Grupo abeliano

Na matemática, um grupo abeliano, também chamado de grupo comutativo, é um grupo no qual o resultado da aplicação da operação de grupo a dois elementos do grupo não depende da ordem em que eles são escritos. Ou seja, a operação de grupo é comutativa. Com a adição como operação, os inteiros e os reais formam grupos abelianos, e o conceito de um grupo abeliano pode ser visto como uma generalização desses exemplos. Os grupos abelianos recebem esse nome em homenagem ao matemático norueguês Niels Henrik Abel.^[1]

O conceito de um grupo abeliano está na base de muitas estruturas algébricas fundamentais, tais como corpos, anéis, espaços vetoriais e álgebras. A teoria dos grupos abelianos é geralmente mais simples do que a de seus equivalentes não abelianos, e os grupos abelianos finitos são muito bem compreendidos e totalmente classificados.

Um grupo abeliano é um conjunto ${\displaystyle A}$, juntamente com uma operação ⋅ , que combina quaisquer dois elementos ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle A}$ para formar outro elemento de ${\displaystyle A}$, denotado por ${\displaystyle a\cdot b}$. O símbolo ⋅ é um marcador de posição geral para uma operação dada concretamente. Para se qualificar como um grupo abeliano, o conjunto e a operação, ${\displaystyle (A,\cdot )}$, devem satisfazer quatro requisitos conhecidos como os axiomas de grupo abeliano (alguns autores incluem nos axiomas certas propriedades que pertencem à definição de uma operação: a saber, que a operação está definida para qualquer par ordenado de elementos de A, que o resultado é bem definido e que o resultado pertence a A):

Associatividade

Para todos os ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$ em ${\displaystyle A}$, a equação ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ é válida.

Elemento neutro

Existe um elemento ${\displaystyle e}$ em ${\displaystyle A}$, tal que para todos os elementos ${\displaystyle a}$ em ${\displaystyle A}$, a equação ${\displaystyle e\cdot a=a\cdot e=a}$ é válida.

Elemento inverso

Para cada ${\displaystyle a}$ em ${\displaystyle A}$ existe um elemento ${\displaystyle b}$ em ${\displaystyle A}$ tal que ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a=e}$, onde ${\displaystyle e}$ é o elemento neutro.

Comutatividade

Para todos os ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ em ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$.

Um grupo no qual a operação de grupo não é comutativa é chamado de "grupo não abeliano" ou "grupo não comutativo".^[2]

• O grupo constituído apenas pelo elemento neutro é abeliano.
• Para os inteiros e a operação de adição ${\displaystyle +}$, denotada por ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$, a operação + combina quaisquer dois inteiros para formar um terceiro inteiro, a adição é associativa, o zero é o elemento neutro aditivo, todo inteiro ${\displaystyle n}$ possui um inverso aditivo, ${\displaystyle -n}$, e a operação de adição é comutativa, uma vez que ${\displaystyle n+m=m+n}$ para quaisquer dois inteiros ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$.
• Todo grupo cíclico ${\displaystyle G}$ é abeliano, pois se ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ estão em ${\displaystyle G}$, então ${\displaystyle xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx}$. Assim, os inteiros, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, formam um grupo abeliano sob a adição, assim como os inteiros módulo ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$.
• Todo anel é um grupo abeliano no que diz respeito à sua operação de adição. Em um anel comutativo, os elementos invertíveis, ou unidades, formam um grupo multiplicativo abeliano. Em particular, os números reais são um grupo abeliano sob a adição, e os números reais não nulos são um grupo abeliano sob a multiplicação.
• Todo subgrupo de um grupo abeliano é normal, de modo que cada subgrupo dá origem a um grupo quociente. Subgrupos, quocientes e somas diretas de grupos abelianos são novamente abelianos. Os grupos abelianos simples finitos são exatamente os grupos cíclicos de ordem prima.^[6]
• Os conceitos de grupo abeliano e ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo coincidem. Mais especificamente, todo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo é um grupo abeliano com sua operação de adição, e todo grupo abeliano é um módulo sobre o anel dos inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ de forma única.

Em geral, as matrizes, mesmo as matrizes invertíveis, não formam um grupo abeliano sob a multiplicação porque a multiplicação de matrizes geralmente não é comutativa. No entanto, alguns grupos de matrizes são grupos abelianos sob a multiplicação de matrizes — um exemplo é o grupo das matrizes de rotação ${\displaystyle 2\times 2}$.

Camille Jordan nomeou os grupos abelianos em homenagem ao matemático norueguês Niels Henrik Abel, que havia descoberto que a comutatividade do grupo de um polinômio implica que as raízes do polinômio podem ser calculadas usando radicais.^[7][8]

Se ${\displaystyle n}$ for um número natural e ${\displaystyle x}$ for um elemento de um grupo abeliano ${\displaystyle G}$ escrito aditivamente, então ${\displaystyle nx}$ pode ser definido como ${\displaystyle x+x+\cdots +x}$ (${\displaystyle n}$ parcelas) e ${\displaystyle (-n)x=-(nx)}$. Desta forma, ${\displaystyle G}$ torna-se um módulo sobre o anel ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ dos inteiros. De fato, os módulos sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ podem ser identificados com os grupos abelianos.^[9]

Os teoremas sobre grupos abelianos (ou seja, módulos sobre o domínio de ideais principais ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) podem frequentemente ser generalizados para teoremas sobre módulos sobre um domínio de ideais principais arbitrário. Um exemplo típico é a classificação dos grupos abelianos finitamente gerados, que é uma especialização do teorema de estrutura para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais. No caso de grupos abelianos finitamente gerados, este teorema garante que um grupo abeliano se divide como uma soma direta de um grupo de torção e um grupo abeliano livre. O primeiro pode ser escrito como uma soma direta de finitamente muitos grupos da forma ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} }$ para ${\displaystyle p}$ primo, e o último é uma soma direta de finitamente muitas cópias de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Se ${\displaystyle f,g:G\to H}$ forem dois homomorfismos de grupos entre grupos abelianos, então sua soma ${\displaystyle f+g}$, definida por ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$, é novamente um homomorfismo. (Isso não é verdade se ${\displaystyle H}$ for um grupo não abeliano). O conjunto ${\displaystyle {\text{Hom}}(G,H)}$ de todos os homomorfismos de grupo de ${\displaystyle G}$ para ${\displaystyle H}$ é, portanto, um grupo abeliano por si só.

De forma um tanto semelhante à dimensão dos espaços vetoriais, todo grupo abeliano possui um posto. Ele é definido como a cardinalidade máxima de um conjunto de elementos linearmente independentes (sobre os inteiros) do grupo.^[10] Grupos abelianos finitos e grupos de torção têm posto zero, e todo grupo abeliano de posto zero é um grupo de torção. Os inteiros e os números racionais têm posto um, assim como todo subgrupo aditivo não nulo dos racionais. Por outro lado, o grupo multiplicativo dos racionais não nulos tem um posto infinito, uma vez que é um grupo abeliano livre com o conjunto dos números primos como uma base (isto resulta do teorema fundamental da aritmética).

O centro ${\displaystyle Z(G)}$ de um grupo ${\displaystyle G}$ é o conjunto de elementos que comutam com todo elemento de ${\displaystyle G}$. Um grupo ${\displaystyle G}$ é abeliano se e somente se for igual ao seu centro ${\displaystyle Z(G)}$. O centro de um grupo ${\displaystyle G}$ é sempre um subgrupo abeliano característico de ${\displaystyle G}$. Se o grupo quociente ${\displaystyle G/Z(G)}$ de um grupo pelo seu centro for cíclico, então ${\displaystyle G}$ é abeliano.^[11]

Grupos cíclicos de inteiros módulo ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, estiveram entre os primeiros exemplos de grupos. Verifica-se que um grupo abeliano finito arbitrário é isomorfo a uma soma direta de grupos cíclicos finitos de ordem de potência prima, e essas ordens são determinadas de forma única, formando um sistema completo de invariantes. O grupo de automorfismos de um grupo abeliano finito pode ser descrito diretamente em termos desses invariantes. A teoria foi desenvolvida pela primeira vez no artigo de 1879 de Georg Frobenius e Ludwig Stickelberger e, mais tarde, foi simplificada e generalizada para módulos finitamente gerados sobre um domínio de ideais principais, formando um capítulo importante da álgebra linear.

Qualquer grupo de ordem prima é isomorfo a um grupo cíclico e, portanto, abeliano. Qualquer grupo cuja ordem é o quadrado de um número primo também é abeliano.^[12] De fato, para todo número primo ${\displaystyle p}$ existem (a menos de isomorfismo) exatamente dois grupos de ordem ${\displaystyle p^{2}}$, a saber, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{2}}}$ e ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$.

Um grupo abeliano A é finitamente gerado se contiver um conjunto finito de elementos (chamados de geradores) ${\displaystyle G=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ tal que todo elemento do grupo é uma combinação linear com coeficientes inteiros de elementos de G.

Seja L um grupo abeliano livre com base ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}.}$ Existe um único homomorfismo de grupos ${\displaystyle p\colon L\to A,}$ tal que

${\displaystyle p(b_{i})=x_{i}\quad {\text{para }}i=1,\ldots ,n.}$

Este homomorfismo é sobrejetor, e o seu núcleo é finitamente gerado (uma vez que os inteiros formam um anel noetheriano). Considere a matriz M com entradas inteiras, tal que as entradas de sua j-ésima coluna são os coeficientes do j-ésimo gerador do núcleo. Então, o grupo abeliano é isomorfo ao conúcleo da transformação linear definida por M. Reciprocamente, toda matriz de inteiros define um grupo abeliano finitamente gerado.

Segue-se que o estudo dos grupos abelianos finitamente gerados é totalmente equivalente ao estudo das matrizes de inteiros. Em particular, mudar o conjunto gerador de A é equivalente a multiplicar M à esquerda por uma matriz unimodular (isto é, uma matriz invertível de inteiros cuja inversa também é uma matriz de inteiros). Mudar o conjunto gerador do núcleo de M é equivalente a multiplicar M à direita por uma matriz unimodular.

A forma normal de Smith de M é uma matriz

${\displaystyle S=UMV,}$

onde U e V são unimodulares, e S é uma matriz tal que todas as entradas não diagonais são nulas, as entradas diagonais não nulas ${\displaystyle d_{1,1},\ldots ,d_{k,k}}$ são as primeiras, e ${\displaystyle d_{j,j}}$ é um divisor de ${\displaystyle d_{i,i}}$ para i > j. A existência e o formato da forma normal de Smith provam que o grupo abeliano finitamente gerado A é a soma direta

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{r}\oplus \mathbb {Z} /d_{1,1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /d_{k,k}\mathbb {Z} ,}$

onde r é o número de linhas nulas na parte inferior de S (e também o posto do grupo). Este é o teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados.

A existência de algoritmos para a forma normal de Smith mostra que o teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados não é apenas um teorema de existência abstrata, mas fornece uma maneira de calcular a expressão de grupos abelianos finitamente gerados como somas diretas.^[14]

O grupo abeliano infinito mais simples é o grupo cíclico infinito ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Qualquer grupo abeliano finitamente gerado ${\displaystyle A}$ é isomorfo à soma direta de ${\displaystyle r}$ cópias de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ e um grupo abeliano finito, o qual, por sua vez, é decomponível em uma soma direta de finitamente muitos grupos cíclicos com ordens de potência prima. Mesmo que a decomposição não seja única, o número ${\displaystyle r}$, chamado de posto de ${\displaystyle A}$, e as potências de primos que dão as ordens dos somandos cíclicos finitos são determinados de forma única.

Em contraste, a classificação de grupos abelianos infinitamente gerados em geral está longe de ser completa. Os grupos divisíveis, ou seja, grupos abelianos ${\displaystyle A}$ nos quais a equação ${\displaystyle nx=a}$ admite uma solução ${\displaystyle x\in A}$ para qualquer número natural ${\displaystyle n}$ e elemento ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle A}$, constituem uma classe importante de grupos abelianos infinitos que pode ser completamente caracterizada. Todo grupo divisível é isomorfo a uma soma direta, com somandos isomorfos a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ e grupos de Prüfer ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}}$ para vários números primos ${\displaystyle p}$, e a cardinalidade do conjunto de somandos de cada tipo é determinada de forma única.^[15] Além disso, se um grupo divisível ${\displaystyle A}$ é um subgrupo de um grupo abeliano ${\displaystyle G}$, então ${\displaystyle A}$ admite um complemento direto: um subgrupo ${\displaystyle C}$ de ${\displaystyle G}$ tal que ${\displaystyle G=A\oplus C}$. Assim, grupos divisíveis são módulos injetivos na categoria dos grupos abelianos e, reciprocamente, todo grupo abeliano injetivo é divisível (Critério de Baer). Um grupo abeliano sem subgrupos divisíveis não nulos é chamado de reduzido.

Duas importantes classes especiais de grupos abelianos infinitos com propriedades diametralmente opostas são os grupos de torção e os grupos livres de torção, exemplificados pelos grupos ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ (periódico) e ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (livre de torção).

Muitos grupos abelianos grandes possuem uma topologia natural, o que os transforma em grupos topológicos.

A coleção de todos os grupos abelianos, juntamente com os homomorfismos entre eles, forma a categoria ${\displaystyle {\textbf {Ab}}}$, o protótipo de uma categoria abeliana.

Wanda Szmielew (1955) provou que a teoria de primeira ordem dos grupos abelianos, ao contrário de sua contraparte não abeliana, é decidível. A maioria das estruturas algébricas, com exceção das álgebras booleanas, é indecidível.

Ainda existem muitas áreas de pesquisa atual:

• Entre os grupos abelianos livres de torção de posto finito, apenas o caso finitamente gerado e o caso de posto 1 são bem compreendidos.
• Há muitos problemas não resolvidos na teoria dos grupos abelianos livres de torção de posto infinito.
• Embora os grupos abelianos de torção enumeráveis sejam bem compreendidos através de apresentações simples e invariantes de Ulm, o caso dos grupos mistos enumeráveis é muito menos maduro.
• Sabe-se que muitas extensões moderadas da teoria de primeira ordem dos grupos abelianos são indecidíveis.
• Grupos abelianos finitos continuam sendo um tópico de pesquisa na teoria computacional de grupos.

Além disso, os grupos abelianos de ordem infinita levam, de forma bastante surpreendente, a questões profundas sobre a teoria dos conjuntos comumente assumida como base para toda a matemática. Tome o problema de Whitehead: todos os grupos de Whitehead de ordem infinita são também grupos abelianos livres? Na década de 1970, Saharon Shelah provou que o problema de Whitehead é:

• Indecidível em ZFC (Axiomas de Zermelo-Fraenkel), a teoria axiomática dos conjuntos convencional a partir da qual quase toda a matemática atual pode ser derivada. O problema de Whitehead também é a primeira questão na matemática ordinária provada como indecidível em ZFC;
• Indecidível mesmo se ZFC for aumentado tomando a hipótese do contínuo generalizada como um axioma;
• Respondido positivamente se ZFC for aumentado com o axioma da construtibilidade (veja afirmações verdadeiras em L).

Os grupos abelianos finitos são classificados facilmente: eles são grupos cíclicos ou produtos diretos de grupos cíclicos.

Ordem	Grupo	Subgrupos	Propriedades	Diagrama de ciclos
1	grupo trivial = Z1 = S1 = A2	-	várias propriedades são válidas trivialmente
2	Z2 = S2 = Dih1	-	simples, o menor grupo não trivial
3	Z3 = A3	-	simples
4	Z4	Z2
	Klein 4 = Z2 × Z2 = Dih2	Z2 (3)	o menor grupo não cíclico
5	Z5	-	simples
6	Z6 = Z3 × Z2	Z3 , Z2
7	Z7	-	simples
8	Z8	Z4 , Z2
	Z4 × Z2	Z 2 2 , Z4 (2), Z2 (3)
	Z 3 2	Z 2 2  (7) , Z2 (7)	os elementos não triviais correspondem aos pontos do plano de Fano, e os subgrupos Z2 × Z2 às rectas
9	Z9	Z3
	Z 2 3	Z3 (4)
10	Z10 = Z5 × Z2	Z5 , Z2
11	Z11	-	simples
12	Z12 = Z4 × Z3	Z6 , Z4 , Z3 , Z2
	Z6 × Z2 = Z3 × Z 2 2	Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z 2 2
13	Z13	-	simples
14	Z14 = Z7 × Z2	Z7 , Z2
15	Z15 = Z5 × Z3	Z5 , Z3	multiplicação de nimbers
16	Z16	Z8 , Z4 , Z2
	Z 4 2	Z2 (15) , Z 2 2  (35) , Z 3 2  (15)
	Z4 × Z 2 2	Z2 (7) , Z4 (4) , Z 2 2  (7) , Z 3 2 , Z4 × Z2 (6)
	Z8 × Z2	Z2 (3) , Z4 (2) , Z 2 2 , Z8 (2) , Z4 × Z2
	Z 2 4	Z2 (3), Z4 (6) , Z 2 2 , Z4 × Z2 (3)

A coleção de todos os grupos abelianos, junto com os homomorfismos entre eles, dá forma a uma categoria, o protótipo de uma categoria abeliana. Esta categoria é denominada Ab.

Muitos grupos abelianos grandes carregam uma topologia natural, tornado-se grupos topológicos.