Multiplicação complexa

Na matemática, a multiplicação complexa (MC) é a teoria das curvas elípticas ${\displaystyle E}$ que possuem um anel de endomorfismos maior do que os inteiros.^[1] Dito de outra forma, ela contém a teoria das funções elípticas com simetrias extras, tais como as que são visíveis quando o reticulado de períodos é o reticulado dos inteiros gaussianos ou dos inteiros de Eisenstein.

Ela possui um aspecto pertencente à teoria das funções especiais, porque tais funções elípticas, ou funções abelianas de várias variáveis complexas, são então funções 'muito especiais' que satisfazem identidades extras e assumem valores especiais explicitamente calculáveis em pontos particulares. Também se revelou um tema central na teoria algébrica dos números, permitindo que algumas características da teoria dos corpos ciclotômicos fossem transferidas para áreas mais amplas de aplicação. Diz-se que David Hilbert observou que a teoria da multiplicação complexa de curvas elípticas não era apenas a parte mais bela da matemática, mas de toda a ciência.^[2]

Existe também a teoria da multiplicação complexa de dimensão superior de variedades abelianas ${\displaystyle A}$ que têm endomorfismos suficientes em um sentido preciso, grosso modo, que a ação no espaço tangente no elemento identidade de ${\displaystyle A}$ é uma soma direta de módulos unidimensionais.

Considere um corpo quadrático imaginário ${\textstyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {-d}}\right),\,d\in \mathbb {Z} ,d>0}$. Diz-se que uma função elíptica ${\displaystyle f}$ possui multiplicação complexa se existe uma relação algébrica entre ${\displaystyle f(z)}$ e ${\displaystyle f(\lambda z)}$ para todo ${\displaystyle \lambda }$ em ${\displaystyle K}$.

Inversamente, Kronecker conjecturou – no que ficou conhecido como o Kronecker Jugendtraum (Sonho de Juventude de Kronecker) – que toda extensão abeliana de ${\displaystyle K}$ poderia ser obtida pelas (raízes da) equação de uma curva elíptica adequada com multiplicação complexa. Até hoje, este continua a ser um dos poucos casos do décimo segundo problema de Hilbert que foi de fato resolvido.

Um exemplo de uma curva elíptica com multiplicação complexa é

${\displaystyle \mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])}$

onde ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ é o anel dos inteiros gaussianos, e ${\displaystyle \theta }$ é qualquer número complexo não nulo. Qualquer toro complexo como este possui os inteiros gaussianos como anel de endomorfismos. Sabe-se que as curvas correspondentes podem todas ser escritas como

${\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-aX}$

para algum ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$, a qual demonstravelmente possui dois automorfismos conjugados de ordem 4 enviando

${\displaystyle Y\to \pm iY,\quad X\to -X}$

em conformidade com a ação de ${\displaystyle i}$ nas funções elípticas de Weierstrass.

De forma mais geral, considere o reticulado ${\displaystyle \Lambda }$, um grupo aditivo no plano complexo, gerado por ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$. Então definimos a função de Weierstrass da variável ${\displaystyle z}$ em ${\displaystyle \mathbb {C} }$ da seguinte forma:

${\displaystyle \wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\},}$

e

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.}$

Seja ${\displaystyle \wp '}$ a derivada de ${\displaystyle \wp }$. Então obtemos um isomorfismo de grupos de Lie complexos:

${\displaystyle w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$

do grupo do toro complexo ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$ para a curva elíptica projetiva definida em coordenadas homogêneas por

${\displaystyle E=\left\{(x:y:z)\in \mathbb {C} ^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{2}xz^{2}-g_{3}z^{3}\right\}}$

e onde o ponto no infinito, o elemento zero da lei de grupo da curva elíptica, é por convenção tomado como ${\displaystyle (0:1:0)}$. Se o reticulado que define a curva elíptica for de fato preservado sob a multiplicação por (possivelmente um subanel próprio de) o anel de inteiros ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{K}}$ de ${\displaystyle K}$, então o anel de automorfismos analíticos de ${\displaystyle E=\mathbb {C} /\Lambda }$ acaba sendo isomorfo a este (sub)anel.

Se reescrevermos ${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$ onde ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$ e ${\displaystyle \Delta (\Lambda )=g_{2}(\Lambda )^{3}-27g_{3}(\Lambda )^{2}}$, então

${\displaystyle j(\tau )=j(E)=j(\Lambda )=2^{6}3^{3}g_{2}(\Lambda )^{3}/\Delta (\Lambda )\ .}$

Isso significa que o invariante j de ${\displaystyle E}$ é um número algébrico – contido em ${\displaystyle K}$ – se ${\displaystyle E}$ possui multiplicação complexa.

O anel de endomorfismos de uma curva elíptica pode ter uma de três formas: os inteiros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$; uma ordem em um corpo de números quadráticos imaginários; ou uma ordem em uma álgebra de quatérnios definida sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.^[3]

Quando o corpo de definição é um corpo finito, sempre existem endomorfismos não triviais de uma curva elíptica, provenientes do mapeamento de Frobenius, portanto, toda curva desse tipo possui multiplicação complexa (e a terminologia não é frequentemente aplicada neste contexto). Mas quando o corpo base é um corpo de números, a multiplicação complexa é a exceção. Sabe-se que, em um sentido geral, o caso da multiplicação complexa é o mais difícil de resolver para a Conjectura de Hodge.

Ver artigo principal: Problemas de Hilbert § Décimo segundo problema

Kronecker postulou primeiro que os valores das funções elípticas em pontos de torção deveriam ser suficientes para gerar todas as extensões abelianas para corpos quadráticos imaginários, uma ideia que remontava a Eisenstein em alguns casos, e até mesmo a Gauss. Isto ficou conhecido como o Kronecker Jugendtraum; e foi certamente o que motivou a observação de Hilbert acima, já que torna explícita a teoria de corpos de classes da mesma forma que as raízes da unidade o fazem para extensões abelianas do corpo dos números racionais, através da Lei de reciprocidade de Shimura.

De fato, seja ${\displaystyle K}$ um corpo quadrático imaginário com corpo de classes ${\displaystyle H}$. Seja ${\displaystyle E}$ uma curva elíptica com multiplicação complexa pelos inteiros de ${\displaystyle K}$, definida sobre ${\displaystyle H}$. Então a extensão abeliana máxima de ${\displaystyle K}$ é gerada pelas coordenadas ${\displaystyle x}$ dos pontos de ordem finita em algum modelo de Weierstrass para ${\displaystyle E}$ sobre ${\displaystyle H}$.^[4]

Muitas generalizações foram procuradas para as ideias de Kronecker; no entanto, elas situam-se de forma um tanto oblíqua em relação ao impulso principal do programa de Langlands, e não existe uma declaração definitiva conhecida atualmente.

Não é por acaso que a Constante de Ramanujan, o número transcendente^[5]

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743.99999999999925007\dots \,}$

ou de forma equivalente,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

é um quase inteiro, no sentido de que está muito próximo de um inteiro.^[6] Este fato notável é explicado pela teoria da multiplicação complexa, juntamente com algum conhecimento de formas modulares, e o fato de que

${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right]}$

é um domínio de fatoração única.

Aqui, ${\displaystyle (1+{\sqrt {-163}})/2}$ satisfaz ${\displaystyle \alpha ^{2}=\alpha -41}$. Em geral, ${\displaystyle S[\alpha ]}$ denota o conjunto de todas as expressões polinomiais em ${\displaystyle \alpha }$ com coeficientes em ${\displaystyle S}$, que é o menor anel contendo ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle S}$. Como ${\displaystyle \alpha }$ satisfaz essa equação quadrática, os polinômios necessários podem ser limitados ao grau um.

Alternativamente,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

uma estrutura interna devido a certas séries de Eisenstein, e com expressões simples semelhantes para os outros números de Heegner.

Os pontos do semiplano superior ${\displaystyle \tau }$ que correspondem às razões de períodos de curvas elípticas sobre os números complexos com multiplicação complexa são precisamente os números quadráticos imaginários.^[7] Os invariantes modulares correspondentes ${\displaystyle j(\tau )}$ são os módulos singulares, provenientes de uma terminologia mais antiga em que "singular" referia-se à propriedade de ter endomorfismos não triviais, em vez de se referir a uma curva singular.^[8]

A função modular ${\displaystyle j(\tau )}$ é algébrica nos números quadráticos imaginários ${\displaystyle \tau }$:^[9] estes são os únicos números algébricos no semiplano superior para os quais ${\displaystyle j}$ é algébrico.^[10]

Se ${\displaystyle \Lambda }$ é um reticulado com razão de período ${\displaystyle \tau }$, então escrevemos ${\displaystyle j(\Lambda )}$ para ${\displaystyle j(\tau )}$. Se, além disso, ${\displaystyle \Lambda }$ for um ideal ${\displaystyle \mathbf {a} }$ no anel de inteiros ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ de um corpo quadrático imaginário ${\displaystyle K}$, então escrevemos ${\displaystyle j(\mathbf {a} )}$ para o módulo singular correspondente. Os valores ${\displaystyle j(\mathbf {a} )}$ são então inteiros algébricos reais, e geram o corpo de classes de Hilbert ${\displaystyle H}$ de ${\displaystyle K}$: o grau da extensão de corpos ${\displaystyle [H:K]=h}$ é o número de classes de ${\displaystyle K}$ e a extensão ${\displaystyle H/K}$ é uma extensão de Galois com grupo de Galois isomorfo ao grupo de classes de ideais de ${\displaystyle K}$. O grupo de classes age nos valores ${\displaystyle j(\mathbf {a} )}$ por ${\displaystyle [\mathbf {b} ]:j(\mathbf {a} )\to j(\mathbf {ab} )}$.

Em particular, se ${\displaystyle K}$ tem número de classe um, então ${\displaystyle j(\mathbf {a} )=j({\mathcal {O}})}$ é um inteiro racional: por exemplo, ${\displaystyle j(\mathbb {Z} [i])=j(i)=1728}$.

• Caráter de Hecke algébrico
• Ponto de Heegner
• Décimo segundo problema de Hilbert
• Grupo formal de Lubin-Tate, corpos locais
• Shtuka de Drinfeld, caso de corpo de funções global
• Demonstração do Último Teorema de Fermat por Wiles

• Multiplicação complexa do PlanetMath.org
• Exemplos de curvas elípticas com multiplicação complexa do PlanetMath.org
• Ribet, Kenneth A. (outubro de 1995). «Galois Representations and Modular Forms». Bulletin of the American Mathematical Society. 32 (4): 375–402. CiteSeerX 10.1.1.125.6114. arXiv:math/9503219. doi:10.1090/s0273-0979-1995-00616-6