Problema inverso de Galois

Na teoria de Galois, o problema inverso de Galois diz respeito a se todo grupo finito aparece ou não como o grupo de Galois de alguma extensão de Galois dos números racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Este problema, proposto pela primeira vez no início do século XIX,^[1] não está resolvido.

Existem alguns grupos de permutação para os quais se conhecem polinômios genéricos, que definem todas as extensões algébricas de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ tendo um grupo em particular como grupo de Galois. Estes grupos incluem todos de grau não superior a 5. Também há grupos sabidos de não possuírem polinômios genéricos, como o grupo cíclico de ordem 8.

Mais genericamente, seja ${\displaystyle G}$ um grupo finito dado e ${\displaystyle K}$ um corpo. Se há uma extensão de corpo de Galois ${\displaystyle L/K}$ cujo grupo de Galois é isomorfo a ${\displaystyle G}$, diz-se que ${\displaystyle G}$ é realizável sobre ${\displaystyle K}$.

Muitos casos são conhecidos. Sabe-se que todo grupo finito é realizável sobre qualquer corpo de funções de uma variável sobre os números complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$, e mais geralmente sobre corpos de funções de uma variável sobre qualquer corpo algebricamente fechado de característica zero. Igor Shafarevich demonstrou que todo grupo solúvel finito é realizável sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[2] Sabe-se também que todo grupo esporádico simples, com a possível exceção do grupo de Mathieu ${\displaystyle M_{23}}$, é realizável sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[3]

David Hilbert mostrou que esta questão está relacionada a uma questão de racionalidade para ${\displaystyle G}$:

Se ${\displaystyle K}$ é qualquer extensão de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ sobre a qual ${\displaystyle G}$ age como um grupo de automorfismos, e o corpo de invariantes ${\displaystyle K^{G}}$ é racional sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, então ${\displaystyle G}$ é realizável sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Aqui, racional significa que se trata de uma extensão puramente transcendente de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, gerada por um conjunto algebricamente independente. Este critério pode ser utilizado, por exemplo, para mostrar que todos os grupos simétricos são realizáveis.

Muito trabalho detalhado foi conduzido sobre a questão, a qual não está, de modo algum, resolvida em geral. Parte disto baseia-se na construção de ${\displaystyle G}$ geometricamente como um revestimento de Galois da reta projetiva: em termos algébricos, começando com uma extensão do corpo ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ de funções racionais numa indeterminada ${\displaystyle t}$. Após isso, aplica-se o Teorema da irredutibilidade de Hilbert para especializar ${\displaystyle t}$, de tal maneira a preservar o grupo de Galois.

Sabe-se que todos os grupos de permutação de grau 23 ou menos, com exceção do grupo de Mathieu ${\displaystyle M_{23}}$, são realizáveis sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[4][5]

Sabe-se que todos os 13 grupos simples não abelianos menores do que PSL(2,25) (ordem 7800) são realizáveis sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[6]

É possível, utilizando resultados clássicos, construir explicitamente um polinômio cujo grupo de Galois sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ seja o grupo cíclico ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ para qualquer inteiro positivo ${\displaystyle n}$. Para fazer isso, escolha um primo ${\displaystyle p}$ tal que ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {n}}}$; isto é possível pelo teorema de Dirichlet. Seja ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu )}$ a extensão ciclotômica de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ gerada por ${\displaystyle \mu }$, onde ${\displaystyle \mu }$ é uma ${\displaystyle p}$-ésima raiz primitiva da unidade; o grupo de Galois de ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu )/\mathbb {Q} }$ é cíclico de ordem ${\displaystyle p-1}$.

Como ${\displaystyle n}$ divide ${\displaystyle p-1}$, o grupo de Galois tem um subgrupo cíclico ${\displaystyle H}$ de ordem ${\displaystyle (p-1)/n}$. O teorema fundamental da teoria de Galois implica que o corpo fixo correspondente, ${\displaystyle F=\mathbb {Q} (\mu )^{H}}$, tem grupo de Galois ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Tomando-se somas adequadas de conjugados de ${\displaystyle \mu }$, seguindo a construção dos períodos gaussianos, pode-se encontrar um elemento ${\displaystyle \alpha }$ de ${\displaystyle F}$ que gera ${\displaystyle F}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, e computar o seu polinômio mínimo.

Esse método pode ser estendido para abranger todos os grupos abelianos finitos, dado que cada um desses grupos aparece, de fato, como um quociente do grupo de Galois de alguma extensão ciclotômica de ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. (Esta afirmação não deve, contudo, ser confundida com o Teorema de Kronecker-Weber, o qual é significativamente mais profundo).

Hilbert demonstrou que todos os grupos simétricos e alternantes são representados como grupos de Galois de polinômios com coeficientes racionais.

O polinômio ${\displaystyle x^{n}+ax+b}$ tem discriminante

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\!\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}\right)\!.}$

Tomamos o caso especial

${\displaystyle f(x,s)=x^{n}-sx-s}$.

Substituir um número primo inteiro por ${\displaystyle s}$ em ${\displaystyle f(x,s)}$ fornece um polinômio (chamado de especialização de ${\displaystyle f(x,s)}$) que, pelo critério de Eisenstein, é irredutível. Então ${\displaystyle f(x,s)}$ deve ser irredutível sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} (s)}$. Ademais, ${\displaystyle f(x,s)}$ pode ser escrito como

${\displaystyle x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)\!(x+1)}$

e ${\displaystyle f(x,1/2)}$ pode ser fatorado em:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x-1)\!\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)}$

cujo segundo fator é irredutível (mas não pelo critério de Eisenstein). Somente o polinômio recíproco é irredutível pelo critério de Eisenstein. Mostramos agora que o grupo ${\displaystyle \operatorname {Gal} (f(x,s)/\mathbb {Q} (s))}$ é duplamente transitivo.

Podemos então descobrir que este grupo de Galois possui uma transposição. Use a mudança de escala ${\displaystyle (1-n)x=ny}$ para obter

${\displaystyle y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n}\right\}}$

e com

${\displaystyle t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}},}$

chegamos a:

${\displaystyle g(y,t)=y^{n}-nty+(n-1)t}$

que pode ser rearranjado como

${\displaystyle y^{n}-y-(n-1)(y-1)+(t-1)(-ny+n-1)}$.

Então ${\displaystyle g(y,1)}$ tem ${\displaystyle 1}$ como uma raiz dupla e seus outros ${\displaystyle n-2}$ zeros são simples, e uma transposição em ${\displaystyle \operatorname {Gal} (f(x,s)/\mathbb {Q} (s))}$ é implicada. Qualquer grupo de permutação duplamente transitivo finito contendo uma transposição é um grupo simétrico completo.

O Teorema da irredutibilidade de Hilbert então implica que um conjunto infinito de números racionais fornece especializações de ${\displaystyle f(x,t)}$ cujos grupos de Galois são ${\displaystyle S_{n}}$ sobre o corpo dos racionais ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Na realidade, este conjunto de números racionais é denso em ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

O discriminante de ${\displaystyle g(y,t)}$ é igual a

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t),}$

e este, em geral, não é um quadrado perfeito.

Suponha que ${\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}}$ sejam classes de conjugação de um grupo finito ${\displaystyle G}$, e ${\displaystyle A}$ seja o conjunto de ${\displaystyle n}$-uplas ${\displaystyle (g_{1},\dots ,g_{n})}$ de ${\displaystyle G}$ tais que ${\displaystyle g_{i}}$ está em ${\displaystyle C_{i}}$ e o produto ${\displaystyle g_{1}\dots g_{n}}$ é trivial. Então ${\displaystyle A}$ é chamado de rígido se for não vazio, ${\displaystyle G}$ atuar de modo transitivo nele por conjugação e cada elemento de ${\displaystyle A}$ gerar ${\displaystyle G}$.

Thompson (1984) demonstrou que se um grupo finito ${\displaystyle G}$ possui um conjunto rígido, então ele pode frequentemente ser realizado como um grupo de Galois sobre uma extensão ciclotômica dos racionais. (Mais precisamente, sobre a extensão ciclotômica dos racionais gerada pelos valores dos caracteres irredutíveis de ${\displaystyle G}$ nas classes de conjugação ${\displaystyle C_{i}}$).

Isso pode ser usado para provar que muitos grupos simples finitos, incluindo o grupo monstro, são grupos de Galois de extensões dos racionais. O grupo monstro é gerado por uma tríade de elementos de ordens 2, 3 e 29. Todas essas tríades são conjugadas.

O protótipo para rigidez é o grupo simétrico ${\displaystyle S_{n}}$, que é gerado por um ${\displaystyle n}$-ciclo e uma transposição, cujo produto é um ${\displaystyle (n-1)}$-ciclo. A construção na seção anterior utilizou esses geradores para estabelecer o grupo de Galois de um polinômio.

Seja ${\displaystyle n>1}$ qualquer número inteiro. Um reticulado ${\displaystyle \Lambda }$ no plano complexo com razão de períodos ${\displaystyle \tau }$ possui um sub-reticulado ${\displaystyle \Lambda '}$ com razão de períodos ${\displaystyle n\tau }$. O último reticulado é um de um conjunto finito de sub-reticulados permutados pelo grupo modular ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$, o qual é baseado em mudanças de base para ${\displaystyle \Lambda }$. Seja ${\displaystyle j}$ a denotação da função modular elíptica de Felix Klein. Defina o polinômio ${\displaystyle \varphi _{n}}$ como o produto das diferenças ${\displaystyle (X-j(\Lambda _{i}))}$ sobre os sub-reticulados conjugados. Como um polinômio em ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \varphi _{n}}$ possui coeficientes que são polinômios sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ em ${\displaystyle j(\tau )}$.

Nos reticulados conjugados, o grupo modular age como ${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$. Segue-se que ${\displaystyle \varphi _{n}}$ possui grupo de Galois isomorfo a ${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} (j(\tau ))}$.

O uso do teorema da irredutibilidade de Hilbert nos fornece um conjunto infinito (e denso) de números racionais especializando ${\displaystyle \varphi _{n}}$ em polinômios com o grupo de Galois ${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Os grupos ${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ incluem infinitos grupos não solúveis.

• Grupo semiabeliano (teoria de Galois)

• MacBeath, A. M. (1969). «Extensions of the Rationals with Galois Group PGL(2,Z_n)». Bulletin of the London Mathematical Society. 1 (3): 332–338. doi:10.1112/BLMS/1.3.332 
• Thompson, John G. (1984). «Some finite groups which appear as Gal L/K, where K ⊆ Q(μ _n)». Journal of Algebra. 89 (2): 437–499. MR 751155. doi:10.1016/0021-8693(84)90228-X 
• Helmut Völklein, Groups as Galois Groups, an Introduction, Cambridge University Press, 1996. ISBN 978-0521065030.
• Serre, Jean-Pierre (1992). Topics in Galois Theory. Col: Research Notes in Mathematics. 1. [S.l.]: Jones and Bartlett. ISBN 0-86720-210-6. Zbl 0746.12001 
• Gunter Malle, Heinrich Matzat, Inverse Galois Theory, Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-62890-8.
• Gunter Malle, Heinrich Matzat, Inverse Galois Theory, 2ª edição, Springer-Verlag, 2018.
• Alexander Schmidt, Kay Wingberg, Safarevic's Theorem on Solvable Groups as Galois Groups (ver também Predefinição:Neukirch et al. CNF)
• Christian U. Jensen, Arne Ledet, and Noriko Yui, Generic Polynomials, Constructive Aspects of the Inverse Galois Problem, Cambridge University Press, 2002.

• «Inverse Galois Problem PCMI 2021 Graduate Summer School Program - Number Theory Informed by Computation - July 26-30, 2021». Cópia arquivada em 16 de fevereiro de 2023