Helicopter Cube

O Helicopter Cube é um quebra-cabeça semelhante ao Cubo Mágico inventado por Adam G. Cowan em 2005 e construído em 2006.^{[1][2][3][4][5][6][7]} Ele também tem o formato de um cubo. À primeira vista, o Helicopter Cube pode parecer uma combinação do 2x2x2 e do Skewb, mas, na verdade, ele corta de forma diferente e gira em torno das bordas do cubo em vez das faces. O objetivo do quebra-cabeça é embaralhar as cores e, em seguida, restaurá-las ao seu estado original, com uma única cor por face.

O Helicopter Cube é feito no formato de um cubo, cortado em 8 peças de canto e 24 peças centrais de face. Cada peça de canto possui 3 cores e cada peça central de face possui apenas uma cor. Ao contrário do Cubo Mágico, suas faces não giram; em vez disso, as peças são embaralhadas girando em torno de uma aresta do cubo.

Ao girar o quebra-cabeça, uma volta de 180° troca duas peças de canto e dois pares de peças centrais de face, mas preserva o formato do cubo. O quebra-cabeça inteiro pode ser embaralhado dessa maneira.

No entanto, também é possível girar uma aresta em ~71°, de modo que a base de dois grupos de uma peça de canto e uma peça central de face fique alinhada com o plano de rotação de uma aresta diferente. A segunda aresta pode então ser rotacionada, intercalando as peças de canto e as peças centrais das faces, deixando o quebra-cabeça com uma forma não cúbica. Esse tipo de intercalação é conhecido como "movimento de embaralhamento". Devido às diferentes formas das peças intercaladas, algumas rotações possíveis na forma cúbica podem não ser mais possíveis na forma embaralhada. Ao usar uma combinação desses movimentos de "embaralhamento", é possível retornar à forma cúbica, mas com algumas peças centrais das faces na orientação errada, projetando-se para fora como pontas em vez de ficarem planas na face do cubo. Mudanças mais sutis também podem ser introduzidas, as quais serão descritas posteriormente.

Existem quatro variantes do Helicopter Cube:

• o Helicopter Cube original, fabricado pela The Twisty Store (vendido também por Uwe Mèffert), composto por apenas 8 peças de canto e 24 peças centrais;
• o "Curvy Copter" de Tom van der Zanden,^[4] que possui 12 peças de borda adicionais com 2 cores cada. Isso exige que a pessoa construa ao redor das peças de borda, enquanto no Helicopter Cube, elas ficam escondidas embaixo, e não importa onde você construa ao redor.
• o "Curvy Copter Plus", também criado por Tom van der Zanden, com cortes adicionais no meio das peças centrais, permitindo que o quebra-cabeça se misture ainda mais;
• o "Helicopter Skewb", também de Tom Van Der Zanden, que é exatamente igual ao Helicopter Cube original, mas também pode girar como o Skewb.
• o "Curvy copter 3", produzido em 2014 pela mf8

Se o quebra-cabeça for embaralhado apenas com giros de 180°, ele será solucionável usando apenas giros de 180°. No entanto, se alguns movimentos de embaralhamento forem feitos, mesmo que o quebra-cabeça seja posteriormente retornado à forma de cubo, pode não ser possível resolvê-lo usando apenas giros de 180°. A razão para isso é que, usando apenas giros de 180°, cada peça central de face só pode ser permutada dentro de um ciclo de 6 membros, frequentemente chamado de órbita.^[6] Peças centrais de face em órbitas diferentes não podem ser trocadas usando apenas giros de 180°. No entanto, movimentos de embaralhamento são capazes de permutar peças centrais de face entre órbitas diferentes, deixando o quebra-cabeça em um estado que não pode ser resolvido apenas por giros de 180°.

Suponha que o Helicopter Cube seja embaralhado sem movimentos desordenados (ou seja, misturado com apenas giros de 180 graus). Qualquer permutação dos vértices é possível, incluindo permutações ímpares. Sete dos vértices podem ser rotacionados independentemente, e a orientação do oitavo depende dos outros sete, resultando em 8!×3⁷ combinações.

Existem 24 centros de faces, que podem ser organizados de 24! maneiras diferentes. Mas os centros de faces, na verdade, ocorrem em 4 órbitas distintas, cada uma contendo todas as cores. Assim, o número de permutações é reduzido para 6!⁴ arranjos.^[8] A permutação dos centros das faces é par, o número de permutações é dividido por 2.

Assumindo que o cubo não tem uma orientação fixa no espaço e que as permutações resultantes da rotação do cubo sem torcê-lo são consideradas idênticas, o número de permutações é reduzido por um fator de 24. Isso ocorre porque todas as 24 posições e orientações possíveis do primeiro vértice são equivalentes devido à ausência de centros fixos. Este fator não aparece no cálculo das permutações de cubos N×N×N onde N é ímpar, uma vez que esses quebra-cabeças têm centros fixos que identificam a orientação espacial do cubo.

Isso dá um número total de permutações de : ${\displaystyle {\frac {7!\cdot 3^{6}\cdot 6!^{4}}{2}}\approx 4.94\times 10^{17}.}$

O número expandido é 493694233804800000 (aproximadamente 494 bilhões na escala longa ou 494 quatrilhões na escala curta).^[6]

Quando um Helicopter Cube é embaralhado com movimentos desordenados, mas ainda mantém sua forma de cubo, os centros das faces não ocorrem em 4 órbitas distintas. Supondo que os quatro centros de cada cor sejam indistinguíveis, o número de permutações é reduzido para 24!/(4!⁶) arranjos. O fator de redução ocorre porque existem 24 (4!) maneiras de organizar as quatro peças de uma determinada cor. Isso é elevado à sexta potência porque existem seis cores.

Isso resulta em um número total de permutações de ${\displaystyle {\frac {7!\cdot 3^{6}\cdot 24!}{4!^{6}}}.}$

O número expandido é 11928787020628077600000 (aproximadamente 11929 trilhões ou 12 trilhões na escala longa ou 12 sextilhões na escala curta)^[8]

Para contar posições que não sejam cubos, precisamos contar todas as formas possíveis (ignorando as cores). Contar essas formas é complicado, pois às vezes os movimentos são bloqueados puramente devido à forma das peças, e não ao mecanismo subjacente. Matt Galla fez uma análise completa e escreveu seus resultados nesta publicação no Fórum TwistyPuzzles. Reproduzi e verifiquei seus resultados. Ele encontrou 14.098 formas, ou 28.055 se as imagens espelhadas também forem contabilizadas. Algumas delas, no entanto, têm simetria e, portanto, ocorrem em menos de 24 (ou 48) orientações possíveis. Aqui está uma análise dessas simetrias: ^[8]

Sym.		mr4r3r2	mr3r2	r3r2	mfr2e	mer2e	r2er2e	m4	me	r2e	r2f	mc	i	Total
	Intl	Oh	D3d	D3	C2v	C2h	D2	S4	Cs	C2	C2	S2	C1
	Schön.	m3m	3m	322	mm2	2/m	222	4	m	2	2	1	1
Ordem		48	12	6	4	4	4	4	2	2	2	2	1
Index		1	4	8	12	12	12	12	24	24	24	24	48
Shapes mirror image		1	1	8	1	18	4	1	82	764	5	37	13,176	14,098
		1	1	16	1	18	8	1	82	1,528	10	37	26,352	28,055
Total		1	4	128	12	216	96	12	1,968	36,672	240	888	1,264,896	1,305,133

• Cubo de bolso
• Cubo Mágico
• Rubik's Revenge
• Professor's Cube
• V-Cube 6
• V-Cube 7
• V-Cube 8
• Megaminx
• Skewb
• Tuttminx
• Pyraminx
• Pyraminx Crystal
• Rubik's Magic
• Relógio de Rubik
• Rubik's Domino
• Square-1, outro quebra-cabeça cúbico que muda de forma.