Comutatividade

Ilustração da comutatividade em operações binárias
Tipo	Propriedade
Campo	Álgebra
Enunciado	Uma operação binária é comutativa se a mudança da ordem dos operandos não altera o resultado.
Enunciado simbólico	${\displaystyle x*y=y*x\quad \forall x,y\in S}$

Na matemática, uma operação binária é comutativa se a mudança da ordem dos operandos não altera o resultado. É uma propriedade fundamental de muitas operações binárias, e muitas demonstrações matemáticas dependem dela. Talvez mais familiar como uma propriedade da aritmética, ex. 3 + 4 = 4 + 3 ou 2 × 5 = 5 × 2, a propriedade também pode ser usada em cenários mais avançados. O nome é necessário porque existem operações, como a divisão e a subtração, que não a possuem (por exemplo, 3 − 5 ≠ 5 − 3); tais operações não são comutativas e, portanto, são referidas como operações não comutativas.

A ideia de que operações simples, como a multiplicação e a adição de números, são comutativas foi implicitamente assumida por muitos séculos. Assim, essa propriedade não foi nomeada até o século XIX, quando novas estruturas algébricas começaram a ser estudadas.^[1]

Uma operação binária ${\displaystyle *}$ num conjunto S é comutativa se $${\displaystyle x*y=y*x}$$ para todos ${\displaystyle x,y\in S}$.^[2] Uma operação que não é comutativa é dita não comutativa.^[3]

Diz-se que x comuta com y ou que x e y comutam sob ${\displaystyle *}$ se^[4] $${\displaystyle x*y=y*x.}$$

Assim, uma operação é comutativa se todos os pares de elementos comutam.^[4] Uma operação é não comutativa se existirem dois elementos tais que ${\displaystyle x*y\neq y*x.}$ Isso não exclui a possibilidade de que alguns pares de elementos comutem.^[3]

Alguns tipos de estruturas algébricas envolvem uma operação que não requer comutatividade. Se essa operação for comutativa para uma estrutura específica, diz-se frequentemente que a estrutura é comutativa. Então:

• um semigrupo comutativo é um semigrupo cuja operação é comutativa;^[14]
• um monoide comutativo é um monoide cuja operação é comutativa;^[15]
• um grupo comutativo ou grupo abeliano é um grupo cuja operação é comutativa;^[16]
• um anel comutativo é um anel cuja multiplicação é comutativa. (A adição num anel é sempre comutativa.)^[17]

No entanto, no caso de álgebras, a expressão "álgebra comutativa" (referindo-se à estrutura) aplica-se apenas a álgebras associativas que possuem uma multiplicação comutativa.^[18]

Os registros do uso implícito da propriedade comutativa remontam à antiguidade. Os egípcios usaram a propriedade comutativa da multiplicação para simplificar o cálculo de produtos.^[19] Sabe-se que Euclides assumiu a propriedade comutativa da multiplicação em seu livro Elementos.^[20] Usos formais da propriedade comutativa surgiram no final do século XVIII e início do século XIX, quando os matemáticos começaram a trabalhar numa teoria de funções. Hoje em dia, a propriedade comutativa é uma propriedade básica e bem conhecida, usada na maioria dos ramos da matemática.^[2]

O primeiro uso registrado do termo comutativo foi em um livro de memórias por François-Joseph Servois em 1814, que usou a palavra commutatives ao descrever funções que têm o que agora é chamado de propriedade comutativa.^[21] Commutative é a forma feminina do adjetivo francês commutatif, que é derivado do substantivo francês commutation e do verbo francês commuter, que significa "trocar" ou "alternar". O termo então apareceu em inglês em 1838 no artigo de Duncan Gregory intitulado "On the real nature of symbolical algebra", publicado em 1840 na Transactions of the Royal Society of Edinburgh.^[22]

• Propriedade anticomutativa
• Relação de comutação canônica (na mecânica quântica)
• Centralizador e normalizador (também chamado de comutante)
• Diagrama comutativo
• Comutador
• Estatística de partículas (para comutatividade na física)
• Propriedade quase-comutativa
• Monoide de traços