abstrato de que subconjuntos convexos fechados limitados num espaço de Hilbert H são fracamente compactos, uma vez que H é reflexivo. A existência de subsequências fracamente convergentes é um caso especial do teorema de Eberlein-Šmulian.^[104]

Qualquer propriedade geral dos espaços de Banach continua a verificar-se para os espaços de Hilbert. O teorema da aplicação aberta afirma que uma transformação linear sobrejetiva contínua de um espaço de Banach para outro é um mapeamento aberto significando que envia conjuntos abertos para conjuntos abertos. Um corolário é o teorema da inversa limitada, segundo o qual uma função linear contínua e bijetiva de um espaço de Banach para outro é um isomorfismo (ou seja, um mapa linear contínuo cuja inversa é também contínua). Este teorema é consideravelmente mais simples de provar no caso dos espaços de Hilbert do que nos espaços de Banach em geral.^[105] O teorema da aplicação aberta é equivalente ao teorema do gráfico fechado, que assevera que uma função linear de um espaço de Banach para outro é contínua se e somente se o seu gráfico for um conjunto fechado.^[106] No caso dos espaços de Hilbert, isto é fundamental no estudo de operadores ilimitados (veja Operador fechado).^[107]

O teorema de Hahn-Banach (geométrico) assevera que um conjunto convexo fechado pode ser separado de qualquer ponto exterior a ele por meio de um hiperplano do espaço de Hilbert. Isto é uma consequência imediata da propriedade da melhor aproximação: se y é o elemento de um conjunto convexo fechado F mais próximo de x, então o hiperplano separador é o plano perpendicular ao segmento xy que passa pelo seu ponto médio.^[108]

Os operadores lineares contínuos A : H₁ → H₂ de um espaço de Hilbert H₁ para um segundo espaço de Hilbert H₂ são limitados no sentido de que mapeiam conjuntos limitados em conjuntos limitados.^[109] Inversamente, se um operador é limitado, então ele é contínuo. O espaço de tais operadores lineares limitados possui uma norma, a norma de operador, dada por $${\displaystyle \lVert A\rVert =\sup {\bigl \{}\|Ax\|\mathrel {\big |} \|x\|\leq 1{\bigr \}}\,.}$$

A soma e a composição de dois operadores lineares limitados são novamente limitadas e lineares. Para y em H₂, o mapa que envia x ∈ H₁ para ⟨Ax, y⟩ é linear e contínuo, e de acordo com o teorema da representação de Riesz pode, portanto, ser representado na forma $${\displaystyle \left\langle x,A^{*}y\right\rangle =\langle Ax,y\rangle }$$ para algum vetor A*y em H₁. Isto define outro operador linear limitado A* : H₂ → H₁, o adjunto de A. O adjunto satisfaz A** = A. Quando o teorema da representação de Riesz é usado para identificar cada espaço de Hilbert com o seu espaço dual contínuo, pode-se mostrar que o adjunto de A é idêntico à transposta ^tA : H₂* → H₁* de A, a qual, por definição, envia ${\displaystyle \psi \in H_{2}^{*}}$ para o funcional ${\displaystyle \psi \circ A\in H_{1}^{*}.}$

O conjunto B(H) de todos os operadores lineares limitados em H (ou seja, operadores H → H), juntamente com as operações de adição e composição, a norma e a operação adjunta, é uma álgebra C*, que é um tipo de álgebra de operadores.

Um elemento A de B(H) é chamado de 'autoadjunto' ou 'hermitiano' se A* = A. Se A for hermitiano e ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 para todo x, então A é chamado de 'não-negativo', escrito A ≥ 0; se a igualdade se verificar apenas quando x = 0, então A é chamado de 'positivo'. O conjunto de operadores autoadjuntos admite uma ordem parcial, na qual A ≥ B se A − B ≥ 0. Se A tiver a forma B*B para algum B, então A é não-negativo; se B for inversível, então A é positivo. A recíproca também é verdadeira no sentido de que, para um operador não-negativo A, existe uma única raiz quadrada não-negativa B tal que $${\displaystyle A=B^{2}=B^{*}B\,.}$$

Num sentido tornado preciso pelo teorema espetral, os operadores autoadjuntos podem ser utilmente pensados como operadores que são "reais". Um elemento A de B(H) é chamado de normal se A*A = AA*. Os operadores normais decompõem-se na soma de um operador autoadjunto e de um múltiplo imaginário de um operador autoadjunto $${\displaystyle A={\frac {A+A^{*}}{2}}+i{\frac {A-A^{*}}{2i}}}$$ que comutam entre si. Os operadores normais também podem ser utilmente pensados em termos de suas partes real e imaginária.

Um elemento U de B(H) é chamado de unitário se U for inversível e a sua inversa for dada por U*. Isto também pode ser expresso exigindo-se que U seja sobrejetor e ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩ para todos os x, y ∈ H. Os operadores unitários formam um grupo sob a composição, o qual é o grupo de isometria de H.

Um elemento de B(H) é compacto se enviar conjuntos limitados para conjuntos relativamente compactos. Equivalentemente, um operador limitado T é compacto se, para qualquer sequência limitada {x_k}, a sequência {Tx_k} possuir uma subsequência convergente. Muitos operadores integrais são compactos e, de facto, definem uma classe especial de operadores conhecidos como operadores de Hilbert-Schmidt, que são especialmente importantes no estudo de equações integrais. Os operadores de Fredholm são operadores que diferem de um operador compacto por um operador inversível, e são equivalentemente caracterizados como operadores com um núcleo e conúcleo de dimensão finita.^[110] Os operadores de Fredholm correspondem, portanto, aos elementos inversíveis da álgebra de Calkin. Os operadores de Fredholm podem ser intuitivamente pensados como operadores que são inversíveis módulo efeitos de dimensão finita.

O índice de um operador de Fredholm T é definido por $${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T\,.}$$ O índice é um invariante de homotopia e desempenha um papel profundo na geometria diferencial através do teorema do índice de Atiyah-Singer.

Os operadores ilimitados também são tratáveis em espaços de Hilbert e têm aplicações importantes na mecânica quântica.^[111] Um operador ilimitado T num espaço de Hilbert H é definido como um operador linear cujo domínio D(T) é um subespaço linear de H. Muitas vezes o domínio D(T) é um subespaço denso de H, caso em que T é conhecido como um operador densamente definido.

O adjunto de um operador ilimitado densamente definido é definido essencialmente da mesma maneira que para os operadores limitados. Os operadores ilimitados autoadjuntos desempenham o papel dos observáveis na formulação matemática da mecânica quântica. Exemplos de operadores ilimitados autoadjuntos no espaço de Hilbert L²(R) são:^[112]

• Uma extensão adequada do operador diferencial $${\displaystyle (Af)(x)=-i{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\,,}$$ onde i é a unidade imaginária e f é uma função diferenciável de suporte compacto.
• O operador de multiplicação por x: $${\displaystyle (Bf)(x)=xf(x)\,.}$$

Estes correspondem aos observáveis de momento e de posição, respetivamente. Nem A nem B estão definidos em todo o H, uma vez que, no caso de A, a derivada não precisa de existir, e no caso de B, a função produto não precisa de ser quadrado-integrável. Em ambos os casos, o conjunto de argumentos possíveis forma subespaços densos de L²(R).

Dois espaços de Hilbert H₁ e H₂ podem ser combinados noutro espaço de Hilbert, chamado de soma direta (ortogonal),^[113] e denotado por $${\displaystyle H_{1}\oplus H_{2}\,,}$$

que consiste no conjunto de todos os pares ordenados (x₁, x₂) onde x_i ∈ H_i, i = 1, 2, e o produto interno é definido por $${\displaystyle {\bigl \langle }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}=\left\langle x_{1},y_{1}\right\rangle _{H_{1}}+\left\langle x_{2},y_{2}\right\rangle _{H_{2}}\,.}$$

Mais geralmente, se H_i é uma família de espaços de Hilbert indexada por i ∈ I, então a soma direta dos H_i, denotada por $${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}H_{i}}$$ consiste no conjunto de todas as famílias indexadas $${\displaystyle x=(x_{i}\in H_{i}\mid i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}}$$ no produto cartesiano dos H_i tal que $${\displaystyle \sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty \,.}$$

O produto interno é definido por $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\left\langle x_{i},y_{i}\right\rangle _{H_{i}}\,.}$$

Cada um dos H_i está incluído como um subespaço fechado na soma direta de todos os H_i. Além disso, os H_i são ortogonais aos pares. Inversamente, se existe um sistema de subespaços fechados, V_i, i ∈ I, num espaço de Hilbert H, que são ortogonais aos pares e cuja expansão linear (linear span) é densa em H, então H é canonicamente isomorfo à soma direta dos V_i. Neste caso, H é chamado de soma direta interna dos V_i. Uma soma direta (interna ou externa) é também equipada com uma família de projeções ortogonais E_i sobre o i-ésimo somando direto H_i. Estas projeções são limitadas, autoadjuntas, e operadores idempotentes que satisfazem a condição de ortogonalidade $${\displaystyle E_{i}E_{j}=0,\quad i\neq j\,.}$$

O teorema espetral para operadores autoadjuntos compactos num espaço de Hilbert H assevera que H se divide na soma direta ortogonal dos autoespaços de um operador, e fornece também uma decomposição explícita do operador como uma soma de projeções sobre os autoespaços. A soma direta de espaços de Hilbert também aparece na mecânica quântica como o espaço de Fock de um sistema contendo um número variável de partículas, onde cada espaço de Hilbert na soma direta corresponde a um grau de liberdade adicional para o sistema mecânico quântico. Na teoria de representação, o teorema de Peter-Weyl garante que qualquer representação unitária de um grupo compacto num espaço de Hilbert se divide como a soma direta de representações de dimensão finita.^[114]

Se x₁, y₁ ∊ H₁ e x₂, y₂ ∊ H₂, então define-se um produto interno no produto tensorial (ordinário) da seguinte forma. Nos tensores simples, seja $${\displaystyle \langle x_{1}\otimes x_{2},\,y_{1}\otimes y_{2}\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle \,\langle x_{2},y_{2}\rangle \,.}$$

Esta fórmula estende-se então por sesquilinearidade para um produto interno em H₁ ⊗ H₂. O produto tensorial hilbertiano de H₁ e H₂, às vezes denotado por H₁ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$ H₂, é o espaço de Hilbert obtido completando H₁ ⊗ H₂ para a métrica associada a este produto interno.^[115]

Um exemplo é fornecido pelo espaço de Hilbert L²([0, 1]). O produto tensorial hilbertiano de duas cópias de L²([0, 1]) é isometricamente e linearmente isomorfo ao espaço L²([0, 1]²) de funções quadrado-integráveis no quadrado [0, 1]². Este isomorfismo envia um tensor simples f₁ ⊗ f₂ para a função $${\displaystyle (s,t)\mapsto f_{1}(s)\,f_{2}(t)}$$ no quadrado.

Este exemplo é típico no sentido que se segue.^[116] Associado a cada produto tensorial simples x₁ ⊗ x₂ está o operador de posto um de H^∗
₁ para H₂ que mapeia um dado x* ∈ H^∗
₁ como $${\displaystyle x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})x_{2}\,.}$$

Este mapeamento definido em tensores simples estende-se a uma identificação linear entre H₁ ⊗ H₂ e o espaço de operadores de posto finito de H^∗
₁ para H₂. Isto estende-se a uma isometria linear do produto tensorial hilbertiano ${\displaystyle H_{1}\mathbin {\widehat {\otimes }} H_{2}}$ com o espaço de Hilbert HS(H^∗
₁, H₂) de operadores de Hilbert-Schmidt de H^∗
₁ para H₂.

A identificação de operadores com espaços de produtos tensoriais generaliza-se para outras normas tensoriais. Por exemplo, o produto tensorial injetivo ${\displaystyle H_{1}\mathbin {\widehat {\otimes }} _{\varepsilon }H_{2}}$ pode ser identificado isometricamente com os operadores compactos de H^∗
₁ para H₂, enquanto o produto tensorial projetivo ${\displaystyle H_{1}\mathbin {\widehat {\otimes }} _{\pi }H_{2}}$, pode ser identificado isometricamente com os operadores de classe de traço de H^∗
₁ para H₂, sendo ambos os fatos implicados pela satisfação da propriedade de aproximação pelos espaços de Hilbert.^[117]

O espaço ${\displaystyle \ell _{2}}$ de sequências quadrado-somáveis de números complexos é o conjunto de sequências infinitas^[21] $${\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},\dots )}$$ de números reais ou complexos de tal forma que $${\displaystyle \left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}+\left|c_{3}\right|^{2}+\cdots <\infty \,.}$$

Este espaço tem uma base ortonormal: $${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=(1,0,0,\dots )\\e_{2}&=(0,1,0,\dots )\\&\ \ \vdots \end{aligned}}}$$

Este espaço é a generalização de dimensão infinita do espaço ${\displaystyle \ell _{2}^{n}}$ de vetores de dimensão finita. É geralmente o primeiro exemplo usado para mostrar que, em espaços de dimensão infinita, um conjunto que é fechado e limitado não é necessariamente compacto (sequencialmente) (como é o caso em todos os espaços de dimensão finita). De facto, o conjunto de vetores ortonormais acima mostra isso: É uma sequência infinita de vetores na bola unitária (isto é, a bola de pontos com norma menor ou igual a um). Este conjunto é claramente limitado e fechado; no entanto, nenhuma subsequência destes vetores converge para nada e, consequentemente, a bola unitária em ${\displaystyle \ell _{2}}$ não é compacta. Intuitivamente, isso ocorre porque "há sempre outra direção de coordenadas" para a qual os elementos seguintes da sequência podem fugir.^[122]

Pode-se generalizar o espaço ${\displaystyle \ell _{2}}$ de muitas maneiras. Por exemplo, se B é um conjunto qualquer, então pode-se formar um espaço de Hilbert de sequências com conjunto de índices B, definido por^[123] $${\displaystyle \ell ^{2}(B)={\biggl \{}x:B\xrightarrow {x} \mathbf {C} \mathrel {\bigg |} \sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}<\infty {\biggr \}}\,.}$$

O somatório sobre B é aqui definido por $${\displaystyle \sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}=\sup \sum _{n=1}^{N}\left|x(b_{n})\right|^{2}}$$ o supremo sendo tomado sobre todos os subconjuntos finitos de B. Segue-se que, para que esta soma seja finita, todo elemento de l²(B) tem apenas um número enumerável de termos não nulos. Este espaço torna-se um espaço de Hilbert com o produto interno $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}}$$

para todo x, y ∈ l²(B). Aqui, a soma também tem apenas um número enumerável de termos não nulos e é incondicionalmente convergente pela desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Uma base ortonormal de l²(B) é indexada pelo conjunto B, dada por

$${\displaystyle e_{b}(b')={\begin{cases}1&{\text{se }}b=b'\\0&{\text{caso contrário.}}\end{cases}}}$$

Seja f₁, ..., f_n um sistema ortonormal finito em H. Para um vetor arbitrário x ∈ H, seja $${\displaystyle y=\sum _{j=1}^{n}\langle x,f_{j}\rangle \,f_{j}\,.}$$

Então ⟨x, f_k⟩ = ⟨y, f_k⟩ para todo k = 1, ..., n. Resulta que x − y é ortogonal a cada f_k, logo x − y é ortogonal a y. Utilizando a identidade pitagórica duas vezes, conclui-se que $${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x-y\|^{2}+\|y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\bigl |}\langle x,f_{j}\rangle {\bigr |}^{2}\,.}$$

Seja {f_i}, i ∈ I, um sistema ortonormal arbitrário em H. Aplicando a desigualdade precedente a todo subconjunto finito J de I obtém-se a desigualdade de Bessel:^[124] $${\displaystyle \sum _{i\in I}{\bigl |}\langle x,f_{i}\rangle {\bigr |}^{2}\leq \|x\|^{2},\quad x\in H}$$ (de acordo com a definição de soma de uma família arbitrária de números reais não-negativos).

Geometricamente, a desigualdade de Bessel implica que a projeção ortogonal de x sobre o subespaço linear expandido pelos f_i tem norma que não excede a de x. Em duas dimensões, esta é a afirmação de que o comprimento do cateto de um triângulo retângulo não pode exceder o comprimento da hipotenusa.^[125]

A desigualdade de Bessel é um trampolim para o resultado mais forte chamado identidade de Parseval, que governa o caso quando a desigualdade de Bessel é, na verdade, uma igualdade. Por definição, se {e_k}_{k ∈ B} é uma base ortonormal de H, então todo elemento x de H pode ser escrito como $${\displaystyle x=\sum _{k\in B}\left\langle x,e_{k}\right\rangle \,e_{k}\,.}$$

Mesmo que B seja não-enumerável, a desigualdade de Bessel garante que a expressão é bem definida e consiste apenas de enumeráveis termos não-nulos. Esta soma é chamada de expansão de Fourier de x, e os coeficientes individuais ⟨x, e_k⟩ são os coeficientes de Fourier de x. A identidade de Parseval assevera então que^[126] $${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{k\in B}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\,.}$$

Inversamente,^[126] se {e_k} é um conjunto ortonormal de tal forma que a identidade de Parseval se verifique para todo x, então {e_k} é uma base ortonormal.

Como consequência do lema de Zorn, todo espaço de Hilbert admite uma base ortonormal; além disso, quaisquer duas bases ortonormais do mesmo espaço têm a mesma cardinalidade, chamada de dimensão de Hilbert do espaço.^[127] Por exemplo, uma vez que l²(B) possui uma base ortonormal indexada por B, a sua dimensão de Hilbert é a cardinalidade de B (que pode ser um número inteiro finito, ou um número cardinal enumerável ou não enumerável).

A dimensão de Hilbert não é maior do que a dimensão de Hamel (a dimensão usual de um espaço vetorial).^[128]

Como consequência da identidade de Parseval,^[129] se {e_k}_{k ∈ B} é uma base ortonormal de H, então o mapa Φ : H → l²(B) definido por Φ(x) = ⟨x, e_k⟩_k∈B é um isomorfismo isométrico de espaços de Hilbert: é um mapeamento linear bijetivo tal que $${\displaystyle {\bigl \langle }\Phi (x),\Phi (y){\bigr \rangle }_{l^{2}(B)}=\left\langle x,y\right\rangle _{H}}$$ para todos os x, y ∈ H. O número cardinal de B é a dimensão de Hilbert de H. Desta forma, todo espaço de Hilbert é isometricamente isomorfo a um espaço de sequências l²(B) para algum conjunto B.

Por definição, um espaço de Hilbert é separável desde que contenha um subconjunto enumerável denso. Em conjunto com o lema de Zorn, isto significa que um espaço de Hilbert é separável se e somente se admitir uma base ortonormal enumerável. Todos os espaços de Hilbert separáveis de dimensão infinita são, portanto, isometricamente isomorfos ao espaço de sequências quadrado-somáveis,^[130] ${\displaystyle \ell ^{2}.}$

No passado, exigia-se frequentemente que os espaços de Hilbert fossem separáveis como parte da definição.^[131]