Tensor eletromagnético de estresse e energia

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Na física relativística, o tensor eletromagnético de estresse e energia é a contribuição para o tensor de estresse e energia devido ao campo eletromagnético.^[1] O tensor de estresse e energia descreve o fluxo de energia e momento no espaço-tempo. O tensor eletromagnético de estresse e energia contém o negativo do tensor de estresse de Maxwell clássico que governa as interações eletromagnéticas.

O tensor eletromagnético de estresse e energia no Sistema Internacional de Grandezas (ISQ), que fundamenta o SI, é^[1] $${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,,}$$ onde ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ é o tensor eletromagnético e onde ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ é o tensor métrico de Minkowski de assinatura métrica (− + + +) e a convenção de soma de Einstein sobre índices repetidos é usada.

Explicitamente em forma de matriz: $${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}u&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},}$$ onde $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)}$$ é a densidade de energia volumétrica, $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }$$ é o vetor de Poynting, $${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)\delta _{ij}}$$ é o tensor de estresse de Maxwell, e ${\displaystyle c}$ é a velocidade da luz. Assim, cada componente de ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ é dimensionalmente equivalente à pressão (com a unidade do SI pascal).

As constantes no sistema gaussiano (mostradas aqui com uma plica) que correspondem à permissividade do espaço livre e à permeabilidade do espaço livre são: $${\displaystyle \epsilon _{0}'={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}'=4\pi }$$ Então $${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F'^{\mu \alpha }F'^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F'_{\alpha \beta }F'^{\alpha \beta }\right]}$$ e, em forma de matriz explícita: $${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}u&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}}$$ onde a densidade de energia se torna $${\displaystyle u={\frac {1}{8\pi }}\left(\mathbf {E} '^{2}+\mathbf {B} '^{2}\right)}$$ e o vetor de Poynting se torna $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} '\times \mathbf {B} '.}$$

O tensor de estresse e energia para um campo eletromagnético em um meio dielétrico é menos compreendido e é o assunto da controvérsia de Abraham e Minkowski.^[2]

O elemento ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$ do tensor tensão-energia representa o fluxo do componente com índice ${\displaystyle \mu }$ do quadrimomento do campo eletromagnético, ⁠${\displaystyle P^{\mu }}$⁠, passando por um hiperplano. Ele representa a contribuição do eletromagnetismo para a fonte do campo gravitacional (curvatura do espaço-tempo) na relatividade geral.

O tensor eletromagnético de estresse e energia possui diversas propriedades algébricas:

A simetria do tensor é a mesma de um tensor de estresse e energia geral na relatividade geral. O traço do tensor de energia e momento é um escalar de Lorentz; o campo eletromagnético (e em particular as ondas eletromagnéticas) não possui escala de energia invariante de Lorentz, portanto, seu tensor de energia e momento deve ter um traço que desaparece. Essa ausência de traço eventualmente se relaciona à ausência de massa do fóton.^[3]

O tensor eletromagnético de estresse e energia permite uma maneira compacta de escrever as leis de conservação do momento linear e da energia no eletromagnetismo. A divergência do tensor de estresse e energia é: $${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,}$$ onde ${\displaystyle f_{\rho }}$ é a força de Lorentz (4D) por unidade de volume sobre a matéria.

Esta equação é equivalente às seguintes leis de conservação 3D $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} &=0\ \Leftrightarrow \ \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}-\nabla \cdot \mathbf {\sigma } +\mathbf {f} =0\end{aligned}}}$$ descrevendo respectivamente a densidade de energia eletromagnética $${\displaystyle u_{\mathrm {em} }={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)}$$ e densidade de momento eletromagnético $${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S} \over {c^{2}}},}$$ onde ${\displaystyle \mathbf {J} }$ é a densidade de corrente elétrica, ${\displaystyle \rho }$ é a densidade de carga elétrica e ${\displaystyle \mathbf {f} }$ é a densidade de força de Lorentz.

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