Equações de Navier-Stokes

Mecânica do contínuo
Leis Conservação da massa Conservação do momento Conservação da energia Desigualdade da entropia
Mecânica dos sólidos Sólidos Tensão Deformação Compatibilidade Deformação finita Deformação infinitesimal Elasticidade linear Plasticidade Flexão Lei de Hooke Teoria de falha dos materiais Mecânica da fratura Mecânica do contato Sem fricção Friccional
Mecânica dos fluidos Fluidos Estática dos fluidos Dinâmica dos fluidos Empuxo Equações de Navier-Stokes Pressão Princípio de Bernoulli Princípio de Arquimedes Princípio de Pascal Turbulência Líquidos Tensão superficial Capilaridade Gases Atmosfera Lei de Boyle-Mariotte Lei de Charles Lei de Gay-Lussac Lei combinada dos gases Plasma
Reologia Viscosidade Newtoniano Não newtoniano Viscoelasticidade Fluidos inteligentes Magnetoreológico Eletroreológico Ferrofluidos Reometria Reômetro
Cientistas Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Navier Newton Pascal Poiseuille Stokes

As equações de Navier-Stokes expressam matematicamente o balanço de momento para fluidos newtonianos e fazem uso da conservação de massa. Às vezes, elas são acompanhadas por uma equação de estado relacionando pressão, temperatura e densidade.^[1] Elas surgem da aplicação da segunda lei de Newton ao movimento dos fluidos, juntamente com a premissa de que a tensão no fluido é a soma de um termo viscoso difusivo (proporcional ao gradiente de velocidade) e um termo de pressão — descrevendo, assim, o escoamento viscoso. As equações de Navier-Stokes generalizam as equações de Euler, na medida em que o modelo destas últimas considera apenas o escoamento invíscido.

As equações de Navier-Stokes são de grande interesse científico e de engenharia porque podem ser usadas para modelar uma ampla variedade de cenários. Em suas formas completas ou simplificadas, elas podem auxiliar no projeto de aeronaves e carros, no estudo do fluxo sanguíneo, no projeto de usinas de energia, na análise da poluição e em muitos outros problemas. Acopladas às equações de Maxwell, elas compõem os fundamentos da magnetohidrodinâmica.

As equações de Navier-Stokes também são de grande interesse num sentido puramente matemático. Apesar da sua vasta gama de usos práticos, a conjectura de que elas possuem soluções suaves (significando infinitamente diferenciáveis) ou limitadas em três dimensões ainda não foi provada. Isso é chamado de problema de existência e suavidade de Navier-Stokes. O Instituto Clay de Matemática (Clay Mathematics Institute) chamou este de um dos sete problemas em aberto mais importantes da matemática e ofereceu um prêmio de US$ 1 milhão por uma solução ou um contraexemplo.^[2][3]

A solução das equações é uma velocidade do escoamento. Trata-se de um campo vetorial — para cada ponto em um fluido, em qualquer momento em um intervalo de tempo, ele fornece um vetor cuja direção e magnitude são aquelas da velocidade do fluido naquele ponto no espaço e naquele instante de tempo. É estudado em três dimensões espaciais e uma dimensão temporal, e análogos de dimensões superiores são estudados tanto na matemática pura quanto na aplicada. Uma vez calculado o campo de velocidade, outras quantidades de interesse, como a pressão ou a temperatura, podem ser encontradas utilizando equações e relações dinâmicas. Isso é diferente do que normalmente se vê na mecânica clássica, onde as soluções são tipicamente trajetórias da posição de uma partícula ou deflexão de um contínuo. Estudar a velocidade em vez da posição faz mais sentido para um fluido, embora para propósitos de visualização seja possível computar várias trajetórias. Em particular, as linhas de corrente de um campo vetorial, interpretadas como velocidade de escoamento, são os caminhos ao longo dos quais uma partícula de fluido sem massa viajaria. Esses caminhos são as curvas integrais cuja derivada em cada ponto é igual ao campo vetorial, e elas podem representar visualmente o comportamento do campo vetorial em um determinado momento.

A equação do momento de Navier-Stokes pode ser derivada como uma forma particular da equação do momento de Cauchy, cuja forma convectiva geral é: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {a} .}$$ Ao definir o tensor de tensão de Cauchy ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ como sendo a soma de um termo de viscosidade ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ (a tensão desviadora) e um termo de pressão ${\textstyle -p\mathbf {I} }$ (tensão volumétrica), chegamos a:

onde

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$ é a derivada material, definida como ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$,
• ${\textstyle \rho }$ é a densidade (de massa),
• ${\textstyle \mathbf {u} }$ é a velocidade de escoamento,
• ${\textstyle \nabla \cdot \,}$ é a divergência,
• ${\textstyle p}$ é a pressão,
• ${\textstyle t}$ é o tempo,
• ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ é o tensor de tensão desviadora, que tem ordem 2,
• ${\textstyle \mathbf {a} }$ representa as acelerações de corpo atuando sobre o contínuo, por exemplo, a gravidade, acelerações inerciais, acelerações eletrostáticas, e assim por diante.

Nesta forma, é aparente que na premissa de um fluido invíscido — sem tensão desviadora — as equações de Cauchy se reduzem às equações de Euler.

Assumindo a conservação da massa, com as propriedades conhecidas de divergência e gradiente, podemos usar a equação da continuidade de massa, que representa a massa por unidade de volume de um fluido homogêneo em relação ao espaço e ao tempo (isto é, a derivada material ${\displaystyle {\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}}$) de qualquer volume finito (V) para representar a mudança de velocidade em meios fluidos: $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )\right)\,dV\\[5pt]&{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\nabla \rho )\cdot \mathbf {u} +\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\end{aligned}}}$$onde

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$ é a derivada material da massa por unidade de volume (densidade, ${\displaystyle \rho }$),
• ${\textstyle \iiint \limits _{V}(F(x_{1},x_{2},x_{3},t))\,dV}$ é a operação matemática para a integração em todo o volume (V),
• ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$ é o operador matemático de derivada parcial,
• ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} \,}$ é a divergência da velocidade do escoamento (${\displaystyle \mathbf {u} }$), que é um campo escalar,^[a]
• ${\textstyle \nabla \rho \,}$ é o gradiente de densidade (${\displaystyle \rho }$), que é a derivada vetorial de um campo escalar,^[a]

para chegar à forma de conservação das equações de movimento. Isto é frequentemente escrito como:^[4]

onde ${\textstyle \otimes }$ é o produto externo da velocidade do escoamento (${\displaystyle \mathbf {u} }$):$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}$$

O lado esquerdo da equação descreve a aceleração e pode ser composto por componentes dependentes do tempo e convectivos (além dos efeitos de coordenadas não inerciais, se presentes). O lado direito da equação é, na verdade, um somatório de efeitos hidrostáticos, da divergência da tensão desviadora e das forças de corpo (como a gravidade).

Todas as equações de balanço não relativísticas, como as equações de Navier-Stokes, podem ser derivadas começando com as equações de Cauchy e especificando o tensor de tensão por meio de uma relação constitutiva. Ao expressar o tensor de tensão desviadora (de cisalhamento) em termos da viscosidade e do gradiente de velocidade do fluido, e assumindo viscosidade constante, as equações de Cauchy acima levarão às equações de Navier-Stokes abaixo.

Aceleração convectiva

Uma característica significativa da equação de Cauchy e, consequentemente, de todas as outras equações do contínuo (incluindo Euler e Navier-Stokes) é a presença da aceleração convectiva: o efeito da aceleração de um escoamento em relação ao espaço. Embora partículas de fluido individuais de fato experimentem aceleração dependente do tempo, a aceleração convectiva do campo de escoamento é um efeito espacial, sendo um exemplo a aceleração do fluido em um bocal.

Observação: aqui, o tensor de tensão desviadora é denotado por ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ assim como estava nas equações gerais do contínuo e na seção de escoamento incompressível.

A equação de momento de Navier-Stokes compressível resulta das seguintes premissas sobre o tensor de tensão de Cauchy:^[5]

• a tensão é invariante de Galileu: não depende diretamente da velocidade do escoamento, mas apenas das derivadas espaciais da velocidade do escoamento. Portanto, a variável de tensão é o gradiente tensorial ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$, ou mais simplesmente o tensor taxa de deformação: ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• a tensão desviadora é linear nesta variável: ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C}$ :{\boldsymbol {\varepsilon }}} , onde ${\textstyle p}$ é independente do tensor taxa de deformação, ${\textstyle \mathbf {C} }$ é o tensor de quarta ordem que representa a constante de proporcionalidade, chamada de viscosidade ou tensor de elasticidade, e : é o produto escalar duplo.
• assume-se que o fluido é isotrópico, como ocorre com gases e líquidos simples, e consequentemente ${\textstyle \mathbf {C} }$ é um tensor isotrópico; além disso, uma vez que o tensor de tensão desviadora é simétrico, pela decomposição de Helmholtz ele pode ser expresso em termos de dois parâmetros de Lamé escalares, a segunda viscosidade ${\textstyle \lambda }$ e a viscosidade dinâmica ${\textstyle \mu }$, como é usual na elasticidade linear:
  Equação constitutiva linear da tensão  (expressão similar à de um sólido elástico)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  onde ${\textstyle \mathbf {I} }$ é o tensor identidade, e ${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$ é o traço do tensor taxa de deformação. Assim, essa decomposição pode ser explicitamente definida como: $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$$

Dado que o traço do tensor taxa de deformação em três dimensões é a divergência (isto é, taxa de expansão) do escoamento: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Dada essa relação, e já que o traço do tensor identidade em três dimensões é três: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

o traço do tensor tensão em três dimensões se torna: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Portanto, ao decompor alternativamente o tensor tensão em partes isotrópica e desviadora, como é usual na dinâmica dos fluidos:^[6] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

Introduzindo a viscosidade volumétrica ${\textstyle \zeta }$, $${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

chegamos à equação constitutiva linear na forma usualmente empregada na hidráulica térmica:^[5]

que também pode ser organizada na outra forma usual:^[7] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

Observe que no caso compressível a pressão não é mais proporcional ao termo de tensão isotrópica, uma vez que existe o termo adicional de viscosidade volumétrica: ${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

e o tensor de tensão desviadora ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$ ainda coincide com o tensor de tensão de cisalhamento ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ (isto é, a tensão desviadora em um fluido newtoniano não tem componentes de tensão normal), e possui um termo de compressibilidade além do caso incompressível, o qual é proporcional à viscosidade de cisalhamento:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

Tanto a viscosidade volumétrica ${\textstyle \zeta }$ quanto a viscosidade dinâmica ${\textstyle \mu }$ não precisam ser constantes – em geral, elas dependem de duas variáveis termodinâmicas se o fluido contiver uma única espécie química, como por exemplo, pressão e temperatura. Qualquer equação que torne explícito um desses coeficientes de transporte nas variáveis de conservação é chamada de equação de estado.^[8]

A mais geral das equações de Navier-Stokes torna-se

em notação indicial, a equação pode ser escrita como^[9]

A equação correspondente na forma de conservação pode ser obtida considerando que, dada a equação da continuidade de massa, o lado esquerdo é equivalente a:

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )}$

para dar, finalmente:

Além da sua dependência da pressão e temperatura, o segundo coeficiente de viscosidade também depende do processo, o que significa que o segundo coeficiente de viscosidade não é apenas uma propriedade do material. Exemplo: no caso de uma onda sonora com uma frequência definida que alternativamente comprime e expande um elemento de fluido, o segundo coeficiente de viscosidade depende da frequência da onda. Esta dependência é chamada de dispersão. Em alguns casos, a segunda viscosidade ${\textstyle \zeta }$ pode ser considerada constante, caso em que o efeito da viscosidade volumétrica ${\textstyle \zeta }$ é que a pressão mecânica não é equivalente à pressão termodinâmica:^[10] conforme demonstrado abaixo.$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$$$${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$No entanto, esta diferença é geralmente negligenciada na maior parte do tempo (isto é, sempre que não estamos lidando com processos como a absorção de som e a atenuação de ondas de choque,^[11] onde o segundo coeficiente de viscosidade torna-se importante) ao assumir explicitamente que ${\textstyle \zeta =0}$. A premissa de definir ${\textstyle \zeta =0}$ é chamada de hipótese de Stokes.^[12] A validade da hipótese de Stokes pode ser demonstrada para gás monoatômico tanto experimentalmente quanto a partir da teoria cinética;^[13] para outros gases e líquidos, a hipótese de Stokes é geralmente incorreta. Com a hipótese de Stokes, as equações de Navier-Stokes tornam-se

Se as viscosidades dinâmica μ e volumétrica ${\displaystyle \zeta }$ forem assumidas como uniformes no espaço, as equações na forma convectiva podem ser simplificadas ainda mais. Ao calcular a divergência do tensor de tensão, visto que a divergência do tensor ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ é ${\textstyle \nabla ^{2}\mathbf {u} }$ e a divergência do tensor ${\textstyle \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }}$ é ${\textstyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}$, chega-se finalmente à equação de momento de Navier-Stokes compressível:^[14]

onde ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$ é a derivada material. ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ é a viscosidade cinemática de cisalhamento e ${\displaystyle \xi ={\frac {\zeta }{\rho }}}$ é a viscosidade cinemática volumétrica. O lado esquerdo muda na forma de conservação da equação do momento de Navier-Stokes. Ao trazer o operador na velocidade do escoamento para o lado esquerdo, tem-se também:

O termo de aceleração convectiva também pode ser escrito como $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\tfrac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2},}$$ onde o vetor ${\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }$ é conhecido como o vetor de Lamb.

Para o caso especial de um escoamento incompressível, a pressão restringe o escoamento de modo que o volume dos elementos de fluido seja constante: o escoamento isocórico resulta em um campo de velocidade solenoidal com ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$.^[15]

A equação de momento de Navier-Stokes incompressível resulta das seguintes premissas sobre o tensor de tensão de Cauchy:^[5]

• a tensão é invariante de Galileu: ela não depende diretamente da velocidade do escoamento, mas apenas das derivadas espaciais da velocidade do escoamento. Logo, a variável de tensão é o gradiente tensorial ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$.
• assume-se que o fluido é isotrópico, assim como ocorre com gases e líquidos simples, e consequentemente ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ é um tensor isotrópico; além disso, uma vez que o tensor de tensão desviadora pode ser expresso em termos da viscosidade dinâmica ${\textstyle \mu }$:
  Equação constitutiva da tensão de Stokes  (expressão usada para sólidos elásticos incompressíveis)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  onde $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)}$$ é o tensor taxa de deformação. Assim, essa decomposição pode ser explicitada como:^[5]

  Equação constitutiva da tensão de Stokes  (expressão usada para fluidos viscosos incompressíveis)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$

Esta equação constitutiva também é chamada de lei da viscosidade de Newton. A viscosidade dinâmica μ não precisa ser constante – em escoamentos incompressíveis ela pode depender da densidade e da pressão. Qualquer equação que torne explícito um desses coeficientes de transporte nas variáveis conservativas é chamada de equação de estado.^[8]

A divergência da tensão desviadora no caso de viscosidade uniforme é dada por: $${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$$ porque ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$ para um fluido incompressível.

A incompressibilidade descarta ondas de densidade e pressão como o som ou as ondas de choque, portanto essa simplificação não é útil se esses fenômenos forem de interesse. A suposição do escoamento incompressível costuma ser válida para todos os fluidos com baixo número de Mach (digamos até cerca de Mach 0,3), como por exemplo na modelagem de ventos em temperaturas normais.^[16] as equações de Navier-Stokes incompressíveis são mais bem visualizadas ao se dividir pela densidade:^[17]

onde ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ é chamada de viscosidade cinemática. Isolando a velocidade do fluido, também é possível afirmar:

Se a densidade for constante ao longo de todo o domínio do fluido, ou, em outras palavras, se todos os elementos de fluido possuírem a mesma densidade, ${\textstyle \rho }$, então temos

onde ${\textstyle p/\rho }$ é chamada de carga de pressão unitária.

Em escoamentos incompressíveis, o campo de pressão satisfaz a equação de Poisson,

${\displaystyle \nabla ^{2}p=-\rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=-\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}u_{k}}{\partial x_{k}x_{i}}},}$

que é obtida tomando a divergência das equações do momento.

Vale a pena observar o significado de cada termo (compare com a equação do momento de Cauchy):

$${\displaystyle \overbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\text{Variação}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Aceleração}}\\{\text{convectiva}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inércia (por volume)}}=\overbrace {{\vphantom {\frac {\partial }{\partial }}}\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Fonte}}\\{\text{interna}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Difusão}}} ^{\text{Divergência da tensão}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Fonte}}\\{\text{externa}}\end{smallmatrix}}.}$$

O termo de ordem superior, a saber a divergência da tensão de cisalhamento ${\textstyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$, foi simplesmente reduzido ao termo do laplaciano vetorial ${\textstyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$.^[18] Este termo laplaciano pode ser interpretado como a diferença entre a velocidade em um ponto e a velocidade média em um pequeno volume em torno desse ponto. Isso implica que – para um fluido newtoniano – a viscosidade opera como uma difusão de momento, de forma muito parecida à condução de calor. De fato, negligenciando o termo de convecção, as equações de Navier-Stokes incompressíveis levam a uma equação de difusão vetorial (notavelmente as equações de Stokes), mas, em geral, o termo de convecção está presente, portanto, as equações de Navier-Stokes incompressíveis pertencem à classe das equações de convecção-difusão.

No caso usual de um campo externo ser um campo conservativo: $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \varphi }$$ ao definir a carga hidráulica: $${\displaystyle h\equiv w+\varphi }$$

é possível condensar toda a fonte em um único termo, chegando-se à equação de Navier-Stokes incompressível com campo externo conservativo: $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.}$$

As equações de Navier-Stokes incompressíveis com densidade e viscosidade uniformes e campo externo conservativo representam a equação fundamental da hidráulica. O domínio para essas equações é comumente um espaço euclidiano de 3 dimensões ou menos, para o qual um sistema de referência de coordenadas ortogonais é usualmente estabelecido para explicar o sistema de equações diferenciais parciais escalares a ser resolvido. Em sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais há 3 tipos: cartesianas, cilíndricas e esféricas. Expressar a equação vetorial de Navier-Stokes em coordenadas cartesianas é bastante simples e não é muito influenciado pelo número de dimensões do espaço euclidiano empregado, e este é o caso também para os termos de primeira ordem (como as variações e os convectivos) em sistemas de coordenadas ortogonais não cartesianas. No entanto, para os termos de ordem superior (os dois provenientes da divergência da tensão desviadora que distinguem as equações de Navier-Stokes das equações de Euler) requer-se o uso do cálculo tensorial para deduzir uma expressão nos sistemas de coordenadas ortogonais não cartesianas. Um caso especial da equação fundamental da hidráulica é a equação de Bernoulli.

A equação de Navier-Stokes incompressível é composta, a soma de duas equações ortogonais, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}}$$ onde ${\textstyle \Pi ^{S}}$ e ${\textstyle \Pi ^{I}}$ são operadores de projeção solenoidais e irrotacionais satisfazendo ${\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}$, e ${\textstyle \mathbf {f} ^{S}}$ e ${\textstyle \mathbf {f} ^{I}}$ são as partes não conservativas e conservativas da força de corpo. Esse resultado segue do teorema de Helmholtz (também conhecido como o teorema fundamental do cálculo vetorial). A primeira equação é uma equação governante sem pressão para a velocidade, enquanto a segunda equação, para a pressão, é uma função da velocidade e está relacionada à equação de Poisson para a pressão.

A forma funcional explícita do operador de projeção em 3D é encontrada através do Teorema de Helmholtz: $${\displaystyle \Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}}$$ com uma estrutura semelhante em 2D. Assim, a equação governante é uma equação íntegro-diferencial semelhante à lei de Coulomb e à lei de Biot-Savart, o que não é conveniente para computação numérica.

Uma forma fraca ou variacional equivalente da equação, comprovada para produzir a mesma solução de velocidade que a equação de Navier-Stokes,^[19] é dada por, $${\displaystyle \left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w}$$ :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)}

para funções de teste livres de divergência ${\textstyle \mathbf {w} }$ satisfazendo condições de contorno adequadas. Aqui, as projeções são realizadas pela ortogonalidade dos espaços funcionais solenoidais e irrotacionais. A forma discreta disso é eminentemente adequada para o cálculo por elementos finitos do escoamento sem divergência, como veremos na próxima seção. Ali, será possível abordar a questão: "Como se especifica problemas impulsionados pela pressão (Poiseuille) usando uma equação governante sem a pressão?".

A ausência das forças de pressão na equação que governa a velocidade demonstra que a equação não é dinâmica, mas sim uma equação cinemática, em que a condição livre de divergência desempenha o papel de uma equação de conservação. Isso parece refutar as declarações frequentes de que a pressão incompressível impõe a condição livre de divergência.

O referencial rotativo introduz algumas pseudo-forças interessantes nas equações por meio do termo da derivada material. Considere um referencial inercial estacionário ${\textstyle K}$, e um referencial não inercial ${\textstyle K'}$, o qual translada com velocidade ${\textstyle \mathbf {U} (t)}$ e rotaciona com velocidade angular ${\textstyle \Omega (t)}$ em relação ao referencial estacionário. A equação de Navier-Stokes observada do referencial não inercial então se torna

Aqui, ${\textstyle \mathbf {x} }$ e ${\textstyle \mathbf {u} }$ são medidos no referencial não inercial. O primeiro termo entre colchetes representa a aceleração de Coriolis, o segundo termo deve-se à aceleração centrífuga, o terceiro é por conta da aceleração linear de ${\textstyle K'}$ em relação a ${\textstyle K}$, e o quarto termo ocorre devido à aceleração angular de ${\textstyle K'}$ em relação a ${\textstyle K}$.

As equações de Navier-Stokes consistem, rigorosamente, numa formulação do balanço do momento. A fim de descrever o escoamento de fluidos de maneira completa, são necessárias mais informações; a quantidade de informações dependerá das suposições feitas. Esta informação adicional pode englobar dados de contorno (não escorregamento, superfície capilar, etc.), conservação da massa, balanço de energia e/ou uma equação de estado.

Equação de continuidade para fluido incompressível

Ver artigo principal: Equação de continuidade

Sem importar as premissas de escoamento, é em geral necessário estabelecer uma condição de conservação da massa. Consegue-se isto mediante a equação de continuidade da massa, conforme foi discutido antes no presente artigo (ver em "Equações gerais do contínuo"), da seguinte maneira: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )})dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$ Um meio fluido em que a densidade (${\displaystyle \rho }$) é constante recebe o nome de incompressível. Diante disso, a taxa de alteração da densidade (${\displaystyle \rho }$) a respeito do tempo ${\displaystyle ({\frac {\partial \rho }{\partial t}})}$ e o gradiente de densidade ${\displaystyle (\nabla \rho )}$ igualam-se a zero ${\displaystyle (0)}$. Nesta hipótese a equação geral de continuidade, ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0}$, simplifica-se para: ${\displaystyle \rho (\nabla {\cdot }{\mathbf {u} })=0}$. Além do mais, por se supor que a densidade (${\displaystyle \rho }$) é uma constante que não é igual a zero ${\displaystyle (\rho \neq 0)}$, implica que o lado direito da equação ${\displaystyle (0)}$ é divisível pela densidade (${\displaystyle \rho }$). Assim, a equação de continuidade de um fluido incompressível reduz-se ainda mais até chegar a:$${\displaystyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$$Esta expressão, ${\textstyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$, estabelece que a divergência do vetor da velocidade de escoamento (${\displaystyle \mathbf {u} }$) iguala a zero ${\displaystyle (0)}$, querendo dizer que num fluido incompressível o campo vetorial do escoamento se trata de um campo vetorial solenoidal ou um campo vetorial livre de divergência. Vale frisar que há a possibilidade de ampliação desta relação, haja vista a sua singularidade no âmbito do operador laplaciano vetorial ${\displaystyle (\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))}$, e a vorticidade ${\displaystyle ({\vec {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} )}$ que se manifesta presentemente assim, em um fluido incompressível:$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))=-(\nabla \times {\vec {\omega }})}$$

Tomar o rotacional da equação de Navier-Stokes incompressível resulta na eliminação da pressão. Isso é especialmente fácil de ver se um escoamento cartesiano 2D for assumido (como no caso 3D degenerado com ${\displaystyle u_{z}=0}$ e sem dependência de nada em relação a z), onde as equações se reduzem a: $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}}$$

Diferenciar a primeira em relação a y, a segunda em relação a x e subtrair as equações resultantes eliminará a pressão e qualquer força conservativa. Para um escoamento incompressível, definir a função de corrente ${\displaystyle \psi }$ por meio de $${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$ resulta na continuidade de massa sendo incondicionalmente satisfeita (dado que a função de corrente é contínua), e então as conservações de momento e de massa do fluido newtoniano 2D incompressível se condensam em uma única equação: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$$

onde ${\displaystyle \nabla ^{4}}$ é o operador bi-harmônico 2D e ${\displaystyle \nu }$ é a viscosidade cinemática, ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$. Também podemos expressar isso de forma compacta usando o determinante jacobiano: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi ,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .}$$

Esta única equação, juntamente com condições de contorno apropriadas, descreve o escoamento de fluido 2D, tomando apenas a viscosidade cinemática como parâmetro. Note que a equação para o escoamento de Stokes (ou escoamento rastejante) resulta quando o lado esquerdo é assumido como zero.

No escoamento axi-simétrico, outra formulação de função de corrente, chamada de função de corrente de Stokes, pode ser usada para descrever as componentes de velocidade de um escoamento incompressível com uma única função escalar.

A equação de Navier-Stokes incompressível é uma equação diferencial algébrica, tendo a característica inconveniente de que não há um mecanismo explícito para avançar a pressão no tempo. Consequentemente, muito esforço tem sido despendido para eliminar a pressão de todo ou de parte do processo computacional. A formulação da função de corrente elimina a pressão, mas apenas em duas dimensões e à custa da introdução de derivadas de ordem superior e da eliminação da velocidade, que é a principal variável de interesse.

As equações de Navier-Stokes, mesmo quando escritas explicitamente para fluidos específicos, são de natureza bastante genérica e a sua aplicação adequada a problemas específicos pode ser muito diversa. Isso se deve em parte porque há uma enorme variedade de problemas que podem ser modelados, variando desde algo tão simples quanto a distribuição de pressão estática até algo tão complicado quanto o escoamento multifásico impulsionado pela tensão superficial.

Geralmente, a aplicação a problemas específicos começa com algumas premissas de escoamento e a formulação de condições iniciais/de contorno; isso pode ser seguido por uma análise de escala para simplificar ainda mais o problema.

Existem algumas soluções exatas para as equações de Navier-Stokes. Exemplos de casos degenerados — com os termos não lineares nas equações de Navier-Stokes iguais a zero — são o escoamento de Poiseuille, o escoamento de Couette e a camada limite de Stokes oscilatória. Mas também existem exemplos mais interessantes, soluções para as equações não lineares completas, como o escoamento de Jeffery-Hamel, o escoamento em redemoinho de von Kármán, o escoamento de ponto de estagnação, o jato de Landau-Squire e o vórtice de Taylor-Green.^[32][33][34] Soluções autossimilares dependentes do tempo das equações de Navier-Stokes tridimensionais incompressíveis em coordenadas cartesianas podem ser dadas com a ajuda das funções de Kummer com argumentos quadráticos.^[35] Para as equações de Navier-Stokes compressíveis, as soluções autossimilares dependentes do tempo são, no entanto, as funções de Whittaker novamente com argumentos quadráticos quando a equação de estado politrópica é usada como uma condição de fechamento.^[36] Note que a existência dessas soluções exatas não implica que elas sejam estáveis: a turbulência pode se desenvolver em números de Reynolds mais altos.

Sob suposições adicionais, as partes componentes podem ser separadas.^[37]

Os diagramas de Wyld são grafos de registro (bookkeeping) que correspondem às equações de Navier-Stokes por meio de uma expansão de perturbação da mecânica do contínuo fundamental. Semelhantes aos diagramas de Feynman na teoria quântica de campos, esses diagramas são uma extensão da técnica de Mstislav Keldysh para processos de não equilíbrio na dinâmica dos fluidos. Em outras palavras, esses diagramas atribuem grafos aos fenômenos (frequentemente) turbulentos em fluidos turbulentos, permitindo que partículas de fluido correlacionadas e em interação obedeçam a processos estocásticos associados a funções pseudoaleatórias em distribuições de probabilidade.^[39]

Note que as fórmulas nesta seção fazem uso da notação de linha única para derivadas parciais, onde, por exemplo, ${\displaystyle \partial _{x}u}$ significa a derivada parcial de u em relação a x, e ${\displaystyle \partial _{y}^{2}f_{\theta }}$ significa a derivada parcial de segunda ordem de ${\displaystyle f_{\theta }}$ em relação a y.

Um artigo de 2022 fornece uma solução menos custosa, dinâmica e recorrente da equação de Navier-Stokes para escoamentos de fluidos turbulentos em 3D. Em escalas de tempo adequadamente curtas, a dinâmica da turbulência é determinística.^[40]