Teoria de Iwasawa

Na teoria dos números, a teoria de Iwasawa é o estudo de objetos de interesse aritmético sobre torres infinitas de corpos de números. Ela começou como uma teoria de módulo de Galois de grupos de classes de ideais, iniciada por Kenkichi Iwasawa (1959) (岩澤 健吉), como parte da teoria dos corpos ciclotômicos. No início da década de 1970, Barry Mazur considerou generalizações da teoria de Iwasawa para variedades abelianas. Mais recentemente (início da década de 1990), Ralph Greenberg propôs uma teoria de Iwasawa para motivos.^[1][2]

Iwasawa trabalhou com as chamadas ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extensões: extensões infinitas de um corpo de números ${\displaystyle F}$ com grupo de Galois ${\displaystyle \Gamma }$ isomorfo ao grupo aditivo dos inteiros p-ádicos para algum primo ${\displaystyle p}$. (Estas eram chamadas de ${\displaystyle \Gamma }$-extensões nos primeiros artigos.^[3]) Todo subgrupo fechado de ${\displaystyle \Gamma }$ é da forma ${\displaystyle \Gamma ^{p^{n}}}$, então, pela teoria de Galois, uma ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$-extensão ${\displaystyle F_{\infty }/F}$ é a mesma coisa que uma torre de corpos

${\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{\infty }}$

tal que ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{n}/F)\cong \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$ Iwasawa estudou módulos de Galois clássicos sobre ${\displaystyle F_{n}}$ fazendo perguntas sobre a estrutura de módulos sobre ${\displaystyle F_{\infty }.}$

Mais genericamente, a teoria de Iwasawa faz perguntas sobre a estrutura de módulos de Galois sobre extensões cujo grupo de Galois é um Grupo de Lie p-ádico.

Seja ${\displaystyle p}$ um número primo e seja ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\mu _{p})}$ o corpo gerado sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ pelas ${\displaystyle p}$-ésimas raízes da unidade. Iwasawa considerou a seguinte torre de corpos de números:

${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{\infty },}$

onde ${\displaystyle K_{n}}$ é o corpo gerado pela adjunção a ${\displaystyle K}$ das ${\displaystyle p^{n+1}}$-ésimas raízes da unidade e

${\displaystyle K_{\infty }=\bigcup K_{n}.}$

O fato de que ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{n}/K)\simeq \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ implica, pela teoria de Galois infinita, que ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{\infty }/K)\simeq \varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{p}.}$ Para obter um módulo de Galois interessante, Iwasawa tomou o grupo de classes de ideais de ${\displaystyle K_{n}}$, e assumiu ${\displaystyle I_{n}}$ como sendo a sua parte de ${\displaystyle p}$-torção. Existem aplicações de norma ${\displaystyle I_{m}\to I_{n}}$ sempre que ${\displaystyle m>n}$, e isto nos dá os dados de um sistema inverso. Se definirmos

${\displaystyle I=\varprojlim I_{n},}$

então não é difícil ver a partir da construção do limite inverso que ${\displaystyle I}$ é um módulo sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ De fato, ${\displaystyle I}$ é um módulo sobre a Álgebra de Iwasawa ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]}$. Este é um anel local regular de dimensão 2, e isto torna possível descrever módulos sobre ele. A partir desta descrição, é possível recuperar informações sobre a ${\displaystyle p}$-parte do grupo de classes de ${\displaystyle K.}$

A motivação aqui é que a ${\displaystyle p}$-torção no grupo de classes de ideais de ${\displaystyle K}$ já havia sido identificada por Kummer como a principal obstrução para a prova direta do Último Teorema de Fermat.

A partir desse início na década de 1950, uma teoria substancial foi construída. Uma conexão fundamental foi notada entre a teoria de módulos e as funções L p-ádicas que foram definidas na década de 1960 por Kubota e Leopoldt. Estas últimas partem dos números de Bernoulli e usam a interpolação para definir análogos p-ádicos das funções L de Dirichlet. Tornou-se claro que a teoria tinha perspectivas de finalmente avançar a partir dos resultados centenários de Kummer sobre primos regulares.^[4][5]

Iwasawa formulou a Conjectura principal da teoria de Iwasawa como uma afirmação de que dois métodos de definição de funções L p-ádicas (pela teoria de módulos e pela interpolação) deveriam coincidir, na medida em que isso estivesse bem definido. Isto foi provado por Mazur & Wiles (1984) para ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ e para todos os corpos de números totalmente reais por Wiles (1990). Estas provas foram modeladas na prova de Ken Ribet da recíproca do teorema de Herbrand (o chamado Teorema de Herbrand-Ribet).

Karl Rubin encontrou uma prova mais elementar do teorema de Mazur-Wiles usando os sistemas de Euler de Kolyvagin, descritos em Lang (1990) e Washington (1997), e posteriormente provou outras generalizações da conjectura principal para corpos quadráticos imaginários.

O grupo de Galois da torre infinita, o corpo inicial e o tipo de módulo aritmético estudado podem todos variar. Em cada caso, existe uma conjectura principal ligando a torre a uma função L p-ádica.

Em 2002, Christopher Skinner e Eric Urban alegaram a demonstração de uma conjectura principal para GL(2). Em 2010, eles publicaram um preprint (Skinner & Urban 2010).

• Motivos
• Representação de Galois

• Coates, J.; Sujatha, R. (2006), Cyclotomic Fields and Zeta Values, ISBN 978-3-540-33068-4, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, Zbl 1100.11002 
• Greenberg, Ralph (2001), «Iwasawa theory---past and present», in: Miyake, Katsuya, Class field theory---its centenary and prospect (Tokyo, 1998), ISBN 978-4-931469-11-2, Adv. Stud. Pure Math., 30, Tokyo: Math. Soc. Japan, pp. 335–385, MR 1846466, Zbl 0998.11054 
• Iwasawa, Kenkichi (1959), «On Γ-extensions of algebraic number fields», Bulletin of the American Mathematical Society, ISSN 0002-9904, 65 (4): 183–226, MR 0124316, Zbl 0089.02402, doi:10.1090/S0002-9904-1959-10317-7 
• Kato, Kazuya (2007), «Iwasawa theory and generalizations» (PDF), in: Sanz-Solé, Marta; Soria, Javier; Varona, Juan Luis; et al., International Congress of Mathematicians. Vol. I, ISBN 978-3-03719-022-7, 1, Eur. Math. Soc., Zürich, pp. 335–357, MR 2334196, doi:10.4171/022-1/14, consultado em 8 de maio de 2011, cópia arquivada (PDF) em 22 de setembro de 2017 
• Lang, Serge (1990), Cyclotomic fields I and II, ISBN 978-0-387-96671-7, Graduate Texts in Mathematics, 121, With an appendix by Karl Rubin Combined 2nd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag, Zbl 0704.11038 
• Mazur, Barry; Wiles, Andrew (1984), «Class fields of abelian extensions of Q», Inventiones Mathematicae, ISSN 0020-9910, 76 (2): 179–330, Bibcode:1984InMat..76..179M, MR 742853, Zbl 0545.12005, doi:10.1007/BF01388599 
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008), Cohomology of Number Fields, ISBN 978-3-540-37888-4, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 Second ed. , Berlin: Springer-Verlag, MR 2392026, Zbl 1136.11001, doi:10.1007/978-3-540-37889-1 
• Rubin, Karl (1991), «The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields», Inventiones Mathematicae, ISSN 0020-9910, 103 (1): 25–68, Bibcode:1991InMat.103...25R, Zbl 0737.11030, doi:10.1007/BF01239508 
• Skinner, Chris; Urban, Éric (2010), The Iwasawa main conjectures for GL₂ (PDF), p. 219 
• Washington, Lawrence C. (1997), Introduction to cyclotomic fields, ISBN 978-0-387-94762-4, Graduate Texts in Mathematics, 83 2nd ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag 
• Wiles, Andrew (1990), «The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields», Annals of Mathematics, 131 (3): 493–540, JSTOR 1971468, Zbl 0719.11071, doi:10.2307/1971468. 

• de Shalit, Ehud (1987), Iwasawa theory of elliptic curves with complex multiplication. p-adic L functions, ISBN 978-0-12-210255-4, Perspectives in Mathematics, 3, Boston etc.: Academic Press, Zbl 0674.12004 
• Masato Kurihara, Kenichi Bannai, Tadashi Ochiai, Takeshi Tsuji (EDs.): Development of Iwasawa Theory: The Centennial of K. Iwasawa's Birth, Mathematical Soc of Japan, (Advanced Studies in Pure Mathematics, V.86), ISBN 978-4-86497092-1 (2020).
• Tadashi Ochiai: Iwasawa Theory and Its Perspective, Vol.1, Amer. Math. Soc., (Mathematical Surveys and Monographs V.272), ISBN 978-1-4704-5672-6 (2023).
• Tadashi Ochiai: Iwasawa Theory and Its Perspective, Vol.2, Amer. Math. Soc., (Mathematical Surveys and Monographs V.280), ISBN 978-1-4704-5673-3 (2024).
• Tadashi Ochiai: Iwasawa Theory and Its Perspective, Vol.3, Amer. Math. Soc., (Mathematical Surveys and Monographs V.291), ISBN 978-1-4704-7732-5 (2025).

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Iwasawa theory», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer