Número duplo de Mersenne

Em matemática, um número duplo de Mersenne é um número de Mersenne da forma

${\displaystyle M_{M_{n}}=2^{M_{n}}-1=2^{2^{n}-1}-1}$

onde o exponente ${\displaystyle 2^{n}-1}$ é também um número de Mersenne ${\displaystyle M_{n}}$, sendo n um natural.

Muitas vezes considera-se apenas os números duplos de Mersenne que são primos.

Como um número de Mersenne ${\displaystyle M_{p}}$ é primo só se ${\displaystyle p}$ é primo^[1], então um número duplo de Mersenne ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ é primo apenas se ${\displaystyle M_{p}}$ é também um número primo de Mersenne.
Os primeiros valores de p para os quais ${\displaystyle M_{p}}$ é primo são p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89. Desses, sabe-se que ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ é primo para p = 2, 3, 5, 7. Para p = 13, 17, 19, já se encontraram fatores de forma explícita, ficando assim demonstrado que os números duplos de Mersenne correspondentes são compostos e não primos. Portanto, o candidato mais pequeno para ser um número duplo de Mersenne primo é ${\displaystyle M_{M_{6}1}}$, ou seja, 2^{2305843009213693951} − 1. Com aproximadamente 6,94 × 10¹⁷ algarismos, este número é demasiado grande para qualquer teste de primalidade dos que se conhecem na atualidade, embora se saiba que não tem nenhum fator primo menor que 4 × 10³³.^[2]

Aqui fica a lista dos números duplos de Mersenne primos que se conhecem na atualidade:

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$

${\displaystyle M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}$ ((sequência A077586 na OEIS))

Seja ${\displaystyle M(p)=M_{p}}$. A sucessão definida de forma recursiva como:

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... ((sequência A007013 na OEIS))

é conhecida como "sucessão dos números de Catalan-Mersenne".^[3] Diz-se^[4] que ocorreu a Catalan esta sucessão depois de Lucas descobrir em 1876 que ${\displaystyle M(127)=M(M(M(M(2))))}$ era primo.

Embora os cinco primeiros termos da sucessão (até ${\displaystyle M(127)}$) sejam primos, não se conhece qualquer método que ajude a elucidar se algum termo mais o é também.

• L. E. Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institute of Washington, 1919. Reimpresso por Chelsea Publishing, Nova Iorque, 1971.

Marin Mersenne

Referências