Tensor de tensões de Maxwell

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O tensor de tensões de Maxwell (nomeado em homenagem a James Clerk Maxwell) é um tensor simétrico de segunda ordem em três dimensões usado no eletromagnetismo clássico para representar a interação entre forças eletromagnéticas e o momento mecânico. Em situações simples, como uma carga pontual movendo-se livremente em um campo magnético homogêneo, é fácil calcular as forças sobre a carga a partir da força de Lorentz. Quando a situação se torna mais complexa, este procedimento ordinário pode tornar-se impraticavelmente difícil, com equações que ocupam múltiplas linhas. Por isso, é conveniente reunir muitos desses termos no tensor de tensões de Maxwell e usar a aritmética tensorial para encontrar a solução do problema em questão.

Na formulação relativística do eletromagnetismo, as nove componentes do tensor de tensões de Maxwell aparecem, com sinal invertido, como componentes do tensor de energia-momento eletromagnético, que é a componente eletromagnética do tensor de energia-momento total. Este último descreve a densidade e o fluxo de energia e momento no espaço-tempo.

Como demonstrado abaixo, a força eletromagnética é escrita em termos de ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$. Usando cálculo vetorial e as equações de Maxwell, busca-se a simetria nos termos que contêm ${\displaystyle \mathbf {E} }$ e ${\displaystyle \mathbf {B} }$, e a introdução do tensor de tensões de Maxwell simplifica o resultado.

Equações de Maxwell em unidades do SI no vácuo
(para referência)

Nome	Forma diferencial
Lei de Gauss (no vácuo)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$
Lei de Gauss para o magnetismo	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0}$
Equação de Maxwell–Faraday (Lei da indução de Faraday)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$
Lei de Ampère (no vácuo) (com a correção de Maxwell)	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\ }$

Na relação de conservação de momento acima, ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$ é a densidade de fluxo de momento e desempenha um papel semelhante a ${\displaystyle \mathbf {S} }$ no teorema de Poynting.

A derivação acima assume o conhecimento completo de ${\displaystyle \rho }$ e ${\displaystyle \mathbf {J} }$ (tanto cargas e correntes livres quanto ligadas). Para o caso de materiais não lineares (como ferro magnético com uma curva B-H), deve-se utilizar o tensor de tensões de Maxwell não linear.^[1]

Na física, o tensor de tensões de Maxwell é o tensor de tensões de Cauchy de um campo eletromagnético. Conforme derivado acima, ele é dado por:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$,

onde ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ é a constante elétrica, ${\displaystyle \mu _{0}}$ a constante magnética, ${\displaystyle \mathbf {E} }$ o campo elétrico, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ o campo magnético, e ${\displaystyle \delta _{ij}}$ é o delta de Kronecker. No sistema Gaussiano, ele é dado por:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)}$,

onde ${\displaystyle \mathbf {H} }$ é o campo magnetizante.

Uma forma alternativa de expressar este tensor é:

${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]}$

onde ${\displaystyle \otimes }$ é o produto diádico, e o último tensor é a díade unitária:

${\displaystyle \mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} }$

O elemento ${\displaystyle ij}$ do tensor de tensões de Maxwell possui unidades de momento por unidade de área por unidade de tempo e fornece o fluxo de momento paralelo ao ${\displaystyle i}$-ésimo eixo que atravessa uma superfície normal ao ${\displaystyle j}$-ésimo eixo (na direção negativa) por unidade de tempo.

Essas unidades também podem ser vistas como unidades de força por unidade de área (pressão negativa), e o elemento ${\displaystyle ij}$ do tensor também pode ser interpretado como a força paralela ao ${\displaystyle i}$-ésimo eixo sofrida por uma superfície normal ao ${\displaystyle j}$-ésimo eixo por unidade de área. De fato, os elementos da diagonal fornecem a tração (puxo) atuando em um elemento de área diferencial normal ao eixo correspondente. Diferente das forças devidas à pressão de um gás ideal, um elemento de área no campo eletromagnético também sente uma força em uma direção que não é normal ao elemento. Este cisalhamento é dado pelos elementos fora da diagonal do tensor de tensões.

Foi demonstrado recentemente que o tensor de tensões de Maxwell é a parte real de um tensor de tensões eletromagnéticas complexo mais geral, cuja parte imaginária explica as forças eletrodinâmicas reativas.^[2]

Se o campo for apenas magnético (o que ocorre amplamente em motores, por exemplo), alguns dos termos desaparecem e a equação em unidades do SI torna-se:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}$

Na eletrostática, os efeitos do magnetismo não estão presentes. Neste caso, o campo magnético desaparece, ou seja, ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} }$, e obtemos o tensor de tensões de Maxwell eletrostático. Ele é dado na forma de componentes por:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}$

e na forma simbólica por:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }$

onde ${\displaystyle \mathbf {I} }$ é o tensor identidade apropriado ${\displaystyle {\big (}}$geralmente ${\displaystyle 3\times 3{\big )}}$.

Os autovalores do tensor de tensões de Maxwell são dados por:

${\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}$

Esses autovalores são obtidos aplicando iterativamente o lema do determinante de matriz, em conjunto com a fórmula de Sherman–Morrison.

Notando que a matriz da equação característica, ${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } }$, pode ser escrita como:

${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$

onde

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}$

definimos

${\displaystyle \mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}$

Aplicando o lema do determinante de matriz uma vez, obtemos:

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}}$

Aplicando-o novamente, resulta em:

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}}$

A partir do último multiplicando à direita, vemos imediatamente que ${\displaystyle \lambda =-V}$ é um dos autovalores.

Para encontrar o inverso de ${\displaystyle \mathbf {U} }$, usamos a fórmula de Sherman-Morrison:

${\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}}$

Fatorando o termo ${\displaystyle \left(-\lambda -V\right)}$ no determinante, resta encontrar os zeros da função racional:

${\displaystyle \left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}$

Assim, ao resolver

${\displaystyle -\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0}$

obtemos os outros dois autovalores.

• Cálculo de Ricci
• Densidade de energia de campos elétricos e magnéticos
• Pressão magnética
• Tensor de energia-momento eletromagnético
• Tensão magnética
• Vetor de Poynting

• David J. Griffiths, "Introduction to Electrodynamics" pp. 351–352, Benjamin Cummings Inc., 2008
• John David Jackson, "Classical Electrodynamics, 3rd Ed.", John Wiley & Sons, Inc., 1999
• Richard Becker, "Electromagnetic Fields and Interactions", Dover Publications Inc., 1964