Teste de Dirichlet

Em matemática, o teste de Dirichlet (referente a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) demonstra a convergência de séries numéricas^[1] que podem ser escritas na forma:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

onde as duas propriedades são verificadas:

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}a_{n}\right|<M}$ para todo ${\displaystyle N>0}$
• ${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq b_{2}\geq \ldots \geq b_{n}\to 0}$

O teste de Dirichlet é uma generalização do teste de Abel, que exige que a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ seja convergente.

Sendo θ a medida em radianos de um ângulo tal que ${\displaystyle cos(\theta )\neq 1\,}$, considere a série:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n}}}$

Defina ${\displaystyle a_{n}=\sin(n\theta )\,}$ e ${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{n}}}$ É claro que ${\displaystyle b_{n}}$ é decrescente e converge para zero. E como pode-se mostrar que:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sin(n\theta )=\sin(N\theta )+{\dfrac {\sin((N-1)\theta )-\sin(N\theta )+\sin \theta }{2-2\cos \theta }}\,}$

a segunda hipótese é satisfeita e a série converge.

Note-se que nem a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}$ nem a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,}$ convergem; esta série não passa no Teste de Abel.

Sejam f e g funções satisfazendo:

• ${\displaystyle f(x)\in C[a,+\infty ]}$ é tal que a sua antiderivada F no intervalo ${\displaystyle [a,+\infty ]}$ é limitada, ou seja, ${\displaystyle \exists M>0:\quad |F(x)|\leq M\quad \forall x>a}$.
• ${\displaystyle g(x)\in C^{1}[a,+\infty ],\quad g(x)>0,\quad g'(x)\leq 0\quad \forall x>a}$.
• ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }g(x)=0}$.

Nestas condições:

• ${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)dx}$ converge.

Observe que este resultado mostra apenas a convergência no sentido de integral imprópria:

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)g(x)dx=\lim _{y\to \infty }\int _{a}^{+y}f(x)g(x)dx}$

Não há qualquer garatia que a integral convirja absolutamente, como é o caso de:

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}dx={\frac {\pi }{2}}}$

mas

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {|\sin(x)|}{x}}dx=\infty }$

Defina:

• ${\displaystyle R_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n},~N>0}$
• ${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}b_{n},~N>0}$
• ${\displaystyle R_{0}=S_{0}=0\,}$

Escreva para ${\displaystyle k>0}$:

${\displaystyle S_{N+k}-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{N+k}a_{n}b_{n}=\sum _{n=N+1}^{N+k}\left(R_{n}-R_{n-1}\right)b_{n}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}b_{n}-\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n-1}b_{n}\,}$

Trocando índices temos:

${\displaystyle S_{N+k}-S_{N}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}b_{n}-\sum _{n=N}^{N+k-1}R_{n}b_{n+1}=\sum _{n=N+1}^{N+k}R_{n}\left(b_{n}-b_{n+1}\right)-R_{N}b_{N+1}+R_{N+k}b_{N+k+1}\,}$

Tomamos módulo e aplicamos a desigualdade triangular, observando que ${\displaystyle |b_{n}-b_{n+1}|=b_{n}-b_{n+1}}$ pela monotocidade.

${\displaystyle \left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq \sum _{n=N+1}^{N+k}|R_{n}|\left(b_{n}-b_{n+1}\right)+|R_{N}|b_{N+1}+|R_{N+k}|b_{N+k+1}\,}$

Da primeira hipótese, ${\displaystyle |R_{n}|\leq M}$, e assim:

${\displaystyle \left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq M\sum _{n=N+1}^{N+k}\left(b_{n}-b_{n+1}\right)+M\left(b_{N+1}+b_{N+k+1}\right)\,}$

A soma telescópica pode ser simplificada:

${\displaystyle \left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq M\left(b_{N+1}-b_{N+k+1}\right)+M\left(b_{N+1}+b_{N+k+1}\right)\leq 3Mb_{N+1}\,}$

Como ${\displaystyle b_{n}\to 0}$, escolha ${\displaystyle N>0}$ tal que:

${\displaystyle 0\leq b_{n}\leq {\frac {\varepsilon }{3M}},\forall n>N}$

Conclui-se que:

${\displaystyle \left|S_{N+k}-S_{N}\right|\leq \varepsilon \,}$

E portanto ${\displaystyle S_{n}}$ é uma sucessão de Cauchy e portanto convergente, o que completa a demonstração.

Para demonstrar o teorema de convergência de séries usa-se uma identidade conhecida como Soma por Partes.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{(n)}.\Delta g_{(n)}=f_{(n)}.g_{(n)}|_{1}^{n+1}-\sum _{n=1}^{\infty }g_{(n+1)}.\Delta f_{(n)}}$

Esta identidade é análoga à integração por partes, Definindo algumas notações:

${\displaystyle \Delta f_{(n)}=f_{(n-1)}-f_{(n)}}$

${\displaystyle g_{(n)}|_{1}^{n+1}=g_{(n+1)}-g_{(n)}}$

Tem-se

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{(n)}.\Delta g_{(n)}=f_{(n)}.g_{(n)}|_{1}^{n+1}-\sum _{n=1}^{\infty }g_{(n+1)}.\Delta f_{(n)}}$

${\displaystyle g_{(n)}=S_{n-1}}$ e ${\displaystyle f_{(n)}=b_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{(n)}.\Delta S_{(n-1)}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}a_{n}}$ onde ${\displaystyle \Delta S_{n-1}=a_{(n)}}$

Então

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{(n)}.\Delta g_{(n)}=b_{(n)}.S_{n-1}|_{1}^{n+1}-\sum _{n=1}^{\infty }S_{n}\Delta b_{(n)}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{(n)}.\Delta g_{(n)}=b_{(n+1)}.S_{n}-b_{1}S_{0}-\sum _{n=1}^{\infty }S_{n}\Delta b_{(n)}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{(n)}.\Delta g_{(n)}=b_{(n+1)}.S_{n}-\sum _{n=1}^{\infty }S_{n}\Delta b_{(n)}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{(n)}.\Delta g_{(n)}=b_{(n+1)}.S_{n}+\sum _{n=1}^{\infty }S_{n}(-\Delta b_{(n)})}$

Assim o ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n+1}S_{n}=0}$ pois ${\displaystyle S_{n}}$ é limitada e o ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=0}$

Tem-se ainda, por definição, que ${\displaystyle b_{n}}$ é decrescente, logo ${\displaystyle \Delta b_{(n)}=b_{(n+1)}-b_{n}\leq 0\Rightarrow (-\Delta b_{(n)}\geq 0}$, o que torna a série

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }S_{n}(-\Delta b_{(n)})}$ absolutamente convergente pois ${\displaystyle S_{n}}$ é limitada, então ${\displaystyle \mid S_{n}\mid \leq c>0}$.

Então: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mid S_{n}\mid .\mid (-\bigtriangleup b_{n})\mid }$, com ${\displaystyle (-\bigtriangleup b_{n})}$ não negativo.

=${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mid S_{n}\mid .(-\bigtriangleup b_{n})\leq \sum _{n=1}^{\infty }c(-\bigtriangleup b_{n})}$, pois ${\displaystyle \mid S_{n}\mid \leqslant c}$

=${\displaystyle -c.(b_{n+1}-b_{n})}$ onde aplica-se a soma telescópica.

Por comparação:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mid S_{n}\mid .\mid (-\bigtriangleup b_{n})\mid \leq -c.(b_{n+1}-b_{n})}$,onde ${\displaystyle b_{n+1}}$ tende à zero, e portanto a série é absolutamente convergente, implicando que a série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$ é convergente.