Série binomial

Em matemática, série binomial é uma série de potências do tipo:

${\displaystyle (1+x)^{k}=1+kx+{\frac {k(k-1)}{2!}}x^{2}+...+{\frac {k(k-1)...(k-n+1)}{n!}}x^{n}+...}$

se ${\displaystyle |x|<1}$ e para todo número real ${\displaystyle k}$.^[1]

Exemplo: Achar uma representação de ${\displaystyle (1+x)^{\frac {1}{3}}}$, em séries de potências.

Solução: Para ${\displaystyle k={\frac {1}{3}}}$, obtemos:

${\displaystyle (1+x)^{\frac {1}{3}}=1+{\frac {1}{3}}x+{\frac {{\frac {1}{3}}({\frac {1}{3}}-1)}{2!}}x^{2}+...+{\frac {{\frac {1}{3}}({\frac {1}{3}}-1)...({\frac {1}{3}}-n+1)}{n!}}x^{n}+...}$

que pode ser escrito como:

${\displaystyle (1+x)^{\frac {1}{3}}=1+{\frac {1}{3}}x+{\frac {2}{3^{2}.2!}}x^{2}+...+(-1)^{n-1}{\frac {1.2...(3n-4)}{3^{n}.n!}}x^{n}}$+...